Вычислительные аспекты решения задач оптимизации для полулинейных эллиптических уравнений с условиями неидеального контакта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6:517.962

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С УСЛОВИЯМИ НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА

© А. Р. Манапова*, О. Г. Арисова

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

*Етай: [email protected]

Настоящая работа посвящена вычислительным аспектам решения задач оптимизации для полулинейных эллиптических уравнений с условиями неидеального контакта. В качестве управления выступают коэффициенты в правой части уравнения состояния. Предложен численный алгоритм для минимизации функционала в зависимости от состояния системы и управления. Алгоритм основан на использовании сеточных аналогов градиентных методов, причем при вычислении градиентов используются численные решения прямой задачи для состояния и соответствующей вспомогательной сопряженной задачи. Разработана программа и проведены вычислительные эксперименты для ряда модельных задач.

Ключевые слова: задачи оптимизации, контактные задачи, нелинейные эллиптические уравнения, разрывные коэффициенты и решение, конечно-разностные методы, условия неидеального контакта.

1. Введение и постановка задачи

В работе изучаются задачи оптимального управления, описываемые эллиптическими уравнениями в неоднородных анизотропных средах с разрывными коэффициентами и решениями (состояниями) с условиями сопряжения типа неидеального контакта [1-2]. В качестве управления выступают коэффициенты в правой части уравнения состояния. Такие задачи часто возникают при математическом моделировании и оптимизации процессов теплообмена, диффузии, фильтрации, эластичности и т.д., при изучении обратных задач и задач оптимального управления для уравнений математической физики (УМФ) в многослойных средах. Разрыв коэффициентов и решения возникает тогда, когда среда неоднородна и состоит из нескольких частей с различными свойствами, либо когда область содержит тонкие прослойки 5 с физическими характеристиками, резко отличающимися от основной среды.

Нелинейные задачи оптимизации в большинстве случаев не подлежат аналитическому исследованию и требуют применения численных методов решения. Численное решение задач оптимизации с использованием ЭВМ связано с решением следующих вопросов:

1) постановка задач оптимизации, обеспечивающая существование решения на множестве допустимых управлений;

2) сведение задач оптимизации к последовательности конечномерных задач, обеспечивающее сходимость в некотором смысле решений конечномерных задач к решениям исходных задач оптимального управления;

3) численное решение конечномерных задач.

Важные результаты для задач оптимизации,

описываемых нелинейными уравнениями математической физики с разрывными коэффициентами и со-

стоянием, получены в статьях [3-4], где изучены вопросы корректности постановок оптимизационных задач и их аппроксимаций, сходимость аппроксимаций по состоянию и функционалу цели, слабая сходимость по управлению, и регуляризация аппроксимаций по А. Н. Тихонову. Разработка эффективных численных методов решения конечномерных сеточных задач оптимизации также является актуальным вопросом. Заметим, что в работах [5-7] разработан и реализован итерационный метод решения контактных краевых задач для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и состоянием.

Данная работа является продолжением указанных выше результатов и направлена на разработку и реализацию численных алгоритмов минимизации функционала цели, зависящего от состояния и управления. В частности, для решения сеточных оптимизационных задач применяются сеточные аналоги градиентных методов, причем при вычислении градиентов используются численные решения прямой задачи для состояния и соответствующей вспомогательной сопряженной задачи. Разработана программа и проведены вычислительные эксперименты для ряда модельных задач.

Пусть

2

О = {г = (ТХ,г2) е Я : 0 < га < ¡а,а = 1.2}

2

- прямоугольник в Я с границей дО = Г. Пусть область О разделена внутренней контактной

границей 5 = {г = 0 < г2 < 12} , где 0 < ^) на левую О = О

= {0 < г < 0 < г < «2 }

2 < «2} и правую

О2 = О = [£ < г < ^, 0 < г < ^ } подобласти с границами дО1 = дО и дО2 = дО+, соответственно. Так что О = О и О2 и 5, где дО - внешняя граница области О. Через Г обозначим границу области Ок без 5, к = 1.2. Поэтому дОк = Г и 5, где Г, к = 1.2 - открытое непустое подмножество из дОк, к = 1.2 ; и Г и Г = дО = Г. Через и , ос = 1.2, обозначим внешнюю нормаль к границе дОа области О, о = 1.2. Пусть п = п(х) - единичная нормаль к 5 в точке х е 5, ориентированная, например, таким образом, что нормаль п является внешней нормалью к 5 по отношению к области О!, т.е. нормаль п направлена внутрь области О2 . Ниже, при постановке краевых

задач для состояний процессов управления, 5 - это прямая, вдоль которой будут разрывны коэффициенты и решения краевых задач, которые в областях

Ох и О 2 обладают некоторой гладкостью.

