О конечно-разностном методе решения задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений с условиями неидеального контакта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:517.962

О КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УСЛОВИЯМИ НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА

© А. Р. Манапова

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 96 32.

Email: [email protected]

Настоящая работа посвящена вычислительным аспектам решения нелинейных краевых задач для эллиптических уравнений в неоднородных анизотропных средах с разрывными коэффициентами и решением, когда на контактирующих внутренних границах сред задаются условия сопряжения типа неидеального контакта (то есть задач со скачком коэффициентов уравнения и решения на внутренней поверхности контакта тел; скачок решения пропорционален потоку). В работе построен метод приближенного решения нелинейных уравнений эллиптического типа с условиями сопряжения типа неидеального контакта. Эффективность предложенного метода численного решения подтверждена результатами численных экспериментов для тестовых задач с известными аналитическими решениями.

Ключевые слова: контактные задачи, нелинейные эллиптические уравнения, разрывные коэффициенты и решение, конечно-разностные методы, итерационные методы, условия неидеального контакта.

Введение

Задачи для уравнений математической физики (УМФ) с разрывными коэффициентами и решениями, называемые часто контактными задачами (в англоязычной литературе interface problems), возникают естественным образом при математическом моделировании различных процессов, таких как, потоки в пористых средах, перенос тепла или диффузия в сложных композитных материалах, и т.д. Разрыв коэффициентов и решения имеет место в случае, когда область является неоднородной и состоит из нескольких частей с разными свойствами, либо область содержит тонкие прослойки S с физическими характеристиками, резко отличающимися от основной среды [1-2]. В зависимости от условий на поверхности контакта тел (условий сопряжений), контактные задачи делятся главным образом на две группы: задачи с условиями сопряжения типа идеального контакта (решения и потоки на контактирующих поверхностях в обоих телах совпадают), и задачи с условиями сопряжения типа неидеального контакта (решение разрывно на поверхности контакта и его скачок пропорционален потоку). Последние условия описываются следующими соотношениями:

dNS ) \dN S

x e S,

í A.. V ( 2 ,„, ^

du W~S )

Zka (C0s("'Xa )

V«=1 a )

где [u] = u+(x) - u (x) - скачок функции u(x) на S; p(x) - заранее известный поток вещества (теплоты) через элементарную

площадку; 9(x) > 9о > 0 - заданная функция; S = Q n Q+ - внутренняя граница раздела сред, Q n = 0, Q ~ и Q+ - некоторые области; ki(x) и k2(x) - коэффициенты диффузии (теплопроводности) сред П-и Q+.

В последние годы активизировались исследования в области разработки методов построения и исследования аппроксимаций для контактных задач. Например, в работах [1, 3-7] построены и исследованы аппроксимации уравнений с условиями сопряжениями типа идеального контакта для УМФ с классическими решениями некоторой степени гладкости. Подробное обсуждение задач с условиями сопряжения типа неидеального контакта описано в работе [2], в которой доказана корректность постановки таких задач, и построены разностные аппроксимации класса задач с условиями сопряжения типа неидеального контакта для линейных эллиптических уравнений. Построение и исследование сходимости разностных схем методами конечных объемов для контактных задач с условиями сопряжения типа неидеального контакта изучалось в работах [8], [9]. В статьях [10-12] обоснована сходимость итерационных процессов решения контактных задач для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и решениями, вопросы аппроксимации и численной реализации в этих работах не рассматривались. Заметим, что в выше перечисленных работах (кроме [11]) в случае неидеального контакта рассматриваются линейные эллиптические краевые задачи.

В последнее время за рубежом интенсивно исследуются вопросы численной реализации контактных задач (см. , например, [6-9]), что отчасти послужило стимулом исследований, представленных в данной работе. В статье построен для случая неидеального контакта метод приближенного решения нелинейных уравнений эллиптического типа, с разрывными коэффициентами и решением в неоднородной анизотропной среде. Итерационный процесс с итерациями на внутренней границе области разрыва решения и коэффициентов сводит решение исходной контактной задачи к решению, на каждой итерации, двух краевых задач нелинейного типа в подобластях составной области. Для учета нелинейной составляющей уравнений, в каждой из подобластей применяется метод итераций с параметром, который сводит, на каждом шаге итерации, полученные нелинейные разностные задачи к линейным задачам. Реализация итерационных процессов проведена на основе метода верхней релаксации. Доказана сходимость итерационных процессов. Эффективность предложенного метода численного решения подтверждается результатами численных экспериментов. Вычислительные эксперименты проведены с использованием интегрированной среды разработки Embarcadero Delphi пакета Embarcadero RAD Studio на решении серии модельных примеров с известными точными решениями.

+

Отметим также, что аналогичные, как в настоящей работе, постановки граничных задач о сопряжении типа неидеального контакта в задачах оптимального управления, их разностные аппроксимации были рассмотрены в работах [1315]. Однако в этих статьях не были рассмотрены вопросы численной реализации. И данную работу можно рассматривать как развитие результатов этих исследований.

1. Постановка задачи

Пусть 0 = {г = (гьг2) е Я2 :0 < та< 1а,а = 1,2} - прямоугольник в Я2 с границей 00 = Г . Область О разделена прямой г1 = где 0 < ^ < /1 («внутренней контактной границей» 5 = {г = 0 < г2 < ^ }, где 0 < ^ < /1) на левую О1 = {0 < г1 < 0 < г2 < /2} и правую О2 = {^ < г1 < /1, 0 < г2 < /2} подобласти с границами 001 и 002 . Таким образом, область 0 = 01 и О2 и 5 , а 00 - внешняя граница области О. Через Гк обозначим границу области Ок без 5", к = 1, 2. Поэтому

д0.к = Гк и5 , где Гк, к = 1, 2... - открытое непустое подмножество из 00^, к = 1, 2; и Г и Г2 = 00 = Г . Через па, а = 1,

2 обозначим внешнюю нормаль к границе 00а области Оа, а = 1, 2. Пусть п = п(х) - единичная нормаль к 5 в точке х е 5

, направленная, например, так, что п - это внешняя нормаль к 5 по отношению к области О1, то есть нормаль п направлена внутрь области О2. Ниже при постановке краевых задач 5 - это прямая, вдоль которой разрывны коэффициенты и решения краевых задач, которые в областях О1 и О2 обладают некоторой гладкостью. Введем следующие обозначения:

и1(х), х е 01;

и(х) =1 ( л о [ и2 (х),х е02,

ка( х), й (х), I( х) =

4'>( х), х), /^х), х е 0[; 42>(х), й 2 (х), /2 (х), х е 0 2,

а = 1,2; = , е Я;

ЧУЬ) 1^(6), 6 е Я, [5] = 92(х) -9(х)

- скачок функции $(х) на 5.

