Компьютерное моделирование конечных двупорожденных групп периода 5 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

А. А. Кузнецов, А. С. Кузнецова

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ДВУПОРОЖДЕННЫХ ГРУПП ПЕРИОДА 5*

Пусть В0(2, 5, к) - максимальная конечная двупорожденная бернсайдова группа периода 5 ступени нильпотентности к и {а1,а2} - порождающие элементы данной группы. Проведены вычисления функции роста групп В0(2, 5, к) относительно порождающего множества А = {а1, а-1, а2, а-1} для случаев к = 1, 2, 3, 4, 5.

Ключевые слова: группы Бернсайда, функция роста, диаметр Кэли.

Пусть В0(2,5, к) - максимальная конечная двупорожденная бернсайдова группа периода 5 ступени нильпотентности к. В данном классе групп наибольшей является группа В0 (2,5,12), порядок которой

равен 534 [1]. Положим, что {а1, а2} - порождающие элементы В0 (2,5, к).

Авторами вычислены функции роста указанных групп для порождающего множества А = {а1, а-1, а2, а-1} при к < 5 . Функция роста группы В0(2,5,6) относительно А получена Ч. Симсом в работе [2].

На множестве А введем отношение порядка х (меньше): а1 х а-1 х а2 х а-1.

Для получения функции роста и диаметра Кэли относительно А необходимо перечислить все элементы группы в формате минимальных слов [2], а после определения количества слов на каждой длине можно будет найти функцию роста группы, при этом максимально возможная длина минимальных слов будет являться диаметром Кэли группы.

Отметим, что для случаев к = 2, 3, 4, 5 были использованы компьютерные вычисления, основанные на алгоритме перечисления элементов группы.

Алгоритм перечисления элементов группы. Пусть р - простое число, а О - конечная группа экспоненты р. Это значит, что ^ = 1 для всех g е О. Так как группа О нильпотентна, то мы можем найти цепочку подгрупп О (1 < I < п), обладающих следующими свойствами:

- О = О1 3 О2 3 ... 3 Оп 3 °п+1 = е;

- О1 нормальны в О;

- факторы О / вм имеют порядок р и лежат в центре О / О+1.

Пусть для 1 < I < п элемент аг- е Ог-, но аг- г Ог-+1. Тогда каждый элемент группы g е О однозначным образом записывается в виде

g = <а22...аПп, 0<уг < р. (1)

Такое представление элементов группы (pc-представление) можно получить при помощи алгоритма, известного как P-Quotient Algorithm [3]. Он реализован в системах компьютерной алгебры GAP и Magma.

Если А - порождающее множество группы G, то любой ее элемент, записанный в виде слова a1a2 ...as, где ai е A , можно преобразовать к виду (1):

pq

a1a2 ...as ^a1Yla'22...a]l". (2)

Процедура (2) дает возможность решить проблему равенства слов в G. На ее основе мы можем перечислить элементы G в формате минимальных слов.

Обозначим через Ks (G) множество всех минимальных слов группы G, не превосходящих по длине s, через множество Qs (G) - элементы Ks (G), записанные в виде правой части (2), через e - пустое слово - единицу группы.

Пусть s0 е N - минимальное число, для которого выполняется равенство KSo(G) = KSo +1(G). В этом случае s0 будет являться диаметром Кэли группы G. Опишем алгоритм, вычисляющий Ks.

Шаг 1: s = 0, K0 = {e}, Q0 = {e}, T = K0.

Шаг 2: s = s +1, Ks = Ks_x, Qs = Qs_x,

V = xT u yT , T = 0 , i = 1.

Шаг 3. Для vi е V v = f (vi). Если v £ Qs, то

Ks = Ks uv-, Qs = Qs uv, T = Tuv-.

Шаг 4. Если i < |V|, то i = i +1 и переход на шаг 3; если i = | V|, то переход на шаг 5.

Шаг 5. Если T ^ 0, то переход на шаг 2; если T = 0, то переход на шаг 6.

Шаг 6. Если диаметр G равен s -1, то тогда Ks-1(G) - множество всех минимальных слов

группы.

Шаг 7. Завершение работы алгоритма.

* Работа выполнена при финансовой поддержке КГАУ «Красноярский краевой фонд науки и научно-технической деятельности».

