Исследование функций роста в конечных двупорожденных группах периода 5 Текст научной статьи по специальности «Математика»

References

1. Codd E. F., Codd S. B., Salley C. T. Providing OLAP. On-line Analytical Processing to User-Analists: An IT Mandate. CT Salley, EF Codd & Associates. 1993, Vol. 19.

2. Honorvar L., Campbell S., Showalter T. Use of online analytical processing (OLAP) in a rules based decision management system. United States Patent: US 2004/6430545 B1.

3. Nozhenkova L. F., Shaidurov V. V. Informatsionnye tehnologii i vychislitelnye sistemy. 2010, № 2, p. 15-27.

4. Qwaider W. Q. Apply On-Line Analytical Processing (OLAP) With Data Mining For Clinical Decision Support. International Journal of Managing Information Technology (IJMIT), vol. 4, no. 1, 2012, p. 25-37.

5. Tsois A., Karayannidis N., Sellis T. MAC: Conceptual data modeling for OLAP. Proc. of the International Workshop on DMDW, 2001, p. 28-55.

6. Shovkun A. V. Nauchnaya sessiya MIFI-2003. Sbornik nauchnyh trudov. vol. 2. Moscow, MIFI, 2003, p. 76-77.

7. Lee J., Mazzoleni P., Sairamesh J., Touma M. System and method for planning and generating queries for multi-dimensional analysis using domain models and data federation, 2008. United States Patent: US 2008/7337170 B2.

8. Priebe T., Pemul G. Ontology-based integration of OLAP and information retrieval. Database and Expert Systems Applications, 2003. Proceedings. 14th International Workshop on. IEEE, 2003, р. 610-614.

9. Korobko A. V., Penkova T. G. Vestnik SibGAU.

2010, № 4(30), p. 74-79.

10. Korobko A. V., Penkova T. G. Informatizatsiya I svyaz. 2011, № 3, p. 23-25.

11. Korobko A. V., Penkova T. G. Vestnik SibGAU.

2011, № 5(38), p. 49-55.

12. Penkova T. Korobko A. Method of constructing the integral OLAP-model based on formal concept analysis. Frontiers in Artificial Intelligence and Applications. IOS Press. 2012. vol. 243, p. 219-227, doi: 10.3233/978-1-61499-105-2-21

13. Wille R. Restructuring Lattice Theory: an

approach based on hierarchies of concept. Reidel, Dordrecht-Boston, 1982, p. 445-470.

14. Ganter B., Wille R. Formal Concept Analysis: mathematical Foundations. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York, 1999.

15. Birkgof G. Teoriya reshotok (Lattice Theory). Moscow, Nauka, 1984, 568 p.

16. Ueno H., Ishizuka M. Predstavlenie i ispolzovanie znaniy (The presentation and use of knowledge). Moscow. Mir. 1989.

© Коробко А. В., Пенькова Т. Г., 2013

УДК 519.6

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ РОСТА В КОНЕЧНЫХ ДВУПОРОЖДЕННЫХ

ГРУППАХ ПЕРИОДА 5

А. С. Кузнецова

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. Е-таП: [email protected]

Пусть Б0 (2,5, к) - максимальная конечная двупорожденная бернсайдова группа периода 5 ступени нильпотентности к и {а1, а2} - порождающие элементы данной группы. Ранее автором совместно с А. А. Кузнецовым были получены функции роста Б0(2,5, к) относительно порождающего множества {а1, а1-1а2, а-1} при к < 5 . В настоящей работе создан компьютерный алгоритм, вычисляющий функцию роста и диаметр графа Кэли конечной р-группы, заданной порождающим множеством А = {а1, а2}. На основе алгоритма получены функции роста групп Б0 (2,5, к) относительно А для к < 5. Рассматриваемая задача помимо фундаментального значения, имеет также и приложения, например, при проектировании компьютерных вычислительных сетей. Сеть процессоров может быть представлена как неориентированный граф, в котором процессоры являются вершинами, а две вершины графа соединены ребром, если имеется прямое соединение между соответствующими процессорами. С одной стороны, желательно, чтобы между процессорами было как можно меньше соединений, а с другой, обмен данными между процессорами предпочтительно производить с наи-

меньшим числом посредников. Очевидно, эти два критерия противоречат друг другу. На теоретико-групповом языке диаметр графа вычислительной сети будет равен максимальной длине минимальных слов соответствующей графу группы.

Ключевые слова: функция роста, диаметр Кэли.

