О разностных аппроксимациях и регуляризации задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах Текст научной статьи по специальности «Математика»

раздел МАТЕМАТИКА и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.6: 517.58 ББК 22.19

О РАЗНОСТНЫХ АППРОКСИМАЦИЯХ И РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ Э ЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УПРАВЛЕНИЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ

Лубышев Ф.В., Манапова А.Р.*

Изучается сходимость разностных аппроксимаций задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах. Получены оценки точности аппроксимаций

1. Постановка задачи и ее корректность

Пусть О = {х = (х^ ^2 Я2 : 0 < Ха < 1а , а = 1, 2^ - прямоугольник с границей Г . Пусть

управляемый процесс описывается в О задачей Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с переменными коэффициентами:

Lu = -

£

а=

д

ка(х)

ди

дх.

+ £ Ьа(х}^и + d (х)ф )= fix ) х еП, (l.a)

дха

а /

а=1

и(х)= 0, хе Г.

Рассмотрим задачу минимизации функционала

(l.b)

ди(х; g )

дх

-V к (

х

dQ

(1.2)

1 (8)=а11|и(х5 8)- ио(х) о° + |£ак+1

О О к=1

на решениях и(х )= и(х', 8) краевой задачи (1) при следующих ограничениях на управления

8(х )= (81 (х)82 (х) 8з(х ) 8 8 (х))= (к(х) *1 (х) *2 (х))

gе U =П^к с В =W(nML(Q))'.

к=1

U1 =j gi(х )е (q): 0 <v< gi (х)<ц,

< R, P = 1, 2, п.в. на Q,

J gi (х)/П< M, p > ll,

Q J

Цз={&р(х)е L2 (q): ^p< gpC^lp, пвна Q} p = 2,3,4

(3)

(4a)

(4b)

где Uo(х) ^а(х)е W21 (п) а = 1,2 - заданные функции, ^p, ^p , P = 2,3,4 - заданные числа;

предполагается, что положительные постоянные V, Ц, R, M таковы, что множество U не пусто, а к = const > 0, к = 1,2,3, а1 + а2 + а3 > 0, п.в. - почти всюду.

Предполагается выполнение следующих условий: f (х) q(u) - заданные функции, причем

f (х)е L2 (П), функция q(s) определена на R со значениями в R и удовлетворяет условиям

q(0)= 0, 0 < q0 < [q(^1)- q(s2 )]/(^1 - s2 )< L < l, для всех 51, s2 е R, 51 ^ s2 ;(5a)

Лубышев Федор Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислит. математики Манапова Айгуль Рашитовна - аспирант кафедры вычислит. математики

- т < £3 <£3 < т, - р <£,4 <£4 < р, т, р = сош1 > 0, £,2 > 0,

34 — Ы

5о =тах: |У (;:'2 +8 2) + £,2^ - т— 4-} > ° СО =

8^2>0 I СО 48, 482 I

81+82<У ^ О 1 2 J

_8 _8 Т2+Т2

/1 *2 у

\-!

. (5Ь)

Можно показать [1], что при любом 8 е и существует единственное обобщенное решение 0

и(х)= и(х; 8> Ш2 (о) задачи (1) и справедлива оценка

К*81и02(а) < С||/(хI,(о)-

Более того, обобщенное решение краевой задачи (1) принадлежит также пространству 0

Ш20(о)= (О)и (О) и при каждом фиксированном управлении 8 е и справедлива оценка

КЬ 8 )(Щ< ,2 (О).

Рассмотрим теперь задачу оптимального управления (1)-(4). Справедлива следующая

Теорема 1. Задача (1 )-(4) корректно поставлена в слабой топологии пространства

Н = Ш21 (О>(4 (О))3,те. 1* = т^): 8 е и}> -о, и*={8*е и: 1(8*)= 1*}= 0, и* -

слабо компактно в Н и любая минимизирующая последовательность {8(”)}^ и функционала 1 (8) слабо в Н сходится ко множеству и* .

2. Разностная аппроксимация задач оптимального управления

Задаче оптимального управления (1)-(4) поставим в соответствие при Н ^ 0 последовательность разностных аппроксимаций: минимизировать функционал

А(фк) = а1_Е |Хх;фк)-и0(х) +а2 Е_ .Ух1(х;фк)-^(х) ^ +

+аз Е уЛх;фи)-^2(х) ^

Ю1ХЮ2

Х^2

(6)

при условиях, что сеточная функция у(х) = у(х;Ф А )е Ш2 (ю), называемая решением разностной

0

краевой задачи, удовлетворяет для любой сеточной функции -&(х) е Ш2 (ю) сумматорному тождеству

ФиМ+Ф^’М, 2

2

ЕЕ)