Рассмотрим следующую задачу Дирихле для полулинейного эллиптического уравнения с разрывными коэффициентами и решением: найти функцию и(х), определенную на 0 , удовлетворяющую в каждой из областей О1 и О2 уравнению

2 ^ о ди

1и(х) = -— (ка (х) ——) + й(х) д(и) = /(х),

а=1 дха дха (1а)

х е 01 и 0 2

и условию

и(х) = 0, х е00 = Г1 иГ2,

(1б)

причем на линии разрыва 5 выполняются условия сопряжения

к( х) ] = 0,

дх

О(х) = (к1(х) —) = 6(х2)[и], х е 5, (1с)

0хх

где ка(х), а = 1, 2, х),/(х)- заданные функции, которые могут иметь разрыв первого рода на 5; да(^а), а = 1, 2 - заданные функции, определенные для £,а е Я , а = 1, 2; 6(х2) - заданная функция. Предположим, что данные функции удовлетворяют условиям: ка (х) е^1(01) хГ^) , а = 1, 2, й(х) е Ьт (0^ х Ьт (02), /(х)е Ь1 ^ )х¿2(02) , 6(х2) е ¿да(5); 0 < v< ка(х) <у , а = 1, 2, 0 < й0 < й(х) < й0 , для х е0! х02 , 0 < 6) <6(х2) <6) , для х е 5 , где V , V , й0 , й 0 , 60 , 60 - заданные константы; функции да(^а) удовлетворяют условиям: да(0) = 0; для всех е И, ,

0 < а < ^а(^1) ?а(^2) < ^ , а = 1, 2, Ьд - некоторая константа. ^ ¿г а

Ь1 -Ь2

0

Под решением задачи (1а)-(1с) понимается функция и е Г г ,г2 (0(1'2)) , удовлетворяющая тождеству:

£ к а ( х) 0иМ + й (х) д(и)9( х)

ГГ дх„ дх„

а(и,5) = |

-16(х) [и] [5] й5 = | /(х) 9(х) й00 = 1(9),

Я 0иД2

й00 +

для ц ,г2 (П(1Д)) . (2)

2

0 ,(1,2)

Замечание 1. Здесь через Гц .г2 (О(' ) обозначено пространство пар функций

° ( 1 7 2 2 (ди ^2

(«!,и2)Vц,ц(О(1'2)) = {и = (их.и2)еГ21(01;Гх)хГ^;Г2))с нормой ||и|| ° ^^ ^ ^к + Ди]2,а

V ri,r2 к=1^a=lKdxaJ s

через ш\(0.к;Гк) обозначено замкнутое подпространство пространства ), в котором плотным множеством яв-

ляется множество всех функций из С1(О.к) , равных нулю вблизи сдП4, к = 2 (см. [13, С. 1097]).

2. Разностная аппроксимация краевых задач

Для численного решения краевых задач вида (1а)—(1с) аппроксимируем их методом сеток [1, 2]. Для этого нам

понадобятся сетки на [0, 4], а = 1, 2, и в области О = О] и О2 , скалярные произведения, нормы и полунормы сеточных функций, заданных на различных сетках, и соответствующие сеточные пространства (см. подробное описание в работах [13-15]). В частности, введены в рассмотрение следующие пространства: ^(да®;^®) - подпространство сеточных функций из ^(да®), которое обращается в нуль на у(к), к = 1, 2; пространство

К(®(1,2)) = {у = (у.У2) е^ф® )х^21(да(2))} с нормой Ц^^ = ЕЩЦ^да®) = Е(|К||2 да))) ; про-

к=1 к=1

странство Уп ,Г2 (да(1,2)) пар функций у = (уь у2), определяемое как: Vп,Гг (да(1,2)) = {у = (уьУ2) (да(1);/(1))х хГ21(да(2);Г(2))} с нормой Ц2 = £Щ2 +|Ц]||^) , где Щ2 Ц^) =

Г71.72 (да ) к=1

= Е 2 + Е й1^2, |[и]||2,(7) =Е(ц(£Х2)-Ц(£.Х2))2^2, |Ц||^^ = 1й2, к = 1, 2. °ме-

да(к)+хда да(к)+хда+ 5 да, да(к)

тим, что аппроксимации построены на прямоугольных сетках, равномерных в каждой из подобластей П1 и П2, соответственно. Предполагается, что все границы области О , включая «внутреннюю границу» 5", принадлежат одной из координатных линий сеток.

Краевой задаче (1а)—(1с) поставим в соответствие разностную краевую задачу [15], а именно - найти сеточную функцию у = (у.у2)е V?, Г2(да(1'2)) , называемую решением разностной краевой задачи для задачи (1а)—(1с), удовлетворяющую для х) е У71 7г (да(1,2)) суммарному тождеству

Qh (v) = Z Z alh Ущ 4x1 hh2 + Z Z Ущ 4x2 hh2 + 1Z aS X2 )У1Х2 x2 )^1x2 X2 )hA

^(1)+ И ffl« ®2+ 2 ®2+

+ Z Z ai(h2)У2хЛx1 h1h2 + ZZ а2л У2Х2^2x2 h1h2 + 1Z а2» (£ X2)У2x2 x2)ü2x2 (£ X2)h1h2 +

и,(2) и+ 2 и+

2 1 2

"ZZ dl* (x)4k (Ук (x))^k (x)h(h2 + - ZZ dh x2>?k (Ук x2))^k (£ X2)h1h2 + (5)

к=( ет(к) 2 к=( и,

i и1"' — к=1 и2

2 2

+ ЕА (Х2)[У(£. х2)]'[ц(^. Х2)]й2 =ЕЕ (хЦк (ХЖК +ЕЕ /и Х2)Цк (£. Х2)АА = 4 (ц).

«2 к=1 да(к) к=1 «2

Здесь х). х). (х). /сА(х).а = 1.2. вк(х2) - сеточные аппроксимации функций

к®(г), к((2)(г). <Ла(г),/(г), с = 1.2, в(г2) , определяемые через усреднения по Стеклову [13, 14].

Задача (Д) является сеточн^1м аналогом исходной задачи (1а)-(1с) с разрывными коэффициентами и решением. Замечание 2. Корректность аппроксимаций (3) контактных задач (1а)-(1с) и их сходимость по решению доказана

в [15].

