О дифференциальных включениях в гильбертовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВКЛЮЧЕНИЯ

УДК 517.917

О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЯХ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

© I. ВепеёеШ, Е. Панасенко, V. ТасМе!

Ключевые слова: дифференциальное включение с выделенной линейной частью; решение типа Каратеодори; задача Флоке; гильбертово пространство.

Изучаются условия разрешимости задачи Флоке для дифференциального включения с выделенной линейной частью в гильбертовом пространстве.

Рассмотрим задачу Флоке для дифференциального включения вида ( х'(Ь) е Л(1)х(Ь) + Г(£,х(£)), £ е [а,Ь], х(Ь) е Н

\ х(Ь) = Мх(а), ( )

при следующих условиях

• Н — гильбертово пространство;

• Л : [а,Ь] ^ £(Н, Н) интегрируемое по Бохнеру отображение, где С(Н, Н) — множество всех линейных ограниченных операторов, действующих в Н;

• Г : [а,Ь] х Н ^ Н — многозначное отображение, удовлетворяющее условиям Каратеодори:

(1) Г(£, х) непустое, компактное и выпуклое для всех £ е [а,Ь], х е Н;

(и) отображение Г(■,х) : [а,Ь] ^ Н измеримо для всех х е Н;

(Ш) отображение Г(£, ■) : Н ^ Н непрерывно при п.в. £ е [а, Ь];

(1у) 1У11 ^ г(£)(1 + 1|х||) для всех (Ь,х) е [а,Ь] х Н, у е Г(Ь,х) и некоторой функции г е Ь1([а, Ь], [0, то));

• М е С(Н,Н).

Решения задачи (1) понимаются в смысле Каратеодори, а именно как абсолютно непрерывные функции х : [а,Ь] ^ Н при п.в. £ Е [а,Ь] удовлетворяющие (1).

Для решения задачи (1) можно применить принцип непрерывности (см. [1]) и метод ограничивающих множеств (см. [2], [3]). Принцип непрерывности состоит в построении для задачи (1) однопараметрического семейства линеаризованных задач, которые не имеют решений, касательных к границе заданного открытого ограниченного множества К С Н. Это условие будет выполнено, если множество К является ограничивающим для задачи (1), то есть любое решение (1), целиком содержащееся в К, остается внутри К. Следует отметить, что это условие более сла-

К К,

антных множеств, для исследования ограничивающих множеств можно привлечь функции типа Ляпунова.

Напомним, что если Н — банахово пространство, А : [а, Ь] ^ £(Н, Н), и функция / : [а, Ь] ^ Е интегрируема по Бохнеру, то для всех Ь,в Е [а, Ь] можно определить оператор и = и(1, в) такой, что единственное решение задачи Коши

Xф = А(Ь)х(1) + /({), х(в) = х3 Е Н

представимо в виде

x(t) = U(t,s)xs + f U(t,r)f (т) dr.

J s

Далее, пусть y(^) — мера некомпактности Хаусдорфа ограниченного множества Q С H :

Y(Q) = inf > 0 : 3 x\, ...,xn Е E : Q С |^J .

Т е о р е м а [4]. Пусть выполнены следующие условия:

1) оператор (M — U(b, a)) обратим;

2) y(F(t, О,)) ^ ^(t)Y(^^ ^^^^гаченного множества Q С H и п.в. t Е [a,b], где функция g Е LJ([a,b], R) такая, что

||g||j (e£ l|A(t)l1 dt\\[M — U(b,a)]-J\\ + l) e£l|A(t)l1 dt < 1;

3) существуют непустое, открытое, ограниченное, выпуклое множество K С H, для которого 0 Е K и MdK С дК, функция V Е CJ(H, R) с производной Vудовлетворяющей условию Липшица в BqK с константой L, и положительные константы S, £ такие, что

(V1) V [ж = 0;

(V2) V [к< 0;

(V3) Vll > s Vx Е дК; (V4) V'xw < 0 при п.в. t Е [a, b], Vx Е дК, и VX Е (0,1), Vw Е A(t)x + XF(t, x).

Тогда задача (1) имеет по крайней мере одно решение x, такое, что x(t) Е К для всех t Е [a, b].

ЛИТЕРАТУРА

1. Andres J. and Gorniewicz L. Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems. Kluwer. Dordrecht, 2003.

2. Gaines R.G. and Mawhin J.L. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations. Lecture Notes in mathematics. V. 568. Berlin. Springer Verlag, 1977.

3. Andres J., Malaguti L. and Taddei V. Bounded solutions of Caratheodory differential inclusions: a bound sets

approach 11 Abstr. Appl. Anal. 2003. V. 9. P. 547-571.

4. Benedetti I., Panasenko E. and Taddei V. BVP for Caratheodory inclusions in Hilbert spaces: sharp existence

conditions and applications j j Journal of Applied Analysis (to appear).

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№ 07-01-00305, 09-01-97503), Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

I. Benedetti, Е. Panasenko, V. Taddei. On differential inclusions in Hilbert spaces. The work is concerned with existence result for a Floquet problem associated to a semilinear differential inclusion in Hilbert space.

Key words: semilinear differential inclusion; Caratheodory solution; Floquet problem; Hilbert space.

УДК 517.911, 517.968

КВАЗИРЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

© А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; квазирешение. Сформулировано понятие квазирешения для функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями с невыпуклой правой частью и рассмотрены его свойства.

Рассматривается измеримое по Лебегу множество и Е [а,Ь];Ъп(и) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : и ^ Мп с нормой ||х||£п(и) = / \х(в)\ёв; 3(Ьп[а,Ь]) - множество

и

всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) (см. [1]) подмножеств пространства Ъп[а, Ь]. Пусть К сЪп(и), тогда соК - выпуклая оболочка множества К, соК -

К.

Пусть tk Е [а,Ь] (а < ^ < ... < 1т < Ь) - конечный табор точек. С [а, Ь] - множество

всех непрерывных на каждом из интервалов [а^\], ^1^2], ^т,Ь] ограниченных функций

х : [а,Ь] ^ Мп, имеющих пределы справа в точках tk, к = 1, 2,т, с нормой ||х^ п[аь] = = 8ир{\х^)\ : t Е [а, Ь]},