Таблица 1

Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов

0 1 2 8 4 4

1 4 3 8 - -

В0(2, 5,1)| = 52 = 25

Таблица 2

Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов

0 1 2 12 4 62 6 2

1 4 3 32 5 12 - -

|В0(2,5,2)| = 53 = 125

Группа В0(2,5,1). Данная группа представляет собой элементарную абелеву группу, порядок которой равен 52 . Нетрудно вычислить функцию роста данной группы и диаметр Кэли (табл. 1). Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Относительно порождающего множества А группа В0 (2,5,1) имеет диаметр Кэли, равный 4, а функция ее роста задана табл. 1.

Доказательство теоремы очевидно.

Группа В0(2,5,2). Любой элемент группы

В0 (2, 5, 2) может быть представлен в виде нормального коммутаторного слова [1]:

g = а/‘а22а33, у, е 25.

т -14 -14

Здесь и далее а1 = а1 и а2 = а2 .

Для умножения элементов будем использовать полиномы Холла, полученные в [4].

Пусть а*1 а^2а3х3 и а^1 а2,2аЗУ3 - два произвольных элемента в группе В0 (2,5,2), записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение

а*1 а^2 а*3 • аУ а2 2 а3У3 = аЦ1 а^2 а33, где ^ е 25, и

*1 = *1 + Уи *2 = *2 + У2 ,

*3 = *3 + У3 + *2 У1.

Применив алгоритм перечисления элементов группы, получим функцию роста группы В0 (2,5,2) (табл. 2).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Относительно порождающего множества А группа В0 (2, 5, 2) имеет диаметр Кэли, равный 6, а функция ее роста задана табл. 2.

Доказательство теоремы следует из вычислений функции роста группы В0 (2,5,2) по алгоритму перечисления элементов группы.

Группа В0 (2,5,3). Каждый элемент группы В0 (2,5,3) может быть представлен в виде нормального коммутаторного слова

g = а11'1 а]2 а|3 а{4 а|5, у ,

■:1Ъ.

Пусть а*1 а2а1*3а*44а5*5 и а/1 а22аУ3 ауА4а5У5 - два произвольных элемента в группе В0 (2,5,3), записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение

а*1 а*2 а*3 а*4 а^ • аУ а2У2 а3У3 аУ4 ау =

где I, е 25

= а[1 а^2 а313 а.44 а5

*1 = *1 + Уl,

*2 = *2 + У2 ,

*3 = *3 + У3 + *2 У1

' У1

*4 = *4 + У4 + *2

+ *3 У1

Г У

*5 = *5 + У5 + *2 У1У2 + ^ 2 | У1 + *3 У2 .

Здесь и далее

п!

биномиальный

г !(п - г)!

коэффициент.

Используя алгоритм перечисления элементов группы, вычислим функцию роста группы В0 (2,5,3)

(табл. 3).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Относительно порождающего множества А группа В0 (2,5,3) имеет диаметр Кэли, равный 10, а функция ее роста задана табл. 3.

Доказательство теоремы следует из вычислений функции роста группы В0 (2,5,3) по алгоритму перечисления элементов группы.

Группа ^0 (2,5,4). Каждый элемент группы В0 (2,5,4) может быть представлен в виде нормального коммутаторного слова:

g = а/1 а22 а'ъ а]4 а|5 а^6 а]1 а, у і є 15.

Пусть а/11 а22 а/3 а]4 а;'5 а/6 а] а/8 и а/1 а2У2 а33 а]"4 ау5 ау66 а] а^ - два произвольных элемента в группе В0 (2,5,4), записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение

а/1 а'2 а33 а'4 а'5 а/ а] а/8 ■ а/1 а] а] а] ау а] а]1 а]8 = = ар а22 а33 а.44 а.?5 аг66 а]1 ар ,

где гг- є 2Ъ, и

?1 = Х + Уl,

= Х2 + У2 ,

?з = Х + Уз + Х2 Уl,

Г У1 'ї

? 4 = Х4 + У 4 + Х2 I 2 1 + Х3 У1 '

?5 = Х5 + У5 + Х2У1У2 + | 2 |У1 + Х3У2 .

?6 = Х6 + Уб + Х2 Iу: 1 + Х3 I '2 | + Х4У1

?1 = Х1 + У1 +1 ^ II *2 1 +

+ Х2 I ^ | У2 + Х3 У1У2 + Х4 У2 + Х5 У1,

= Х8 + У8 +| '3 і У1 +1 ^ | У1У2 +

+ *2 У1 -У2 J + *3 У,2 J + *5 У2 ,

Применив алгоритм перечисления элементов группы, найдем функцию роста группы В0 (2, 5, 4) (табл. 4).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Относительно порождающего множества А группа В0 (2,5,4) имеет диаметр Кэли, равный 19, а функция ее роста задана табл. 4.

