Набор многолистных направляющих функций в задаче о периодических решениях некоторых классов дифференциальных включений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911.5

НАБОР МНОГОЛИСТНЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧЕ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ

© С. В. Корнев

Ключевые слова: дифференциальное включение, многолистная направляющая функция, периодические решения, топологическая степень.

Аннотация: Рассматривается периодическая задача для нелинейного объекта, описываемого дифференциальным включением, правая часть которого не является выпуклозначной. А именно, в работе рассматриваются дифференциальные включения, правая часть которых является нормальным мультиотображением с компактными значениями, а также случай, когда правая часть является ограниченным непрерывным мультиотображением с компактными значениями. В настоящей работе определяются и исследуются понятия полного и острого набора обобщенных многсшистных направляющих функций, правильной многолистной направляющей функции. Применение теории топологической степени мультиотображений и указанных методов позволяет установить разрешимость рассматриваемой задачи.

1. Введение

Задача о существовании периодических режимов - одна из классических проблем теории управляемых систем. В настоящей работе эта задача изучается для случая управляемой системы, представляемой дифференциальным включением в конечномерном пространстве. Отметим, что описание нелинейных управляемых систем в виде дифференциальных включений — эффективный и удобный способ исследования различных задач управления и оптимизации (см., например, [1-5]).

В качестве основного аппарата исследования периодических решений будем использовать развитие метода многолистной векторной направляющей функции (МВНФ), предложенного Д.11. Ра-чинским в [6, 7]. Следует подчеркнуть, что основы метода направляющих функций заложили исследования М.А. Красносельского и А.И. Перова (см., например, [8-9]). Кроме того, распространению классического метода направляющих потенциалов, в том чисел и его негладкого аналога, на случай дифференциальных включений и его использованию для исследования их периодических решений посвящен целый ряд работ (см, например, [2, 3, 10, 11]).

Различные модификации метода многолистных векторных направляющих функций применялись в задаче о существовании периодических решений дифференциальных включений только в случае выпуклозначной правой части (см, например, [12-14]).

Некоторые другие применения метода направляющих функций см., например, в [15, 16].

В настоящей статье, следуя идеям [9, 17], определяются полный и острый набор обобщенных МВНФ и правильная МВНФ для дифференциальных включений, правая часть которых не обладает свойством выпуклости значений. К их числу относятся, например, дифференциальные включения с нормальной правой частью. Заметим, что класс нормальных мультиотображений достаточно обширен. В него входят, например, ограниченные почти полунепрерывные снизу мультиотображения с компактными значениями.

Применение теории топологической степени мультиотображений и указанных методов позволяет установить существование периодических решений рассматриваемых дифференциальных включений.

По поводу терминологии, используемой в методе направляющих функций, отсылаем к монографиям [9, 15, 18].

2. Основные понятия и определения

В дальнейшем используются известные понятия и терминология из анализа и теории многозначных отображений (мультиотображений) (см., например, [2-4, 19]). Напомним некоторые из них.

Пусть Е - сепарабельное банахово пространство; Ь1([а,Ь]; Е) обозначает банахово пространство суммируемых по Бохнеру функций / : [а, Ь] ^ Е.

Определение 1. Непустое множество М С Ь1 ([а, Ь]; Е) называется разложимым, если для любых /, д € М и любого измеримого по Лебегу множества т С [а, Ь] выполнено

¡кт + дК([аД\т) € M,

где кт - характеристически функция множества т .

Пусть (Х,йх) и (У,¿у)-метрические пространства. С имволами Р (У), С (У) и К (У) обозначаются совокупности всех, соответственно, непустых, замкнутых и компактных подмножеств пространства У. Если У - нормированное пространство, то символами Су (У) и Ку(У) обозначаются совокупности всех непустых выпуклых замкнутых и, соответственно, компактных подмно-У.

