CC BY
38
УДК 511
О ДИОФАНТОВЫХ НЕРАВЕНСТВАХ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
С.А. Гриценко, Нгуен Тхи Ча
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, е-таП:5.gritsenko@gmail.com, nguyentra.bsu@gmail.com
Аннотация. В работе доказано, что к заданному числу N можно подойти суммой трех
49 п о
квадратов простых чисел на расстояние, не большее, чем N ьй ехр(1п ' Ы) и можно подойти суммой двух простых чисел на расстояние, не большее, чем N та ехр(1п0'8 ТУ).
Ключевые слова: простые числа, диофантовы неравенства, плотностная теорема.
Введение. Пусть N(а, T) - число нетривиальных нулей ((s) в прямоугольнике а < Res < 1, 0 < Ims < T. Оценки вида
N (а, T) < T2A(1-CT) lnc T , Л > 1, c > 1,
где Л и c — константы, называются плотностными теоремами.
Наилучшим современным значением Л является Л = | (см. [1]). Константа с играет меньшую роль. В работе [2] доказано, что c < 18.2.
Со времен Римана известны формулы, связывающие суммы по простым числам с суммами по нетривиальным нулям дзета-функции. Такие формулы называются явными. Пусть ^(ж) — функция Чебышева. Одной из самых известных явных формул является следующее равенство:
,, . v-^ жр / ж ln2 ж
0(ж)=ж- £ — +
|Imp|<T Р
где 2 < T < ж, а суммирование ведется по нетривиальным нулям дзета-функции р.
В сороковых годах двадцатого века Ю.В. Линник [3],[4] разработал новую технику решения арифметических задач с простыми числами, основанную на явных формулах и плотностных теоремах. Эта техника получила название плотностной. Плотностная техника особенно эффективна для решения задач о попадании простых чисел в короткие промежутки.
В монографии С.М. Воронина и А.А. Карацубы [5] содержится следующая теорема, доказанная на основе плотностной техники.
Теорема 1. Пусть Л — константа из плотностной теоремы. Если H > N1-(2Л) exp(ln0'8 N), то неравенство
|р - N|< H (1)
разрешимо в простых числах р.
H
Д.ля числа решении J(N,H) неравенства (1) справедлива оценка J(N,H) » -—— .
В 2006 году в работе [6] В.В. Гирько и С.А. Гриценко при помощи плотностной техники доказали следующую теорему.
Теорема 2. Пусть Л — константа из плотностной теоремы. Если Н > N 1-(2Л) ехр(1п0'8 Ж), то неравенство
|р? + р2 - N| < Н(2)
разрешимо в простых числах р1 и р?.
Н
Для числа решений /(ТУ, Н) неравенства (2) справедлива оценка I{Ы, Н)
ln N
Сформулируем основные результаты настоящего сообщения.
Теорема 3. Если Н > VNехр(— In0'1 N), то неравенство
|p2 + p2 _ N| < H
разрешимо в простых числах pi и Р2.
Теорема 4. Пусть X — константа из плотностной теоремы. Если H > N(1-(2Л) ) exp(ln0'8 N), то неравенство
|p2 + р2 + Р2 _ N| < H
разрешимо в простых числах pi, p2 и p3.
Теорема 5. Пусть X — константа из плотностной теоремы. Если H > N(1-А-1)(1-(2л)-1) exp(ln0'8 N), то неравенство
|pi + Р2 _ N| < H
разрешимо в простых числах pi и Р2.
Замечание 1. В отличие от утверждений Теорем 1 и 2 утверждение Теоремы 3 не зависит от константы X из плотностной теоремы.
В доказательстве теоремы 3 содержится оценка снизу для числа решений диофантова неравенства, однако эта оценка, по-видимому, не является точной.
Замечание 2. Интересно сравнить Теоремы 1 и 3. В Теореме 3 параметр H можно выбрать меньше, чем VN, а в Теореме 1 разрешимость неравенства (1) при н = Vn не следует даже из гипотезы Римана.
