Об одном свойстве операции пересечения в решетках доминионов квазимногообразий абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54.01

С.А. Шахова

Об одном свойстве операции пересечения в решетках доминионов квазимногообразий абелевых групп

Ключевые слова: квазимногообразие, доминион, группа.

Key words: quasivariety, dominion, group.

Введение. Понятие доминиона возникло в [1]. Доминионом подалгебры H универсальной алгебры A в полной категории M (A G M), обозначаемым domM(H), называется множество элементов a G A таких, что р(а) = ф(а) для любых двух морфизмов р,ф : A ^ M G M, H

Доминионы изучались в различных классах универсальных алгебр [2-4]. В работе [5], где доминионы впервые исследовались в квазимногообразиях универсальных алгебр, было дано расширение понятия доминиона на случай, когда A G M. Появилась возможность ввести в рассмотрение множество доминионов L(A, H, M) = {dom^(H) | N G Lq(М^Де Lq(M) — решетка подквазимногообразий квазимногообра-M

условиях это множество образует решетку относительно теоретико-множественного включения?

В работе [5] (лемма 4.2) доказано равенство

v Mi

П domMi{H) = domifI (H)

iel

для произольного конечного множества квазимногообразий M^i G Г), универсальной ал-AH что выполнимость этого равенства для любого (не обязательно конечного) множества квазимногообразий Mi G Lq(M)(i G Г) означает, что множество доминионов L(A, H, M) образует полную решетку относительно теоретикомножественного включения, в которой решеточные операции определены следующим образом:

domN(H) Л domR(H) = domNvR(H),

domN(H) V domR(H) = domK(H),

где K - квазимногообразие, порожденное всеми такими квазимногообразиями F G Lq(M), что domA(H) D domN(H) U domR(H).

В настоящей работе найдены необходимые и достаточные условия выполнимости равенства

v Mi

П domA ^H) = domд1 (H)

iel

для произвольного множества квазимногообразий Mi G Lq(M)(i G I) в случае, когда M

— произвольное квазимногообразие абелевых групп, A - группа, H - подгруппа группы A.

Предварительные замечания. Следуя [5], определим доминион подгруппы H группы AM

domM (H) = {а G A \VM G M Vp, ф : A ^ M,

если p \н= ф \н, то р(а) = ф(а)},

где р,ф : A ^ M - гомоморфизмы группы A в группу M; р \н, ф \н - сужение гомоморфизмов р, ф на H; р{а), ф(а) - образы элемента а при гомоморфизмах р,ф.

Из определения доминиона вытекает, что он

AH Нетрудно также заметить, что для произвольных квазимногообразий N, R включение NCR влечет включение domR(H) С domN(H).

В работе используются следующие утверждения.

Лемма [5, лемма 4.2]. Пусть N, R - произвольные квазимногообразия универсальных ал-A H A

Тогда domN(H) П domR(H) = domNvR(H).

Теорема 1 [6, теорема 1]. Доминион под-HA

M

A

H

M

Приведем список применяемых в работе обозначений.

N - множество натуральных чисел.

Р - множество простых чисел.

[и, т) - наибольший общий делитель чисел n,r G N.

A/H - фактор-группа группы A по нормаль-H

| a | a

а - обозначение элемента aH фактор-группы A/H

Нр(а) - ^высота элемента а.

gr(H) - подгруппа группы A, порожденная H С A

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

е - единичный элемент группы.

2 — бесконечная циклическая группа.

2п - циклическая группа порядка п.

- квазпцнклпческая группа типа р, где р _ простое число.

^А,...,Ап) - порожденное группами

А\,..,Ап квазимногообразие.

Пусть А - абелева группа, а £ А,р £ Р. Наи-

п

торого уравнение хр = а имеет решение х £ А, ра

хр а п а

р

Далее потребуется описание квазимногообразий абелевых групп, данное в [7]. Согласно [7], два квазимногообразия абелевых групп совпадают тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые пересечения с множеством групп ф, состоящим из групп 2, Е и циклических р-р

чисел. Из [7] вытекает, что произвольное квазимногообразие М абелевых групп представимо в виде М = д(Я) для некоторого Я С ф, а цикли-р

зию д(Я) в том и только в том случае, когда она изоморфна подходящей подгруппе некоторой группы из Я. Кроме того, если М = VМг,

Мг = я(Яг), (Яг С ф), то М = д( и Яг). Отметим

гее

также, что если группа 2 не принадлежит квазимногообразию М = д(Я), то множество Я состоит из конечного числа неизоморфных цикли-рМ ся многообразием.

Используемые в работе сведения из теории групп содержатся в [8], а из теории квазимногообразий - в [9-11].

Основной результат. Верна следующая М

А

Н - ее подгруппа, Мг £ Ьч(М) для всех г £ I и А = А/йотМ (Н). Тогда

у м

П ¿ошА Н) ф ¿от'"^1 (Н)

гее

в том и только в том случае, когда выполнено одно из следующих условий.

Аа кой, что | а |= рк для некоторых р £ Р, к £ N и Нр( а) = х, 2рж £ Мг для любо го г £ I,

2рж £ V .