Определение2. Мультиотображение Р : X ^ Р (У) называется полунепрерывным сверху (пн. св.) в точке х0 € X, если для любого е > 0 найдется 5 > 0 такое, что из того, что (х0,х) < 5 следует, что Р(х) С ие(Р(х0)), где символ Пе обозначавт е-окрестность множества. Определение 3. Мультиотображение Р : X ^ Р (У) называется пн. св., если оно пн. св. в каждой точке х € X.

Определение 4. Мультиотображение Р : X ^ Р (У) называется полунепрерывным снизу (пн. сн.) в точке х0 € X, если для любого открытого множества V С У такого, что Р(х0) П V = 0, существует окрестность и(х0) точки х0 такая, что Р(х') П V = 0 для любого х' € V(х0).

Определеннее. Мультиотображение Р : X ^ Р (У) называется пн. сн., если оно пн. сн. в каждой точке х € X.

Р

называется непрерывным.

Определение?. Пусть Р : X ^ Р (У) — некоторое мультиотображение. Множество Г_р в декартовом произведении X х У,

ГР = {(х,у) | (х,у) € X х У, у € Р(х)}

Р.

Определеннее. Мультиотображение Р : X ^ Р (У) называется замкнутым, если его график Г^ есть замкнутое множество в прострапстве X х У.

Мультиотображение будем называть мультифункцией, если оно определено на подмножестве числовой прямой.

Определение 9. Однозначное отображение / : X ^ У называется сечением, мульти-Р,

/(х) € Р(х) для каждого х € X.

В дальнейшем будет использоваться следующая теорема Брессана-Коломбо-Фрышковского о непрерывном сечении (см., например, [20, 21] ).

Лемма1. Пусть X - сепарабельное метрическое пространство. Тогда любое пн. сн. мультиотображение Р : X ^ Ь1 ([а,Ь]; Е) с замкнутыми разложимыми значениями имеет непрерывное сечение.

Определение 10. Пусть Р : X ^ Р (У) - некоторое мультиотображение. Непрерывное отображение /Е : X ^ У, где е > 0, называется е -аппроксимацией мультиотображения Р, если для каждого х € X найдется х' € X такое, что (х,х') < е и

/(х) € ие(Р(х')),

где ие обозначает е -окрестность множества.

Ясно, что это понятие может быть равносильно выражено условием

/е(х) € ие(Р(Б е(х))) для всех х € X

или

Ги С ие(Гр),

где Гfe, Г^ - графики отображений /е и Р соответственно, а Бе обозначает е -окрестность точки х.

е

Лемма2. Пусть X - метрическое пространство, У - нормированное пространство. Всякое пн. св. мультиотображение Е : X ^ С« (У) для любо го е > 0 обладае т е -аппроксимацией / : X ^ У такой, что /е(Х) С со Е (X) .

Пусть I - замкнутое подмножество К, снабженное мерой Лебега.

Определение 11. Мультифункция Е : I ^ К (У) называется измеримой, если для любого открытого подмножества Ж С У его прообраз

Е-1(Ж) = {£ € I : Е(£) С Ж}

- измеримое подмножество I.

Замечание 1. Всякая пн. сн. мультифункция измерима.

Замечание 2. Всякая измеримая мультифункция Е : I ^ К (У) обладает измеримым сечением, то есть существует такая измеримая функция / : I ^ У, что /(£) € Е(£) почти для всех (п.в.) £ € I.

Определение^. Мультиотображение Е : I х X ^ К (У) называется почти пн. сн., если существует последовательность непересекающихся компакт пых множеств {!п} ,!и С I, таких, что

(I) \и = 0, где ^ - мера Лебега;

п

(II) сужение Е та каждое множество Jn = In х У является пн. сн. мультиотображением. Определение 13. Говорят, что мультиотображение Е : I х X ^ К (У) удовлетворяет

верхним (нижним) условиям Каратеодори, если:

(г) для каждого х € X мультифункция Е (^,х) : I ^ К (У) измерима;

(и) почти для каждого £ € I мультиотображение Е (£, •) : X ^ К (У) пн. св. (пн. сн.).