По поводу доказательства Теоремы 3 см. работу [8].
Схема доказательства Теоремы 4.
1. Применим явную формулу. Положим в ней T = Ni ln3 N/H.
2. Полученное выражение суммируется по pi и p2 и, в результате, имеем сумму S4:
S4= £ Y.yN + H-pi-pl-^N-H-pi-pl -
Р1 Р2
N-2N1<p\+p2,<N-N1
f S/N-H-pl-pl / /дГ ] 2 N
£ ,_xP dx + 0 (-^T—
h\<TJy/N+H-pl-p% \ 1
где N = N1—(4Л) 1 exp(ln0'8 N).
3. Используя следующее неравенство
^ ' 'n + h - - Р2 -\/ N - H - - p2 ) > Co
Hw N1
^ 1 ^ V ^ / ln N
Ni<|P1+P2-N |<2NI
на основе неравенства треугольника получается, что
H J Ni
Si > - w4
ln N
4. Тогда достаточно получить оценку
|Ж4| < Ял/^"1п2Жехр(-0.21полЖ). Для этого представляется в следующей форме:
ry/N+H-pl-^
W4= / , I I]
W-2Wi<p2+p2<W_Wl ■> V N-H-vl-vl |7|<t
1
dx.
5. Полученный интеграл оценивается на основе плотностной теоремы Хаксли. Схема доказательства Теоремы 5.
1. Применим явную формулу. Положим в ней T = N1 ln3 N/H.
2. Полученное выражение суммируется по p и, в результате, имеем сумму S5:
rN+H-p
N-2N1<p<N—nl 4 |y|<^n-H-p
5.= E (»-Ef
V uTJ^N—H—p V T
N1 = N1—(2Л)-1 exp(ln0'8 N ).
где N1 = N ' exp(ln 3. Используя неравенство
' N\ ln2 N \ \ _ „ H Ni ln N
N-2М!<р<М-N1 на основе неравенства треугольника находим, что:
4. Тогда достаточно получить оценку
|< ЯЛ^! ехр (■1п0-8 N
Для этого W5 представляется в следующей форме:
г N+H-p
W5 = £ I | ^ x
N-2Ni<p<N-Ni N-H-p |7|<t
dx.
5. Полученный интеграл оценивается использованием плотностной теоремы Хаксли.
Литература
Huxley M.N. On the difference between consequtive primes // Invent. Math. - 1972. - 15. -P.164-170.
Гриценко С.А. Уточнение одной константы в плотностной теореме // Матем. заметки. -1994. - 55;2. - С.59-61.
Линник Ю.В. О возможности единого метода в некоторых вопросах «аддитивной» и «дистрибутивной» теории простых чисел // ДАН СССР. - 1945. - 49;1. - С.3-7. Линник Ю.В. Об одной теореме теории простых чисел // ДАН СССР. - 1945. - 47;1. -С.7-8.
Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция / М.: Физматлит, 1994.
Гирько В.В., Гриценко С.А. Об одном диофантовом неравенстве с простыми числами //
Чебышевский сборник. - 7;4. - С.26-30.
Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / М.: Наука, 1983.
Нгуен Тхи Ча. О диофантовых неравенствах с простыми числами // Научные ведомости
БелГУ: Математика. Физика. - 2012. - 17(136). - Вып.28. - C.113-118.
ON DIOPHANTE INEQUALITIES WITH PRIMES
S.A. Gritsenko, Nguyen Thi Tra
Belgorod State University, Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail:s.gritsenko@gmail.com, nguyentra.bsu@gmail.com
Abstract. It is proved that the inequality |pi + p2 — N < H| is solvable by primes pi and p2 provided H > VNexp(— In0'1 N), the inequality |p\ + p?2 + — N\ < H is solvable by primes pi, p-2
49 p. o
and ps provided H > Nth exp(ln ' N) and the inequality + p2 — N\ < H is solvable by primes Pi and p-2 provided H > Nra exp(ln0'8 N).
Keywords: primes, diofantine inequalities, density theorem.
