О ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.23

DOI: 10.21779/2542-0321-2021-36-3 -64-72 О.А. Тарасова

О дискретных эллиптических псевдодифференциальных уравнениях

Белгородский государственный национальный исследовательский университет; Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85; [email protected]

В статье рассматриваются дискретные аналоги псевдодифференциальных операторов и связанные с ними дискретные уравнения и краевые задачи в дискретном полупространстве с шагом h. Вводятся дискретные пространства Соболева-Слободецкого, в которых ограниченно действуют такие операторы и исследуется разрешимость уравнений с этими операторами. Картина разрешимости обусловлена специальным индексом периодической факторизации символа оператора и в некоторых случаях имеет место неединственность решения дискретного псевдодифференциального уравнения. Для выделения единственного решения требуется задание дополнительных условий. В работе рассматривается случай одного такого условия, которое задается сначала как дискретное условие Дирихле, а затем - как след общего дискретного псевдодифференциального оператора на дискретную гиперплоскость. В обоих случаях дано сравнение решений дискретной краевой задачи и ее континуального аналога в точках дискретного полупространства. Близость значений дискретного и континуального решений определяется зависимостью от шага h.

Ключевые слова: псевдодифференциальный оператор, краевая задача, дискретное решение.

Введение

Разработка приближенных методов для решения краевых задач эллиптических дифференциальных уравнений являлась предметом исследований многих авторов [1-4]. После постановки краевой задачи для дифференциальных уравнений в частных производных возникает необходимость в методах их решения. Поскольку найти точное решение для таких задач бывает крайне трудно, то широко используются численные и приближенные методы. По мере развития компьютерных технологий предпочтение отдается методам, которые легко реализуются компьютерами.

В математической литературе существует множество приближенных методов решения краевых задач [1-4]. Все авторы рассматривают априорно заданную краевую задачу и строят для нее определенные вычислительные схемы. Это приводит к конечной системе линейных алгебраических уравнений, и решение последней системы объявляется приближенным решением исходной задачи.

Удобнее сначала изучать дискретные объекты, а затем применять их свойства для изучения аппроксимации исходных непрерывных объектов. Основываясь на подходе Эскина, для эллиптических модельных псевдодифференциальных уравнений в полупространстве [5] была разработана соответствующая дискретная теория [6; 8]. Эта работа посвящена специальной аппроксимации непрерывного объекта дискретными.

2. Дискретные операторы и уравнения. Пусть Тт = [—п,п]т, h > 0,

Ь = Л. Е Ят - периодическая суммируемая функция с кубом периодов

кТт, йс Ят - область. Введем псевдодифференциальный оператор

(АаиаХх) = У I Аа(Ое^~*Ниа(у) d{hm, хеО.ЕОп Шт,

уЕЬ.гт

который определяется для функций дискретной переменной х Е hZm. Рассмотрим дискретное уравнение

Ааиа = Рй (1)

с символом Аа(() порядка а [6] и условия его разрешимости.

^ 2

— 1) , 5{к1т) - дискретный

к = 1

аналог

пространства Шварца 5(йт) [5; 7], йа — дискретное преобразование Фурье функции иа [6].

Определение. Пространство Я5(Л7т) является замыканием пространства 5(Л7т) по норме

1/2

- (/

М* = I ](1 + К21№(012^ I . (*)

фТт

Рассмотрим случай

О = И™ = (хЕ Кт'.х = (_х1,...,хт~), хт >0}. Уравнение (1) однозначно разрешимо в дискретном полупространстве ^(Аз) для произвольной правой части ра ЕНо~а(Оа) при условии

|ж-5|<1/2, (2)

где жЕЙ - индекс периодической факторизации [6].

3. Разрешимость дискретного уравнения. Рассмотрим случай, когда условие (2) не выполняется. Разберем типичную краевую задачу. Воспользуемся результатом из [8] в простейшей форме.

Теорема 1. Пусть ж — Б = п + 5, п Е N, |5| <1/2. Тогда образ Фурье ядра оператора Аа состоит из следующих функций:

п-1

ЫО = ¿йсо X ,

к = 0

где к = 0,1,.. , п — 1 - произвольные функции из

Н5к(НТт~1), 5к = 5 -ж + к -1/2. Справедлива априорная оценка

[ск]5к,

к = о к

где - норма в Н5к(кТт~1) и а не зависит от И.