Определением. Если мультиотображение Е удовлетворяет и верхним и нижним условиям Каратеодори, то оно называется удовлетворяющим условиям Каратеодори.

Определение 15. Мультиотображение Е : I х X ^ К (У) удовлетворяет условию подлинейного роста, если существует положительная суммируемая по Лебегу на I функция «(•) такая, что п.в. £ € I

||Е(*,х)|| := тах ||у|| < а(*)(1 + ||х||).

yeF (г,х)

Определение 16. Ограниченное мультиотображение Д : I х Мп ^ Р (Мп) называется нормальным, если найдется мультиотображение Е : I х Мп ^ К«(Мп), называемое квазисечением мультиотображения Д, удовлетворяющее следующим условиям:

(г) мультпотображение Е удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и условию подлинейного роста;

(гг) Е(£, х) П Д(£, х) = 0 для всех £ € I, х € Мп ;

(ггг) каждое решение х : I ^ Мп дифференциального включения х'(£) € Е(£, х(£)) является также решением включения х'(£) € Д(£,х(£)).

ЗамечаниеЗ. Всякое ограниченное мультиотображение Е : I х Мп ^ К«(Мп), удовлетворяющее верхним условиям Каратеодори и условию подлинейного роста, является нормальным.

Замечание! (см., например, [22]). Всякое ограниченное почти пн. сн. мультиотображение Е : I х Мп ^ К(Мп) является нормальным. Кроме того, всякое ограниченное мультиотображение Е : I х Мп ^ К(Кп), удовлетворяющее условиям Каратеодори, является нормальным.

Определение 17. Множество К С Мп называется конусом, если К является непустым выпуклым замкнутым подмножеством пространства Кп таким, что

(г) если х € К, А > 0, то Ах € К ;

(гг) КП (-К) = {0}.

Определение 18 (см., например, [3, 23]). Пусть К является конус ом в Мп, а (У, )

- метрическим пространством. Отображение / : Мп ^ У называется К -непрерывным в точке х € Мп тогда и только тогда, когда для каждого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что (/(х), /(х)) < е для всех х € В(х, 6) П (х + К).

Определение 19. Отображение / называет ся К -непрерывным, на некотором множестве С С Кп, если он о К -непрерывно в каждой точке х € С.

Справедливо следующее утверждение (см., например, [3, 23]).

ЛеммаЗ. Пусть Р : М" ^ С(У) является пн. см. мультиотображением. Тогда для каждого конуса КС М" мультиотображ ение Р допускае т К -непрерывное сечение.

Пусть в пространстве М"(п > 2) выделена двумерная плоскость М2 и дополнительное к ней подпространство М"-2 . Пусть ц - оператор проектирования па плоскость М2 вдоль подпространства М"-2, а р = I — ц. Ниже элементы М2 обозначаются через элементы М"-2 - через (. Пусть ф, р - полярные координаты в М2.

Рассмотрим многолистную риманову поверхность

П = {(ф, р) : ф € (—то, то),р € (0, то)} . Пусть па П задана скадярная непрерывно дифференцируемая функция Ж(ф,р), для которой

> Ш) € ^ (1)

Ж(ф + 2п,р) = Ж(ф,р)+2п, (ф,р) € П. (2)

М"-2

^(0^2(0,...,^(С), с € М"-2, к > (з)

Для заданного г0 > 0 положим

к

т< = шш V(0, М = шах г = 1,...,к, М* = V (К| + |М<|).

||С||<Г0 ||С||<Г0 ..

