О дифференцируемости по Фреше функционала качества в задачах оптимального управления коэффициентами эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 84-101.

УДК 519.626

О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ПО ФРЕШЕ ФУНКЦИОНАЛА КАЧЕСТВА В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А.Р. МАНАПОВА*, Ф.В. ЛУБЫШЕВ

Аннотация. В работе рассматриваются нелинейные задачи оптимального управления коэффициентами полулинейных уравнений эллиптического типа с разрывными данными и решениями (состояниями), с управлениями в граничных условиях сопряжения разнородных сред и правых частях уравнений состояния. Доказаны дифферен-цируемость и Липшиц-непрерывность сеточного аналога функционала качества экстремальных задач.

Ключевые слова: задача оптимального управления, полулинейные эллиптические уравнения, функционал качества, дифференцируемость, Липшиц-непрерывность.

Mathematics Subject Classification: 49J20, 35J61, 65N06

1. Введение

В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями эллиптического типа в неоднородных анизотропных средах с разрывными коэффициентами и решениями (состояниями), и граничными условиями сопряжения типа неидеального контакта. Задачи для уравнений математической физики (УМФ) с условиями неидеального контакта часто возникают при моделировании различных процессов в механике сплошных сред, теории упругости, теплопередачи, диффузии. Разрыв коэффициентов и решения имеет место в случае, когда область является неоднородной и состоит из нескольких частей с разными свойствами, либо область содержит тонкие прослойки S с физическими характеристиками, резко отличающимися от основной среды (см. [1]-[3]). Считая такие прослойки S очень тонкими и слабо проницаемыми, их влияние на исследуемый физический процесс, то есть условия контакта можно описать соотношениями (см., например, [1], стр. 167):

р(х)={щ) = (= ±G

( ди \± I 2 ди \

(Д) = (£ (*) ^ -s^j ,

где [и] = и+ (х) — и-(х) — скачок функции и(х) на S; р(х) — заранее неизвестный поток вещества (теплоты) через элементарную площадку; в(х) > в0 > 0 — заданная функция, S = П П П+ — внутренняя граница раздела сред, П- П П+ = 0, П- и П+ — некоторые области, так что П = П- U П+ U S — ограниченная область.

A.R. MANAPOVA, F.V. LUBYSHEV, ON FRECHET DIFFERENTIABILITY OF COST FUNCTIONAL IN OPTIMAL CONTROL OF COEFFICIENTS OF ELLIPTIC EQUATIONS.

© МАНАПОВА А.Р., ЛУБЫШЕВ Ф.В. 2016.

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук (МК-4147.2015.1).

Поступила 16 мая 2015 г.

Математические оптимизации процессов в подавляющем большинстве не поддаются аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и их реализации на ЭВМ. Численное решение задач оптимального управления (ЧРЗОУ) с использованием ЭВМ в широком смысле связано с решением следующих вопросов:

1. Постановка задач оптимизации, обеспечивающая существование решения на множестве допустимых управлений, являющемся подмножеством некоторого бесконечномерного векторного пространства;

2. Сведение задач оптимального управления к последовательности конечномерных задач, обеспечивающее сходимость в некотором смысле решений конечномерных задач к решениям исходных задач оптимального управления;

3. Численное решение конечномерных задач.

Задачи для УМФ с разрывными коэффициентами и решением не так широко исследованы (см. обзор работ в [4]). Значимые результаты для задач оптимального управления, описываемых нелинейными УМФ с разрывными коэффициентами и решениями получены в работах [4]-[6], где разработаны новые методы исследования задач оптимального управления, описываемых нелинейными УМФ с разрывными коэффициентами и решениями, основанные на построении и исследовании разностных аппроксимаций экстремальных задач, установлении оценок точности аппроксимаций по состоянию и функционалу, и регуляризации аппроксимаций.

Данная работа является естественным продолжением [4]-[6]. В ней исследуются нелинейные задачи оптимального управления, описываемые полулинейными эллиптическими уравнениями с разрывными коэффициентами и решениями (состояниями) с граничными условиями сопряжения типа неидеального контакта. В качестве управления выступают коэффициенты в граничном условии сопряжения разнородных сред и правой части уравнения состояния. Работа направлена на решение следующего третьего этапа ЧРЗОУ, а именно, на разработку эффективных численных методов решения построенных конечномерных сеточных задач оптимального управления. Заметим, что данные вопросы ранее не рассматривались. Для численной реализации конечномерных задач оптимального управления доказываются дифференцируемость и Липшиц-непрерывность сеточного функционала аппроксимирующих сеточных задач. Получены эффективные процедуры расчета градиентов минимизируемых сеточных функционалов, использующих решения прямых задач и соответствующих вспомогательных сопряженных задач.

В теплофизических терминах поставленные задачи можно трактовать как задачи оптимального управления коэффициентом граничного условия сопряжения разнородных теп-лопроводящих сред в(х) и коэффициентами /1 (ж) и /2(ж), характеризующими наличие в средах П и П2, соответственно, внутренних источников энергии, за счет которых внутри сред может возникать или поглощаться тепло. При этом коэффициент граничного условия сопряжения характеризует термическое сопротивление неидеального контакта разнородных сред [1], [3].

2. Постановка задач

Пусть П = {г = (п,Г2) е К2 : 0 ^ га ^ 1а,а = 1,2} - прямоугольник в К2 с границей дП = Г. Пусть область П разделена «внутренней контактной границей» 5 = {г1 = 0 ^ г2 ^ /2}, где 0 < £ < /1, на подобласти П1 = П- = {0 < п < С, 0 < Г2 < /2} и П2 = П+ = < п <11, 0 < Г2 < /2} с границами дП1 = дП- и дП2 = 5П+. Так что область П = П1 и П2 и Б, а дП - внешняя граница области П. Через Г будем обозначать границы областей П без Б, к = 1, 2. Так что дПк = Г& и в, где части Г&, к =1, 2 - открытые непустые подмножества в дП, к = 1, 2; Г1 и Г2 = дП = Г. Через па, а = 1, 2 будем обозначать внешнюю нормаль к границе дПа

области Па, а = 1, 2. Пусть, далее, п = п(х) - единичная нормаль к в в какой-либо ее точке х Е в, ориентированная, например, таким образом, что нормаль п является внешней нормалью к в по отношению к области П^ то есть нормаль п направлена внутрь области П2. Ниже, при постановке краевых задач для состояний процессов управления, в - это прямая, вдоль которой разрывны коэффициенты и решения краевых задач, которые в областях П и П2 обладают некоторой гладкостью.