Дальше будет определен следующим образом. Для непрерывного

псевдодифференциального оператора с символом А(() берем его ограничение на куб кТт и периодически продолжаем его на все . Такой дискретный оператор мы будем трактовать как приближенный оператор для непрерывного оператора А. Для произвольной функции и обозначение Qhu имеет тот же смысл. Чтобы найти приближенное дискретное решение уравнения

(Аи)(х) = у(х), хЕО, для Б = Ит используем следующую формулу:

иа(х) = -1— I е^А-^ЖО^.хекг™.

кгт

Следовательно, не нужно искать приближенное решение для конечной системы линейных алгебраических уравнений. Для нашего случая нужно применить любые кубатурные формулы для вычисления последнего интеграла и кубатурную формулу для вычисления преобразования Фурье р((). Для рЕ Б(Нт) дискретное решение иа(х) стремится к и(х) очень быстро при [9].

4. Дискретная краевая задача с условием Дирихле. Рассмотрим случай ж — 5 = 1 + 5, |5|<1/2. Согласно теореме 1 ядро оператора Аа включает только одну произвольную функцию, так что нам нужно только одно дополнительное условие.

Непрерывный аналог дискретной краевой задачи

(Ааиа)(х) = 0,хЕйф (3)

иа(10) = дй{х),х ЕЪгт~1 (4)

выглядит следующим образом:

(Аи)(х) = 0, хЕ И?, (5)

и(х,0) = g(x), х ЕЯ™'1, (б)

где A - псевдодифференциальный оператор с символом Л(^), удовлетворяющим условию

Непрерывное решение строится следующим образом. Если индекс факторизации равен ж и ® — б = 1 + 5, |5|<1/2, то единственное решение задачи (5), (6) дается формулой

й(0 = ь^ЮдЮА-Л^'^т),

где А± - элементы факторизации символа Л(^) [5],

КО = I л+ЧГ^жЖж.

Предполагаем, что Ь((') ^0,Ейт_1, что представляет собой упрощенное условие Шапиро-Лопатинского [5].

Имеем следующее дискретное решение [10]:

= ЬЛПШ'МЙ^Чт),

+кп

ЬаЮ = I

-Кп

в котором выбираем специальные приближения. да = Qhд и выби-

раем как сужение на ЬТт.

Периодический символ

¿АО =

удовлетворяет всем условиям периодической факторизации с одинаковым индексом ж. Более того, и совпадают с и на ЬТт соответственно.

Теорема 2. Пусть ж>1,$>ш/2^Е Н5 2(йт_1). Сравнение решений задач (3-4) и (5-6) дается оценкой

|и(х) ^сь®-1,^ е ыт

с постоянной с, не зависящей от Л.

Доказательство. Сравним два интеграла

Rm

и

= ^/^е^ьлШО^биж (7)

для xE hZm.

Таким образом, мы имеем

и(х) -ud(x) = —^ I e^Cb-^O -b;[1(())g(()A+1((,(m)d(

hTm Rm\hTm

так как функции g, и A+, Ad + совпадают в hTm. Оценим второй интеграл

J e^b-^O^KHUm^ < const J \gffi\\А~+Щ,$т)\d^ <

Rm\hTm Rm\hTm

(-hn \

f + f WOUmMmdf

-rn hn /

Rm-l\hTm-l

Далее мы оцениваем

-hn \

J + J I \А-+Щ^т)\(И;т<соп51 J ( 1 + |(| + =

hn / hn

const, Nl-ffi

-(1 + \Z\ + hn) ^ch*'1.

ae

По неравенству Коши-Буняковского получим

(Г \1/2

+ \i\r2Md(f2

Так как gE Hs~1/2(Rm~1) [5], то первый интеграл меньше \_g]s-i/2 и второй стремится к нулю, если s> ш/2.

Для первого интеграла используем оценку

< const • Л*-1[11].

Окончательно получим

hTm

<const • ft®-1 < const •h*'1

hTm

(1+т

кг™-1

Здесь использовано неравенство Коши-Буняковского.