STUDY OF THE GROWTH FUNCTIONS IN TWO-GENERATOR GROUPS OF THE EXPONENT 5

A. S. Kuznetsova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia. Е-mail: [email protected]

Let B0 (2,5, k) be the largest finite two generated Burnside group of the exponent 5 of the nilpotency class k and (a1, a2} be generators of this group. Earlier the author together with A.A. Kuznetsov obtained the growth functions of B0(2,5, k) with respect to the generating set (a1, aj-1a2, a-1} for k < 5. In this work a computer algorithm that calculates the growth function and the Cayley diameter of the graph of a finite p-group, defined by the generating set A = (a1, a2}, is created. On the basis of the algorithm the growth functions of B0(2,5, k) with respect to the generating set A for k < 5 is obtained. The considered task, besides for substantial significance, has applications as well. For example, a network of processors for parallel computation can be regarded as an undirected graph in which the vertices are the processors, and two vertices are joined with the edge if there is a direct connection between the two processors represented. The design of a large network is more feasible if the number of connections is small, but computations become more efficient if the short paths connect any two vertices (that is, the diameter of the graph should be as small as possible). Of course, these two requirements tend to conflict with each other. At the group-theoretic language the diameter of the graph of a computing network is equal to the maximum length of minimal words of the group graph.

Keywords: growth function, Cayley diameter.

Пусть Bq(2,5, k) - максимальная конечная двупо-рожденная бернсайдова группа периода 5 ступени нильпотентности k. В данном классе групп наибольшей является группа Bq (2,5,12), порядок которой

равен 534 [1]. Положим {a1, a2} - порождающие элементы Bq (2,5, k).

В [2] было начато исследование функций роста в группах Bq (2,5, k). Относительно порождающего

множества {a1, a1-1a2, a-1} вычислены указанные характеристики групп для k < 5 .

Настоящая работа является логичным продолжением [2]. В ней будут представлены результаты вычислений функций роста указанных групп для порождающего множества А = {a1, a2} при k < 5 . Функция роста группы Bq(2, 5,6) относительно А получена К. А. Филипповым в работе [З].

Для вычисления функции роста и диаметра графа Кэли относительно А необходимо перечислить все элементы группы в формате минимальных слов [4]. Вычислив количество слов на каждой длине, можно будет получить функцию роста группы, а максимально возможная длина минимальных слов будет являться диаметром Кэли группы.

Отметим, что для случаев k = 2, 3, 4, 5 были использованы компьютерные вычисления, основанные на алгоритме из разд. 1.

Рассматриваемая задача помимо фундаментального значения, имеет также и приложения, например, при проектировании компьютерных вычислительных сетей [5]. Сеть процессоров может быть представлена как неориентированный граф, в котором процессоры являются вершинами, а две вершины графа соединены ребром, если имеется прямое соединение между соответствующими процессорами. С одной стороны, желательно, чтобы между процессорами было как можно меньше соединений, а с другой, обмен данными между процессорами предпочтительно производить с наименьшим числом посредников. Очевидно, эти два критерия противоречат друг другу. На теоретико-групповом языке диаметр графа вычислительной сети будет равен максимальной длине минимальных слов соответствующей графу группы.

Описание алгоритма вычисления функции роста группы. Пусть р - простое число, а О - конечная группа экспоненты р. Это значит, что gp = 1 для всех g е О. Положим А = {а1, а2} - порождающие элементы О. На множестве А введем отношение порядка «-С» (меньше): я, -< а-,. Пусть g элемент из О. Тогда его можно представить в виде конечного произведения из порождающих, т. е. , g = а:-а2 •...-а5, где аг- еА, правую часть данного равенства мы будем называть словом и записывать V = а:а2...а5. Натуральное число 5 будем называть длиной слова V.

Функция L(v) определена на множестве всех слов и равна длине слова v, т. е. L(v) = s для слова v, указанного выше. Единица группы e будет представлена пустым словом, которое мы будем обозначать е. По определению, длина пустого слова равна 0.

Определение отношения порядка на множестве слов. Будем говорить, что слово v меньше слова w и записывать это как v X w , если имеет место одно из следующих утверждений:

1. L(v) < L(w);

2. Если L(w) = L(v), тогда пусть v = а1а2...аs и

w = PlP2 . Ps , а1 = Pi , а2 = в2 , аk-1 = Pk-1 , ak < Pk

для некоторого 1 < k < s.

Определение минимального слова. Слово v будем называть минимальным в G относительно введенного порядка, если для любого другого слова w, удовлетворяющего условию gv = gw, будет выполняться v X w.