Рассмотрим следующую задачу Дирихле для полулинейного эллиптического уравнения с разрывными коэффициентами и решениями: Требуется найти функцию и(х), определенную на П вида и(х) = и1(х), х Е и(х) = и2(х), х Е П2, где компоненты , к = 1, 2, удовлетворяют условиям:

1) функции ик(х), к = 1, 2, определенные на = П и дП, к = 1, 2, удовлетворяют в , к = 1, 2, уравнениям

дх,

^ J^r (к»(х)^ ) + d(x)q(u) = f (х), х Е и ^2,

«=1 а ^

'1a)

а на границах дПк \ Б = Г& условиям

и(х) = 0, х Е дП = Г! и Г2; (1Ь)

2) Искомые функции ик (х), к = 1, 2, удовлетворяют еще дополнительным условиям на границе разрыва в коэффициентов и решения, позволяющим «сшить» решения и\(х) и и2(х) вдоль контактной границы в областей П и П2 следующего вида:

к1\х)^^ = к1\х)-7—2 = в(х2) (и2(х) — и1(х))

где и(х)

!

дх1

и1(х), х Е П1; и2(х), х Е П2,

дхл

X Е S,

:ie)

q(0

ЯШ 6 Е q2(Ь), Ь Е

ka(x),d(x),f (х) =

{

I ka\x),d,1 (x),f1(x), X Е П1;

ka2(x),d,2 (x),f2(x), х Е ^2, а = 1, 2.

Здесь [и] = и2(х) — и1 (х) - скачок функции и(х) на 5; ка(х), а = 1, 2, ¿(х) - известные функции, определяемые по-разному в П1 и П2, претерпевающие разрыв первого рода на Б; ), а = 1, 2, - заданные функции, определенные для £а Е К, а = 1, 2; д(х) = (/]_(х), /2(х), 0(х)) - управление. Относительно заданных функций будем предполагать: ка(х) Е ^ (П1) х ^ (П2), а = 1, 2, й(х) Е ¿соП) х Ь^(П2); 0 < и ^ ка(х) ^ V, а = 1,2, 0 ^ ^ ¿(х) ^ с0, х Е П1 и П2; - заданные константы; функ-

ции да(^а), определенные на К со значениями в К, удовлетворяют условиям: да(0) = 0,

0 < qo < (qa(U — qa(^a))/— О ^ Lg < ^ Для всех ^ С« Е R С« = £

а

1, 2,

Lq = Const.

Введем множество допустимых управлений

3

и = П иа С Н = L2W X Ь2(П2) X L2(S),

«=1

ип

{да(х) = fa(x) Е L2(Па) : да ^ fa(х) ^ да п.в. на П«},

а

1, 2; U3 = {д3(х) = в(х) Е L2(S) : 0 < д3 ^ в(х) ^ п.в. на S},

где да, да, а = 1, 3 - заданные числа.

Зададим функционал цели 3 : и ^ К1 в виде

9 ^ J(9)

и(п,Г2; д) — u01)(r) dQ1 = I(и(г; д))

Пх

где € ^^(П^ - заданная функция.

Задача оптимального управления состоит в том, чтобы найти такое управление д* € и, которое минимизирует на множестве и С Н функционал д ^ 3(д), точнее, на решениях и(г) = и(г; д) задачи (1), отвечающих всем допустимым управлениям д = (/1,/2,0^ € и, требуется минимизировать функционал (3).

В дальнейшем нам понадобятся некоторые пространства, которые введены в работе [6]. Приведем их для полноты изложения. В частности, рассмотрим пространство V (П(1>2)), П(1'2) = П и П пар функций и = (щ,и2): V(П(1'2)) = {и = (и1,щ) € ^(П^ х ^(П)}, где Ж2(Пк), к = 1, 2 - Соболевские пространства функций, заданных в подобластях Пк, с границами дПк, к =1, 2 соответственно и нормами [7]-[9]:

2

г 2 . / ПИ,„ \

<тк, к = 1, 2.

¿Д дха)

+ и1

Снабженное скалярным произведением и нормой (и,'д)у = ^2(ик(п),

к=1

\\и\\у = ^^ НадкНт^ (П), ^ = ^(П(1'2)) является гильбертовым пространством.

к=1

В гильбертовом пространстве V (П(1>2)) можно ввести эквивалентную норму

N12 = Е (£)2 ^к + / «к ^ + /М2

к—10 «=1 ^ ' к=1тл с

где [и] = и2(х) — щ(х) = и+(х) — и-(х) - скачок функции и(ж) на 5. Здесь и2(х) = и+(х), х € 5 и и1 (х) = и-(х), х € 5 - следы функции и(х) на 5 со стороны П2 = П+ и П1 = П-соответственно. Отметим, что из условия и(х) € V(П(1'2)) следует, что [и(ж)] € Ь2(Б), так как в данном случае теорема о следах [7]-[9] справедлива для каждой из сторон в +, Б- границы контакта Б (оператор сужения из Ж2(П±) в Ь2(Б) непрерывен). Применение теоремы о следах к П1 и П2 позволяет определить для любой функции и(х) € V(П(1'2)) два следа с помощью операторов сужения на Б±, то есть с разных сторон (со стороны П1 и со стороны П2), которые в общем случае различны.

Пусть Г к - часть дПк. Через ^Пк; Гк^ обозначим замкнутое подпространство пространства ^(Пк), плотным множеством в котором является множество всех функций из

__о о

С 1(Пк), равных нулю вблизи ГкС дПк, к = 1, 2 - какого-либо участка Гк границы дПк, к = 1, 2.

оо

Введем в рассмотрение пространство Уг1,г2 (П(1'2)) пар функций и = (щ,и2): Vг1,г2 (П(1'2)) = {и = (щ,и2) € ^(ПьТО х (П 2;^)} с нормой (см. [4]):

к—1 ^ л—1 —

П*

Под решением прямой задачи (1) при фиксированном управлении д = ( /1, /2,$) Е и

о

понимается функция и(д) ЕУгьг2 (П(1,2)), удовлетворяющая тождеству

г 2

Q(M) = У ¿^ (ж) +

гЮ0+

П иП2 (4)

+ J = J /(ж)^Шо = /($), для всех $ E"гх,г2

S ПхиП2

Замечание 1. В дальнейшем относительно гладкости решения прямой задачи сделаем следующее предположение (аналогичное предположению, сделанному в [5], с. 1384 при исследовании разностных схем для задачи с такими же условиями сопряжения), а именно: решение краевой задачи (1) принадлежит W22(^1) х W|(Q2), точнее, принадлежит про-

О о

странству "Гх,Г2 (П(1,2)) =Т°Г1,Г2 (П(1,2)) П {и = (иьи2) E W22(Q1) х W22(П2)}, и при каждом фиксированном управлении д E U справедлива оценка 22

Е IK (ж, £)||wf(nfc) ^ М ^ IIД (ж)|Ь2(пк), E U, где М = Const > 0. fc=1 fc=1

Замечание 2. Здесь и далее, через М, М, М0, С, С0, С0, , fc = 1, 3 обозначены различные положительные постоянные, независящие от решения и(г; <7) и управления д E U (сеточного решения Ф^), сеточного управления Ф^ E Ц,).

3. РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ

Для численного решения задач оптимального управления рассмотрим вопрос об аппроксимации бесконечномерных задач оптимизации (1)-(3) последовательностью конечномерных задач оптимального управления. Ниже построим аппроксимации задач на основе метода сеток (см. [1]). Для аппроксимации задачи (1)-(3) нам понадобятся некоторые сетки на [0,1а], а = 1, 2, и в П. Отметим, что всегда можно построить сетку на [0,/1 ] так, чтобы точка х1 = £ была ее узлом. При решении практических задач целесообразно выбирать в областях П1 и П2 равномерные шаги и соответственно, и исходя из положения точки х1 = £ число узлов находить из предположения ^ Л,^. Положим х^х) — х^1-1) = Л1, ч = 1,^1 и 42) — 4*2-1) = Л2, г2 = 1,Ж2. Значение х1 в точке х1 = £ обозначим через х^, а соответствующий номер узла обозначим через , 1 < ^ < — 1. Введем сетки узлов: = {х^ = чЫ Е [0,£] : Ч = 0,^, ^Ы = С}, = {х11) = ¿1Л1 Е [£, /1] : «1 = Ыч,ЛТЬ ЫчЫ = /1}, ^11) = \ {х1 = 0,Х1 = £}, Ш(2) = \ {Х1 = С,Х1 = /1}; Ш = {х22) = ¿2^2 Е [0, /2] : «2 = 0,^2,^2^2 = /2}, ш2 = ш2 \ {х2 = 0,х2 = /2} ; ш = и ш^; ш1 = ш(1) и ш(2); ш(1) = х ш2; ш(2) = ш^2 х ш2; ш(1) = х ш2; ш(2) = ^12) х и2; ш = ш(1,2) = ш(1) и ш(2) = (ш^ и ш^) х ш2 = = {х?1) = ¿1^1, Ч = 67Ж, ^Ы = С, (Ж1 — = /1 — С, 1 < ^ < Ж1 — 1} х Ш2,

ш = ш(1,2) = ш(1) х ш(2); ш51)+ = ш11) П (0, £], = П [0, £), ш^2)- = й<2) П [£,/1),

Ш(1)(+1) = х Ш2; 75 = {х1 = £, х2 = Л2, 2Л2, ..., (Ж2 — 1)^2> = {х1 = С, х2,г2) = ¿2^2, г2 = 1,^2 — 1}; 7(Й) = \ 75; ш(1)+ х ш2 = ш(1) и = ш(1) \ 7(1); = \ -множество граничных узлов сетки ш(;г), к = 1, 2.

Приведем некоторые скалярные произведения, нормы и полунормы сеточных функций, заданных на различных сетках, которые будут использоваться в дальнейшем (более подробное их описание см. в работе [4]). Множество сеточных функций у1(х), заданных на

сетке w(1) = х й2 С П = П обозначим через а множество сеточных функ-

ций у2(х), заданных на сетке ш(2') = х ш2 С П2 = , обозначим через Н^^(ш(2')). Множество H(hk)(й(к)), к = 1, 2, снабженное скалярным произведением и нормой

(Ук, "к ) Ьф(к)) Ук (ж) vk (ж) \\Ук\\ь2(^)) = (Ук,Ук Уьф^у

обозначим через Ь2(ш(к)), к = 1, 2. Здесь h1 = h1(x1) - средний шаг сеток и а h2 = h2(х2) - средний шаг сетки ш2, [1]. Через W^ffi1^) и W^ffi2"1) обозначены пространства сеточных функций, заданных на сетках w(1) и й(2) соответственно, со скалярными произведениями и нормами:

(Ук )W1(^(k)) = Укх1 ^кхг h1h2 + Укх2 ^кх2 h1h2 + (Ук ) l2 (^(к)),

(к)+ — —(к) +

\\Ук\и¥1{ш(к)) = \\^Ук\\2 + \\Ук\\12{р(к)у к =1, <2, где \\Уук\\2 = ^ укх1 h1h2 + ^ у*тh1h2, к = 1, 2. Введено в рассмотрение про-

(к)+ — —(к) +

странство У{ш(1'2")) пар сеточных функций у = (у1,у2), определяемое соотношением V(ш(1'2)) = {у = (у1,у2) Е W1(ш(1)) х (ш(2))}. Снабженное скалярным произведением и нормой

22

(У, и)у (щ(1,2)) = ^2(Ук, Vк (^(к)), \\у\\у (¿¿1,2)) = ^2 \\ук ^ (ш(к)), к=1 к=1

V(й(1'2)) является гильбертовым пространством. Пусть теперь 7(к" = дш(к" \ - подмножество граничных узлов ди(к" сетки С

Пк, к = 1, 2. Через 12(й(к); 7(к)) обозначено нормированное подпространство пространства сеточных функций Ь2(ш(к"), обращающихся в нуль на 7(к\ к = 1, 2 с нормами

1

/к\\12{^(к)г/(к)) = Y^ Ук(Ф^2 + 2>Y^ yl(X)h1h2 =

хеш(к)

= yl(x)h1h2 + Уk(£,X2)h1h2, к =1, 22,

хвш(к) X

индуцированными скалярными произведениями

I-

2

(Ук,Ук) l2к);j(к)) = ^ Ук(х)Ук(x)h1h2 + 1 ^ Ук(х)Ук(x)h1h2, к = 1,2.

хеш(к)

Через к); 7(к)) обозначено подпространство пространства сеточных функций

1№2,(й)(к}), обращающихся в нуль на 7(к\ к = 1, 2. Введены пространства Н1(1)1(2) (ш(1'2)) (ш(1'2)) пар сеточных функций у = (у1,у2):

Н,(1Ъ(2) (й(1,2)) = {у = (У1,У2) е L2(ü(1); 7(1)) х L2(й(2); 7(2))} , Vw*) (й(1'2)) = {у = (У1,У2) е W1(Üj(1); ^(1)) х W21(ü(2); 1(2))} , 2

с нормами \\у\\\ = V \\ук\\12(-и](к).,У(к)у \\у\\2о = \\^Ук\\2 + Ш\\12(ls), где

н i(1)i(2) к=1 ( ) v1(1)1(2)

\ \ У к\\2L2(js ) = (Ук ,y^L2(ls), (Ук ,ик)ь2(1з) = Е h2 Ук (Х) Ук (х) , к =1, 2.

хе-ts

Через ш(1) и7^) = Ь2(ш(1) и 75) обозначено пространство сеточных функций г>1л(х), х Е ш(1) и 75, заданных на сетке ш(1) и 75, со скалярным произведением и нормой:

(г> 11, ^и)

II^^Я^Шиу*) = ^ ^я^МЧи^) .

Аналогично вводится пространство сеточных функций Д^2)(ш(2) и 75) = Ь2(ш(2) и 75) (см. [4]).