5. Дискретная краевая задача с общим граничным условием. Для описания разрешимости краевой задачи (1) введем следующие обозначения:

кп

= J cot 2 Г]т) йа ^'^т) •

где

гПП

'-йп

= д^г+С* И^^й^О^.

Этот оператор порождает два проектора

Р*Г = 2(1 + я{Т), 0%Г = 1 (/ - я{Т)

которые позволяют сформулировать следующий результат.

Теорема 3. Пусть ж — э = п + 5, п Е Ы, |5|<1/2. Тогда общее решение уравнения (1) в образах Фурье имеет следующий вид:

п-1

к = О

где - произвольный многочлен порядка п переменных = ^(е — 1),

к = 1, ... , т, удовлетворяющий условию (*), = 0,1,..,п — 1. Нахо-

дятся произвольные функции из Н3к(кТт~1),5к = 5 — ж + к — 1/2. Справедлива априорная оценка

1П-1

1^5 <

где обозначает норму в пространстве Н5к(кТт и постоянная а не зависит от И.

Применим теорему 3 для простого случая п = 1. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:

¿ОД = ЛйСО+^ЙСОеоСО, (8)

где обозначаем

ЫО = (.ОР^Г {^О^О^О). (9)

Построение общего решения для непрерывной краевой задачи было получено в [1]. Для нашего случая оно имеет вид:

ОД = ОД+л+ЧОаО, (10)

ОД = (^ЧО^ЧШСО), (11)

где Р^' = 1/2(/ + Я^) и Н^г являются классическим преобразованием Гильберта по последней переменной

1 I u(^',r)dr

¥¿0 - произвольный многочлен переменных удовлетворяющий усло-

вию 1^1(^)1 ~ 1 + А±(£) - множители факторизации для символа .А(^).

В формулах (8, 10) имеются произвольные функции с0,С0. Для определения, например, функции с0 воспользуемся граничным условием из (1). Действуем оператором В на решение ий, а затем берем сужение на дискретную полуплоскость = 0. Согласно свойствам дискретного преобразования Фурье имеем

+кп +кп

I Ва(Г,{т)йа(Г,{т)<1{т = I Ва(Г,{т)Яаа',{т)<1{т + с0(ОЬа(О,

—кп —йп

где

Здесь мы используем условие ш^г'Ейгт-1|Ь^(^')| >0. Это дискретный аналог условия Шапиро-Лопатинского [1]. Так как левая часть равна ^(О, у нас есть следующее отношение:

= Ь^ЮШО - ио), (12)

где

+кп

-hn

Подставляя (12) в (8), получаем единственное решение для дискретной краевой задачи (1):

ЫО = ЫО+А-аХ(ОьЛО(даЮ -ип)-

(13)

Согласно теории Вишика-Эскина [5] имеем

Й(0 = КО + - t(O) (14)

в предположении, что inf|b(^')| >0, ERm 1. Сравним формулы (13) и (14). Основным моментом является оценка для hd и h. Для получения хорошей аппроксимации выбираем определенные элементы для дискретного решения особым образом.

Правая часть vd в уравнении (1) строится следующим образом. Возьмем lvd = QhGf) так, что

_ (ВД(0 = //(а^ем™.

Обозначим через Qh следующий оператор ограничения и периодизации, который действует в образах Фурье. Заданная функция ü в обозначениях qhü означает, что мы берем ограничение ü на hTm и периодически продолжаем его в целом Rm. Символ дискретного оператора Ad строится по следующей схе-

ме.

Берем разложение на множители и вводим периодический символ по формуле

АаЮ = M+)(0 •(qhÄ-)(0.

Таким образом получаем необходимую периодическую факторизацию. У нас есть неединственность решения уравнения (1) для случая ж — 5 = п + 5, п е N |5|<1/2. Рассмотрим случай п = 1. Для получения решения необходимы некоторые дополнительные условия. Дискретные аналоги условий Дирихле или Неймана дают очень простой случай. Рассмотрим дискретное условие Дирихле:

= о =

где да является заданной функцией дискретной переменной в дискретной гиперплоскости 2т~г.