а=1 ю^

-Ух^ ха ^ +ЕЕФа+2,А (х)У0 ^2

а=1 ю

(7)

+ ЕФ 2к (х) Ц(У) =Е/Н (

юю

а сеточные управления Ф и(х) таковы, что

4

Ф к (х) = (Ф 1к (х) Ф 2А (х), Ф 3к (х), Ф 4А (х)) е П/иак = ^к ^ Вк = Ш0 ^М^И)3, (8)

а=1

и\к ={Ф1А (х) е Ш0(ю): 0 <^Ф1/, (х) <^ х еЮ |Ф1А Х1(х) < К х е ю - Х Ю2 , Фш2(х)| < Я хею1 xю-, ЕФ« (х)°^ < M, Р > ^ (9а)

иРА = {ФРА (х)е 4(ю): £р<Фрй (х) <1р} Р= 2,3,4, (93)

где Ф(-11)(х) = Ф 1й (х1 - ^ х2), Ф(-12)(х) = Ф1А (хl, х2 - а /к (х), и0 (х), V а (х),

а = 1,2 - сеточные аппроксимации функций /(£), К0 (£), ^а(з). а = 1,2, определяемые через операцию усреднения по Стеклову. По поводу определения сеток, шага сетки , а = 1,2, операторов

0 / \

усреднения по Стеклову, пространств сеточных функций ,2 (ю) Ш21 (ю) Ш21 (ю) £„ (ю(+а)) мы отсылаем читателя к [2]. Как и в [2] можно показать, что справедлива:

Теорема 2. Задача (7) однозначно разрешима для любого сеточного управления Ф А е и ^, причем справедлива априорная оценка

1|у( х;Ф * 1 ,,0;( ю) < Ф ‘(х)\,2

Выпишем теперь явный вид разностной схемы (7) в узлах сетки ю .

Е

Ф1А (х )+Ф(^1“)(х )

Уха (х)

а=1 у

у( х) = 0, х еу.

2

+ ЕФа+2,А (х)у 0 (х) + Ф 2А (х) Ч(у) = /Н (х), хею

а=1 ха

3. Априорные оценки погрешностей метода по состоянию и сеточного функционала. Сходимость аппроксимаций по функционалу и управлению

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть и(£)= и (£; 8)и у(х)= у(х;Ф й) - решения задач (1) и (7), соответственно. Тогда для любых управлений 8 е и и Ф А еи А справедливы следующие

оценка погрешности метода по состоянию и оценка погрешности сеточного функционала:

2

1|у(х;Ф *)- и(х; 8 )| Шц (ю)<с

2

+Е

а =1

А

к (£)1 ,„(0) + Е11Ш ,0(0) + ,„¥ 9

а =1

,„(о) '•^Ч1,„(о)

^(-0.5а )(х) Ф1А (х)+Ф(й °^(х)

Ф 2_ (х)- 5хЛ (х)

I ,„(ю)

1 (8 )- 1А (Ф А )< М (а1 +а 2 +а

2

и(£;8)|ш220(О) , 2

+ Е||Фа+2,„(х)- Х'*а(х)

(ю(+а)) а=1

,„(ю)

Н+Е

а=1

к

(-0.5а )(х)- Ф1Й (х)+Ф(/,1а)(х)

^(х)- Ф 2Й (х)|,„(ю) + Е |(х)- Ф а+2, А (х)

а=1

,„(ю)

0(ю(+а))

Определим отображения: Я : Н ^ НА и N к : Н к ^ Н по правилу: Я 8 = Ф А, где

Я<‘>к (х),

8 = (к*1 (£) *1 (§))_Ф, = (я^Цх) Я(Мх) Я?\(х) Я?*2(х))

х ею - дискретизация на сетке ю управления к(£):

ЯА1)к(х)= Цхе {{1 - Н1 }Х “2 ® ю1 Х {2 - К }}

где

(х)

^-/^ х2 + 0.5^2

я«к(х)= -1— Г Гк(^+1 ]

2 кк, J 2^-1-5*1, /1-0.5А1

2"1^2 /1_1.5А1 х2-0.5А2 21 11 1

Хе{/1 - ^1}Х{ю2\{/2 - ^2 }}

тт к(£)

3<[х2-0.5^2,х2 + 0.5^2 ]

Х1+0.5^1 /2-^2

я(Р*(х)=2I I*(5)^ + 2[ 05А 05Ж15,,054 *5)

2 П1П2 {е1 7 : е7 2 Ьа-0.5/1, х1+0.5^1 -к[/2-1.5Л2 $ /21

1 2 *1-0.5/21 /2-1.5^2

х еК\ {/1 - ^1}}х{/2 - ^2};

1 8 4-*1 0.5*2 1

^ - *1-0)= 2*Т I ^(^+ ^ [/,-1-5,1 ,/1Г0,5;; И0,0.5*21* (ё^;