3. Сходимость итерационных процессов

В этом разделе мы обсудим вопросы построения эффективного сходящегося итерационного процесса для решения сеточной задачи (3). Задаче (3) поставлен в соответствие следующий итерационный процесс на внутренней сеточной границе у5 (в обобщенной постановке): найти последовательность пар функций {у" = у.у"2}" 1, таких что у"к е (да<к);ук), к = 1, 2, удовлетворяющих сумматорным тождествам:

Z Z а1й Ущ vixl h 1 h 2 + Z Z a2h y"x2 Hx2 h 1 h 2 +1Z Я2Й x2 ) y"x2 x2 )h1x2 x2 )h 1 h 2 +

э(1)+ ®2 ®(1) ®+ 2 ®+

+ Z d1h (x) q\(y\(x))U\(x) h1h 2 + 1 Z d1h x2) ^СЮцО^ x2)h1h 2 +

®(1) 2 ®r

+ Z6h (x2) УГО^ ^ЦО^ x2)h 2 = Z f1h (x)h1(x) h1h 2 + 1 Z f1h x2)v1(^ x2)h1h 2 +

®2 ®(1) 2 ®2

+ Z^(X2)Уг-1 (Ь,X2)^1 (Ь,x2)h2, Vl>1 (x) e W(® 0);r0));

Z Za® УгЦh 1 h2 + ZZ«2A yrx2Цx2h 1 h2 +1Za22A (£xr)yrx2(£xrH^bxr)h 1 h2 +

®(2)+®2 ®(2)®2+ 2»-+

+

Zd2h(x)q2(yr(x))w2(x)h1h2 +1Zd2h(Ь,xr)Чг^Уг^гЬ,x^hh2 ■

(5)

+ Zdh (x2) У2(^ x2)u2(í, x2)h 2 = Z f2A (x)h2(x) h1h 2 + 1 Z f2A ^MO^ x2)h1h 2 +

(2) 2 ®2 ®(2) ®2

+ Z(xr)УГ(Ь,xr)or(^,xr)h2, Vц(x) e WW2));

®2

где n = 1, 2,..y20(x) - начальное приближение.

Теорема 1. Задача о нахождении решения разностной схемы (4)—(5) эквивалентна решению операторного уравнения

АайУа = Foh , а = 1,2 (6)

где разностный оператор A^ : W21(®,a);7,a)) ^ W2! (® а); ^а)), а = 1,2, и сеточная функция Fah e W1 (®(а); ), а = 1,2 определяются равенствами

(Ла!Уа,üа)w211®1аУа)) = бай СУа,Ца) , (AaÄ, üa )ж21(®(а);Г(а)) = Ой (ца) , (7)

V уа,оаеЖ1(®(а);/а)), а = 1,2.

Разностная схема (4)—(5) однозначно разрешима, более того

Ьа\Ц(®(а);Г(а)) < ^^^-^^IL, (®а)), а= 1,2 .

Доказательство теоремы основано на теории монотонных операторов и методике работы [15, С. 80]. Таким образом, итерационный процесс (4)—(5) сводит решение разностной краевой задачи (3) с разрывными коэффициентами и решением к решению, на каждой итерации n, двух нелинейных разностных краевых задач (4) и (5) в подобластях Q1 и Q2 соответственно.

В дальнейшем нам понадобятся следующие леммы.

Лемма 1. Для любых функций ц e W?(®<1)) и ц eW\(®{T') справедливы оценки

' 2 (® ) " ^2 ^ " 2 ' 1|2 2 и ц2

^11 L2(7s ) <jMI l2(®(1)) + 2Ь

ц1X1

Lr(®(1)+)

(8а)

II I|2 2 м ц2

Цг L , ч <-Цг I , (2К + 2(/i -Ь)

II 2"Ll(ys) / 2"Lr(® ) V1 ^

H2x1

l?(®<!,+)■ (8б)

Доказательство. Докажем оценку (8а/ Для этого зафиксируем произвольную точку 0 < х1 < ^ сетки ю/1-1. Можно убедиться, что справедливо представление

1 x2 ) = Ц (X1, x2 ) + Z (Z1, x2 )Й1

U z1 с®[1) 0<x1<11<^

Тогда, используя разностный аналог неравенства Гельдера, имеем

IIL ^) =ZH2 x2 )h2 =Z1 Z^ x2 )+ Z (zl, x2 )h )2h1h2 < 2 ZH(x)h1h2 +

2 S ®2 ®2 Ь ®11>+ U ^ Ь ^Х®

o<x<11<f

+ 2 Z h2 Z ( ZH1z (zl, x2 )h1)2 h < 2 ZH12(x)h1h2 + 2 Z h Z h ZH1x1 A1A2 =

e w 2/ ^ 1 £ ^ ^ 1 2 »

Ь ®2 ®«+ UZ1 Ь ®(1)+Х®2 Ь UZ1

0<x1<z1<4 0<x1<z1<b

2 II ||2 / 4 ^ ||2 In ||2 II II 2

=blH1lL2(®(1))+(Ь - x1 я^Ы^ (®(D+ ) < flNLn))+ЩЫ1

Аналогично доказывается оценка (8б). Лемма 1 доказана.

®, ®, Х®2

®

2

®

2

2

2

Лемма 2. Для любых функций ц e^2'(ffl(1);f(1)) и ц е ;/ J) справедливы оценки

1ц1| 1^2(^(1)) -max{^2;} llML;^)2IWIL^х,2+)}

Ы^) - maX{ (1 } ^ l^.,) x*)

Утверждение леммы 2 доказывается аналогично лемме 1. Введем обозначения:

2(") = к("Чх) = у1п)(х) -уДх). х е да(1);

2 х \А"\х) = у12")(х) -у2(х). х еда(2). Теорема 2. Пусть выполнено условие д = д . д2 < 1, где

1

/.

q (г,)

Ы\ -max{f;/22 }, M2 -max{(/1 -£)2;/2 }.

kM2 | 2_1цдц M2

2 + 2(/1 -£) J' 92 v'™^ г) [ 2 +

Тогда итерационный процесс (4)—(5) сходится по норме • ° (мь (следовательно, и в норме • ,_(1.2к , в силу их эквивалентности) к единственному решению задачи (3) при любом начальном приближении

y0(x) е W¡(w(2);r(2)) и справедливы оценки скорости сходимости:

\\z (n)í <■

ii \\v (®(1-2))

+ Цм2 + 2^ +

(919n-1)2 +

/1

2 +1 Jm I + 2(/1 -£) +1

4

(qn)2Hz20)ri (2),

N 2 Iw21(®(2))

\\z

(n)l|2 <">]{ Iay.2^*!r,n-1\2

V пг2(®(1-2)) 11^ 2

(

< 2^|4m2 + 2^ +(ад"-1)2 + M 22 + 2(/1 -£) +1 (qn )2Nz20)f1 (2) , n - 1Д

IW.J(®(2))

Л ^ 2,

Замечание 3. В связи с ограниченным объемом статьи, мы не имеем возможности привести доказательство теоремы. Заметим, что доказательство основано на теории разностных схем, в частности, разностных аналогах формул интегрирования по частям, неравенствах Гельдера и Коши-Шварца [2], леммах 1 и 2, а также идеях работы [12].

