CC BY
19
Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 1, С. 65-70
УДК 516.642.7
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ОДНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ1
Ш. С. Хубежты, А. О. Цуцаев
Посвящается А. Г. Кусраеву в связи с его шестидесятилетием
Исследуется вопрос о возможности построения приближенных схем повышенной точности для численного решения интегральных уравнений теории рассеяния. С применением нулей присоединенной функции Лежандра второго рода достигается указанная точность.
Ключевые слова: сингулярный интеграл, нуклон-нуклонное рассеяние, вычислительная схема, оценка погрешности.
1. Постановка задачи
На сегодня имеется достаточное количество работ [1-3] по численному решению известной задачи рассеяния [4, 5] современной физики, приводящей к уравнению с фиксированной особенностью
со
Т(ж,ж°) + А / К(ж,у) Т) ^у = К(ж,ж0), 0 ^ ж< то, 0 <ж0 < то, (1.1) 3 У2 - ж° 0
где сингулярный интеграл рассматривается в смысле главного значения Коши. Это уравнение описывает задачу рассеяния в квантовой теории поля и называется уравнением Липпмана — Швингера [4]. Пусть К(ж,у) — заданная функция, определяемая потенциалом взаимодействия частиц. Через решения Т(ж,ж°) известным образом определяется искомая фаза нуклон-нуклонного рассеяния. Ее вычисляют по формуле
Т (ж°,ж°)
6° = — агс1ап-. (1.2)
ж°
В частности, определенный интерес представляет случай, когда в (1.1)
(ж + у)2 + п2
К (ж, у) = 1п
(ж — у)2 + п2'
А = П2 и п = 0.7. Этот случай соответствует однопионно-обменному потенциалу Юка-вы [4].
© 2013 Хубежты Ш. С., Цуцаев А. О.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
проект № 11-01-00419-а.
Благодаря вполне определенному практическому значению таких уравнений, вопрос о построении и обосновании эффективных по точности вычислительных схем для численного решения представляет значительный интерес. Тем не менее, решение этого вопроса затрудняется, главным образом, из-за ряда характерных структурных свойств ядер (потенциалов) К (ж, у), используемых в уравнениях вида (1.1). К таким можно отнести и сравнительно простые на первый взгляд потенциалы с выражениями (1.3) (потенциал Юкавы), а так же потенциал Рида [4, 5], так как они имеют очень слабые дифференциальные свойства (очевидно, что при ж = у ^ ж, К (ж, у) ^ ж).
Первые шаги относительно численного решения уравнения (1.1) были сделаны в 1970 г. М. И. Хартелем и Ф. Табакиным, которые для получения заданной точности брали больше 24 узлов. Но на практике такое количество узлов не удовлетворяло физиков-атомщиков из-за того, что при исследовании ядерных реакторов количество узлов в аппроксимации интеграла (1.1) — это количество дорогостоящих испытаний.
Далее были попытки улучшения точности численного решения уравнения (1.1) ив [3] найден новый подход построения вычислительных схем с применением нулей присоединенной функции Лежандра второго рода [6]. Но не сделан анализ численных результатов. Ниже мы будем заниматься указанными вопросами.
2. Дискретизации уравнения Липмана — Швингера
В теории квадратурных формул для сингулярных интегралов известен такой факт:
Теорема 1. Квадратурная формула для сингулярных интегралов имеет наивысшую алгебраическую точность 2п, если параметр сингулярности ж интеграла
1
5 (У,ж) = / ^ (2.1)
1
является корнем присоединенной функции Лежандра второго рода [7], т. е. если ж удовлетворяет уравнению
1
Рп (¿) £ — ж
1
1
Яп(ж) = У Р—ж М = о, (2.2)
где Рп(£) = 2ппт(£2 — 1)п, п = 1, 2,... , — ортогональные многочлены Лежандра.