Доказательство теоремы следует из вычислений функции роста группы В0 (2,5,4) по алгоритму перечисления элементов группы.

Таблица 3

Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов

0 1 3 32 6 512 9 118

1 4 4 88 1 1 068 10 16

2 12 5 236 8 918 - -

|В0(2,5,3)| = 55 = 3125

Таблица 4

Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов

0 1 5 236 10 24 380 15 29 304

1 4 6 632 11 49 056 16 3 168

2 12 1 1 660 12 83 204 11 198

3 32 8 4 220 13 102 930 18 40

4 88 9 10 512 14 80 944 18 4

|В0(2,5,4)| = 58 = 390 6 25

Таблица 5

Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов

0 1 6 632 12 215 242 18 259 624

1 4 1 1 688 13 546 024 19 4 152

2 12 8 4 416 14 1 266 612 20 92

3 32 9 11 896 15 2 438 246 - -

4 88 10 31 368 16 3 112 510 - -

5 236 11 82 356 11 1 189 614 - -

|В0(2,5,5)| = 510 = 9165 625

Таблица б

Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов Длина Количество слов

Q 1 8 4 476 16 1Q 4Q1 496 24 1 QQQ 867 498

1 4 9 11 896 17 26 8З1 306 25 1З0 718 З12

2 12 1Q З1 528 18 68 29Q Q46 26 1 З5З 842

З З2 11 8З 5Q8 19 169 729 186 27 З 454

4 88 12 221 1Q8 2Q 403 ЗЗ1 722 28 714

5 2З6 1З 582 828 21 87З 779 5Q4 29 146

6 6З2 14 1 529 5Q8 22 1 558 15Q 656 30 12

7 1 688 15 З 998 452 2З 1 85З 591 7З4 - -

|B„(2,5,6)| = 514 = 6 ЮЗ 515 625

Группа В0(2,5,5). Аналогичным образом вычислим функцию роста группы В0(2,5,5) (табл. 5).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 5. В алфавите А группа В0(2,5,5) имеет диаметр Кэли, равный 20, а функция ее роста задана табл. 5.

Доказательство теоремы следует из вычислений функции роста группы В0 (2,5,5) по алгоритму перечисления элементов группы.

Группа В0(2,5,6). Функция роста группы В0(2,5,6) вычислена в работе [2] (табл. 6).

Библиографические ссылки

1. Hawas G., Wall G., Wamsley J. The Two Generated Burnside Group of Exponent Five // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. № 10. P. 459-470.

2. Sims C. Fast Multiplication and Growth in Groups // Proc. of the 1998 Intern. Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. Rostock, Germany, 1998. P. 165-170.

3. Sims C. Computation with Finitely Presented Groups. Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1994.

4. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Быстрое умножение элементов в конечных двупорожденных группах периода пять // Прикл. дискрет. математика. 2012. № 4 (17). С. 54-60.

A. A. Kuznetsov, A. S. Kuznetsova COMPUTER MODELING OF FINITE TWO-GENERATOR GROUPS OF EXPONENT 5

Let B0 (2,5, k) be the largest finite, provided by two, Burnside group ofperiod of the 5th step of nilpotency k, and

{a1,a2} be generators of this group. In this article the growth functions of the groups B0(2,5,к) ,relative to A = {aj, a-1, a2, a-1}, are calculated for cases к = 1, 2, 3, 4, 5.

Keywords: Burnside groups, growth function, Cayley diameter.

© Кузнецов А. А., Кузнецова А. С., 2012

УДК 004.4

В. В. Кукарцев, Д. А. Шеенок

ОЦЕНКА ЗАТРАТ НА МОДЕРНИЗАЦИЮ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ ПО НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

Предложен подход для оценки затрат на модернизацию программного обеспечения с учетом различных этапов жизненного цикла и введения программной избыточности. Проведены расчеты затрат на модернизацию программного обеспечения реальной системы.

Ключевые слова: программная избыточность, трудозатраты, программное обеспечение, декомпозиция.

При разработке высокобюджетных программных банкротству компании-разработчика. Существует

проектов важную роль играет оценка затрат. Расхож- множество простых и сложных моделей и основанных

дение планируемых затрат с фактическими может на них методик оценки будущей стоимости проекта,

привести к серьезным финансовым потерям и даже но они в совокупности имеют следующие недостатки.