Далее, для учета нелинейной составляющей сеточной задачи (3), а значит и исходной задачи (1а)—(1с), мы сводим нелинейные разностные схемы (4) и (5) в каждой из подобластей П1 и П2 к линейным задачам, применяя стандартную методику, в частности, метод простой итерации с параметром [16]. А именно, нелинейные сеточные операторные уравнения (4) и (5) будем решать с помощью операторных уравнений (неявный метод простой итерации):

кс) /г1 = вС уСт)+Т(?аь - Ас^х (9)

(уС еЖ1(да(а);у(а)). т = 0.1..... г> 0. а = 1.2. где в(с) : Ж;1 (да(с); 7<С)) ^ Ж1 (даС; 7<с)) , а = 1, 2 - линейный сеточный оператор, определяемый билинейной симметричной положительно-определенной формой на Ж1(да<а);7<а)), а = 1, 2:

в,а)(у.и) =<в,а)уц > 1 а) а) , = Е у о КЙг, + Е у о йК + Е V о .

л V? / л ^' (W}(да2а'•;y2а')y / х1 а х1 Ч 2 / х2 а х2 1 2 / а 1 2'

(а)+ — —(а) + —(а) —

í^ Х®2 ^ Х®2 Oy х®2

• а = 1,2,

й-=s-(x-)x- иVй'1' »2=»2(x2)x2

[0.5h (x), x = 0,4, А, [0.5h2, x2 = 0, l2,

< Bh(a)Уа,Уa >(w-(Ja)-r<a)))* = ЬЛW2V«V«)) , (10)

который при фиксированном Уа £W((ö(a);r(a)) определяет линейный ограниченный функционал над Ж-(и(а^;г(а)), а = (,2 ; здесь разностный оператор А<й и сеточная функция Fah, а = 1, 2 определены формулами (7). Условия сходимости итерационных процессов (9) сформулируем в виде теоремы:

Теорема 3. Итерационный процесс (9) сходится к единственному решению ya уравнения А<йуа = Fah, а = 1, 2, при любом начальном приближении У(0), а = 1, 2, и

Vr: 0 <г< 2äW02,

где ö = min {v,90}, мо = maxjp",d0,L _ константы в неравенствах сильной монотонности и Липшиц-непрерывности оператора Aah, а = 1, 2, соответственно, а у, 00,v,d0,L?_ ограничения на входные данные исходной задачи, причем

\\/m+- - ^^ qm+l\У(0) - V II , ъ q < (, а = (,2.

1Ка ^^W- (и<а>;г<а)) 4 Va S^y-(и(а);г<а>)' 4

Параметр т = т0 = ЗМ02 обеспечивает более высокую скорость сходимости процесса (9). Для получения решения

л - - ^ т ж2(®(«);у(«)) „ . _ л л

с заданной относительном точностью --—^--—< е, а = 1,2, требуется не более ■ .

О, (.Л - А,2-, "' ^^ , .

/ ч Н

Ж1(®(а);Г(а)) 1 1

итерации.

Доказательство. Для доказательства сходимости итерационного процесса (9) к единственному решению уравнения (6) для а = 1, 2, воспользуемся принципом сжатых отображений С. Банаха [16, С 228]. Запишем процесс (9) в виде

у«т+1) = с^т+т (в« )-1 , си)

где оператор С«, = Е-т(в„)-1 А«, : Ж (®(а);у(а)) ^Ж{®(а);у(а)), а = 1, 2. Покажем,

что Сой является оператором сжатия в норме 11 • ||^ ( „) _ (а)). Отсюда будет следовать однозначная разрешимость уравнения ЛаЛуа = ^аЛ, а = 1, 2 и сходимость процесса (9). Обозначив через 2а = уа - получим:

\\Сакуа - СаН^аЦ,¥1 (®(«);у(«)) = < В<а (саЪуа - СаЬ^а ), СаЬуа - СаЬ^а > =

= < Ва (Уа - т(в^а) )-1 ЛаьУа - ^а + т(ва )-1 Л«^« ) ,

Уа - т(ва )-1 ЛаЬУа - + т(ва) )-1 Л«^« > = < В« (у «-»а)- т(ЛсЛУа - Лл3„), (Уа - ¿а ) -

- т(в£а) )-1 (ЛаьУа - ЛаА) >=< в« га , 2 > -т < в« Zа, (в« )-1 (Л«к.У а - Л«^« ) >

- т < ЛакУа - Ла/А , 2а > +т2 < ЛакУа - Лак^а , (вйа)) (Лайуа - Лай^а ) >

(®(«).у(«))- 2т < Лайуа - ЛаЬ^а, га > +т2 < Лайуа - Ла?А, (в,а)) (Лакуа -Лай^а ); .®„„,„ „ п„„„„„, „„„„——„,„ ----------л „, — 1 т гк р от

>-

II 1|2 2

= 1га1 (®(«);у(«))-2т < ЛаЪуа - Лак^а, га >+т

В силу сильной монотонности и Липшиц-непрерывности оператора Л^, а = 1, 2 [15, С. 80], выполняются неравен-

< ЛакУа - Aаh&а, У а-$а > ^ ¿¡Уа -$а Ц^®«)./«)). (12а)

¡ЛогУа -Ла-Ц^ауа))) <мОУа ^«у«)), Vyа А е Ж®«);/«) а = 1,2. (12б)

Дддае полагая в (72б) ,9« = (в„ )"'(А„,уа - А«^«), и используя (10), получим:

Ла,Уа - ЛагA, (в«^ (ЛаНУ а - ЛаИ$а)> < М о||Уа - „¡т®)-/« ) (в«^ (ЛайУа - Ла,А )

М о|| У а-« ж21(®(«);у(«) )< вг ((в,а) )-1 (ЛагУа - Л«А)), (ва) )-1 (Ла^у« - Л«гА)>1/:

