CC BY
18
УДК 531.381, 531.395
В.Ю.Ольшанский
О ДИНАМИКЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИЗМЕНЯЕМОЙ КОНФИГУРАЦИИ И СОСТАВА В СЛУЧАЕ КОВАЛЕВСКОЙ
Рассматривается механическая система, состоящая из
неизменяемого твердого тела (носителя) и подсистемы, конфигурация и состав которой могут изменяться со временем (движение ее элементов относительно носителя задано). Система находится в однородном поле силы тяжести. Получены условия существования интеграла типа Ковалевской. Показано, что при существовании интеграла исходная система в случае неизменяемого состава приводится к автономному виду.
Механическая система, изменяемая конфигурация, динамика.
V.Yu. Olshansky MECHANICAL SYSTEM’S DYNAMICS OF VARIED CONFIGURATION AND COMPOSITION IN THE KOVALEVSKAYA CASE
A mechanical system, consisting of a non-variable rigid body (a carrier) and a subsystem, the configuration and composition of which may vary with time (the motion of its elements with respect to the carrier is specified), is considered. The system is situated in a uniform gravitational field. The condition for Kovalevskaya- type integral is obtained. It is shown that, for the integral to exist, the initial system in the unchangeable composition case reduced to autonomous form.
Mechanical system, varied configuration, dynamics.
1. Рассматривается механическая система S, состоящая из неизменяемого твердого тела S1 (носителя) и подсистемы S2, которая может включать в себя компоненты изменяющейся конфигурации и состава. Движение элементов подсистемы S2 относительно носителя S1 задано. Система S движется вокруг неподвижной точки носителя S1 в однородном поле силы тяжести. Известны [1] уравнения вращательного движения носителя системы переменного состава. Для описания движения используем другую, предложенную автором [2-4], форму этих уравнений
y* = у х x + Лх + L + у х a , у * = у х x . (1.1)
Здесь х - абсолютная угловая скорость главной системы отсчета (СО) механической системы в точке O; у = Jx + K, J — оператор инерции системы S в точке O;
Y - орт вертикали, ( )* - производная по времени в главной СО; a = Mgrc, M - масса системы; rc - радиус-вектор центра масс, симметрический оператор Л и кинетический момент K в движении относительно главной СО заданы равенствами
Лг = J*z - £ mn [rn* х (z х rn) + rn х (z х rn*)], K = £ mn rn х rn*.
Векторы K, L, a и операторы J, Л являются заданными функциями времени.
Получим условия существования алгебраического интеграла четвертой степени
вида
Хі2 + Х22 = со^ , (1.2)
где X; - квадратичные многочлены от у, у. При связи (1.2) производные функций X; в силу системы (1.1) удовлетворяют равенствам
ХГ = 2X2 Х2* = - 2X1 . (1.3)
При движении твердого тела в случае Ковалевской А = В = 2С имеем X1 = А(х12 - х22) - 2ау1 , X2 = 2Ах1х2 - 2ау2, Ъ = х3 .
Если в интеграле (1.2) X1 = X2 или одно из X; равно нулю, то интеграл является следствием полученного ранее [3] квадратичного интеграла.
Запишем многочлены X;, Ъ в виде
X; = (у, Б; у) +( у , Р; у ) + (0; у, у) + (П; , у) + (Ш; , у) + И; ;
(1.4)
ъ = (а, у) + (ь, у) + Из .
Здесь коэффициенты многочленов X;, Ъ - искомые функции времени.
2. Равенства (1.3) при учете системы (1.1) дают тождества
(у X X + Лх + Ь + у X а)(2Б; у + 0;Т у + Ш;) + < у , X , 2Р; у + 0; у + П; > + (у, Б;* у) +
+ (X р;*У) + (О;* У, У)+ (п;*, У) + (ш;*, у) + И;* = ( -1)і [(^ у) + (ь, у ) + Ь] [(y, р у) +
+ (X рі У ) + (0і У, У) + (пі , У) + (ші , у) + Ы ; = 1, 2, і = 3 - ; . (21)
Сравнивая коэффициенты при степенях х; уі^ найдем вид неизвестных функций Б;,
Р;, 0;, п;, ш;, И;, а, Ь и получим дополнительные условия, связывающие управляющие функции І, Л, К, Ь, а.
Приведем результаты для случая, когда имеется динамическая симметрия и главные моменты инерции связаны условием А1 = А2 Ф А3.
Будем считать, что а = ёе3. Анализ показывает, что если вектор а не коллинеарен оси симметрии, то интеграл (2.1) является следствием квадратичного интеграла.
Выделяя в тождествах (2.1) слагаемые с х3, получим, что
ё = 2а, а = (А1 - А3МА1А3) (2.2)
и операторы Б; должны иметь вид
Б1 = ^1 + п02 , Б2 = -п01 + . (2.3)
Здесь ^, П - некоторые параметры. Операторы Ок заданы в главном базисе
матрицами (Бук), в которых отличны от нуля только следующие элементы: §111 = -§221 = 1, 22 ё12 = ё21 = 1
Выделяя в тождествах (2.1) слагаемые с х2у и с ху2 (при учете у2 = 1), получим
01 = 02 = 0, Ь = 0, Р1 = Р 2 = 0 . (2.4)
Тождества (2.1) записываются в виде (у X X + Лх + Ь + у X а)(2Б; у + Ш;) + < у , X , П; > + (у, Б;* у) + (п;*, у) + (ш;*, у) + И;* =
= ( -1) (ёУ3 + И3) [(y, р у) +(пі , у) + (ші , у) + hj], ; = 1 2, і = 3 - ; . (2.5)
Выделяя здесь слагаемые с уу, получим тождества вида (у, 8;) = 0, ; = 1, 2, которые эквивалентны следующим тождествам
2а х Б; Іх + х х п; = ( -1)і ёА3х3 п .
Выделяя члены с хк, получим условия
2А1 £ + е; х п1 = 0, 2А1 g; + е; х п2 = 0, е3 х п; = ( -1) ^5, ; = 1, 2, і = 3 - ; . (2.6)
Здесь Г; = ахБ1е;, g; = ахБ2е;, 5 = А3ё. Из условий (2.6) следует, что 1";, ^ коллинеарны е3, а векторы п1, п2 ортогональны е3. Обозначим 1; = Г е3, g; = б; е3, п; = п1; е1 + п2; е2. Система условий (2.6) принимает вид
2А1 Г = (-1); П]1 , 2А1 & = (-1); Пі2 , п;; = 5 п/ , П = -5 ц; , ; = 1,2 , і = 3 - ; . (2.7)
Последние четыре уравнения образуют подсистему для nj определитель которой равен (1-52)2. Если 52^1, то из (2.7) следует ni = fi = gi = 0, и тогда aхFi ej = 0, i, j = 1,2. Учитывая представление (2.3), получим условия
£a1 + na2 ,= 0, -na1 + ^2 = 0, которые выполнены либо при ^2 + п2 = 0, тогда F1 = F2 = 0, либо при a1 = a2 = 0, тогда a = 0, но это случай Эйлера, который здесь не рассматривается.
Таким образом, 52 = 1. Анализ случая 5 = -1 показывает, что он возможен также или при a = 0 или при £, = п = 0. Остается случай A3d = 5 = 1 и из равенства (2.2) получаем условия Ковалевской A1 = A2 = 2A3.
Из условий (2.7) также получаем, что вектор a ортогонален e3, и центр масс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции; если выбрать направление е1 так, чтобы а = ае1, а > 0, то
П1 = -2A1a(£e1 + пе2) , П2 = 2A1a(ne1 - ^2) . (2.8)
Из тождества (2.5) получаем теперь следующие однородные тождества <Jx, х , 2Fi K + mi> + 2<K, х, FiJx> + 2(Лх, FiJx) + (Jx, Fi*Jx) =
= (-1)j (Jx, 2Fj K + mj)x3 + FjJx (dK3 + h3) ; (2.9)
<Y, a, 2Fi K + mi> + (ni*, y) = (-1) (dK3 + h3)(nj, y) ; (210)
(K*x + Лх, 2Fi K + mi) + (Jx, 2Fi* K + mi* + 2 FiL) =
= (-1) [(K, Fj K) + (inj, K) + hj] X3 + (-1) (Jx, 2Fj K + mj) (dK3 + h3) ; (2.11)
(L, 2Fi K+mi) + (K, Fi* K+mO+ hi* = (-1) [(K, Fj K+mj) + hj] (dK3+h3) . (2.12)
Тождества (2.10) эквивалентны условиям
a х (2Fi K + mi) + ni* = (dK3 + h3) (-1)jnj . (2.13)
Так как а = ае1, то в проекции на е1 из (2.13) получим
(n1(1))* = (dK3 + h3) n2(1) , (n2(1))* = -(dK3 + h3) n1(1) . (2.14)
Отсюда следует, что (n1(1))2+(n2(1))2=const и, учитывая (2.8), получим A1a(^2+n2)=const. При этом |n1|= |n2|= const. Положим
£, = р cos ф , п = Р sin ф , р = c0 (A1 a)-1 , c0 = const . (215)
Оба условия (2.14) эквивалентны условию
ф* = dK3 + h3 . (2.16)
Из (2.3) получаем следующие выражения для ненулевых элементов матриц операторов Fi
fn1 = -f221 = Р cos ф , f121 = f211 = Р sin ф , fn2 = -f^2 = -р cos ф , f122 = £2^ = Р cos ф . (2.17) Тождества (2.9) приводятся к виду
<Jx, х, 2Fi K + mi > + (FiJx, (lnp)*Jx+ 2Лх + 2^x) = (-1)j (Jx, 2Fj K + mj)x3 .
Для выполнения последних тождеств необходимо и достаточно условий:
^11 = ^22 = -A1(lnp) /2 , Х12 = 0 , K1 = Х23 , K2 = -^13 , K3 = 0 , 2Fi K + mi = 0 , i = 1, 2 . Тождества (2.11) выполняются только при условиях
L1 = K1* , L2 = K2* , hi = -(K, mi)/2 , i = 1, 2 .
Условие (2.12) при этом также выполняется.
Функции X1, X2, Z (1.4) принимают вид
Z = X3 + K3/A3 + ф* ;
X1 = р A1{[A1(x12 - X22) - 2ay1] cos ф + 2(A1 X1 X2 - a 72) sin ф} ,
X2 = р A1{2(A1 X1 X2 - a 72) cos ф - [A^2 -X22) - 2ay1] sin ф} .
Интеграл (1.2) записывается в виде
(A1/a)2 (X12 + X22)2 - 4(A1/a)[ Y1 (X12 -X22) + 2X1X2Y2] + 4(y12+ Y22) = const . (2.18)
Для его существования необходимо и достаточно выполнения условий
A1 = A2 = 2A3 , а = ае1 , L1 = K1 , L2 = K2 , K3 = 0 ,
(2.19)
^11 = ^22 = (A1a) /(2a) , Х12 = 0 , Х23 = K1 , Х13 = -K2 .
3. Рассмотрим частный случай - движение конфигурационно изменяемой системы постоянного состава, при этом Л=0, L=0. Условия (2.19) существования интеграла примут вид
A1 = A2 = 2A3 , (а, е3) = 0 , K = 0 , A1a = c = const . (3.1)
Если выбрать е1 так, чтобы , a || e1 , то динамические уравнения запишутся в виде 2(A1X1)* = A1X2 X3 , 2(A1X2)* = -A1X1 X3 + 2Y3a , (A1X3)* = -2Y2a .
При переходе к новым переменным
zi = A1Xi , % = 2cYi , dx = A1-1 dt (3.2)
получаем автономную систему, где ( )' = d( )/dx
2Z1' = Z2 Z3 , 2Z2' = -Z1 Z3 + %3 , Z3' = -%2 , %i' = %j Zk - %k Zj , (i, j, k) . (3.3)
Система совпадает с уравнениями Эйлера - Пуассона движения твердого тела в случае Ковалевской и интегрируема в квадратурах.
Приведем пример реализации условий (3.1) существования интеграла. Пусть изменяемая система состоит из шести материальных точек с равными массами m , расположенных на трех невесомых попарно ортогональных стержнях. Свяжем со стержнями систему координат OXyZ; положения точек Mi таковы, что M1(l1, 0, 0), M2(-l2,
0, 0), M4,3(0, ±l3,0), M6,5(0, 0, ±l4), li > 0. Движение точек по стержням осуществляется по некоторой программе, так что функции li(t) заданы. Точку пересечения стержней считаем неподвижной.
Условия K = 0, Л = 0 выполнены. Координатные оси являются главными и Xc = (l1-l2)/6 , yc = Zc = 0 , A1 = 2m(l32+l42) , A2 = m(l12+l22+2l42) , A3 = m(l12 + l22+ 2l32) .
Для выполнения условий A1 = A2 = 2A3 необходимо, чтобы
l4 = V3, l3 = V(/,2 + l22)/2 . (3.4)
Условие A1a = const принимает вид
(l1 - l2) (l12+l22) = о = const . (3.5)
В данном примере одну из функций li(t) можно назначить произвольно. Возможно следующее параметрическое описание решения системы (3.4), (3.5)
/1 = о cos 0/у , /2 = о sin 0/у , /3 = о/(л/2у) , /4 = л/э /3 , у = (cos(0 + п/4))1/3 .
Здесь 0(t) - произвольная функция со значениями из интервала (-3п/4, п/4).
ЛИТЕРАТУРА
1. Гантмахер Ф.Р. Об уравнениях движения ракеты / Ф.Р. Гантмахер, Л.М. Левин // Прикладная математика и механика. 1947. Т. 11. Вып. 3. С. 301-312.
2. Ольшанский В.Ю. Свободное движение сложной механической системы с квадратичными интегралами / В.Ю. Ольшанский // Космические исследования. 1996.
Т. 34. № 2. С. 145-149.
3. Ольшанский В.Ю. Линейный и квадратичный интегралы сложной механической системы / В.Ю. Ольшанский // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. Вып. 1. С. 3746.
4. Ольшанский В. Ю. О приводимости уравнений свободного движения сложной механической системы / В.Ю. Ольшанский // Прикладная математика и механика. 1998.
Т. 62. Вып. 5. С. 768-777.
Ольшанский Владимир Юрьевич - Olshansky Vladimir Yuryevich -
доктор физико-математических наук, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics,
профессор, главный научный сотрудник Professor, Senior Scientific Officer
Института проблем точной механики of the Institute of Accurate Mechanics Problems
и управления РАН, заведующий кафедрой «Высшая математика и механика» Энгельсского технологического института (филиала)
Саратовского государственного технического университета, профессор кафедры «Вычислительный
and Management RAS,
Head of the Department of «Higher mathematics and mechanics» of Engels Technological Institute (branch) of Saratov State Technical University, Professor of the Department of «Computer experiment in mechanics» of Saratov State University in the name of N.G. Chernyshesky
эксперимент в механике»
Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского
Статья поступила в редакцию 15.07.08, принята к опубликованию 05.09.08