Так как G нильпотентна, то мы можем найти цепочку подгрупп Gi (1 < i < n), обладающих следующими свойствами:

G = G1 ^ G2 ^ ^ Gn ^ Gn+1 = ^

Gi нормальны в G, а факторы Gi / Gi+1 имеют порядок p и лежат в центре G / Gi+1.

Пусть для 1 < i < n элемент ai е Gi, но ai g Gi+1, тогда каждый элемент группы g е G может однозначным образом записан в виде

g = a/1 a]2 ... a'ln ,0 <y< p. (1.1)

Такое представление элементов группы (pc-представление), можно получить при помощи алгоритма известного как p-quotient algorithm [6]. Он реализован в системах компьютерной алгебры GAP и Magma. Если А - порождающее множество группы G, то любой ее элемент, записанный в виде слова a1a2 as, где ai еА, можно преобразовать к виду (1):

a1a2 ... as ^ a1Y1 a^2 ... a,

'In

(

2)

4. Если

5. Если

рд

3. Для vi е V vi ^ w. Если w £ Qs, то

К5 = К5 и V-, Qs = Qs и w, Т = Т и V-.

и < VI, то I = I +1, переход в 3;

[/' = , то переход в 5.

[Т ^0, то переход в пункт 2;

[Т = 0, то переход в пункт 6.

6. Диаметр О равен 5 -1, К5-1(О) - множество всех минимальных слов группы. Функция роста задается формулой /(/) =| К, (О) | -1 К,- (О) |

(1 < / < 5 -1).

7. Завершение работы алгоритма.

Группа В0(2,5,1). Данная группа представляет собой элементарную абелеву группу, порядок которой равен 52 . Нетрудно вычислить функцию роста данной группы и диаметр Кэли (см. табл. 1). Справедлива следующая

Теорема 1. Относительно порождающего множества А группа Б0 (2,5,1) имеет диаметр Кэли, равный 8, а функция роста задана табл. 1.

Доказательство. Очевидно.

Таблица 1

Функция роста группы В0(2,5,1)

Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов

Q 1 З 4 6 З

1 2 4 5 7 2

2 З 5 4 8 1

|Bq(2,5,1)| = 52 = 25

Процедура (2) дает возможность решить проблему равенства слов в С. На ее основе мы можем перечислить элементы О в формате минимальных слов.

Обозначим через К5 (О) множество всех минимальных слов группы О, не превосходящих по длине 5. Множество Qs (О) - элементы К5 (О), записанные в виде правой части (2). Пустое слово - единицу группы обозначим е.

Пусть 50 є N - минимальное число, для которого

выполняется К50(О) = К50+1(О). В этом случае 50

будет являться диаметром Кэли группы О. Опишем алгоритм, вычисляющий К5:

1. 5 = 0, К0 = {є}, Qo = {е}, Т = К,.

2. 5 = 5 +1, К5 = К_1, Qs = Q^_1, V = аТ и а2Т , Т = 0, і = 1.

Группа В0 (2,5,2). Любой элемент группы Б0 (2,5,2) представим в виде нормального коммутаторного слова [1]:

g = а?1 а\2 о*, Уг е 2Ъ.

Для умножения элементов, будем использовать полиномы Холла, полученные в [7].

Пусть аХ аХ а^3 и аУ аУ а3У3 - два произвольных элемента в группе Б0 (2, 5, 2) , записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение равно

аХ а22 а^3 ■ а1У1 аУ2 аУ = а11 а^2 а|3 , где е 25 и:

*1 = Х + Уи

*2 = *2 + У2,

*3 = Х3 + У3 + Х2 У1.

Применив алгоритм из разд. 1, получим функцию роста рассматриваемой группы (табл. 2).

Имеет место

Теорема 2. Относительно порождающего множества А группа Б0 (2,5,2) имеет диаметр Кэли, равный 10, а функция роста задана табл. 2.

Доказательство. Следует из вычислений функции роста группы Б0(2,5,2) по алгоритму из разд. 1.

Таблица 2

Функция роста группы В0(2,5,2)

Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов

0 1 3 8 6 23 9 10

1 2 4 15 7 21 10 4

2 4 5 20 8 17

В>(2,5,2) =53 =125

Таблица 3

Функция роста группы В0(2,5,3)

Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов

0 1 6 56 12 487 18 12

1 2 7 100 13 438 19 4

2 4 8 166 14 343 20 2

3 8 9 262 15 222

4 16 10 370 16 112

5 30 11 455 17 34

|В0(2,5,3)| = 55 = 3125

Группа В0 (2,5,3). Каждый элемент группы В0 (2,5,3) представим в виде нормального коммутаторного слова

g = а1ї1 а]2 а3 а{4 а|5, уі є 25.