Задачам оптимального управления (1)-(3) поставим в соответствии следующие разностные аппроксимации: минимизировать сеточный функционал

Л(Фл) = £ |у(х, Фл) — = IIу(ФЛ) — ^Н^)), (5)

ж€ш(1)

при условиях, что сеточная функция у(ФЛ) = (у1(Ф^),у2(ФЛ)) Е У7(1)7(2) (ш(1,2)), называемая решением разностной краевой задачи (разностной схемы) для задачи (1), удовлетворяет для любой сеточной функции г>(ФЛ) = (г> 1(Ф^),^2(ФЛ)) Е У7(1)7(2) (ш(1,2)) сумматорному тождеству

+ 1 , х2)У 1x2 , х2)^1*2 ,х2)Л1Л2^) > +

г 2 (6)

+ < ^2X1Л1Л2 + ^53 а21)у2Х2 ^2X2 Л1Л2 +

[Ш(2)+ -2 \(2)

+ 1 Е а21) , х2)У2Х2 , х2)^2X2 , х2)Л1Л2 ] > + ^ Ф31(х2) , х2)][^(^, х2)] Л2 +

+ ] (Е^11(х)^ш(х))^(х)№ + 1 ,Х2)<21 (,х2))| +

I

+ ( Е ¿21 (х)92(ш(х))г^х)^^ + 1 Е ¿21 (£, х2)^2(Ш(С, х2))^(С, х2)Л-1Л,2 |

' .(2) Ш2 '

(Е Фи(х)гл(х)№ + 1 ^ Фц(С,х2),х2)Л1ЛИ +

+ Ф2л(х)^(х)Ы Л2 + 1 ^ Ф2л(£,х2)гъ(£,х2)Л1 М > = /л(г;), а сеточные управления Фл = (Фц, Ф2л, Ф3л) таковы, что

3

Фл(х) Е ^ = П ^ сЯл = ¿2(ш(1) и 75) х ¿2(ш(2) и 75) х ^М,

= {Ф«1 Е ¿2(ш(а) и 75) : 0 < ^ Фал(х) ^ £«, п.в. на ш(а) и 75 а =1, 2; ^3 = (Фзл(х2) Е ¿2(^2) : 0 < £3 ^ Фзл(х) ^ £3, п.в. на Ш2

где дк, ~дк, к = 1, 3 - заданные числа.

Здесь а^^х), а^^х), ¿а1(х), а = 1, 2, и02(х) - сеточные аппроксимации функций ка\г), ка\г), йа(г), а = 1, 2, и0\г), определяемые через усреднения по Стеклову (см. [6]).

Замечание 2. Доказательство корректности постановок задач оптимального управления (1)-(3), корректности их разностных аппроксимаций сеточными задачами оптимального управления (5)-(7), сходимости аппроксимаций по состоянию, функционалу, управлению, соответствующих аппроксимационных оценок и регуляризации аппроксимаций проводится по методике из [4]-[6].

Выпишем явный вид разностной схемы (6) в узлах сетки ш = ш1 и ш2 = : Требуется найти функцию у = (у1,у2), определенную на ш = ш1 и ш2 = ш(1'2\ у(х) = у1(х) для х Е ш(1), у(х) = у2(х) для х Е ш(2), где компоненты у-\_(х) и у2(х) удовлетворяют следующим условиям:

1) Сеточная функция у1 удовлетворяет в ш(1) уравнению

(ат{х)У1хА - (^{^Ут) + ^н^д^у^ = фlh{x), х Е ш(1)

V / XI V / Х2

- \а\К(х)У1х1\ - (X

а на границе 7(1) = дш(1 \ ^ условию у1{х) = 0, х Е 7(1). 2) Сеточная функция у2 удовлетворяет в уравнению

- (ат{х)У2хА - (а2){х)у2х2) + (12н{х)д2{У2) = ф2h{x), х Е ш(2\

v / х1 v ' х2

XI V / Х2

а на границе 7(2) = дш(2) \ ^ условию у2{х) = 0, х Е 7(2).

3) Искомые функции у1 и у2 связаны между собой дополнительными условиями на = [Х1 = С,Х2 Е Ш2}:

2 ы

а{1,){С,Х2)У1Х1 {С,Х2) + ф3Н{Х2)У1{£,Х2) + ^н{£,Х2)д1{У1{£,Х2))-

(1)^ , . л „ _ 2

- I ^21 {^Х2 )У1Х2 {С,Х2)) = Ф11{£,Х2) + -ГФ3h{X2)У2{£,X2), X Е ^,

/ Х2 П1

2 (2)

Ь,1

аШ{£ + Ы1,Х2)У2х1 {£,Х2) - Ф31{Х2)У2{£,Х2) + Х2)д2{У2{^ Х2))-

2

Ы

- I ^21){с,х2)у2х2 {С,Х2)) = Ф21{£,Х2) + ~ГФЗН^уЛ^ Х2) , X Е .

/ Х2 П1

4. Дифференцируемость сеточного функционала 311{Ф11)

Для численной реализации [10] конечномерных задач оптимального управления необходимо прежде всего доказать дифференцируемость и Липшиц-непрерывность сеточного функционала аппроксимирующих сеточных задач (5)-(7).

Покажем, что функционал ■11{Ф1) дифференцируем по Фн = (Ф1Н, Ф21г, Ф31) на иа1, а = 1, 2, 3, в пространстве В1 = Ь2{ш(1 и ) х Ь2{ш(2 и ) х ЬХ1{ш2). Для этого возьмем произвольные управления Фн, Фн + АФН Е и1. Пусть у{Ф1) и у(ФН + АФН) - соответствующие управлениям Фн и Фн + АФН решения задачи (6), а 311{Ф11) и 311{Ф1г + АФН) — соответствующие значения функционала 31. Обозначим Ау{х) = у{х; Фн + АФН) — у{х; Фн),

А.Ь(Фн) = ЫФн + АФн) - ЫФн).

Получим задачу, которой удовлетворяет приращение Ау = Ау{х). Для этого перепишем сумматорное тождество, которому удовлетворяет решение задачи (6) для управления

Фл + ДФл:

Е Е^лУ^ (Фл + ДФл)^1X1Л1Л2 + (ЕЕ^л?/^(Фл + ДФл)^1X2Л1Л2+

+ 1 Е«2л)(С, х2)У1Х2 (£,х2; Фл + ДФл) ^1X2 ,х2)Л1Л2^) +

+ Е Е«12л)У2х1 (Фл + ДФл) ^2X1Л1Л2 + (ЕЕ^Л^ (Фл + ДФл) ^2X2 Л1Л2 +

(2)2 Мо V (2) +

+ 2Е а2л(£, х2)У2Х2 , х2; Фл + ДФл) ^2X2 (£,х2)Л1Л2 ) +

+ ^(Ф3л(х2) + ДФ3л(х2))[у(С, х2; Фл + ДФл)]Н£, х2)] Л2+

-2

+ ( ¿1л(х)91 (ш(х; Фл + ДФл)) ^1(х)Л1Л2+

(8)

+ 1 Е ¿1л(С, х2)91 (У1(С, х2; Фл + ДФл)) , х2)Л1ЛИ +

-2

+ ( Е ¿2л(х)92(У2(х; Фл + ДФл))^(х)М2+ +1 Е ¿2л(С, х2)92(, х2)) , х2; Фл + ДФл)Л1 =

2

-2

Е (Фц(х) + ДФц) гл(х)Л1Л2 + 1 Е (Ф1л + ДФ1л) (С, х2) гл (£, х2)Л1ЛП + + ( Е (Ф2л(х) + ДФ2л) ^2 (х) Л1Л2 + 1 ^ (Ф2л + ДФ2л) (С, х2) , х2)Л1ЛП .