Чтобы получить некоторое сравнение между дискретными и непрерывными решениями, напомним, как выглядит непрерывное решение. Непрерывным аналогом дискретной краевой задачи является следующая задача:

(Аи)(х) = 0, х£ Д™ (15)

Ви(х,0) = g(x), х ЁЙт_1. (1б)

Символ граничного оператора Ва определим

Для простоты рассмотрим случай Г = 0. Тогда функции к, кй, ^ td равны

нулю.

Лемма. Пусть граничный символ 5(0 удовлетворяет условию

с±а 1 + <|я(о|<^2ц + ®>1 + р.

Тогда будут следующие оценки |— 6(^)1 < Доказательство. Проведем соответствующие оценки:

+Пп

—¡гп

-Йя \

1+1 ЬсГ^тМ^ЧтЖя

-га йп )

Так как два интеграла имеют одинаковую оценку, то рассмотрим второй:

I ¡В^'.иА+^^тУ^т^С I ( 1 + Ш + 1иУ~*^гп =

кп

(1 + Щ + Пп)1^ <сК

кп кп

Д-ж

ж-1-р Теорема 4. Пусть/ = 0 и g

т^Ь(П1 >0,? ей™"1, т^(П1 >0,^' еТт~1,к > 0.

Тогда сравнение решений задач (3-4) и (15-16) дается следующей оценкой:

КШ-йСО^С!--1"13.

Доказательство. Существование и единственность решений этих задач доказаны в [5] для непрерывного случая и в [10] - для дискретного. Поэтому нам нужно доказать оценку. Составляем разность

= {ь-К0-ьЛ0)гЛ0А-М,$т),$ е ИТ™.

Используя лемму 1 и ограниченность д, завершаем оценку.

Автор выражает свою благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.Б. Васильеву за постановку задачи и внимание к работе.

Литература

1. Стренг Г., Фикс Д.Ж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир,

1977.

2. Самарский A.A. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989.

3. Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов и его приложения. -М.: Физматлит, 2002.

4. Hsiao G., Wendland W. Boundary integral equations. - Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2008.

5. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1973.

6. Vasilyev A., Vasilyev V. Digital Operators, Discrete Equations and Error Estimates // Numerical Mathematics and Advanced Applications ENUMATH 2017. Lecture Notes in Computational Science and Engineering. - 2019. - Vol. 126. -Pp. 983-991.

7. ТейлорM. Псевдодифференциальные операторы. - М.: Мир, 1985.

8. VasilyevA.V., Vasilyev V.B. Pseudo-differential operators and equations in a discrete half-space // Math. Model. Anal. - 2018. - № 23 (3). - Pp. 493-496.

9. Vasilyev V.B. Digital approximations for pseudo-differential equations and error estimates // G. Nikolov, N. Kolkovska, K. Georgiev (eds.). Numerical Methods and Applications. - 2018. - Vol. 11189. - Pp. 483-490.

10. Vasilyev A.V., Vasilyev V.B. On some discrete boundary value problems in canonical domains // Differential and Difference Equations and Applications. ICDDEA, Math. & Stat. - 2018. - Vol. 230. - Pp. 569-579.

11. Tarasova O.A., Vasilyev V.B. To the theory of discrete boundary value problems // 4Open. - 2019. - Vol. 2. - Pp. 1-7.

Поступила в редакцию 16 апреля 2021 г.

UDC 517.983.23

DOI: 10.21779/2542-0321-2021-36-3 -64-72

On Discrete Elliptic Pseudo-Differential Equations О.А. Tarasova

Belgorod National Research University; Russia, 308015, Belgorod, Pobedo. st., 85; [email protected]

The article deals with discrete analogs of pseudo differential operators and related dis-

crete equations and boundary value problems in a discrete half-space with step h. We introduce discrete Sobolev-Slobodetskii spaces in which the operators are bounded and study a solvability for equations with such operators. A solvability picture is determined by special index of periodic factorization and for some cases there is non-uniqueness of a solution for the discrete pseudo-differential equation. To extract the unique solution one needs certain additional conditions. In this paper we consider one additional condition which is given first as the discrete Dirichlet condition and then as a trace of a general discrete pseudo-differential operator on a discrete hyper-plane. For both cases there are a comparison between discrete and continuous solutions at points of the discrete half-space. The nearness for discrete and continuous solution is estimated in dependence of step h.

Keywords: pseudo-differential operator, boundary value problem, discrete solution.

Received 16 April 2021