г=1

Всюду в дальнейшем будем считать, что для функций (3) выполнено условие

УЦ(() = 0 ДЛЯ всех С € М"-2 : ||С|| > т0, г = 1,..., к. Пусть функции (3) удовлетворяют условию

н^ГКС)| + ШС)| +... + V(С)|] = то, к > 1. (4)

В силу условия (4) можно найти такое г* , что

|Vl(C)| + |V2(C)| +... + V(С)| >М*, С € М"-2 : |С|| > г*,к > 1. р2 > р1 > 0 М"

П (г*,Р1,Р2) = {х € М" : ||рх|| <Г*,Р1 < ||цх|| < Р2} . 3. Основной результат

Будем рассматривать периодическую задачу для дифференциального включения следующего вида:

х'(г) € Р(г,х(г)), (5)

х(0) = х(Т), (6)

в предположение, что мультиотображение Р : М х М" ^ К(М") является нормальным и удовлетворяет условию Т-периодичности то первому аргументу^ Т > 0 ):

Р(г, х) = Р(г + Т, х) для ВСех г € М, х € М".

Под решением задачи (5), (6) будем понимать абсолютно непрерывную функцию х : М ^ М", удовлетворяющую почти в каждой точке включению (5) и условию периодичности (6).

Будем предполагать, что на [0, Т] заданы непрерывные функции а(^) и в(^) такие, что для некоторого е > 0 и для п.в. г € [0, Т]

sup sup (VW(qz),qy) < a(t) — e, (7)

zen(r*,pi,p2) yeR(t,z)

inf inf (VW(qz),qy) > £(t) + e. (8)

zen(r*,pi,p2) yeR(t,z)

Определение 20. Функции {Vi(Z),..., (Z), W (у, p)} , обладающие свойствами (1), (2) и (4), образуют полный и острый набор обобщенных МВНФ для включения (5) относительно области О (г*, pi, Р2), если выполнены следующие условия:

КзУ 9z)| . Р2 — pi ^ rv * ^ sup sup л—п— < --e, z € 0(r,pi,p2); (9)

te[0,T] y€R(t,z) llqzy 2T

(VVi(pz),py) < 0 для всех y € R(t, z), (10)

где ||pz|| > го, ||qz|| < p2, i = 1,..., k;

T T

2n(N — 1)+ e <У а(т)dr, J в(т)dr < 2nN — e, (11)

00

Где N — целое число; a(t),e(t) — функции, удовлетворяющие (7), (8); и для каждого фиксированного Z € R"-2, ||Z|| > го множество

K(Z) = jП € К"-2 : П = Е YiVVi(Z), Yi,..., 7fc > о|

является конусом.

Для p0 = (pi + p2)/2 положим

G(r*, po) = {z € R" : ||pz|| < г*, ||qz|| < po} .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть для включения (5) можно указать полный и острый набор {Vi(Z),..., Vk(Z), W(у,p)} обобщенных МВНФ относительно области О (r*,pi,p2). Пусть топологический индекс на бесконечности ind(Vi, то) функции Vi(Z) отличен от нуля:

ind(Vb то) = 0.

Тогда включение (5) имеет по крайней мере одно T -периодическое решение z*(-) такое, что z*(t) € G (г*, po), t € [0, T].

Доказательство. Пусть мультиотображение F является квазисечением мультиотобра-жения Д, то есть:

(j) мультиотображение F : [0, T] х R" ^ Kv(R") удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и условию подлинейного роста;

(jj) F(t, z) П R(t, z) = 0 для bcex t € [0, T], z € R" ;

(jjj) каждое peineние z : [0, T] ^ R" задачи

z'(t) € F(t,z(t)), (12)

z(0) = z(T), (13)

является решением исходной задачи (5), (6). ( jj j)

Заметим, что в общем случае набор {Vi(Z),..., Vk(Z), W(у, p)} не является полным и острым набором МВНФ для включения (12).