= М У а - а Ж21(ж(«);у(«)) < ЛайУа - Лай^а, (в),а)(Ла,Уа - Лай^а) >12, « = 1Д.

|>12 =

(®(а);у(а))

У а

Поэтому

Тогда имеем

< Л«нУа - ЛсЛ.К, (в1а))-1 (Ла,Уа - Л«!^а) > <М0 Уа - £1 (и(«);у(«)), « = I,2.

||Са/гУа - Сай^а|| 221(®(«);у(«))<1 \2Л2"2 (®(а);у(а))- 2т^1221(®(«);у(«)) +0 221(®(«);у(«)):

= (1 - 2т8+т2М о2 г«|| Ж (®(а);у(а) )

^./■т II2

-,1 (®(«);у(«)),

<Я-IIгЛ„./ (а) („л, а = 1,2

||Сай.Уа- Сай^а||и21(®(«);у(«) )< Я 'ЬЛцт1 (®(„) .у(„)), «= !,2 , (13)

где ц2 = 1 - 2т8+т2М

Из (13) следует, что для того, чтобы оператор СаЛ являлся оператором сжатия, достаточно, чтобы д б^1ло меньше 1, т.е. выполнялось неравенство:

1 - 2т5 + т2М1 < 1, отсюда т < 25М02.

Ясно, что минимум д2 достигается при т = т0 = 8Мд .

Итак, при 0 < т < 25Мд оператор СаЛ является оператором сжатия. Из принципа сжатых отображений следует, что существует единственная неподвижная точка у е Ж21(®(«);у(«)) оператора Сф, т.е. уа = СаЛуа, а = 1, 2.

Далее, обозначив 2(т+1) = У(т+1) - Уа , а = 1, 2, имеем из (11), что

= саку(:) + г (яг )-1 ^ - СалУа - г (яка))-1 ^ = С^ - С^;

»2 (т+1^ < (т)ц • а Ж да^;^ )< д11 а \щ да^;^ );

11у(т+1)-у II ^ ^ д||у(т)-у II , ^ ... < дт+11 у(0)-у II ^ N д < 1а = 12

Из последнего неравенства следует, что у(т сходится к неподвижной точке уа оператора Сол по норме пространства Р1(<®(с);7(с)) при любом начальном приближении у(0), а = 1, 2. Тогда из (11) следует, что

ВсНус = Вакуа Г (АаНуа - ¥ак) , Аакуа = ^, а = 1, 2 те. Уа является решением уравнения Алуа = , а = 1, 2. Для нахождения числа итераций при заданной точности е

Цу(т) - у II / *

-¡-^—17—1 <е. а = 1.2,

y(0) _ Ya Уа\)

|| У а

воспользуемся неравенством

llyW_ y II / \< qiy(o)_ Y II / а = 1,2,

qm <s , ln qm < ins,

где e - достаточно малое число; тогда

|ln qm\> |ln s\,

m in q > _ in s,

^ in(1/s) m —. |ln q\

Теорема 3 доказана.

Запишем в явном виде итерационный процесс (9) для решения нелинейных сеточных задач (6). Для этого в сумма-торном тождестве, определяющем итерационный процесс (9) при а = 1 :

Iy|+1)" AA + IYi.2(m+1)" V-,AA +1 IyST*(S,x2)oSl (S,x2)hih2 +

(i)+ (1) + 2 + ij -Юг ХЮг C

\IУГ)И(S,-2)v(S,x2)AA +Iyr)nu1 \h2 = IymV AA + IУlx2(m),""1x2AA +11 yî? » AA +11 ym " (S, -2)v(£, x2) AA + I yim)" v AA +

>2+ 2 C ®(1)

I f1h (x)v(x) AA + 11 f1h (S, -2»(£, x2) AA +Ieh ( X2)y2m), " _1(S, -2»(£, x2) h2 _

_ I<у!?"»1x1 AA_ Iy^"»1xx2AA_

(1)+ (1) + C x&2 C x®2

_11<(S,x2)ym"(S,-2» (S,x2)AA _ 11dh(S,x2)q1(y2m),"»(S,x2)AAг _

2 C(2)

2 + T-

_I dh (S, x2)q1( УГ " )v(S, x2) h1h2 ( x2) y^ " (S, x2)v(S, x2) A

\

/

при фиксированном п = 1, 2, ..., т = 0, 1, ..., т > 0, где ц(х) е ^'(да'1';^'1') - произвольная сеточная функция, положим

и1(х) = 1 в некотором узле сетки СО ^ и нулю в остальных узлах. Аналогично в сумматорном тождестве, определяющем итерационный процесс (9) при а = 2:

Е у2:Г" о2хх1 кл + е у2 х2( т+1)." 02 х2 кк+1Е у2т2+1)." х2)о2х-2 (£ х2) кь +

-2 ' IJ 2 x 2 2 x2 1 2 л! У 2 x , \Ъ ? 2 2x^ ? 2 у 1 2

C(2)+ xC2 C(2) xc2+

2 2 x 2 1 2 2 x 2 2 2 x 2

+11 y2m+1^ " (S, x2)»2(S, x2) AK +1 y2m+u " »2 AK = I y2m:), "»2x1 AK + I y 2 x2 (m^ "»2x2 AK +

2 '+x®2 2 ' xc+

+ 11 y2m2}^ " (S, x2)»2x-2 (S, x2) AA + 11 y2m)1, " (S, x2)»2(S, x2) AA +I У2m), "»2 Ah2 +

+ -2 w ^ 1 2 2

C с

C(2)

+ 2

со

со

со

+ т-

Е А Ф^) ¿А + 1 Е А Е, Х2)^2(^, Х2) + Е^ ^2) У^ " (Е, , -

- Е^Ут"42X1 ^ - Е«2?У^0*"«2X2№ -

- 1Е ^(Е, Х2) " (Е, Х2)«2Х (Е, *2) -Е ^ (Е, У2ИХ" «Е, ^2) ,, -

2 ®2+ ®<2)

Л

- 1 Е ^ (Е, Х2)Ц2( У2т:1," М(Е, Х2) ,,2 -Е^й (Х2) У2"' " (Е, Х2)«2(#, ^2) ,

при фиксированном « = 1, 2, ..., да = 0, 1, ..., т > 0, где « (х) е Ж2 (® ;у ) - произвольная сеточная функция, положим и2(х) = 1 в некотором узле сетки ®<2) и нулю в остальных узлах. Перебирая, таким образом, все узлы сеток ®(1) и ®(2) получим явный вид итерационного процесса (9) для нелинейных сеточных задач (6). Выпишем явный вид операторов

в« и в® :

ву У1 =

-Еущ*к + у^хе® ;

к=1

0, X еу( 1 ) = д®( 1 )\ у5; 2

- У1г2х2 +—Ущ + Уи х еУ?.

