Квазирешение функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Gaines R.G. and Mawhin J.L. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations. Lecture Notes in mathematics. V. 568. Berlin. Springer Verlag, 1977.

3. Andres J., Malaguti L. and Taddei V. Bounded solutions of Caratheodory differential inclusions: a bound sets

approach 11 Abstr. Appl. Anal. 2003. V. 9. P. 547-571.

4. Benedetti I., Panasenko E. and Taddei V. BVP for Caratheodory inclusions in Hilbert spaces: sharp existence

conditions and applications j j Journal of Applied Analysis (to appear).

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№ 07-01-00305, 09-01-97503), Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

I. Benedetti, Е. Panasenko, V. Taddei. On differential inclusions in Hilbert spaces. The work is concerned with existence result for a Floquet problem associated to a semilinear differential inclusion in Hilbert space.

Key words: semilinear differential inclusion; Caratheodory solution; Floquet problem; Hilbert space.

УДК 517.911, 517.968

КВАЗИРЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

© А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; квазирешение. Сформулировано понятие квазирешения для функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями с невыпуклой правой частью и рассмотрены его свойства.

Рассматривается измеримое по Лебегу множество и € [а,Ъ];Ъп(и) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : и ^ Мп с нормой ||ж||ь™(м) = / \х(в)\ёв] 3(Ьп[а,Ъ]) - множество

и

всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) (см. [1]) подмножеств пространства Ъп[а, Ъ]. Пусть К аЪп(и), тогда соК - выпуклая оболочка множества К, соК -замкнутая выпуклая оболочка множества К.

Пусть tk € [а,Ъ] (а < < ... < 1т < Ъ) - конечный табор точек. С [а, Ъ] - множество

всех непрерывных на каждом из интервалов [а^1], (^^2], .^т,Ъ] ограниченных функций х : [а,Ъ] ^ Мп, имеющих пределы справа в точках tk, к = 1, 2,т, с нормой ||х^п[аь] = = 8ир{\х(^\ : t € [а, Ъ]},

Рассмотрим задачу Коши для функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями

Ж е Ф(х), (1)

А(х(Ьк)) е 1и(х(Ьк)), к = 1,...,т, (2)

х(а) = хо, (3)

где отображение Ф : С [а,Ь] ^ Б(Xп[а,Ь]) полунепрерывно снизу и для каждого ограниченного

множества и С С [а, Ь] образ Ф(и) ограничен суммируемой функцией. Отображения 1к : Мп ^

^ сотр [Мп], к = 1, 2, ...т непрерывны по Хаусдорфу, где сотр [Мп]- множество непустых компактов пространства МП А(х(Ьк)) = х(Ьк + 0) — х(Ьк), к = 1, 2, ...т.

Определение!.. Решением задачи (1)-(3) называется функция х е С [а,Ь], для которой существует такое д е Ф(х), что при всех £ е [а, Ь] имеет место представление

« т

х(Ь) = хо + д(в'^в + ^ Х{гкф)А(х(Ьк)), (4)

а к=

где А(х(гк)) е 1к(х(гк)), к = 1,... ,т.

Пусть для функции у е С [а, Ь] существует функция д е Ьп[а, Ь], что для любого £ е [а,Ь]

имеет место представление

^ т

у{Ъ) = хо + д(в)(1в + ^2, Х[гкф)^(У(1к')')> (5)

а к=

где А(у(гк)) е 4(у(гк)), к = 1,2,..., т.

Определение 2. Функцию у е С [а,Ь], имеющую представление (5), будем называть квазирешением задачи (1)-(3), если найдется такая последовательность хг е С [а,Ь], г = 1, 2,..., что для каждой функции хг, г = 1, 2,..., найдется функция дг е Ф(у), для которой при любом £ е [а, Ь] имеет место равенство

^ т

хг(^) = хо + дг(в)б,в +

а к=1

где А(хг(Ьк)) е 1к(хг^к)), и хг ^ у в пространстве С [а, Ь] при г ^ <х>.

Обозначим Н(хо) - множество всех квазпрешенпй задачи (1)-(3).

Будем говорить, что задача (1) — (3) с «овыпукленной» правой частью, если х е соФ(х). Пусть Н(хо,Ь) - множество решений этой задачи.

Теорема. Справедливо равенство Н(хо) = Н(хо, Ь).

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. 1999. № 3. С. 3-16.

2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища шк., 1987.

3. Пучков Н.П., Булгаков А.И., Григоренко А.А., Коробко А.И., Корчагина Е.В., Мачина А.Н., Филиппова, О.В., Шлыкова И.В. О некоторых задачах функционально-дифференциальных включений // Вестник ТГТУ. 2008. Т. 14. №4. С. 947-974.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№ 07-01-00305, 09-01-97503), Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Quasisolution of functional-differential inclusions with multivalued impulses. The definition of quasisolution for functional-differential inclusions with multivalued impulses and statement, expressing relation between the set of quasisolutions and the set of convexified problem solutions are formulated.

Key words: functional-differential inclusion; quasisolution.

УДК 517.911, 517.968

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПОЛУНЕПРЕРЫВНОЙ СВЕРХУ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ И МНОГОЗНАЧНЫМИ

ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

© А.И. Булгаков, Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова

Ключевые слова: функционально-диффенциальное включение; многозначные импульсные воздействия; продолжаемое решение; связность множества решений.

Получены условия существования и продолжаемости решений функциональнодифференциальных включений с полунепрерывной сверху правой частью и многозначными импульсными воздействиями, а так же исследованы топологические свойства множеств решений таких включений.

Обозначим comp [Мп] (conn [Мп]) - множество всех непустых компактов ( связных компактов) пространства Мп. Пусть U Е [a, b] - измеримое по Лебегу множество; Ъп(Ы) - пространство суммируемых по Лебегу функций x : U ^ Мп с норм о й ||x||£n(u) = f \x(s)\ds; Q,(J-in[a, b]) - множество

и

всех непустых выпуклых ограниченных замкнутых подмножеств пространства Ъп[а, b].

Пусть tk Е [a,b] (a < t1 < ... < tm < b) - конечный набор точек. Обозначим через С [a,b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a,ti], (ti,t2], •••, (tm,b] ограниченных функций x : [a,b] ^ Мп, имеющих пределы справа в точках tk, к = 1,с нормой ||x||g"[a6] = sup{\x(t)\ : t Е [a, b]}. Если т Е (a, b], то С [а,т] - это пространство функций x : [a, т] ^ Мп, являющихся сужениями на отрезок [a, т] элементов из С [a, b] с нормой

Hxllcn[a,T] = suP{\x(t)\ : t Е Mb Рассмотрим задачу

x Е &(x), (1)