Рассмотрим следующую задачу. Требуется минимизировать функционал цели J: и ^ Я1 в виде:

8 ^ J(8) = Ли(г1,г;8) -и0\г)\ где и^ еЖ!(Ог)

- заданная функция, (1)

на решениях и (г, 8) задачи Дирихле для полулинейного эллиптического уравнения с разрывными коэффициентами и состоянием:

Здесь

2 я

-I —

«=1 дха

(

du

\

ka(x) —

dx«y

+ d(x)q(u) = f (x), x еЦ U Q

u(x) = 0, x е dQ = Г U Г2,

(2а),

удовлетворяющих дополнительным условиям на границе 5 разрыва коэффициентов и решения, позволяющим «сшить» решения и и1 (х) и и2 (х) вдоль

контактной границы 5 областей О и О 2 следующего вида:

[ki(x)^] = 0, G(x) =

dxj

к (x) -8щ I = в(x2)\и\, x е S,

8хг)

(2б),

и соответствующих всем допустимым управлениям

g = (fi, f2) е U:

2

и = ПС н = L (Ц) xL2 (Q),

ua = [ga(x) = fa(x) е L2(QJ : 0 < go < < gjx) < go i .ä.iä QJ,a = 1.2.

ka( x\ d (x\ f (x) = ■ u( x) = -

q(Z) =

[u] = u2 (x) - u (x) - скачок

(x\ di(xX f (xX x е Qj; \k™(x), d2(x% f2(x), x е Q2, щ (x),x е Q; [u2 (x), x е Q2, е R;

{Ч2(%2),%2 е R функции u(x) на S ; ka (x), а = 1.2, d(x) заданные функции, определяемые по-разному в Q и Q, которые имеют разрыв первого рода на S; qa (£а), а = 1.2, заданные функции, определенные для £,ае R, а = 1.2; в(х2), x2 е S. Предположим, что заданные функции удовлетворяют условиям: ка( x) еЖ*(0) WQ), а = 1.2, d(x) е L„(Qj) X L„(Q2) , 0(x2) е L„(S),

0 <v< ка( x) <v, а = 1.2, 0 < < d (x) < для x е Q1 U Q2 и 0 <в0 <0(x2) <в0 для x е S, где v,v, d0, dо, O0 ,в0, g0 и g0 заданн^1е константы; функции Ца (да) удовлетворяют условиям: qа(0) = 0,

0 < Я0 < (Яа (Яа) - Ча ($а))'(.Яа ~Яа) < Lq <® для всеХ Яа ,Яа е R .а*Яа , h = Const .

В дальнейшем нам понадобятся некоторые пространства, введенные в работе [3]. В частности,

пусть Г к представляет собой часть границы 8Q.

Через Wj(Qk; Г) обозначим замкнутое подпространство пространства W2(Qk) , в котором плотным множеством является множество всех функций из C1(Qk), равных нулю вблизи

Гк с 8Qk, к = 1.2 .

Введем в рассмотрение пространство

Vг ,г (Q(L2)) пар функций

и(x) = (щ(x),и2(x)) : VГ!,Г2(П(1,2)) =

= {и(x) = (uj (x), U2 (x)) е W2 (Qj; Г ) x W2: (Q; Г2)} с нормой

2 2 (я,, Л2 |u|-Г1,Г2 =1. J! dQ, +J\u? dS.

k=1 ака=1 К^а) S

Под решением задачи (2) при фиксированном управлении g(x) е U понимается функция

u е Vг1х1(Ц(1,2)),

УЭеУ г ,г (Ц(12)) тождеству:

удовлетворяющая

а=1

Ек (-д-3 + d а(и) 3

1

о1и о2

+ 1^ [и][3] dS = 1 / 3^О0

+

О и о2

2. Разностная аппроксимация краевых задач

Задачам оптимального управления (1-3) поставим в соответствие следующие разностные аппроксимации: минимизировать сеточный функционал:

(4)

Jh (Ф*) =ЯУ(Ф„) - и01) М2 = у(Ф*) -и01) ,

при условиях, что сеточная функция

у еК/ч,/2) (Ш(1'2)) , называемая решением разностной краевой задачи (разностной схемы) (2), удовлетворяет для любой сеточной функции

V е Vп,У2 (ш(1'2)) суммарному тождеству:

2 Г

X X а1А' *1 *2 + X а<2<*) У^^2 *1 *2 +

+ — Xу -V - к, к +

^^ 2к у ах2 0x^2 1 2 2 Гя

+ X daкqa(ya) ^ кА+1X daкqa(ya) ^ кк

+ Хв* (Х2)[ у][ф2 =

Гя

2 Г

2 1

=X Xфo. ч кк +1 Xфo. ч кь.

\

____а ' Ч"2

а=1 ^®<а> 2 П

а сеточные управления ф таковы, что

(5)

ф* = (Ф1*,Ф2к) еП^ак = ик с Н„ ,

а=1

2

Нк =П ^ 2(®(а) игя ) ,

а=1

иак = к*: Я0 < Фак(х) < ¿0, хе Ша) и^я} а = 1.2. Здесь

0(х), х), dаh(х), а =

,(2)

= 1.2, вк (х2), и0к}(х)

- сеточные аппроксимации функций ка)(г), ка2)(г), dа (г), а = 1.2, в(г2), и01)(г), определяемые через усреднения по Стеклову. Определения сеток ш(1,2),о)(а) иу$, а = 1.2 и сеточного пространства Vг(1),г(2) (Ш(1,2)) можно посмотреть в работе [4].

Задача (5) представляет собой сеточный аналог исходной задачи для состояния с разрывными коэффициентами и решением (2).

3. Численное решение конечномерной задачи оптимизации

Вообще говоря, задача (4-5) не является корректно поставленной задачей по Тихонову (см.[3, с. 1714]). Поэтому нет никаких оснований ожидать, что любая минимизирующая последовательность для функционала Jh (Фк) на ик будет сильно сходиться по норме Нк ко множеству ик» = {Фк» е ик: J(Фh«) = Jht} ^ 0 минимумов ^ (Ф). Заметим, что на практике значения сеточного функционала ^ (ф) вычисляются приближенно, как в силу неточных входных данных, так и в силу того, что счет ведется с округлениями, так что вместо функционала ^ (Фк) фактически используется приближенный функционал (Фк), который связан с ^ (ф) следующим образом:

Jhsí (фн ) = Л (ф* ) + Хщ (ф* ) , \Хщ(Фк)| <3*, VФк еик, Зк ^ +0 приЩ ^0 .

Для регуляризации семейства сеточных задач оптимизации (4-5), применим метод регуляризации Тихонова. Для каждого к = (Ц, Ц) рассмотрим на и сеточный функционал Тихонова задачи (4-5):

ткал (фк ) = -?кзл (фк ) + аО (фк X фк е ик , (6)

где Ок(Фк) = ||Фк||^ , Фк е ик, - сеточный стабилизирующий функционал, а {ай} - произвольная последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю при Ц ^ 0.

Рассмотрим задачу минимизации функционала (6) при условиях (4-5): для каждого к > 0 найдем сеточное управление Фк = Фка у (х) еик, удовлетворяющее условиям:

Та * = Х Тка (Фк ) < Та (ФФк ) < Та . + Ущ

(7)

где последовательность {ук} такая, что ук > 0 и 0 при Ц ^ 0. Здесь последовательность {у,г} характеризует точность решения задачи минимизации функционал Тихонова Тй на ик. Такая точка

(ф^ существует по определению точной нижней грани, т.к. ун положительна и т^ (ф) ограничен снизу на и . Поскольку существует хотя бы одна точка (ф^, при котором функционал ^ (ф) достигает своей нижней грани Тйа » на ик, можно допустить, что в (7) ук = 0. Точка Ф^ может быть

определена из условия (7), например, с помощью градиентных методов решения задач оптимизации

+

ш

Н^ к

(7), (4-5), [8] (см. также вычисление градиентов функционалов и конструирование сопряженных задач в работе [5, с. 187-193]).