Пусть аХ ар а^3 а44 ар и а/1 аУ2 а^3 аУ4 а|5 - два произвольных элемента в группе В0 (2,5,3), записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение равно

аХ ар а33 ахА4 ар ■ а^1 а%2 аУ ауА4 ар = а^1 а^2 а^3 а44 а^5 , где

2 є ^5 и:

2 = Х1 + Уи 22 = Х2 + У2 ,

23 = Х3 + У3 + Х2 У^

( У1 'ї

2 4 = Х4 + У4 + Х2 I 2 1+ Х3 У1 ,

25 = Х5 + У5 + Х2У1У2 +| 2 |У1 + Х3У2 .

Здесь и далее

п!

биномиальный ко-

г !(п - г)!

эффициент. Применив алгоритм из разд. 1, вычислим функцию роста группы Б0(2,5,3) (табл. 3). Справедлива следующая

Теорема 3. Относительно порождающего множества А группа Б0(2,5,3) имеет диаметр Кэли, равный 20, а функция роста задана таблицей 3.

Доказательство. Следует из вычислений функции роста группы Б0(2,5,3) по алгоритму из разд. 1.

Группа В0 (2,5,4). Каждый элемент группы Б0 (2,5,4) представим в виде нормального коммутаторного слова

Ї1 У 2 У3 У 4 У 5 У6 У7 У

g = а{{а2 аъ5 а44а^5 а^ а7 а§

Уі

:25.

Пусть

Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Хб Х7 Хо

а11 а2 а35 а44 а55 а66 а77 а^°

аУ1 аУ2 ар аУ4 ар ар ар а^8 - два произвольных элемента в группе Б0 (2, 5, 4) , записанных в коммутаторном виде. Тогда их произведение равно

ар1 ар2 ар ар4 ар ар ар ар8 ■ ар1 ар ар ар4 ар ар ар ар = ар ар а-*3 а44 а*5 ар ар ар , где е 25 и:

*1 = Х1 + Уl, р2 = Х2 + У2 ,

р3 = Х3 + р3 + Х2 Уl,

Г р ^

р4 = Х4 + р4 + Х2 I 2 1 + Х3 Уl,

25 = Х5 + У5 + Х2 У1У2 +| 2 I У1 + Х3 У2 =

26 = Х6 + Уб + Х2 | 3 1 + Х

У1

Зі"!1 1 + Х4 У1 '

27 = Х7 + У7 +

У1

+ Хп

У1

У2 +

+ Х3 У1У2 + Х4 У2 + Х5 Уl,

28 = Х8 + У8 +1 3 IУ1 +1 2 IУ1У2 +

+ Х2 У1

У2

+ Хо

У2

+ Х5 У2.

и

Применив алгоритм из разд. 1, найдем функцию роста группы Б0(2,5,4) (табл. 4).

Теорема 4. Относительно порождающего множества А группа Б0 (2,5,4) имеет диаметр Кэли, равный 30, а функция роста задана таблицей 4.

Доказательство. Следует из вычислений функции роста группы Б0(2,5,4) по алгоритму из разд. 1.

Группа В0 (2,5,5). Аналогичным образом вычислим функцию роста группы Б0 (2,5,5) (табл. 5).

Справедлива следующая

Теорема 5. В алфавите А группа Б0(2,5,5) имеет диаметр Кэли, равный 32, а функция роста задана таблицей 5.

Доказательство. Следует из вычислений функции роста группы Б0(2,5,5) по алгоритму из разд. 1.

Группа В0(2,5,6). К. А. Филиппов в работе [3] вычислил функцию роста группы Б0 (2,5,6) (табл. 6).