У2 =

-Е 2хкхк + У2, х е ® ;

к=1

0, X е у(2) =д®(2)\ у5;

-У2!2х2 — У2х1 + У2, х еУs.

Таким образом, нелинейные разностные задачи (4) и (5) в подобластях составной области, на каждом шаге итерации, сводятся к линейным разностным задачам. Явный вид полученных задач (разностных схем) имеет вид:

X е ®

(1) .

- У1£1Х" - У1£1Х" + У1(т+1Х" =-у(Й" - Ут" + У((тХ" + Ч«(X)ут" (X))X! +

+ « (X)У^" - ^ (X) ц (у1т" (X)) + У1, (X)};

X е у(1) = д®(1) \ у : у1(т+1)," (X) = 0;

X еу = {с1 = Е, X = ®г}:

(14)

2 2

2 У,(ГХ" (Е, x2) - у^" (Е, X,) + уГ0, " (Е, x2) = - ут" (Е, х) - У<£" (Е, х) +

2

—( А

+ У^" (Е,^) + (Е,^) + f вк (X) у^"-'(Е^) - -2 [«(ЧЕ^) у£х" (Ел) +

+ (X)У1(тХ"(Е,X)] - (Е,^(У1(^"(Е,X1)) + («1)(Е, X)у^"(Е,X1)\ };

X е ®(2) :

- у2т1;1)^" - у2£х" + у2т+1Х" =-у2$" - У^ + у2тХ" + т- {(«Т«у2т1х" (X)), +

+ («2? (X)у2™Х" (X)) X, - й2, (X) ц2 (у2тХ" (X)) + /2, (X)};

X е у(2) = д®(2) \ у : у(т+()," (X) = 0; х:еу3 :

(15)

2

-У2;+1А" (Е^2) - y2™+x2,," (Е^2) + y2и+1)," (Е^) = ~ у2Г/- " (Е^) - у2т);" (Е^2) +

V

V

2

—( й(

+ у2иХ " (Е^2) + /2, (Е^2) + 2вк (X2) Уl(и)," (Е^2) + ^[<2)(Е + ь^) y2:)," (Е^) -

(X2) у2иХ " (Е^2)] - й2й (Е^Ш Ут" (Е^2)) + «(Е^) y2m)," (Е,X2))x2}.

Для решения сеточных задач (14) и (15) в подобластях П1 и П2 используется итерационный метод верхней релаксации [16, с. 375].

®

®

®

®

со

(2)

2

2

4. Численные результаты

Здесь мы приводим результаты численных экспериментов, соответствующие применению исследований предыдущей секции. Вычислительные эксперименты проведены с использованием интегрированной среды разработки Embarcadero Delphi пакета Embarcadero RAD Studio. Мы приближенно решили несколько модельных задач с известными аналитическими решениями для того, чтобы добиться точности приближенного решения. Относительная погрешность приближенного решения вычислялась по формуле maxu(x) - y(x)| • (maxu(x)|) 1, x e w = (®1(1) x ®2 (®/2) x W2). В связи с

ограниченным объемом статьи мы приводим здесь только два тестовых примера. В обоих примерах расчетная область Q является квадратом с различными расположениями линии разрыва.

Пример 1. Задача о сопряжении неидеального контакта в единичном квадрате: Q = Qj x Q2,

Ц = Ц и6Q = [0,Е]x [0,1] = [0,14]x [0,1], Q=Q иSQ2 = [£1]x [0,1] = [1/4,1]x[0,1]. Линия разрыва проходит

через точку ^ = 1/4. Входные данные:

ВД = ^ = 2 - Х2; ВД -jf21)(X) =1 + * «„) =

k(2)( x) = 14; [4 (x) = 1 + x2; 3(19 -10x2)

2 6 7

Жx) = - 2 x2 (2 - x2)(1 - x2 )(2 - 3x1) + ^ x1x2 (1 - x2 )(2 - x2) - 7 x12 (1 + x1)(2 - x1) +

+ (0.2xj + x2)(0.2 x2 x2 (2 - 2xj)(1 - x2)J;

1 2

/2(x) = — x2 (1 - x2,(2 - x2, - x-1 (1 - xj)(2 - 6x2 + 3x2 ) - x (1 + x2,(1 - x^)(-6 + 6x2) +

+ (0.2xj + x2)(xjx2(1 -xj)(1 -x2,(2 -x2,)3; dj(x) = ^(x) = 0.2xj + x2; (ui) = uf, i = 1,2. подобраны таким образом, что функция

|u[(x) = 0.2x2x2(2-2x[)(1 -x2), x eQ¡,

U (x) — s

IU2 (x) = xx (1 - x[ )(1 - x2 )(2 - x2), x e Q2

является точным решением задачи.

Расчеты проводились для разных вариантов задания сеток в подобластях и П2, и значениях параметра т. В частности, в табл. 1 и 2 представлены численные результаты при т = 0.5 на сетках, содержащих 24x68 и 42x68 узлов в и

□2 соответственно. Здесь Д = \иточн (X) - у^), X = ^, X ) е ® ей.

Таблица 1

Приближенное решениеу1 на сетке ®(1) с , 24x68 узлов, т = 0.5

x2 /x 0 0.063 Дх 0.125 Дх 0.188 Дх 0.25 Дх

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.12 0 0.00014 0.00001 0.00055 0.00002 0.00000 0.00005 0.00000 0.00006

0.24 0 0.00024 0.00003 0.00095 0.00005 0.00117 0.00009 0.00192 0.00012

0.35 0 0.00030 0.00004 0.00118 0.00006 0.00200 0.00010 0.00330 0.00011

0.47 0 0.00032 0.00005 0.00127 0.00009 0.00252 0.00014 0.00416 0.00016

0.59 0 0.00030 0.00006 0.00122 0.00010 0.00272 0.00015 0.00451 0.00018

0.71 0 0.00026 0.00005 0.00104 0.00008 0.00262 0.00012 0.00436 0.00014

0.82 0 0.00018 0.00004 0.00073 0.00007 0.00224 0.00013 0.00372 0.00017

0.94 0 0.00007 0.00001 0.00028 0.00003 0.00157 0.00004 0.00260 0.00006

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Таблица 2

Приближенное решениеy2 на сетке w(2) с Q , 42x68 узлов, т = 0.5

x2/ xj 0.25 Дх 0.464 Дх 0.679 Дх 0.893 Дх 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.12 0.03651 0.00013 0.04855 0.00005 0.04262 0.00000 0.01867 0.00002 0