Для градиента функционала Тихонова (6) получена следующая формула

dThak _ J дФ h дФк

+ 2ah Ф h (x)'

(8)

где dJh - градиент исходного сеточного функцио-

дФ h

нала Jh (Ф h ) (см. [5, с. 193]):

dJh dJh

J

дФ,

J

дФ„

■ = -щ(x), X е Ю(1) U Ys, JJ= -

К,дФш дФ2h

(9)

дФ,

Щ2(х)'

x е а>(1) U Ys •

Здесь у(х) = у(х; ФИ) и у/(х) = у/(х; ФИ) - численные решения задач состояния (5) и сопряженных задач:

-(<)(х)¥гхг )х2 + (х)д1п щ1(х) =

= -2 (у( х) - и(»( х))

х е ю(1), V (х) = 0, у11 = дю(1) \ у5,

- (х)¥гх1 )х - (х)¥гх2 )х + Л2И (х)^2п V2(х) = 0 ,

(10)

х ею(1), V (х) = 0, х еу(2) =даР \ у;

Т- [аТ х2 ) Мщ х2) + вЬ (х2 М х2 )] + "1

+ ¿1к х2 ) Я1я х2 ) -

- х2) х2)\ = -2 (у(%, х2) -х2))+

2

+ ~Teh (X2)V2(Z, Х2),

К

х &Ys = X =%> х2 еюг},

[dh (g + hi, x2) X2 ) -°h (X2)] + + d2h X2) Чгт X2) -

2

- — \a,

hi

- (Й х2) М2Хг , х2))х = (Х2 ) V Х2 ),

2 х2

х е у = ^ = х2 е а2}.

Минимизирующие последовательности для функционала (6) может быть построены на основе разностных аналогов градиентных методов проекции градиента, проекции сопряженных градиентов, условного градиента, причем задача проектирования на множество ограничений и не представляет труда. В данной работе мы ограничимся построением алгоритма метода проекции сопряженных градиентов для исходной конечномерной задачи

Исходя из начального приближения ф ^\х)

при каждом И > 0, строим последовательность приближений следующим образом:

'ф0 (х) - г'П О = 0%, если В0 < ООП) < 8 Фх) = \ ё0, если О^ < 80.

go, если 0<л > 80.

=pUh (фм-Yhn)pa), n=0.1,2,..., a=1.2;

дТ (Ф^)

(0) = д T hak (Ф h )

a дФ^

vM дТa (ф V)

VA = дФЛ

-ßhn) vT\

n = 1.2,..., a = 1.2,

гдтНщ(Фah)) дТа (ФдТа (Фah))

дФ„

дФ„

дФ„

ßn =-

дТНщ (Ф Т>)

дФ

где ^Ек (Фк) „ = 1 2 определены формулами (8-10), дФан ' . ,

Нн - линейное пространство, снабженное скалярным произведением:

(ф И , ФИ к = ТФ1ИФ1ИИ 1 И 2 + ЕФ 2ИФ2ИИ 1 И 2 ,

а параметр метода (шаг спуска) у(п) выбирается из условия монотонного убывания функционала

Ти«„ (Ф И ) :

Тиан (ФИП-1)) < Тиан (ФИп)), п = 0,1,2,.....

Для прекращения работы алгоритма метода, определяющего Ф{П\х), где п - номер итерации, используется одно из следующих условий:

О" (П) = \Thah (Ф f) - Thah (Ф Г") ^S.\h ,

xh (n) = ||фф hn)(xX)-Ф tV)(x)\

(11) ^S2h • (12).

Кроме того, для оценки точности аппроксимаций алгоритмов используются абсолютные оценки в -норме и Ьт - норме:

^(п)=||<Ф (и:п(х) - g(xiL^[JrMs)' (13)

(14)

l(n) = ||Ф (С}(х) - g(x)\[

lll^ (m,s> Uy)L («>(2> UYs )

где g(x) = g*(x) = (fv(x),f2,(x)) является точным

решением исходной задачи оптимизации (1-3).

Для решения задач (5) и (10) при заданном управлении ф (x) применяем разработанный ранее итерационный метод (см. [5; 7]).