Вычитая из (8) тождество (6), получим

53 53 а1л (2/1X1 (х;Фл + ДФл) — 2/1X1 (х;Фл)) ^ Л1Л2+

+ ( 53 53 4л 0/1X2 (х; Фл + ДФл) — ^1X2 (х; Фл^^ Л1Л2 +

ч(1) <4

+ 1 Е а2л , х2) (^1X2 , х2; Фл + ДФл) — ^1X2 , х2; Фл))^1X2 , х2)Л1Л^ +

+ ЕЕ а12л) (^2*1 (х; Фл + ДФл) — ^2X1 (х; Фл)) ^2X1 Л1Л2 +

+ ( 53 53 а22) (^/2X2 (х; Фл + ДФл) — 1/2X2 (х; Фл)) ^2X2 Л1Л2 +

Ч-(2) <4

+ 1 Е ^Л , х2) (^2X2 (£, х2; Фл + ДФл) — ^2X2 , х2; Фл))^2X2 , х2)Л1Л^ + + Е] (Ф3л(х2) + ДФ3лЫ) [У(Ф

л + ДФл)] — Ф3л(х2) [у(Фл)^ , х2)] Л2 +

+ ( £<Мх)ЫШ(х; Фл + ДФл)) — 91 (ш(х; Фл)))^1 (х)Л1Л2+

ка)

+1 Е ¿1л(£,х2) (91 (У1 (С, х2; Фл + ДФл)) — 91 (У1(С,х2; Фл)))«1(е, х2)Л1Л2 V

-2

+ ( Е ¿2л(х) (92(У2(х; Фл + ДФл)) — 92(ш(х; Фл)))^2№^2+ + 1 Е ¿2л(С, х2) (92(У2(С, х2; Фл + ДФл)) — 92(, х2; Фл)))^2(С, х2^^

5>Фц(х) ^1(х)Л1Л2 + 2 Е ДФи(С,х2) ,х2)Л1ЛИ + + ( Е ДФ2л(х) ^2(х)Л1Л2 + - ^ ДФ2л(С, х2) , х2)Л1Л2

2

-(2) -2

Vv(х) Е107(1)7(2) (ш(1,2)).

Учитывая, что у(х; Фл + ДФл) = у(х; Фл) + Ду(х), получим следующую задачу для приращения Д :

53 а1л)(Д^1X1Л1Л2 + ( 53 53 а2л)(ДУ 1 )^2 ^1X2 Л1Л2 +

+ 1 Е а2л)(^, х2)(ДШк , х2) ^1X2 , х2)Л1Л2^) +

+ 53 53 а12л)(Д^2X1Л1Л2 + ( 53 53 ^Л^к ^2X2Л1Л2 + + 2 Е а22л)(С, х2)(Д^к (С, х2) ^2X2 (С, х2)Л1Л^ + ДФ3л(х2) , х2, Фл)] +

+ Ф3л(х2) [Ду(С, х2, Фл)] + ДФ3л(х2) , х2, Ф

+ ^¿1л(х)(91(ш(х; Фл + ДФл)) — 91 (ш(х; Фл)Ж(х)Л1Л2+

(9)

ш

(1)

+1 Е , х2) (91 (, х2; Фл + ДФл)) — 91 (, х2; Фл))), х2)Л1 Л2+

2

-2

+ Е ¿2л(х) (92(ш(х; Фл + ДФл)) — 92(Ых; Фл)))^(х)Л1Л2+

-(2)

+ 1 Е ¿2л(С, х2) ЫУ2(С, х2; Фл + ДФл)) — 92(У2(С, х2; Фл))), х2)Л1Л2

-2

= 53ДФи(х) (х)Л1Л2 + 253ДФ1л(^,х2) ,х2)Л1Л2+

-(1) -2

^53 ДФ2л(х) ^2(х)Л1Л2 + 2 53 ДФ2л(С, х2) , х2)Л1Л2,

-(2) -2

для любой сеточной функции V = (г> 1(Фл),^2(Фл)) ЕТ/7а)7(2) (ш(1,2)).

Далее, приращение функционала Зн(Фн) можно представить в виде:

АМФн) = МФн + АФн) - МФн) =

= X \ У{х; Ф1 ) + АУ - и^{х)\ П^ - ^ \у{х;Ф1) - и^{х)\ П^ =

х<Еш(1) Х<ЗЛ(1) (10)

= 2 Фн) - и${х)) Ау ^ + ^{Ау)2П1П2.

л(1) Ф)

Для дальнейших преобразований формулы для приращения функционала (10) введем функцию гф = ф(х; Ф.) как решение вспомогательной краевой задачи (сопряженной задачи):

- ([ат^Уфт^ - (аыМ'Фт) + {х) Я1Шф1{х) = -2 (^у{х) - и0Ц(х)^ ,

X Е Ш(1), Ф1(х) = 0, = дш(1) \ 18;

- (аЦ{х)ф2хА - [а^1{х)'ф2хЛ + Л21(х) Ч2У2ф2{х) = 0, X Е ш(2)

V / XI V / Х2

ф2 (х) = 0, X Е ч(2) = дш(2) \ 78;

'11)

2 ' а\11){С,Х2)ф1х1 {С,Х2) + Ф31{Х2)ф1 {С,Х2) + ^1{£,Х2) ^ Ф(£,Х2))-

- (а2){^,х2)Ф1х2 = -2 (у(£,х2) - + 31{х2)Ф2{^>, х2) ,

X Е = [Х1 = С,х2 Е Ш2},

.— и2)

а1Ь,(£ + '1,Х2)Ф2Х1 а,х2) - Ф331(Х2 )Ф2{£,Х2) + ¿21(^X2) Ц2у2 (£,^2))-(а<Ц{£,Х2)ф2х2 (С,Х2 ^ = -2ф31(Х2 )Фl{C,x2), X Е ^ = {Х1 = С,Х2 Е ^2}.

