CC BY
19
механики конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами»: март 2000, Саратов. 2000. С. 82-89.
12. Коптарев А,А., Маркушин А.Г., Садовничая Е.В. Метод дополнительных деформаций в решении задачи истечения сыпучего тела // Материалы межвузовской научной конференции «Современные проблемы нелинейной механики конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами»: март 2000, Саратов. 2000. С. 89-102.
13. Маркушин А.Г. К разработке динамической теории сыпучего тела с твердым зерном // Аэродинамика. Вып. 15 (18). Саратов: Изд. Сарат. ун-та. 2001. С. 96.
14. Маркушин А.Г. Квазистатический подход в решении задачи истечения сыпучего тела с твердым зерном // Межвуз, научи, сб. «Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред». Саратов: Изд. СГТУ, 2004. С. 136
УДК 531.381 531.395
В.Ю. Ольшанский, Д.С. Степаненко
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КВАДРАТИЧНОГО ИНТЕГРАЛА И ПРИВОДИМОСТЬ ИЗМЕНЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С ДИНАМИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Рассматривается движение механической системы постоянного состава и изменяемой конфигурации в центральном поле. Если размеры системы значительно меньше расстояния до центра поля, то для описания движения можно использовать систему [1]
У' = У х х + рдз х 3дз, д* = дг х (х - П), г = 1, 2,3. (1)
Здесь J(Ь) — оператор инерции системы в ее центре масс, ()• — производная по времени в главной системе отсчета, у = 3х + К, х — угловая скорость главной системы отсчета, К(Ь) — кинетический момент движения относительно главной системы отсчета, д^ д2, д3, П — орты и угловая скорость орбитальной системы отсчета, П = к2д2 + к3д3, р = р(г).
При изучении движения системы изменяемой конфигурации и состава без динамической симметрии в центральном поле получены [1] необходимые и достаточные условия существования квадратичного интеграла. Показано, в частности, что для существования интеграла необходимо, чтобы траектория центра масс находилась на поверхности некоторого фиксированного в инерциальном пространстве кругового конуса с вершиной в центре силового поля.
Для случая динамической симметрии Л\ = А2 = А3 (А — собственные значения оператора 3) доказано следующее утверждение.
Теорема. Для существования квадратичного интеграла необходимо, чтобы траектория центра масс находилась на поверхности кругового конуса с вершиной в центре поля. В случае, когда траектория не совпадает
с образующей конуса и кинетический момент K не колинеарен оси динамической симметрии, может существовать только один квадратичный интеграл при выполнении необходимых и достаточных условий:
1) кз = cik2, 2) k2 = constp1/2, 3) J = (po/p)1/2Jo,
4) K1 = Kcos0, K2 = Ksin0, K = const,
5) 0* = A-1K + const/p1/2.
Здесь Jo — постоянный в главной системе отсчета оператор, Ki — компонен-K
можпо записать в одной из форм: p-1/2[(Jx,x) - 2(Jx + K, fi) + p(g3, Jg3) + 20*АзХз + A(0*)2] = const; (2)
p-1/2[A1(x2 + x2) + Аз(хз + 0*)2 - 2(Jx + K, fi) + р(рз, Jgз)] = const. (3)
Доказательство. Произвольный квадратичный интеграл ОДС можно записать в виде
з
(y,Fy) + £[(gi , Pigi) + (Qiy, gi) + (пг, gi))] + (m, y) + h(t) + S(Rigj, gk) = const.
i=1
(4)
Дифференцируя интеграл (4) в силу системы (1) получим тождество, приведенное в [1]. Как и прежде (см. [1]), проверяем утверждение: операторы Р1? Р2, Ri (i = 1,2,3) пропорциональны тождественному оператору F, Qi = viE v1 = 0. Интеграл (4) записывается в виде
(y, Fy) + (gз, Pзgз) + (y, V2g2 + Одз) + E(ni, gi) + (m, y) + h = const (5) Основное тождество принимает вид
(2Fy+m,yхж+^зх Jgз)+pv2(gb Jgз) + (2Pзgз+пз,gз, x)+k2(2Pзgз+n,g1)+ + (П2,g2,x) -fo^gO - (n1,g1,x) -&2(п1^з)+ кз(n1, g2) + (Ы2-Ыз)(у, g1) +
(y, F*y) + (gз, РЫ + (y, v2*g2 + Vj^ + £(пЛ g^ + y) + h* = 0. (6)
Выделяя в тождестве слагаемые с жз, получим, что oneратор F должен иметь вид F = J-1 + F; выделяя слагаемые с одз2, получим, что оператор Рз можно представить в виде Рз = J - ^2А1А2АзJ-1). Анализ членов с g^ приводит к необходимости постоянства оператора Рз в базисе Ез и представлению параметра m в виде m = -2FK + Лез. Слагаемые в тождестве
(6), содержащие gig35 обращаются в ноль только при выполнении условий v2 = — 2k2015 k202 = 0. Требуя обращения в ноль свободного члена в тождестве (6), покажем, что справедливо следующее представление
t
(у, + (m,y) + Л(4) = (Jx, FJx) + ЛА3Х3 + / A^i di + const (7)
0
Анализ слагаемых с g^x приводит к необходимости условий
n1 = 0, k3v2 = k2v3, n2 = 0, n3 = 0, v2 = 0, v' = 0.