УВ

2

В

l2(v(1> UYs hL2(v(2> UYs )

4. Численные результаты

Предложенные алгоритмы программно реализованы на языке Object Pascal в среде разработки Embarcadero Delphi пакета Embarcadero RAD Studio. Ниже приведен один из тестовых примеров.

Пример. Рассмотрим нелинейную задачу оптимизации для полулинейного эллиптического уравнения с условиями сопряжения неидеального контакта в единичном квадрате: Q = QjxQ2 ,

Ц = Ц U ац = [0.4] х [0.1] = [0.1/3] х [0.1], Ц = Ц и ац = [4.1] х [0.1] = [1/3.1] х [0.1]. Линия разрыва проходит через точку ^ = 1. Численное исследование задачи было проведено при следующих входных данных:

\к «(х) = V3/4,

в(х2) _

(х) _[ k20)(х) = I

k(2)(х) _ 1, 2() [fc22)(х) _ 1,

, ^ _0.4х + х2, q¡(щ) _u¡,

sV3 - з'

= 0.4х1 + х2, ^ (и2) = и\, и(1) (х) = х2 (2 - 2х2) 8т(2ж!). и ограничениях на управление ^(х) = (£ (х), /2 (х)):

/аеиа= Ыа = /а е 12(Оа) : ¿0 < ¿а < ¿0 ^ 13 Оа}

а = 1.2,

где £0 =-10, £„ = 12.7 .

Очевидно, что J( g) > 0. Кроме того, так как

при

¿1 (х) = /* (х) = л/3х2 (2 - 2х2)ж2 81п(2ях1) + + 4 8т(2ях1) + (0.4х1 + х2 )(х2 (2 - 2х2) 81п(2ях1 ))3,

(14)

g2 (х) = /, (х) = -2ж2 х2 (2 - 2х2 )соз(4ях ) + 81п(2лх1 ^т(2ях) +

0.4х + х2 )(0.25х2 (2 - 2х2) sin(2яx1) sin(2яx1 ))3, точное решение задачи (5), как нетрудно убедиться, имеет вид:

Г и (х) = х (2 - 2х2 ^т^ях), и(х) = < 2

[и2 (х) = 0.25х2 (2 - 2х2 )sin (2ях1),

то минимальное значение функционала J(на и достигается на функции-управлении

= С/1^/2*) еи :

J* = inf J (g) = J (= 0, g еи.

¿еи

Так что оптимальное управление в рассмотренной модельной задаче оптимизации известно точно и имеет вид (14).

Численные эксперименты проводились при различных начальных приближениях и вариациях параметров к 1(1), Ц(2), к2 и аь. Они показали, что значения функционала ТЛа (Ф(п)) быстро уменьшаются за несколько итераций, и оптимальное управление определяется с вполне удовлетворительной

точностью. В дальнейшем при увеличении количества итераций сходимость к точному решению резко замедляется.

Проводилось исследование скорости сходимости и точности приближенного решения в зависимости от вариации и согласованного выбора параметров численных алгоритмов. Вычислительные эксперименты, проведенные для малых и достаточно согласованных параметров Ц(1), к(2), Ц и ак, привели

к значительному увеличению скорости сходимости алгоритмов. Например, для одного из начальных приближений значение функционала уменьшилось с

Та (Фк0)) -1.7639058258 до(ФЩ)) - 0.508590187 . При этом две последующие итерации совпали с заданной точностью З= 10 4. Следует отметить,

что значение функционала Тихонова на точном решении (оптимальном управлении) равно

() - 0.514962611, а значение исходного

функционала

J(- 9.617247945^ - 5 .

Заключение

Проведено численное исследование задач оптимизации, описываемых задачей Дирихле для нелинейных уравнений эллиптического типа с условиями сопряжения типа неидеального контакта. В качестве управлений выступают коэффициенты в правой части уравнения состояния. Численные эксперименты показали, что для обеспечения сходимости и точности предложенных алгоритмов численного решения конечномерных аппроксимаций важен согласованный выбор параметров численных алгоритмов, при несогласованном фиксированном задании значений параметров алгоритмы оказываются менее точными, может наблюдаться также расходимость и переполнение.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук (МК-4147.2015.1).