2 п1п2 /1-1.5А1 0 2 1 11 1 2

1 8 4-*1 г2 1

л«*(;1 - *1,12 )= ^ — I /^+, -0-5,2 ,/21*®

1 2 /1-1.5/21 /2-0.5^2

1 8 0.5*1 ^2-*2 1 ^О, /2 - *2 )= 2 ^ I ( ^^+ 2 [0,0-!^],[,2^5‘S2,,2-„-„2l*(5^

1 2 0 /2-1.5^2

18 А ^2 “*2 1

«()*(/1,/г - *2 )= 2— I I*(«)*;+2

2 ^1^2 /, -0

/1-0.5А1 /2-1.5й2 ^1 — ^2 — ^2

тт *(5)

2 [/1-0.5А1 ,/13<[/2- 1.5й2,/2-0.5А21

18 *1 "1 *2 2 1

Д®*(А - Л„ /2 - Л2 )= ^ — I I *(т + 2,;-1„,^ипхт

8 Л1Л2 /1-1.5А1 /2-1.5А2 2 1 1 Л 1 2 ^

* (5)

,/2-0.5 й21

а Я»а>£„(х) а = 2 ,3 ,4 определят в [2]; N,Ф, = гае Ф, =(ф„(х)ф2,(х)ф„(х)

Ф4.(х)) Я = (Р.ФИ(5) А<2)Ф2*(5) ^„<3>Ф3.(5) А**Ф8*(5)) А'*)Фи() * = 2,3,4

определены в [2], а рФщ(5) - некоторое восполнение сеточного управления Ф^(х) Xе Ш на О, которое мы определили как полусумму кусочно-линейных восполнений Р(1)Ф 1й (5)=

= {Ф’„Г(5)5е А,,(х)г = -1, +1, Д,,(х)е о} и Р«Ф„,(5)={Ф':(5)5е а;(х) г = -1, +1,

а г (х)ео} °десь А г(х) и а; (х) - треугольники, получающиеся при разбиении элементарных ячеек

области О : е+ (х)= ( = (51,52 ): ха — 5а — ха + Аа, а = 1 ,2} хеШ]Х Ш2 диагональю,

образующей тупой угол с осью 51 и диагональю , образующей острый угол с осью 51, соответственно.

Ф;г (5) и Ф;г (5) - функции, определенные в А г (х) и А'г (х) соответственно, линейные по 51 и 52 и

совпадающие в вершинах треугольника с сеточной функцией Ф^ (х). Нетрудно показать , что для

произвольных управлений ё еи, Ф й е и„ справедливы включения Як ё е и й, Nh Ф й еи.

Лемма 1. Имеют место оценки

К°* (х)

ш1 (ш) '

—

II*(5)1 ш1 (О)’

^хр * (-°-5“)(х>

||рФ 1Й (5)ш](О) — 11Ф1* (х)ш1 (Ш) + ^* ,

я^1)* (х)+(я% (х);)-1а)

— с| к\ В* (5) + |Л| В* (5)

^„(ш(+а)) а 5 В ь„(о) В5р ь„(о)

^хр [РьФи]

](-0.5а )(х)- Ф1Й (х)+Ф(Й1а^(х)

Р = 3-а, а = 1 ,2; 0 < = о(Ц)при Щ ^ 0.

о(ш(+а))

— С\ЩФайхА _ (_

1 41 ^ 1^го(с0аХЮр )

Пусть./, = М{/ (ё): ё еи} {^/ н (Фк): Фк е и н}.

Будем допускать , что вычисления функционалов /А (Ф а ) ведутся не точно , а приближенно , как в силу приближенной исходной информации, так и в силу счета с округлениями, так что вместо функционала /» (ф ») фактически используется приближенный функционал /А 8 (Ф а ) , который связан с / „ (ф *)

соотношениями

/к 8„ (Ф А )= /А (Ф А )+08Л (Ф А ), (10)

08, (ф А )—5 А , УФ А еи А , 5 А ^ +0 при Щ ^ 0

Предположим , что при каждом И = (й^ ^ ) и соответствующей сетки Ш = с помощью какого-либо

метода минимизации получено сеточное управление Ф к =Ф к 5А ва (х)е ик , дающее приближенное решение задачи (10) , (6)-(9) в смысле

/к 8Л * — / А 8Л ( А )— / А 8Л *+В А, Ф А еи к , (11)

где последовательность (в А } такова, что 8 А > 0 и В А ^ 0 при |^| ^ 0 , а

/А8Л » = lnf{/А 8Л (Ф А ): Ф А еиА }

Теорема 4. Семейство разностных задач минимизации (10) , (6)-(9) при |^| ^ 0 аппроксимирует исходную экстремальную задачу (1)-(8) по функционалу, то есть 11т/= /, при Л ^ 0, причем

справедлива оценка скорости сходимости

/ А 8Л» /,

— |/а» -/,| + 8А — М(а1 +а2 +а3)+8А. если последовательность сеточных управлений (ф А } иА определена из условий (10) , то

последовательность управлений (уАФ h }является минимизирующей для задачи (1)-(8) и справедлива оценка скорости сходимости

0 — / (у ь Ф ь )- /» — С [(а 1 + а 2 + а 3) \к \ + в ь + 8 ь 1;

последовательность (у,, Ф „} слабо в н сходится ко множеству и, * 0 оптимальных управлений задачи (1)-(8).