В (1.1) сделаем такую подстановку у = с(—1 + 1), ж = с(—1 + 1), где с — пока произвольная постоянная. Тогда (1.1) примет вид
Т1 (£,жо) + 2сА / , К1(£,ТУу 2= К1 (£,жо), (2.3)
0 (с (—1+то) — жот3
где Т1 (£,жо) = Т(с( — 1 + ¿2),жо), К(£,т) = К(с( — 1 + ¿2),с( — 1 + Т^)). Используя тождество
1
1
2
1
/ (£) ^ =Ц / (|£|)
(2.3) можно переписать в виде
1
ЗДжо) + 2СА / Kl(t,|тВTidr^) dr = Ki(i,xo). (2.4)
J „ 11 1П ™2 Wl3
В свою очередь (2.4) сводится к уравнению 1
С + 10 -1 (М - (|т| + ((1 - X0)|т|2 - 1)
Уравнение (2.5) является сингулярным интегральным уравнением с параметром сингулярности . Теперь указанный параметр можно выбрать как корень присоединенной функции Лежандра второго рода. Обозначим его через , т. е. = ^~
корень уравнения (2.2). Этого мы добьемся благодаря произвольности с. Очевидно для любого значения параметра Хо > 0 можно выбрать с таким образом, что
2 xn
(2.6)
tko X0 1- t2
ko
Но здесь возникают вопросы:
1) Существуют ли нули функции Лежандра второго рода?
2) Находятся ли они в интервале (-1,1)?
3) Не совпадают ли они с узлами квадратурной формулы Гаусса, т. е. не совпадают ли эти нули с корнями многочлена Лежандра.
На эти вопросы существует положительный ответ [6]. А именно, справедлива
Теорема 2. Функция Qn(x) = Qn(cos 9) имеет ровно n +1 нулей в промежутке 0 < 9 < п (-1 < x < 1), которые лежат в промежутках v/(n + 2) п < 9 < (v + 2)/(n + 2) п, v = 0,1,..., n, или cos |П+т п < xv < cos 2П2+РТ п, xv = cos ©v. Геометрически это означает, что между корнями многочлена Лежандра находится ровно один корень функции Лежандра.
В [6, с. 163] указано «функция Qn(x) имеет n + 1 нулей внутри промежутка (—1, +1), которые перемежаются с нулями xv (v = 1,2, ...,n) многочлена Лежандра Pn (x) и sign Qn(xv) = (—1)v (v = 1,2,..., n)», т. е. они не совпадают.
c
3. Анализ численных результатов
Возникает еще одна проблема: «Как найти нули присоединенной функции Лежандра второго рода?» Нам удалось решить эту задачу с помощью метода численного решения уравнений с использованием пакета «Maple».
Ниже приводятся многочлены Лежандра и соответствующие функции с положительными корнями для различных значений n. n = 4, P4 (x) = 8 (35x4 - 15x2 + 3),
Q4(x) =0, xi = 0.9804291141, x2 = 0.6390033629; n = 6, P6(x) = 16(231x6 - 315x4 + 105x2 - 5),
Qa(x) =0, xi = 0.9905839159, x2 = 0.8206431284, x3 = 0.4633742425;
п = 8, Ре (ж) = х^з (6435ж8 - 3003ж6 + 3465ж4 - 315ж2 + 35), дв(ж) = 0, ж1 = 0.9944856230, ж2 = 0.8936701684, жз = 0.6725479447, ж4 = 0.3606231752; п = 10, Р10 (ж) = 256 (46189ж10 - 109395ж8 + 45045ж6 - 15015ж4 + 3465ж2 - 63), д10(ж) = 0, ж1 = 0.9963836912, ж2 = 0.9298548462, жз = 0.7809572439, ж4 = 0.5626867666, ж5 = 0.2944231929; п = 12, Р12(ж) = 1024 (676039ж12 - 1939938ж10 + 2078505ж8 - 255255ж6 + 225225ж4--18018ж2 + 231),
^12 (ж) = 0, ж1 = 0.9974473127, ж2 = 0.9503214396; жз = 0.8436611861, ж4 = 0.6840035620; ж5 = 0.4813703639, ж6 = 0.2484918472; п = 14, Р14 (ж) = 2041 (5014575ж14 - 16900975ж12 + 22309287ж10 - 14549535ж8+ +484984ж6 - 765765ж4 + 45045ж2 - 429), ^14(ж) = 0, ж1 = 0.9981024707, ж2 = 0.9629962806, жз = 0.8829932889, ж4 = 0.7617120603, ж5 = 0.6048161441, ж6 = 0.4196404176, ж7 = 0.2148430646.