ЛИТЕРАТУРА

1.

Самарский А. А., Андреев В. Б. Эллиптические методы для уравнений. М.: Наука, 1976.

2. Самарский, А. А., Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

3. Lubyshev F.V., Manapova A. R., Fairuzov M. E. Approximations of optimal control problems for semilinear elliptic equations with discontinuous coefficients and solutions and with control in matching boundary conditions // Comput. Math. Math. Phys., Vol. 54, Issue 11, 1700-1724 (2014).

4. Манапова А. Р., Лубышев Ф. В. Оценка точности по состоянию конечномерных аппроксимаций задач оп-

тимизации для полулинейных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и решениями. Уфимский матем. журнал. 2014. Т. 6. № 3. С. 72-87.

5. Manapova A. R., Lubyshev F. V.: Numerical solution of optimization problems for semi-linear elliptic equations with discontinuous coefficients and solutions. Appl. Numer. Math., Vol. 104, 182-203 (2016).

6. Aigul Manapova: An approximate solution to state problem in coefficient-optimal-control problems. IFAC-PapersOnLine, Vol., 48, Issue 25 (2015).

7. Манапова А. Р. О конечно-разностном методе решения задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений с условиями неидеального контакта // Вестник Башкирского университета. 2015. Т. 20. №3. С. 795-806.

8. Васильев Ф. П., Методы оптимизации. М.: Факториал, 2002.

Поступила в редакцию 11.11.2016 г.

COMPUTATIONAL ASPECTS OF SOLVING OPTIMIZATION PROBLEMS FOR SEMI-LINEAR ELLIPTIC EQUATIONS WITH IMPERFECT CONTACT MATCHING CONDITIONS

© A. R. Manapova*, O. G. Arisova

Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

*Email: [email protected]

The present work is devoted to computational aspects of solving optimization problems for semi-linear elliptic interface problems with discontinuous coefficients and a solution where imperfect-contact matching condition is given at the inner boundary between media (i.e., problems with a jump of the coefficients and the solution on the interface; the jump of the solution is proportional to the normal component of the flux). The coefficients in the right-hand side of the state equation are used as a control function. Approximations are constructed by using a grid method. The authors developed numerical algorithms for minimizing a grid cost functional of the approximating grid problems, the algorithms are based on a state of the system and a control. The minimizing algorithms are based on difference analogues of gradient methods such as gradient projection method, conjugate gradient projection method, and conditional gradient method. The calculation of the gradients uses the numerical solutions of direct problems for the state and adjoint problems. Numerical experiments are included. The results from computer experiment showed the effectiveness of the approximate method of solution.

Keywords: optimization problems, interface problems, non-linear elliptic equations, discontinuous coefficients and solution, finite-difference method, imperfect-contact matching condition.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Samarskii A. A., Andreev V. B. Ellipticheskie metody dlya uravnenii [Elliptic methods for equations]. Moscow: Nauka, 1976.

2. Samarskii, A. A., Teoriya raznostnykh skhem [The theory of difference schemes]. Moscow: Nauka, 1989.

3. Lubyshev F.V., Manapova A. R., Fairuzov M. E. Comput. Math. Math. Phys., Vol. 54, Issue 11, 1700-1724 (2014).

4. Manapova A. R., Lubyshev F. V. Otsenka tochnosti po sostoyaniyu konechnomernykh approksimatsii zadach optimizatsii dlya polu-lineinykh ellipticheskikh uravnenii s razryvnymi koeffitsientami i resheniyami. Ufimskii matem. zhurnal. 2014. Vol. 6. No. 3. Pp. 72-87.

5. Manapova A. R., Lubyshev F. V.: Numerical solution of optimization problems for semi-linear elliptic equations with discontinuous coefficients and solutions. Appl. Numer. Math., Vol. 104, 182-203 (2016).

6. Aigul Manapova: An approximate solution to state problem in coefficient-optimal-control problems. IFAC-PapersOnLine, Vol., 48, Issue 25 (2015).

7. Manapova A. R. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2015. Vol. 20. No. 3. Pp. 795-806.

8. Vasil'ev F. P., Metody optimizatsii [Optimization methods]. Moscow: Faktorial, 2002.

Received 11.11.2016.