гее

Аа к ой, что I а |= х, д(Ирнр(а) | р £ Р) Э Мг,

2 £ Мг для любо го г £ 1,2 £ V Мг.

ге е

Доказательство. По теореме 1 A £ M. Пусть a - элемент, для которого выполнено условие (i). Ясно, что a £ П domMi{H). Пока-

je/

.v Mi

жем, что a £ dom(H). Введем обозначение F = grig £ A | (| g \,p) = 1). Легко видеть,

что A/F £ qZpœ Ç V Mi. Рассмотрим цепочку

iei

гомоморфизмов p : A ^ A ^ A/F. Поскольку

.v Mi

p(a) ф e, то a £ dom^ (H).

a

полнено условие (ii). Тогда a £ П domM.(H).

iel

Обозначим через T(A) периодическую часть группы A. Пусть p : A ^ A ^ A/T (A) - цепочка гомоморфизмов. Нетрудно заметить, что

A/T(A £ qZ Ç V Mi и p{a) ф e. Значит,

ie i

.v M. a £ dom'A (H).

Докажем обратное утверждение. Пусть те-

vMi

перь П domM.(H) ф domi^1 (H). Поскольку

iei

iVIMi

П domA .(H) D dom^1 (H), то найдется эле-

iei

v M.

мент a £ П domM4H), a £ dom''fI (H). Воз-

ie i

можны следующие случаи.

(i)| a \< ж. Можно считать, что \ a \= pk для некоторых чисел p £ P, k £ N.

Действительно, \ a \= pk ■ ■ ■ p*£s = pki di, где (dj,pi) = 1, pi,...,ps G P. Ясно, что adi £ viMi k

dom^ (H) для некоторого i £ I и \ adi \ = p^.

Если a не является элементом бесконечной p-высоты в A, то найдется число l £ N такое, _ —pl

что a £ A . Будем считать, что l - минималь-

p a e

p : A ^ A ^ A/AP £ qZpi Ç V Mi. Если

iei

.v M.

Zpi £ V M^ то a £ dom'f1 (H). Отсюда cpa-

ieiA зу вытекает, что Zpi £ Mi для некоторого i, и

a £ domM.(H), что не так. Следовательно, a

является элементом бесконечной ^высоты в A.

Предположим, что Zp^ £ Mi для некоторого

i £ I. Рассмотрим цепочку гомоморфизмов p :

A ^ A ^ A/F, где F = gr(g £ A \ d g \,p) = 1).

Ввиду того, что A/F £ qZp^ и p(a,) Ф e, имеем a £ domM.(H). Полученное противоречие означает, что Zp^ £ Mi для вс ex i £ I.

Очевидно, что если Zp~ £ V Mi, то a £

iei

.v M.

dom.д (H), что неверно. Таким образом,

Zpœ £ V ^Mi-

p iel

Исследуем случай (ii), когда \ a ^ ж. Допустим, что Z €Mi, и построим цепочку гомоморфизмов p : A ^ A ^ A/T(A). Поскольку

но Zpi G Mi для некоторого i G I. Тогда _ —р‘

а G A . Рассмотрев цепочку гомоморфизмов

р : A ^ A ^ A/AP G Mi и приняв во внимание тот факт, что р(а) ф в, получим, что а G domM*(H). Возникшее противоречие означает, что q(Zphp(a) \ p G Р) 2 Mi для всех i G I. Тем самым теорема доказана.

Библиографический список

6. Шахова, С.А. О решетках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп / С.А. Шахова // Алгебра и логика. - 2005. - Т. 44, Г'2.

7. Виноградов, A.A. Квазимногообразия абелевых групп / A.A. Виноградов // Алгебра и логика. - 1965. - Т. 4, 1^6.

8. Каргаполов, М.II. Основы теории групп / М.II. Каргаполов, К).II. Мерзляков. - М., 1982.

9. Мальцев, А.И. Алгебраические системы / А.И. Мальцев. - М., 1970.

10. Будкин, А.И. Квазимногообразия групп / А.И. Будкин. - Барнаул, 2002.

11. Горбунов, В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий / В.А. Горбунов. - Новосибирск, 1999.

1. Isbell, J.R. Epimorphisms and dominions / J.R. Isbell // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, Springer. - New York, 1965.

2. Magidin, A. Dominions in varieties of nilpotent groups / A. Magidin // Comm. Algebra. - 2000.

- V. 28, rt.

3. Wasserman, D. Epimorphisms and dominions in varieties of lattices / D. Wasserman // Ph.D. thesis. - New York, 2001.

4. Bergman, G.M. Ordering coproducts of groups and semigroups / G.M. Bergman // J. Algebra.

- 1990. - V. 133, t2.

5. Budkin, A. Dominions in quasivarieties of universal algebras / A. Budkin // Studia Logica. -2004. - V. 78. tl-2.

A/T(A) G qZ Ç Mi, p(a) ф e, то a £ dom^ (H). Полученное противоречие означает, что Z £Mi.

Если Z £ V Mu то {Mi | i G I} - конеч-

iel

ное множество различных квазимногообразий и

по лемме 1 П domA * (H) = dom^ (H), что не

iel

так. Значит, Z G V Mi.

iEl

Предположим, что Zpi £ q(Zphp(a) | p G P),