0.24 0.05931 0.00023 0.07890 0.00008 0.06926 0.00001 0.03034 0.00004 0

0.35 0.07023 0.00030 0.09347 0.00008 0.08205 0.00001 0.03594 0.00005 0

0.47 0.07112 0.00033 0.09470 0.00007 0.08312 0.00002 0.03641 0.00005 0

0.59 0.06380 0.00031 0.08499 0.00006 0.07460 0.00002 0.03267 0.00004 0

0.71 0.05012 0.00026 0.06679 0.00004 0.05862 0.00001 0.02567 0.00003 0

0.82 0.03189 0.00017 0.04250 0.00002 0.03730 0.00001 0.01634 0.00002 0

0.94 0.01093 0.00006 0.01457 0.00001 0.01279 0.00000 0.00560 0.00001 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Относительная погрешность приближенного решения в подобласти равна 0.04372, а в П2 - 0.0034. Сходимость метода численного решения контактной задачи ухудшается, когда значения функции приближаются к линии разрыва (рис. 1).

0,188 0 25 %

Рис. 1. График абсолютной погрешности Ах приближенного решения y в подобластях fli (а) и (б).

Пример 2. Задача о сопряжении неидеального контакта с линией разрыва в точке ^ = 1/3, с известным точным решением:

u(x) =

<l(x) = Х2(2 — 2x2 ) sin2^xi, x

t2 (x) = 0.25x2 (2 — 2x2 ) sin2 (2nx1 ), x s Q2

Входные данные: k(i)(x) = V3/4, k1(2)(x) = k(1)(x) = k2,2)(x) = 1, qi(«i) = «3, q2(«2) = «3 ,

_/i(x) =V3^2X2 (2 — 2x2 )sin2^Ci + 4sin2^Ci , У2(х) = —2л1Х2 (2 — 2x2 )cos4®Ci + sin2 2nxi , di(x) = ^(x) = 0.4xi + X2 , <9(x2) = 4у[3к/(8л/3 — 3) .

В табл. 3 и 4 приведены результаты расчетов при т = 0.7 на сетках, содержащих 24x51 и 35x51 узлов в Qi и Q2 соответственно. На рис. 2 отображен график погрешности Дх приближенного решения y.

Приближенное решениеyi на сетке ®(1) ^ Qj, 24x51 узлов, т = 0.7

Таблица 3

x2¡ xi 0 0.083 Дх 0.167 Дх 0.25 Дх 0.333 Дх

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.12 0 0.10386 0.00136 0.17989 0.00323 0.20774 0.00346 0.17995 0.00318

0.24 0 0.18003 0.00171 0.31183 0.00448 0.36010 0.00470 0.31192 0.00438

0.35 0 0.22850 0.00183 0.39579 0.00127 0.45706 0.00206 0.39592 0.00140

0.47 0 0.24928 0.00108 0.43177 0.00020 0.49861 0.00041 0.43191 0.00006

0.59 0 0.24235 0.00133 0.41978 0.00029 0.48476 0.00096 0.41991 0.00043

0.71 0 0.20773 0.00257 0.35980 0.00275 0.41550 0.00370 0.35992 0.00286

0.82 0 0.14540 0.00166 0.25186 0.00410 0.29084 0.00436 0.25193 0.00403

0.94 0 0.05539 0.00081 0.09594 0.00186 0.11079 0.00201 0.09597 0.00184

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Таблица 4

Приближенное решениеy2 на сетке да(2) , 35x51 узлов, т = 0.7

x2¡ xi 0.333 Дх 0.524 Дх 0.714 Дх 0.905 Дх 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.12 0.03930 0.00040 0.00122 0.00003 0.04955 0.00059 0.01653 0.00015 0

0.24 0.06814 0.00043 0.00213 0.00007 0.08591 0.00071 0.02866 0.00015 0

0.35 0.08650 0.00098 0.00272 0.00015 0.10905 0.00102 0.03639 0.00045 0

0.47 0.09437 0.00073 0.00297 0.00016 0.11897 0.00069 0.03970 0.00035 0

0.59 0.09175 0.00081 0.00289 0.00016 0.11566 0.00080 0.03859 0.00038 0

0.71 0.07863 0.00123 0.00247 0.00014 0.09913 0.00136 0.03308 0.00055 0

0.82 0.05502 0.00046 0.00172 0.00005 0.06938 0.00071 0.02315 0.00017 0

0.94 0.02095 0.00025 0.00065 0.00001 0.02642 0.00036 0.00882 0.00009 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Относительная погрешность приближенного решения в подобластях П1 и П2 равна 0.0094 и 0.0115 соответственно.

0,333

Рис. 2. График абсолютной погрешности Дх приближенного решения у в подобластях Qi и

Заключение

Проведено численное исследование задачи Дирихле для нелинейных уравнений эллиптического типа с условиями сопряжения типа неидеального контакта. Численные эксперименты подтвердили эффективность предложенного в работе метода численного решения. В рассмотренных выше примерах сходимость метода ухудшается, когда значения функции приближаются к линии разрыва.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук (МК-4147.2015.1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

2. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы решения эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. 352 с.

3. Wesseling P. An introduction to Multigrid Methods. Wiley, N. Y., 1991.

4. Ильин В. П. Балансные аппроксимации повышенной точности для уравнения Пуассона // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37. №1. С. 151-169.

5. LeVeque R. J., Li Z. The immersed interface method for elliptic equations with discontinuous coefficients and singular sources // In SIAM J. Num. Anal., 31. 1994. Pp. 1019-1044.

6. Iliev O. P. On second-order-accurate discretization of 3D interface problems and its fast solution with a pointwise multigrid solver // IMA Journal of Numerical Analysis. 2002. Vol. 22. No. 3. Pp. 391-406.

7. Ewing R., Iliev O., Lazarov R. A modified finite volume approximation of second-order elliptic equations with discontinuous coefficients // SIAM Journal on Scientific Computing. 2001. Vol. 23. No. 4. Pp. 1334-1350.

8. Chernogorova T., Iliev O. A 2nd Order Discretization of Imperfect Contact Problems with Piece-Wise Constant Coefficients on Cell-Centred Grids. //Large-Scale Scientific Computations of Engineering and Environmental Problems II, Proc. of the Second Workshop on "Large-Scale Scientific Computations", Sozopol, Bulgaria, June 2-6, 1999, Notes on Numerical Fluid Mechnanics, v. 73, Vieweg, 2000. Pp. 171-179.