Х2 ' 1

Под решением сопряженной задачи (11) будем понимать функцию ф(Ф.) ЕУ1(И)1(2) удовлетворяющую для Уу ЕУ-^-р) (ш(1'2)) сумматорному тождеству:

X] X а1Ь^1Х1 У1Х1'1'2 + ( X X а21Ф1Х2 Ъ1Х2 Ы1Ы2 +

+ 2 X а2к(£,Х2УФ1Х2 (С,Х2) У1Х2 (С,Х2)Ы1 М + X ^2а($"Ф2х1 У2Х1 Ы1Ы2 + <4 Ш2

( X X ^1^2X2 ^2X2 Ы1Ы2 + ^^ Х2)Ф2Х2 {^ х2) У2х2 {^ Х2)Ы1'А +

\ (2) . .+ . .+ /

+ а21 V2X2 У2Х2 '1'2 + - а2К (с,х2)'ф2х2 (С,Х2) '02X2 (С,Х2)'1'2

Л2 "

(Х2) [Ф(С,Х2)] К£,Ж2)] '2 + X (^11(Х)^1У1 Ф1(Х) У1(х)к1к2 +

"2 Л(1)

+ 2 X Х2)Ч1 У1 Х2ШЬ Х2) М^ Х2)'1к2 +

"2

+ X ^21{х)Ч2у2 Ф2(х) У2 (х)'^ + х2)Ч2у2 Ф2 {£, х2 ) Х2)Ъ,1Ь,2 =

Ш(2) "2

= -2 X (у(х) - и00.к(х)) У1(х)'1к2 - X (У(С,Х2) - ^01, Х2^ Vl{C,X2)hlh2,

Л(1) ш2

'12)

1

Покажем, что для приращения функционала справедливо представление

Д Л(Фл) = Л(Фл + ДФл) — Л(Фл) = 5^ ДФц(х)^1(х) Я1Л2 ДФ2л(х)^2(х) Я1Л2 +

(13)

+ ^ ДФ3л(х2) , х2, Фл)]['(£, х2)] Л2 + Дл,

-2

6

где Дл = 53^, Дл1 = 53 (Д2/1)^2;

А=1 -(1)+ Х-2

Дл2 = 53 ¿1л(х)^1(х^91 (У1 + Ду 1) — 91 (У1) — 91ШДЛ1Л2; Дл3 = 53 ¿2л(х)^2(х^92 (2/2 + Д2/2 ) — 92 (2/2) — 92да ДШ) Л1Л2;

(2) - Х -2

Дл4 = 1 Е ¿1л(£,х2)^1(С,х2^91 (2/1 + Дш) — 91 (2/1) — 91У1ДУ1(С,х2П Л1Л2;

-2

Дл5 = 1 Е ¿2л (£ ,х2)^2(С ,х2^ 92 (2/2 + Д2/2 ) — 92 (2/2 ) — 92№ Д2/2 , х2 П Л1Л2; Длб =

5>Ф3л(х2) [Ду(С^2)] ['(£,х2)] Л2.

-2

Действительно, полагая в (9) V = получим

53 ^ Л1Л2 + (5353 а2л)(Д У1)ж2^1ж2 Л1Л2+

+ 1 Е а2л) , х2)(ДШк , х2)'01ж2 , х2)Л1Л2^) +

+ 53 5>12л)(Д2/2^1'2X1 Л1Л2 + (5353 а2л)(ДЛ1Л2 +

,.,(2) + -2 \(2)

+ 2 Е а222 (С, х2)(Д2/2^2 (С, х2)'2ж2 (С, х2)Л1 ЛИ + ^ ДФ3л(х2) , х2, Фл)] + + Ф3л(х2) [Ду(С, х2, Фл)] + ДФ3л(х2) [Ду(£, х2, Ф

л) г , х2) Л2 +

+ ( Е ¿1л(х) Ы2/1 (х; Фл + ДФл)) — 91 (2/1 (х; Фл)))'^Л^+

-(1)

+ 1 Е ¿1л(^, х2) (91 (2/1 (£, х2; Фл + ДФл)) — 91 (2/1 (С, х2; Фл)))'1(£, х2)Л1ЛП +

-2 '

+ ( Е ¿2л(х) (92(2/2(х; Фл + ДФл)) — 92(2/2 (х; Фл)))'2(х)Л1Л2+

-(2)

+ 1 Е ¿2л(С, х2) (92(2/2 (£, х2; Фл + ДФл)) — 92(2/2(£, х2; Фл)))'2(С, х^Л^) =

(14)

(15)

= ^ ДФ1л(х) '1 (х)Л1Л2 + 1 ^ ДФц(С,х2)'1(£,х2)Л1Л2 +

-(1) -2

+ ^ ДФ2л(х) '2(х)Л1Л2 + 1 ^ ДФ2л(С, х2) '2(С, х2)Л1Л2. -(2) -2 Далее, полагая в (12) г> = Ду, получим

53 а1л) '1X1Д ^1X1Л1Л2 + 53 53 Д 2/1X2 Л1Л2+

1 ^ - , ^ ^ . м , ^ ^ (2)

+ °53 а2л)(С, х2 )'1ж2 , х2)Д 2/1X2 , х2) Л1Л2 + 53 53 а1л)'2ж1 Д2/2ЕГ1 Л1Л2 +

+ E53а22Л)'2*2 Д 2/2X2 Л1Л2 + °53 а22л)(С, х2)'2ж2 ^^^ ,х2)Л1Л2 +

+ 53 Ф3л(х2) ['(С, х2^ [Ду(£, х2^ Л2 ^53 ¿1л(х)91^1 (х)ДУ^Л^ +

-2 -(1)

+ 2 53 ¿И^, х2)?1»1 (£, х2)'1(С, х2)ДУ 1(С, х2)Л1Л2+ (16)

-2

+ 53 ¿2л(х)92№'2(Х)ДУ2(х)Л1Л2 + ^ 53 ^(С, х2)92да'2(С, х2)Д2&(£, х2)Л1Л2 =

-(2) -2

2 Е (2/(х) — М0л) (х)) Д 2/1(х) Л1Л2 — Е (2/^, х2) — 4л)(£ ,х2^ Д2/1(£, х2)Л1Л2.

- А » I / / I / Р - //_. / I / 17/1 1/1 / / л - » I / / I /— /о, -

-(1) -2 Вычтем теперь из (15) равенство (16)

1

4 Е(^(х) — 4л) Д 2/1 Л1Л2 + 2 ,х2) — ^(С ,х2)) Дш(С ,х2) Л1Л2 |

= ДФ3л(х2) [у(£, х2, Фл)] + ДФ3л(х2) [Ду(£, х2, Фл)] } ['(£, х2)] Л2 —

^ ДФц(х)'1(х)Л1Л2 — 2 ^ ДФц(С, х2) '1(С, х2)Л1Л2 —

-(1) -2

^ ДФ2л(х)'2(х)Л1Л2 — 1 ^ ДФ2л(С, х2) , х2)Л1Л2 +

2

-(2) -2

+ 53 ¿1л(х)'1(х^ 91 (ш(х; Фл + ДФл)) — 91 (2/1 (х; Фл)) — 91?л ДуЛ Л1Л2+

-(1)

+ Е ¿2л(х)'2(х^92(У2(х; Фл + ДФл)) — 92(2/2(х; Фл)) — 92^ Д2/2^ Л1Л2+ +1 Е ¿1л(£,х2)'1(С,х2Л 91 (2/1 (Фл + ДФл)) — 91 (2/1 (Фл)) — 91У1Д2/1) Л1Л2+ + 1 Е ¿2л(С, х2) '2(С, х2) ( 92(2/2(Фл + ДФл)) — 92(2/2(Фл)) — 92У2 ДуИ Л1Л2.