Рассмотрим теперь вопрос о сильной сходимости в Н по аргументу (управлению). В силу теоремы 1 экстремальная задача (1)-(8) корректно поставлена в слабой топологии пространства Н . Однако , вообще говоря , она является некорректно поставленной задачей минимизации по А.Н. Тихонову в сильной топологии пространства Н [3], т.е. нет основания ожидать, что любая минимизирующая последовательность для / (ё) на и (в том числе и построенная выше в теореме 8 будет сильно сходящейся в норме Н ко множеству и» .

Для разработки устойчивых алгоритмов построения сильно сходящихся минимизирующих последовательностей применяется метод регуляризации А.Н.Тихонова [3].

Рассмотрим один вариант метода регуляризации А.Н.Тихонова, позволяющий построить для исходной экстремальной задачи минимизирующую последовательность, получаемую на основе разностной аппроксимации, сильно в Н сходящуюся ко множеству О -нормальных решений задачи оптимального управления (1)-(8).

Для регуляризации аппроксимирующих задач (6)-(9) введем на и функционал-стабилизатор о(ё)=|иН , ёе Н и его разностный аналог О А (Ф А )=||Ф *|| Н> Ф А еи А ."ри каждом к > 0

Н Н И

рассмотрим на и н дискретный функционал А.Н.Тихонова (10), (6)-(9):

Тк 8йай (ф А )= /А 8Й (ф А )+а АО А (ф А ^ ^Ф А е ик , (12)

где (а h } - произвольная последовательность положительных чисел, сходящихся к нулю при |^| ^ 0 . Рассмотрим теперь задачу минимизации функционала 5^ а^ (ф А ) на ин : при каждом к определим

сеточное управление Ф А = Ф А 8л„лУ (х)^ иА, удовлетворяющее условиям

hS^a* + V h ,

'• ~ п ПП^' ^

Т 8АаА* = 8АаА (ф Ъ ): Ф Ъ Є ик } Тк (ф к )< Т}

где {у к } - положительная последовательность , сходящаяся к нулю при |^| ^ 0 . Введем множество О -нормальных решений задачи оптимального управления (1)-(4):

и** = {#** є и* :р.(ё** )= 1ПҐ{.(#*): g* є и* }= О*}. {. }«

Теорема 5. Пусть последовательность |Ф h j определена из усдовий

Th 8лал* = PnQ Th&htlh (Ф h )< Th&h<lh (Ф h )< Th &h<lh* +V h,

где Th 8AaA (Ф h )= J h 8„ (Ф h )+a h\\Ф h\\\h ' функционал Тихонова$ {a h }$ {V h } - &олоЖительНЫе

последовательности, сходящиеся к нулю при Щ ^ 0 . Тогда последовательность управлений {А} является минимизирующей для зада,и (1)-(4) и справедлива оценка

0 < J(nh0h)- J* < М[(a1 + a2 +a3 )|й| + vh +8h +ah 1

Если, кроме того , параметры a h , 8 h , V h согласована: с |h | так, что ah, 8h, Vh ^ +0 при \h\ ^ 0 (|h\ + Vh +8h )?ah ^ 0 , то последовательность (na } сильно в н сходится к множеству

нормальных решений U** = {g** е U* : Q(g** )= inf{Q(g* ): g* e U* }= Q* }, где Q(g)= ||g||H .

Полученные в настоящей работе результаты развивают результаты работ [2]-[6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 807с.

2. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э., Манапова А.Р. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления процессами, описываемыми задачей Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициентах // Труды СВМО , 2003, Т.5, №1. С. 202-211.

3. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Факториал Пресс , 2002. - 828с.

8. Лубышев Ф.В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах // Доклады РАН, 1996, Т. 389, №5. С. 598-602.

5. Лубышев Ф.В. Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. Уфа, БашГУ , 1999, 288с.

6. Лубышев Ф.В., Файрузов М.Э. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для квазилинейных эллиптических уравнений // Журнал вычисл. математики и математической физики, 2001, Т. 81, №8. С. 1188-1168.

Поступила в редакцию 20.04.05 г.