Таблица 4

Функция роста группы В0(2,5,4)

Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов

0 1 8 214 16 21923 24 18448

1 2 9 410 17 31600 25 8706

2 4 10 784 18 41954 26 3256

3 8 11 1487 19 50670 27 812

4 16 12 2735 20 54460 28 152

5 30 13 4905 21 51399 29 52

6 58 14 8529 22 42862 30 26

7 112 15 14118 23 30892

|Б0(2,5,4)| = 58 = 390 625

Таблица 5

Функция роста группы В0(2,5,5)

Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов

0 1 9 410 18 126828 27 887095

1 2 10 784 19 229180 28 487974

2 4 11 1495 20 399742 29 179463

3 8 12 2845 21 658283 30 36089

4 16 13 5409 22 994274 31 3332

5 30 14 10271 23 1332692 32 116

6 58 15 19476 24 1533785

7 112 16 36732 25 1497003

8 214 17 68679 26 1253223

Б0(2,5,5) = 510 = 9765625

Таблица 6

Функция роста группы В0 (2,5,6)

Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов Длина Кол-во слов

0 1 12 2847 24 6055431 36 831332170

1 2 13 5417 25 11319139 37 618248452

2 4 14 10303 26 21039700 38 367604796

3 8 15 19602 27 38795471 39 151894200

4 16 16 37254 28 70686385 40 34898104

5 30 17 70751 29 126432849 41 3181218

6 58 18 134224 30 219647100 42 69158

7 112 19 254321 31 364201879 43 800

8 214 20 481252 32 561801464 44 316

9 410 21 909349 33 779044350 45 158

10 784 22 1714866 34 936055279

11 1495 23 3226931 35 954336955

|Б0(2,5,6)| = 514 = 6103515625

Библиографические ссылки

1. Havas G., Wall G., Wamsley J. The two generated Burnside group of exponent five // Bull. Austral. Math. Soc. 1974. № 10. P. 459-470.

2. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Компьютерное моделирование конечных двупорожденных групп периода 5 // Вестник СибГАУ. 2012. № 1 (45). С. 59-62.

3. Филиппов К. А. О диаметре Кэли одной подгруппы группы B0(2,5) // Вестник СибГАУ. 2012. № 1 (41). С. 234-236.

4. Kuznetsov A. A., Shlepkin A. K. Comparative analysis of the Burnside groups B(2,5) and B0(2,5) // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010. № 2 (15). P. 111-117.

5. Holt D., Eick B., O'Brien E. Handbook of computational group theory. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. 2005. 514 p.

6. Sims C. Computation with Finitely Presented Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1994. 628 p.

7. Кузнецов А. А., Кузнецова А. С. Быстрое умножение элементов в конечных двупорожденных

группах периода пять // Прикладная дискретная математика. 2013. № 1 (18). С. 110-116.

References

1. Havas G., Wall G., Wamsley J. The two generated Burnside group of exponent five // Bull. Austral. Math. Soc., 1974, no. 10, p. 459-470.

2. Kuznetsov A. A., Kuznetsova A. S. Vestnik SibGAU, 2012, no. 1 (45), p. 59-62.

3. Philippov K. A. Vestnik SibGAU, 2012, no. 1 (41), p. 234-236.

4. Kuznetsov A. A., Shlepkin A. K. Comparative analysis of the Burnside groups B(2,5) and B0(2,5). Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2010. no. 2 (15), p. 111-117.

5. Holt D., Eick B., O'Brien E. Handbook of computational group theory. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2005, 514 p.

6. Sims C. Computation with Finitely Presented Groups. Cambridge: Cambridge University Press, 1994. 628 p.

7. Kuznetsov A. A., Kuznetsova A. S. Prikl. Diskr. Mat., 2013, no. 1 (18), p. 110-116.

© Кузнецова А. С., 2013

УДК 004.9

ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ГЕНЕРАЦИИ СИНОНИМИЧНЫХ ПОИСКОВЫХ ЗАПРОСОВ НА ОСНОВЕ СЕМАНТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ*

Д. В. Личаргин1, К. В. Сафонов2, О. И. Егорушкин2, И. В. Колбасина2, Е. Д. Старовойт2

1Сибирский федеральный университет Россия, 660074, Красноярск, ул. Академика Киренского, 26 2Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: [email protected]

В работе рассматривается проблема усовершенствования семантических естественно-языковых запросов к поисковым системам. Предлагается модель представления предложений естественного языка в качестве функций пространства с заданными семантизированными координатами. Предложен способ представления процесса порождения синонимичных предложений естественного языка на основе «таблиц сино-нимизации», модель может позволить порождать классы синонимических предложений на основе базовых предложений из многомерного пространства предложений естественного языка. Затрагивается вопрос об организации интерфейса расширенных синонимизированных семантических запросов к поисковым системам на основе иерархии общих и частных предложений с выделением темы и ремы. Делается вывод о необходимости продолжения данного исследования на основе апробации систем генерации осмысленных предложений.

Ключевые слова. Поисковые системы, компьютерная лингвистика, семантическая классификация, синонимичные запросы к поисковым системам».

*Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.1010.