:17)

-2

Подставляя теперь (17) в (10), установим, что для приращения функционала ^(Фл) справедливо представление (13) — (14).

Установим оценку для приращения Ду. Полагая в тождестве (9), которому удовлетворяет приращение, V = Ду и принимая во внимание, что Фл = (Ф1л, Ф2лФ3л) Е £/л, Фл + ДФл Е ?/л, установим

СIIДуЦо ,,12. ^

11 т (2) (-(1,2)) ^

+

Дш Л1Л2

-(1) | |

1

+ ^

1

+ 2

^ ДФц ДШ Л1Л2

+

(2)

^ ДФ2л Ду2 Л1Л2 + 2 Е ДФ2л Д2/2 Л1Л2

-2

+

18)

^ ДФ3л(х2) [у(£, х2, Фл)][ДУ^, х2, Фл)] Л2

-2

Оценим правую часть (18). Имеем

^ ДФц ДШ Л1Л2

Х-2

^ ЦДФцЦ г , (1) ,НДу , (1)

^ II 11lL2(шi)ХШ2^ llL2(шi)ХШ2) ^

^ ДФи(е ,х2) Ду 1(е ,х2) Л1Л2

-2

Аналогично

< С 1IIДФ

2НДФ1л|1ь2(75 )|Д 1Н

^ ДФ2л ДУ2 Л1Л2

(2) -1 Х -2

11 ДФ2л ^ ¿2(-(;2) Х-2) Н Д 2/2|Ну (1) (2) („(1,2));

19)

^ ДФ2л(С,х2) ДУ2(С,х2) Л1Л2

-2

< С 1II ДФ

2|ДФ2л1ь2(7, )1Д 2^(1М2) (-(1,2)).

Далее, пользуясь ранее полученным неравенством (см. [4], стр. 1777), получаем

^ ДФ3л(х2) [у(£, х2, Фл)][Ду(С, х2, Фл)] Л2

-2

(20)

Х^^ ^М^) ^ С ^М^Щ*)11^ (1) (2) (^1,2))НД^ ^ (1) (2) 0*1,2)).

Принимая во внимание оценки (19), (20), из неравенства (18) находим желаемую оценку

№'

|ДФаЛ |L2(ш(«)U7S) + У^3^^^)

(21)

Перейдем теперь к оценке решения сопряженной задачи (12). Полагая в тождестве (12) V = ' и оценивая левую часть (12), получим

СII'N2° , (12), ^ 2

(у(х;Фл) — «Л(х^'1 (х) Л1Л2

Для правой части (22) нетрудно установить оценку

(22)

^ (у(х; Фл) — ^(х)) '1 Л1Л2

-(1)+ Х-2

Откуда имеем:

— «Л!

О НL2(ш(1)+ХШ2)

У 7(1)7(2)

(й(1,2))"

V (П(2) ^^

^м оПУ —«ЛП

0 НL2(ш(1)+ХШ2) ■

(23)

2

Для дальнейшей оценки правой части неравенства (23) следует воспользоваться ранее доказанным утверждением (см.[6], стр. 83):

2

I I уф) I1 V ^ МХ I I I I ), е Uh.

V<1)<2) ' )) ' 2 ,Ь)

' ' а=1

Тогда, в силу (24) и из (23) получаем

SUP \\У\\ ° , м2)~,

< М = Const,

м

V ^(1)^(2)

(ш(1,2))

^ М = Const, №h е Uh.

Перейдем теперь к оценке величины Rh в (13)-(14). Имеем

Ш ^ X

(1) ' хш2

dih{x)^i{x) [qi{yi + Ayi) - qi(yi) — q^Ayi

hih

ih2.

Пусть на функцию q(y) наложено дополнительное ограничение

| Я-'s) — Q's(s2) I ^ Lq^ — s2l для всех s2 е R, Lq = Const > 0. Откуда легко получить следующее неравенство

Qi(yi + Ayi) — qi(yi) — q[ (yi)Ayi

< у 1 Ауг 12, г =1, 2.

Тогда lRh2l ^ y do X I Ayi 1 2 | Фi| hih2 ^ С\\Ayi\

(1) ' ХШ2

2

w1 (^(1))ll ^\w1(ij(1));

M

1 Rhi 1

^ < С\\Ay2\\W1(p(2))\\A^2\\w1

W1(ZJ(2))>

^/dih(C,X2) фi (C,X2){ qi(yi + Ayi) — qi(yi) — qi^ АуЛ hih2

Ш2 ^ '

<

^ G\\aM\w21(u(1)){\\Ayi\\2w21(a1)) + \\Ayi\\ w21(^1))};

2

I RhbI ^ С\\A^2\\w21(

1 Rh6

ш(2))|| \Ay2\wi(oj(2)) + \ \ АУ2\ I w^^ljC2))

Rhi I < X | Ayi 12hih2 ^ С\\Ay 112

ХШ2

^ XIАФз^^НАу^)]^,^)]

i»w:1(^(1))

Ш2

^ \\A$3h\\

l<x,(u2)

£

Ш2

h2 ^ h2 ^

J3hUL^2)\\Ay\\ V Г1)Г2) (*(1'2)) \ M \ V ^(1)^(2) (*(1'2)).

< с||АФ3

Таким образом, для приращения функционала З.^н) получено представление

А,11(Фн) = - X АФ11 ф1 ^2 - X АФ21 ф2 ^2 +

Ш(1)и75 Ш(2)и75

+ X АФз11у(^Х2)]1ШХ2)]'2 + о^АФ.Ц^),

ш2

где В1 = Ь2(ш(1) и ) х Ь2(ш(2) и ) х Ьж>(ш2).