Пусть e > 0 то же, что и в определении полного и острого набора обобщенных МВНФ. Мультиотображение B : R" ^ P (R") задано как

{1(г)УУ1(рг),ру) < 0, г = 1,...,к,

7(3)^)1 < Р2-Р1 И\ < 2Т

В(г)={ у е М" : К^.)^1 < - е

Ц (Ж - 1) + е < {ф)УЖ (дг), ду) < Ц N - е, N -целое;

где

^(г) 0, \\рг\\ < го, \\qzW < Р2, п(г) Г 1, \\рг\\ < г*, \\дг\\ < р2, 1(г) = \ 1, \\рг\\ > то, \\дг\\ < Р2; П(г) I 0, \\рг\\ > т*, \\дг\\ < р2.

Легко видеть, что В является замкнутым мультиотображением. Тогда мультиотображение Ев (г, г) = Е (г, г) П В (г) имеет выпуклые компактные значения и удовлетворяет верхним условиям Каратеодори (см., например, [2]).

Рассмотрим вспомогательное дифференциальное включение

г'(г) е Ев(г,г(г)). (14)

Нетрудно видеть, что набор {У]_(С),...,Ук (С), Ж (ф>, р)} является полным и острым набором обобщенных МВНФ для включения (14). Тогда по теореме 5 из [12] включение (14) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение г*(^) такое, что г*(г) е О (т*,р0), г е [0, Т] , которое является решением задачи (12), (13) и, следовательно, решением исходной задачи (5), (6). Теорема доказана.

Определение 21. Пару функций {У ((), Ж (¡р,р)}, обладающих свойствами (1) и (2), будем называть правильной МВНФ для включения (5) относительно области 0.(т*,р\,р2), если, кроме условий (9) и (11), выполнено условие

{УУ(рг),ру) < 5о \\УУ(рг)\\ \\ру\\ для всех у е Я(г,г), (15)

где \\рг\\ > г0, \дг\ < р2, ^о < 0, и если существует непрерывно дифференцируемая функция У1(С), удовлетворяющая условиям

\\УУ(С)\>\УУ1(С)\\, (\\С\\> го)

и

Иш^ )1 = то. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть для включения (5) можно указать правильную МВНФ {У ((), Ж (¡р,р)} относительно области И(г*,р1,р2). Пусть топологический индекс на бес конечности тё(У, то) функции У (С) отличен от нуля:

тё(У, то) = 0.

Тогда включение (5) имеет по крайней мере одно Т -периодическое решение г*(•) такое, что г*(г) е О(г*,ро), г е [0,Т].

Е

мультиотображения Я. В силу (jjj) достаточно показать, что задача (12), (13) имеет решение.

Пусть е > 0 то же, что и в условиях (9) и (11) определения. Мультиотображение С : М" ^ Р(М") задано как

где

{7(г)УУ(рг),ру) < 6о \\УУ(рг) С (г) = ^ у е М" : < - е,

Ц^ - 1) + е < {ф)УЖ(дг), ду) < ЦN - е, N - целое;

^7)=10, \\рг\\< го, \\дг\\< р2, п(г)= | 1, \\рг\\ < г*, \\дг\\ < р2,

1(г)=^ 1, \\рг\\ > го, \\дг\\< р2; П(г)=\0, \\рг\\> г*, \\дг\\ < р2.

С

Ее (г, г) = Е (г, г) П С (г) имеет выпуклые компактные значения и удовлетворяет верхним условиям Каратеодори (см., например, [2]).

Рассмотрим вспомогательное дифференциальное включение

г'(г) е Ее (г, г (г)). (16)

Нетрудно видеть, что пара функций {V(Z), W(у,p)} будет являться правильной МВНФ для включения (16). Тогда по теореме 6 из [12] включение (16) имеет по крайней мере одно T-пернодпческое решение z*(-) такое, что z*(t) € G (г*,p0), t € [0, T] , которое является решением задачи (12), (13) и, следовательно, решением исходной задачи (5), (6). Теорема доказана.