Случай k2 = 0 соответствует движению центра масс по прямой, проходящей через центр поля, исключая здесь этот случай, при k2 = 0 получим
V = —2ki^1, = const, i = 2,3, k3 = c1k2.
Отсюда следует (см. [1]), что Q = k2a, (a)0 = 0 и траектория центра масс должна находиться на круговом конусе. Тождество (6) при учете полученных условий записывается в виде
(у, (-01J—1)'у) + A(K, x, 63) + ((—201J—1K + A63)', у) + h' = 0. (8) Выделив слагаемые с x2, получим условия
= c2p—11/2, J = (p0/p)1/2J0, k2 = constp1/2.
Приравнивая нулю слагаемые с x, получим условия A'A3 = 201K', AK2 + 20^' = 0 AK1 — 201K2 = 0. Отсюда следует, что (K1)2 + (K2)2 = (K)2 = const и можно положить K1 = K3cos$, K2 = K3sm$. При K = 0 получаем условие 5 теоремы. Свободный член в тождестве (8) обращается в ноль. Пусть K = 0, тогда
t t J AK' = J AAe/(201)A3 d^ = 00
t
= 4$/(401)/ (A')2 d^ = A3 A2/(401) + C = A301(0e )2 + C. (10) 0
Интеграл (5) при учете представления (7) теперь можно представить в одной из форм (2) или (3). Теорема доказана.
Отметим, что переходя к переменным dr = p1/2di, x = p1/2z, систему (1) можно привести к виду
dy/dr = у х z + (p0)1/2g3 х J0g3, dg*/dr = дг x (x — Qa),
^а = C3(g2 + Cig3),i =1, 2, 3 (9)
Здесь y = Jx + K = (p0)1/2 J0z + K, и при K = const система (9) становится автономной [2-4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ольшанский В.Ю. Квадратичные интегралы и приводимость уравнений движения сложной механической системы в центральном поле / / Прикладная математика и механика. T.65, вып. 1. 2001. С. 36-50.
2. F.de Brun. Rotation kring en fix punkt. Ofversigt of Kongl Svenska Vetenskaps — Akademiens Vorhandlingar, Stookholm, 1893.
3. Koob G. Sur le problème de la rotation d un corps autour d un point fixe. Bulletin de la Société Mathématique. 1895. V. 23.
4. Харламова Е.И. О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в центральном ньютоновском поле сил. Изв. Сибир, отд. АН СССР, 1959, .V"(i.
УДК 629
И.А. Панкратов, Ю. Н. Челноков
К ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ В СМЫСЛЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
В [1] было показано, что в случае переориентации круговой орбиты космического аппарата (КА) исходная дифференциальная краевая задача оптимального управления, имеющая размерность, равную 10, может быть сведена ( в случае быстродействия ) к краевой задаче размерности 3, описываемой дифференциальными уравнениями линии переключения
= ^2, — = -VI + К^з, — = (1)
d^ d^ d^
2
где к = u, r = por = const.
В уравнениях (1) r — модуль радиуса-вектора r центра масс КА, c — постоянная площадей, ^ — истинная аномалия, por — параметр орбиты, управление u — алгебраическая величина реактивного ускорения, перпендикулярного плоскости орбиты КА (—umax < u < umax); vj — переменные, связанные с фазовой кватернионнной переменной Л и сопряжённой кватер-нионной переменной до соотношением v = vect^ о до).
Так как переменные Vk , k = 1, 2,3 есть функции сопряжённых переменных, то их начальные значения Vk0 неизвестны. Для их нахождения было проанализировано аналитическое решение системы (1) на различных участках управляемого движения. Был найден период T функции переключения управления:
T = 2[п ± 2 arcsin(-D/a)]/k,
