О диаметре Кэли одной подгруппы группы в 0 (2,5) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

К. А. Филиппов

О ДИАМЕТРЕ КЭЛИ ОДНОЙ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ В0 (2,5)

Пусть {х,у} - порождающие элементы максимальной конечной группы периода 5 и Нх = ху, И2 = ух. Вычислена функция роста и диаметр Кэли подгруппы Н = (У\, Ь2 ).

Ключевые слова: проблема Бернсайда.

Свободной бернсайдовой группой периода п с т образующим называется группа В (т, п) = Ет / ,

где Ет - свободная группа ранга т и - ее подгруппа, порожденная всеми п-ми степенями элементов из Ет . Проблема Бернсайда для пары (т, п)

звучит так: является ли группа В (т, п) конечной?

Как показали П. С. Новиков и С. И. Адян [1], ответ отрицательный, если т > 2 и 663 < п - достаточно большое нечетное число. Также С. В. Иванов [2] и И. Г. Лысёнок [3] показали, что В (т, п) бесконечна, если п > 248 и п делится на 29 и п = \6к > 8 000. Однако для небольших нечетных п (5 < п < 663)

и четных п, не удовлетворяющих условиям С. В. Иванова и И. Г. Лысёнока, проблема Бернсайда остается нерешенной.

Пусть В0 (т, п) = Ет / и (т, п) , где и (т, п) - пересечение всех нормальных подгрупп N < Ет , для которых Ет / N - конечная группа периода п. Как показал А. И. Кострикин, В0 (т, п) конечна, если п -

простое число [4]. Эту теорему А. И. Кострикина Е. И. Зельманов обобщил для случая, когда п - степень простого числа [5]. Отсюда и из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна с использованием классификации конечных простых групп вытекает существование В0 (т, п) для произвольных т и п [6]. Поскольку В (2,5) является наименьшей из бернсайдовых групп, для которых решен вопрос об их конечности, любые сведения о ней и, в частности, о В0 (2,5), интересны. Так, А. И. Кострикин установил границы

для порядка группы В0 (2,5): 531 < |В0 (2,5) < 534 [4].

В 1974 г. Хавас, Уолл и Уэмсли [7] при помощи компьютерных вычислений нашли определяющие соотношения, определили точный порядок группы В0 (2,5) который равен 534, и ступень нильпотентности данной группы, равную 12.

Рассмотрим в В0 (2,5 ) = (х, у) подгруппу

Н0 = (И\,Ь2}, где Нх = ху, Н2 = ух. Как отмечалось выше, сравнение групп В (2,5) и В0 (2,5) затруднено из-за большого порядка группы В0 (2,5). Приводимая ниже теорема позволяет проводить сравнение группы Н0 , имеющей порядок существенно меньше,

чем 534, с ее аналогом Н в группе В0 (2,5).

Теорема. Диаметр Кэли группы Н0 относительно порождающих {И1, Н2} равен 45.

Доказательство. Непосредственные вычисления проводились на кластере института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета. Для работы было выделено 125 однородных вычислительных узлов в режиме непрерывного доступа. Каждый узел снабжен процессором с тактовой частотой 3 ГГц и ОЗУ 4 ГБ. В качестве программного инструмента была взята система компьютерной алгебры МЛТЬЛВ 7.7.0.

Ниже приведена вычисленная функция роста элементов группы Н0 (см. таблицу), а также ее график (рис. 1). Часть элементов максимальной длины 45 группы Н0 в формате минимальных слов приведена на рис. 2.

Функция роста элементов группы Н0

Длина Элементы Длина Элементы Длина Элементы

0 1 16 37254 32 561801464

1 2 17 70751 33 779044350

2 4 18 134224 34 936055279

3 8 19 254321 35 954336955

4 16 20 481252 36 831332170

5 30 21 909349 37 618248452

6 58 22 1714866 38 367604796

7 112 23 3226931 39 151894200

8 214 24 6055431 40 34898104

9 410 25 11319139 41 3181218

Продолжение таблицы

Длина Элементы Длина Элементы Длина Элементы

10 784 26 21039700 42 69158

11 1495 27 38795471 43 800

12 2847 28 70686385 44 316

13 5417 29 126432849 45 158

14 10303 30 219647100 Всего 6103515625

15 19602 31 364201879

1Е+09 90000000 80000000 70000000 60000000 50000000 40000000 30000000 20000000 10000000 о

>

♦

♦

♦

♦

♦ ♦

*

♦ ♦

< ►

10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рис. 1

1 000010001001110001010000111100111001101010011

2 000010001001011100001101111000100110100011011

3 000010000100110011000101011100110001001110111

4 000010000101010110100110010101110001011000111

5 000010000101110001011110011010001101100010011

6 000010000101110011010010001111010100011001011

7 000010000101010011100111011001100001010010111

8 000010000101001011000100110101100111001100111

9 000010000100011011100101110011000110011010011

0 000010000101110000100101101111011000110000111

11 000010000100100101100100111100110100011011011

12 000010000100100101011110111011000110100100011

13 000010000101000011101001000110111011110010011

14 000010000101000100001110101110110101011000111

15 000010001001101000101110110100111100100010011

16 000010001001100101100111001001110001000110111

17 000010001001110001101010010011010001110111001

18 000010000110100011101011011110010010001011001

19 000010000110000111010110100011010111001100101

20 000010000111101011100100010100101100001011011

Рис. 2

Библиографические ссылки

1. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М. : Наука, 1975.

2. Ivanov S. V. The free Burnside group of sufficiently large exponent // Intern. J. of Algebra and Computation. 1994. Vol. 4. P. 2.

3. Лысёнок И. Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. РАН. Сер. мат. 1996. Т. 60. С. 3-224.

4. Кострикин А. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1995. Т. 19. № 3. С. 233-244.

5. Зельманов Е. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп // Мат. сб. 1991. Т. 182. № 4. С. 568-592.

6. Hall P., Higman G. On the p-length of p-soluble groups and reduction theorem of Burnside problem // Proc. London Math. Soc. 1956. Vol. 6. № 3. P. 1-42.

7. Havas G., Wall G., Wamsley J. The two generator restricted Burnside group of exponent five // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. Vol. 10. P. 459-470.

K. A. Philippov

ABOUT CAYLEY DIAMETER OF ONE SUBGROUPE OF THE GROUPE B0 (2,5)

Let {x, y} be generators of the largest finite group of exponent 5 and hj = xy, h2 = yx. The growth function and Cayley diameter are calculated for the subgroup H = (hj, h2}.

Keywords: Burnside problem.

© Филиппов К. А., 2012