Автор выражает глубокую признательность профессору В.В. Обуховскому за полезные обсуждения затронутых в статье вопросов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

2. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мыли кис А,Д., Обухове кий В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. Изд. 2-е. М.: Либроком, 2011.

3. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Berlin: Springer, 2006.

4. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 2001.

5. Жуковский E.G., Плужникова E.A. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // АиТ, 2015. № 1. С. 31-56.

6. Рачинский Д.И, Вынужденные колебания в системах управления в условиях, близких к резонансу // АиТ, 1995. № 11. С. 87-98.

7. Rachinskii D.I. Multivalent guiding functions in forced oscillation problems // Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl., 1996. V. 26. № 3. P. 631-639.

8. Красносельский M.A., Перов А.И. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1958. Т. 123. № 2. С. 235-238.

9. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

10. De Blasi F.S., Gorniewicz L., Pianigiani G. Topological degree and periodic solutions of differential inclusions // Nonlin. Anal., 1999. V. 37. P. 217-245.

11. Filippakis M., Gasinski L., Papageorgiou N.S. Nonsmooth generalized guiding functions for periodic differential inclusions 11 Nonlin. Differ. Equat. and Applic., 2006. № 13. P. 43-66.

12. Корпев С.В. О методе многолистных направляющих функций в задаче о периодических решениях дифференциальных включений // АиТ, 2003. № 3. С. 72-83.

13. Корнев С.В., Обухове кий В.В. О негладких многолистных направляющих функциях / / Диффер. уравн., 2003. Т. 39, № 11. С. 1497-1502.

14. Корпев С.В., Обухове кий В.В. Негладкие направляющие функции в задачах о вынужденных колебаниях // АиТ, 2007. № 1. С. 3-12.

15. Obukhovskii V., Zecca P., Loi N.V., Kornev S. Method of guiding functions in problems of nonlinear analysis. Lecture Notes in Math. V. 2076. Berlin: Springer, 2013.

16. Kornev S., Obukhovskii V., Yao J.G. On asymptotics of solutions for a class of functional differential inclusions // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization, 2014. V. 34. Issue 2. PP. 219-227.

17. Krasnoselskii A.M., Krasnoselskii M.A., Mawhin J., Pokrovskii A.V. Generalized guiding functions in a problem on high frequency forced oscillations 11 Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl., 1994. V. 22. № 11. P. 1357-1371.

18. Красносельский M.A., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

19. Deimling К. Multivalued Differential Equations. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992.

20. Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values // Studia Math., 1988. № 90. PP. 69-86.

21. Fryszkowski A. Fixed point theory for decomposable sets. Dordrecht: Kluwer AP, 2004.

22. Bressan A. Upper and lower semicontinuous differential inclusions. A unified approach in: H. Sussmann (Ed.) // Controlability and optimal control. New York: Dekker, 1989. PP. 1-31.

23. Bressan A. Directionally continuous selections and differential inclusions // Funkcial. Ekvac., 1988. V. 31. PP. 459-470.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 1 I 01-00468), Минобрнауки России в рамках базовой части госзадания (грант 3488) и Российского научного фонда (грант 14-21-00066) .

Sergei Kornev

Set of Multivalent guiding functions in the periodic problem of some classes of differential inclusions

Abstract: We consider the periodic problem for a nonlinear system governed by a differential inclusion with nonconvex right-hand side. More precisely, in this paper we consider the differential inclusions, the right-hand side of which is regular multimap with compact values as well as the case when the right-hand side is bounded continuous multimap with compact values. In this paper the notion of a complete and sharp set of generalized multivalent guiding functions and regular multivalent guiding function are defined. Application of the topological degree theory and these methods allows to establish the solvability of the periodic problem.

Key words: differential inclusion, multivalent guiding function, periodic solutions, topological degree.

Корнев Сергей Викторович, Воронежский государственный педагогический универитет, г. Воронеж, Россия, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: kornev _ [email protected] .