(24)

Нетрудно видеть, что приращение функционала ) можно записать также в следу-

ющем виде

А = ( TJ^' + ( TJ^' +

\0 ФШ /l2.(w(1)u7s ) Ф2Л /l2(w(2)U7s )

>h

+(Ihh■ АФз0 , /о(|1АФ"1к)■

(26)

где

<9Л

/ 7Jh 7Jh дЛ \

<9Ф*

7Jh -№), x G^(1) и 75, ^ = x g^2) и 75; (27)

7 Фlh ^2h

5 Ф3Л

Формулу для приращения функционала А(Ф^) можно теперь переписать в виде

А Л(Фл) =< Л(Фл), АФл > +о(ЦАФ^Ц^), (28

где

' а >н

-, АФ1Л 1

¿2 (ш(1)и75) (2д

< Jh(Фh)' АФh >= (, АФ1Л +

Ф1h /¿2 М1) UT4 )

+ ( ' АФ2О +(' АФзh')

V^2h /l2(w(2)U7s ) V^3h /¿2(^2)

Таким образом, в формуле (28) для приращения функционала первое слагаемое является линейным ограниченным функционалом на — = L2(w(1) U75) х L2(w(2) U75) х L(ш2) относительно Фh = (Ф1h' Ф2h' Ф^), а второе слагаемое имеет порядок о(||АФ^|д ). Это значит, что функционал Jh^h) дифференцируем по Фреше на множестве Uh, в пространстве £>h. При этом градиент функционала Jh(Ф^ в точке Фh G Uh имеет вид (27), причем первая компонента в (27) является как бы аналогом частной производной функционала Jh(Ф^,) = Jh^1h, Ф2h, Ф3л.) по переменной Ф1h, вторая и третья компоненты — по переменным Ф^ и Ф3h, соответственно.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция g( s) определена на R со значениями в R и удовлетворяет, условиям: д(0) = 0, g( s) дифференцируема по s, первая производная q«( s) удовлетворяет, ограничениям

0 < 9о ^ ^( s) < Lg < то,

1( s 1) — ^ (s2) | ^ Lg | s1 — s2| для всех s1, s2 G R, Lg, Lg = Const > 0.

Пусть /са(ж) G W^(П1) х W^(П2), a = 1, 2, ¿(ж) G L^(П1) х L^(П2). Тогда сеточный функционал Jh(Фh) дифференцируем по Фh на Uh, по Фреше в пространстве Bh = L2(w(1) U 75) х L2(w(2) U 75) х L^(w2), причем градиент Jh(Ф^ в точке (Фh) = (Фш, Ф2h' Ф3h) имеет вид (29), (27).

Можно показать, что сеточный функционал Jh^h) принадлежит классу С1,1 (-Bh), где Д> = L2(ш(1) U 75) х L2(ш(2) U 75) х L^(^2), то есть

||Jh(Фh + АФ^ — Jh(Ф^|| ^ С||АФ^|, . (30)

Действительно, используя ранее доказанные утверждения (см. [4], леммы 2.1-2.3, стр. 1776), для любого г] = Е В1, имеем

(1)

< Л(Ф1 + АФ.) - (Ф.),Л> дМФ. + АФ^, х) д,Ь(Ф1; х)

(1)и75

С

(2) и—^

д Ф

11

д Ф

11

щ(х)Н1'2 +

+ £ (^'"'к +АФ"] х) - ^х) I тЮМ*

+Е

Ш2

д'21 дФ21

дМФ1 + АФ1,х) дМФ1 ;х)

+

Г]з (х)Ь

<

дФз1 дФз1

< С1^АФ1(Ф1)^Щ21(ш(1))^ 'П1\\ь2 (ш(1)и1з) + С2^АФ2(Ф1)^№21(ш(2)) У Т12\\Ыш2)и1з) +

+Сз\\Г]з\

гсм иУ\\ ° \\Аф\\ ° +

+\ А \

\ф\

А \

\Аф\

Установим оценку для приращения Аф. Для этого, используя ту же методику, что и при получении задачи (9), найдем задачу, которой удовлетворяет приращение Аф = ф(Ф1 + АФ1) -ФФ):

X ^2аШ(А'Ф1)Х1 У1Х1Ы1Ы2 + XX ^к^Ф^Х V1X2 Ы1Ы2 +

.,(1)+ Ш2

+ 2 X а21 ^, Х2)(АФ1)Х2 (С, Х2) У1Х2 (С, Х2)Ы1Ы2 +

ш+

+ X 52а?^(А'Ф2)Х1 V2X1 Ы1Ы2 + XX а21(АФ2 )Х2 V2X2 Ы1Ы2 +

ш+

.(2)+ Ш2 1

11

ш\2) ш+

(31)

+ 2 X а21 ^, Х2)(АФ2)Х2 ,Х2) У2Х2 ,Х2)Ы1Ы2 +

ш+

+ X Фз1(х2) [Аф] [ ь]'2 + ^ ^^х)д1у1 Аф1(х) у1(х)'1'2+

Ш2

(1)

+ 2 X , Х2) 11У1 АфЛС, х2) , Х2)Ы'2 +

Ш2

+ X ^21(х) д1 У1 Аф1(х) У2(х)'1'2 + 2 X ^21(£, х2) Я2У2 Аф2 (£, Х2 ) У2(£, Х2)'1'2

ш(2) "2

= -2 X АУ1(х) У1(С ,Х2)П1'2, Уу =(У1, У2) ЕУ—(1)—(2) (й(1'2)).

(1)+ ш1 ' Хш2

Полагая в тождестве (3!) у = Аф, установим

С\\Аф\\2° , (12), ^ 2

У^ Ау 1 (х) Аф1 (х) Я'2

^ Со\\Ау 1|\ ^(1)+

(1)+ ш1' Хш2

<

21(ш(11)+ ХШ2) \\"^ \ \ Уп)Г2) (ш(1'2))

то есть

(£

у а=1

|Аф\\у (122У) \\АФа1\\Ыш(а)и,3) + \\АФз1\\ьМ )= Со\\АФ1\

■у

(1)

■у

(2) • ') V ----- '

О'

Вн

ш

Откуда получаем

|< Л(Фл + АФл) - Л(Фл),г; >| ^ СЦАФлЦ^х

Х ( II ^Н^СЧите) + II ^к^и*) + II ^¿«.(и*)) = С ^^ ||АФлУ]^, .

Таким образом,

II/л (Фл + АФл) -Л (Фл)Ц =

| </Л(Фл + АФл) - ^Л(Фл),г7 >| ^ Н = йиР-ГТ\- ^ С11 АФл I ^ .

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда сеточный функионал (Фл) принадлежит классу С 1,1 (Вл), где Вл = Ь2(^(1) и 75) х Ь2(^(2) и 75)

х (^2)7 то есть

справедлива оценка (30).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

3. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985.

4. Лубышев Ф.В., Манапова А.Р., Файрузов М.Э. Аппроксимации задач оптимального управления для полулинейных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и решениями, с управлением в граничных условиях сопряжения // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. Т. 54. № 11. 2014. С. 1767-1792.

5. Лубышев Ф.В. О разностных аппроксимациях задач оптимального управления полулинейных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и решениями // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. Т. 52. № 8. 2012. С. 1378-1399.

6. Манапова А.Р., Лубышев Ф.В. Оценка точности по состоянию конечномерных аппроксимаций задач оптимизации для полулинейных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и решениями // Уфимск. матем. журн. Т. 6. № 3. 2014. С. 72-87.

7. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

8. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

9. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

10. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

Айгуль Рашитовна Манапова, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Федор Владимирович Лубышев, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия