Абсолютно замкнутые группы в квазимногообразиях 2-ступенно нильпотентных групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.531.45

С.А. Шахова

Абсолютно замкнутые группы в квазимногообразиях 2-ступенно нильпотентных групп

S.A. Shakhova

Absolutely Closed Groups in the Quasi-varieties of Nilpotent Groups of Class at Most Two

Пусть Нрг!, Нр - группы, имеющие в многообразии нильпотентных групп ступени нильпотентности не выше двух следующих представлений: НрШ = (х,у || хр = ур = [х,у]р = 1),

Нр = gr(х,у ||[х,у]р = 1), где р - простое число, г, s - натуральные числа. Доказано, что группа Нрг! является абсолютно замкнутой в квазимногообразии дНрг1, а любая полная группа из квазимногообразия дНр абсолютно замкнута в квазимногообразии qH .

Ключевые слова.: квазимногообразие, абсолютно

замкнутая группа, доминион, группа.

We assume that H prs, H are the groups with the following presentations in the variety of nilpotent groups of class at most two: H = gr(x, y || xp = yp = [x, y]p -1), Hp = gr(x,y ||[x,y]p = 1), where p is a prime number, r, s are natural numbers. It is proved that the group Hprs is an absolutely closed group in the quasi-variety qHprs, and any divisible group belonging to the quasivariety qH is an absolutely closed group in the quasivariety qH .

Key words: quasi-variety, absolutely closed group, dominion, group.

Введение. Определим, следуя [1], доминион подгруппы Н группы О в квазимногообразии групп М как множество элементов g е О таких, что для любых двух гомоморфизмов р, / : О ^ В е М, совпадающих на Н, верно р^) = ).

Из определения доминиона вытекает, что он является подгруппой группы О и содержит Н. Если в любой группе О из М, содержащей Н в качестве подгруппы, доминион Н совпадает с Н, то группа Н называется абсолютно замкнутой в квазимногообразии М.

Группы, абсолютно замкнутые в многообразиях 2-ступенно нильпотентных групп, изучались в [2-4], а в квазимногообразиях метабелевых групп - в [5]. В настоящей работе исследуются абсолютно замкнутые группы в квазимногообразиях 2-ступенно нильпотентных групп.

Зафиксируем простое число р, натуральные числа г, s и рассмотрим группы, имеющие в многообразии нильпотентных групп ступени нильпотентности не выше двух, следующие представления:

Нр = gr (х, у ||[ х, у]р = 1),

НРк = gr (х у|| хр = ур = [ х у] р =1).

Заметим, что группы Нг рассматривались в [6]. Обозначим qHp, qHprs квазимногообразия, порожденные группами Нр, Нрп соответственно.

Доказано, что группа Нрг!! является абсолютно замкнутой в квазимногообразии qHprs, а любая полная группа из квазимногообразия qHII абсолютно замкнута в квазимногообразии qHР

Используемые в работе сведения из теории групп содержатся в [7], а из теории квазимногообразий - в [8-10].

Приведем список обозначений и определений, применяемых в работе:

gr(H) - подгруппа группы О, порожденная элементами множества Н;

Н < О - Н является нормальной подгруппой группы О;

О / Н - фактор-группа группы О по нормальной подгруппе Н;

Z(G) - центр группы О;

* Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (мероприятие 1).

Абсолютно замкнутые группы в квазимногообразиях.

О - коммутант группы G;

(п, г) - наибольший общий делитель чисел п, г.

[ x, у ] = х-1 у-1 xy.

Группа называется полной, если из любого элемента в ней извлекается корень произвольной степени.

Основной результат.

Лемма 1. Группа Н рг! порождается любыми двумя неперестановочными элементами.

Доказательство. Пусть [g1, g2] Ф e для некоторых

элементов gl,g2 группы Нрп, и ^ = хккукг[х,у]*3, g2 = хк ук[х, у]13 - их записи через порождающие этой группы. Поскольку [g1, g2] = [х, у]к1’2^ Ф е, то (к’ - к 2’, р) = 1, [х, у] е gг(^, g2). Кроме того,

(к1, р) = 1 или (к2, р) = 1. Если (к1, р) = 1, то рги + к1у = 1 для некоторых целых чисел и,V. Тогда ^ = (х*1 ук2 [х, у]кз У = (хрг )и (х* ук2 [х, у]кз )v =

= ху^ 1^ у]“ е ^ (gl, g 2 ). Значит, хуk2V е gг(gl, g 2 ). Далее, [^,g2] = [gl,g2^ Ф е. С другой стороны, [ g1V, g 2] = [ хук2 v, х’1 у'г] = [ х, у ]’2 - к21lV. Отсюда в^гге-кает, что (’2 - к2’V, р) = 1. Так как g2 g1 ^ = = х’1 у1г(ху'кУ)-’ [ х, у]^ = у’2 -к^ [х, у] е gг (gl, g2), то у е ёг(gl,g2). Таким образом, Нрг! = gг(^,g2). Случай (к2, р) = 1 рассматривается аналогично. Лемма доказана.

Теорема 1. Группа Нрг! абсолютно замкнута

в ЧНрг*.

Доказательство. Условимся вместо Н рг1 писать

Н. Пусть О - произвольная группа из квазимногообразия цН, содержащая Н в качестве подгруппы. Согласно [8], О вложима в декартову степень группы Н. Поскольку Н < О, то существует проектирование п : О ^ Н на одну из компонент декартова произведения, удовлетворяющее условию [п(х),п(у)] Ф е, где х, у - элементы группы О, порождающие ее подгруппу Н. По лемме 1 Н = gг(п(х), п(у)), и сужение п |Н является изоморфизмом. Обозначим а = п( х), Ь = п(у). Ясно, что п(^) е gг(a,Ь) для любого g е О.

Используя гомоморфизм п, построим отображение р: О — О по следующему правилу: р( х) = х, р(у) = у, и вообще, р( g) = г (х, у), где г такое, что п( g) = г (а, Ь). Очевидно, что р -гомоморфизм, совпадающий с тождественным гомоморфизмом є : О — О на подгруппе Н и не совпадающий с є на элементах группы О, не принадлежащих подгруппе Н.

Значит, доминион подгруппы Н группы О в квазимногообразии qH совпадает с Н, т.е. Н абсолютно замкнута в qH.

Утверждение следующей леммы легко проверяется.

Лемма 2. В группе Н истинны следующие квазитождества и тождества:

рп = (Ух)(х" =1—— хр =1), п = 1, 2, ...; р = (Ух)^у)([ х, у]р = 1); / = №)(Уу)([ хр, у] = 1).

Теорема 2. Любая полная группа из квазимногообразия qH абсолютно замкнута в квазимногообразии qH .

Доказательство. Пусть О є qHp, и 0> - полная подгруппа группы О. Так как в О истинно квазитождество /, то Q с 2(О).

Легко видеть, что Q - группа без кручения. Действительно, пусть g є Q и gk = е, к Ф 0. Поскольку g = /р для некоторого / є Q, то /рк = е. Применяя лемму 2, получаем /р = g = е.

Поскольку QG / О - полная группа, то, согласно [7], она выделяется в группе О / О прямым сомножителем: О / О = QG / Ох Т / О .

Отсюда О = QT. Из истинности в группе О квазитождества р вытекает, что Q п О = {е}. Следовательно, Q п Т с Q п О = {е}. Кроме того, из Q с 2 (О), О с Т получаем, что Q < О, Т < О. Таким образом, О раскладывается в прямое произведение групп: О = Q х Т. Из этого факта легко вытекает, что доминион подгруппы Q группы О в квазимногообразии qH совпадает с Q, т.е. Q

абсолютно замкнута в qH .

Библиографический список

1. Isbell J.R. Epimorphisms and Dominions // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. - New York, 1965.

2. Saracino D. Amalgamation bases for nil2 groups // Algebra Universalis. - 1983. - Vol. 16.

3. Magidin A. Amalgams of nilpotent groups of class two // arXiv:math. GR/0105233.

4. Magidin A. Amalgamation bases for nil-2 groups of odd exponent // arXiv:math. GR/0006065.

5. Будкин А.И. Доминионы в квазимногообразиях метабелевых групп // Сибирский математический журнал. - 2010. - №3(51).

6. Федоров А.Н. Квазитождества конечных 2-ниль-потентных групп. - М., 1987. - Деп. в ВИНИТИ, №5489 В87.

7. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М., 1982.

8. Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М., 1970.

9. Будкин А.И. Квазимногообразия групп. - Барнаул, 2002.

10. Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий. - Новосибирск, 1999.