9. Chernogorova T., Ewing R., Iliev O., Lazarov R. On the Discretization of Interface Problems with Perfect and Imperfect contact. // Proc. of the Int. Workshop on Computational Physics: Fluid Flow and Transport in Porous Media (Z. Chen, R. Ewing and Z. Shi, Eds.), Lecture Notes in Physics, v. 552, Springer-Verlag, Heidelberg. 2000. Pp. 93-103.

10. Лубышев Ф. В., Файрузов М. Э. Об одном итерационном процессе для граничных задач о сопряжении с разрывным решением // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. N°3. С. 30-31.

11. Лубышев Ф. В., Файрузов М. Э., Галеева Г. Я. Итерационные процессы для состояний с разрывными коэффициентами и решениями в задачах оптимального управления квазилинейными уравнениями // Журнал СВМО, 2011. Т. 13. N°2. С. 36-46.

12. Лубышев Ф. В., Файрузов М. Э. О некоторых итерационных процессах решения эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и решениями с конструктивными оценками скорости сходимости итераций // Журнал СВМО. 2014. Т. 16, №»1. С. 89-105.

13. Lubyshev F. V. Finite difference approximations of optimal control problems for semilinear elliptic equations with discontinuous coefficients and solutions // Comp. Math. and Math. Physics. 2012. Vol. 52. No. 8. Pp. 1094-1114. DOI: 10.1134/S0965542512080088

14. Lubyshev F. V., Manapova A. R., Fairuzov M. E. Approximations of optimal control problems for semilinear elliptic equations with discontinuous coefficients and solutions and with control in matching boundary conditions // Comp. Math. and Math. Physics. 2014. Vol. 54. No. 11. Pp. 17001724. DOI: 10.7868/S0044466914110088

15. Manapova A. R., Lubyshev F. V. Accuracy estimate with respect to state of finite-dimensional approximations for optimization problems for semilinear elliptic equations with discontinuous coefficients and solutions // Ufa Mathematical Journal. 2014. Vol. 6. No. 3. Pp. 69-84. DOI: 10.13108/2014-6-3-69

16. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

Поступила в редакцию 18.08.2015 г.

ON FINITE DIFFERENCE METHOD OF SOLVING IMPERFECT CONTACT DIRICHLET'S PROBLEM FOR NON-LINEAR ELLIPTIC EQUATIONS

© A. R. Manapova

Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 32.

Email: [email protected]

The present work is devoted to computational aspects of solving non-linear boundary value problems for elliptic equations in inhomogeneous anisotropic media with discontinuous coefficients and a solution, where imperfect-contact matching condition is given at the inner boundary between media. I.e., the problems having a jump of the coefficients and the solution on the inner surface of body contact; the jump of the solution is proportional to the normal component of the flux. We develop approximate method for solving nonlinear elliptic equations with imperfect-contact matching condition. Iterative processes with iterations on the inner boundary of the domain, where the coefficients and the solution are discontinuous, reduce the initial problem to solving non-linear boundary value problems in each contacting sub-domain of an integral domain at each iteration. By applying iteration method with a parameter, we reduce the non-linear problems in each of the sub-areas to linear ones. We implement iterative processes based on the upper relaxation method. Results from computations for model examples with known analytical solutions are presented in order to demonstrate the effectiveness of the proposed method. Computer experiments are included, using IDE Embarcadero Delphi.

Keywords: contact problems, non-linear elliptic equations, discontinuous coefficients and solution, finite-difference method, iterative method, imperfect-contact matching condition.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Samarskii A. A. Teoriya raznostnykh skhem [The theory of difference schemes]. Moscow: Nauka, 1983.

2. Samarskii A. A., Andreev V. B. Raznostnye metody resheniya ellipticheskikh uravnenii [Difference methods for solving elliptic equations]. Moscow: Nauka, 1976.

3. Wesseling P. An introduction to Multigrid Methods. Wiley, N. Y., 1991.

4. Il'in V. P. Sib. matem. zhurn. 1996. Vol. 37. No. 1. Pp. 151-169.

5. LeVeque R. J., Li Z. In SIAM J. Num. Anal., 31. 1994. Pp. 1019-1044.

6. Iliev O. P. IMA Journal of Numerical Analysis. 2002. Vol. 22. No. 3. Pp. 391-406.

7. Ewing R., Iliev O., Lazarov R. SIAM Journal on Scientific Computing. 2001. Vol. 23. No. 4. Pp. 1334-1350.

8. Chernogorova T., Iliev O.Large-Scale Scientific Computations of Engineering and Environmental Problems II, Proc. of the Second Workshop on "Large-Scale Scientific Computations", Sozopol, Bulgaria, June 2-6, 1999, Notes on Numerical Fluid Mechnanics, v. 73, Vieweg, 2000. Pp. 171-179.

9. Chernogorova T., Ewing R., Iliev O., Lazarov R. Proc. of the Int. Workshop on Computational Physics: Fluid Flow and Transport in Porous Media (Z. Chen, R. Ewing and Z. Shi, Eds.), Lecture Notes in Physics, v. 552, Springer-Verlag, Heidelberg. 2000. Pp. 93-103.

10. Lubyshev F. V., Fairuzov M. E. Matematicheskoe modelirovanie. 2000. Vol. 12. No. 3. Pp. 30-31.

11. Lubyshev F. V., Fairuzov M. E., Galeeva G. Ya. Zhurnal SVMO, 2011. Vol. 13. No. 2. Pp. 36-46.

12. Lubyshev F. V., Fairuzov M. E. Zhurnal SVMO. 2014. Vol. 16, No. 1. Pp. 89-105.

13. Lubyshev F. V. Comp. Math. and Math. Physics. 2012. Vol. 52. No. 8. Pp. 1094-1114. DOI: 10.1134/S0965542512080088

14. Lubyshev F. V., Manapova A. R., Fairuzov M. E. Comp. Math. and Math. Physics. 2014. Vol. 54. No. 11. Pp. 1700-1724. DOI: 10.7868/S0044466914110088

15. Manapova A. R., Lubyshev F. V. Ufa Mathematical Journal. 2014. Vol. 6. No. 3. Pp. 69-84. DOI: 10.13108/2014-6-3-69

16. Samarskii A. A., Nikolaev E. S. Metody resheniya setochnykh uravnenii [Methods of solving difference equations]. Moscow: Nauka, 1978.

Received 18.08.2015.