Теперь в уравнении (2.5) заменим интеграл через квадратурную формулу Гаусса, получим следующее дискретное уравнение
Т1(М0)+ _+_£-(1Ы.«.)-- = ад,«,), (3.1)
с + ж0П1 (Ь|-гы)(Ь| + ¡к,)((1 - ь|2 -1)
где ¿к — корни многочлена Лежандра, Ак — коэффициенты квадратурной формулы Гаусса [8, с. 158-159], ¿ко — корень функции Лежандра, с — постоянная, определенная формулой (2.6). Подставляя Ь = ^, О = 1, 2,..., Г, из (3.1) имеем
п
Т1 (^, ж0) + £-^к|К1в ,^|)Т1 (|Ьк|,ж0)-_ = , ж0) (3.2)
с + ж0 к=1 (|Ьк| - ¿ко)(|Ьк| + ¿ко)((1 - Х0) |Ьк|2 -1)
О = 1,2,..., 2).
Как было отмечено в [3] остаток погрешности в случае потенциала Юкавы имеет оценку 0(^Пг) (п ^ то).
Т(ж0,ж0) найдется из (3.2) с помощью естественной аппроксимации вида
~ = *(-) - (33)
Составлена программа на языке Паскаль и для Т(ж0,ж0) получены следующие результаты:
1. Тестовая задача: К (ж, у) = 1, решением является Т (ж0,ж0) = 1.
Таблица 1. Тестовая задача
п корни функции Лежандра Хо = 1 хо = 10 хо = 100
4 0,63900 0,96561 0,99656 0,99966
6 0,46337 0,95499 0,99550 0,99955
8 0,36062 0,95048 0,99505 0,99951
10 0,56268 0,98995 0,99899 0,99990
12 0,48137 0,98908 0,99890 0,99989
14 0,41964 0,98850 0,99885 0,99989
2. Потенциал Юкавы: K(x,y) = ln (Х-У)2 j?2, значения T(x0,x0) см. в табл. 2.
Таблица 2. Потенциал Юкавы
n корни функции Лежандра xo = 1 xo = 10 xo = 100
4 0,63900 2,69402 6,71252 11,31006
6 0,46337 2,21517 6,70655 11,31000
8 0,36062 2,21520 6,70610 11,31000
10 0,56268 2,21586 6,70614 11,31000
12 0,48137 2,21586 6,70607 11,31000
14 0,41964 2,21520 6,70605 11,31000
Численные результаты показывают эффективность изложенного метода. Абсолютная точность тестовой задачи: е = 0,001 при х0 = 1, е = 0,0001 при х0 = 10 и е = 0,00001 при Хо = 100 (табл. 1), т. е. если х ^ то, точность улучшается.
Оценка точности для X(х0, х0) и потенциала Юкавы: е = 0,001 при х0 = 1, е = 0,0001 при х0 = 10 и е = 0,00001 при х0 = 100 (табл. 2), т. е. если х ^ то, точность улучшается.
Замечание. Наблюдается закономерность: оптимальное приближение достигается на нулях присоединенной функции Лежандра второго рода близких к центру интервала (0,1) (см. таблицы 1 и 2).
Литература
1. Саникидзе Д. Г. Применение приближенных формул для интегралов с ядром Коши для численного решения задач рассеяния // Тр. XIII междунар. симпозиума (МДОЗМФ-2007).—Харьков-Херсон, 2007.—С. 254-257.
2. Саникидзе Д. Г., Хубежты Ш. С. О вычислительной схеме повышенной точности для решения одного класса сингулярных уравнений // Тр. XIV междунар. симпозиума (МД0ЗМФ-2009). Ч. 1. —Харьков-Херсон, 2009.—С. 164-167.
3. Хубежты Ш. С. Численное решение одной задачи рассеяния с применением нулей Функции Лежандра // Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, вып. 1.—C. 71-77.
4. Тейлор Дж. Теория рассеяния.—М.: Мир, 1975.—566 с.
5. Hartel M. I., Tabakin F. Nuclear saturation and smoothness of nucleon-nucleon potentials // Nuclear Physics. A158.—1970.—P. 1-42.
6. Сеге Г. Ортогональные многочлены.—М.: Физматиз, 1962.—500 с.
7. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент.—М.: ТОО «Януо>, 1995.—520 с.
8. Крылов В. И., Шульгин Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию.—М.: Наука, 1966.—370 с.
Статья поступила 31 июля 2012 г. Хубежты Шалва Соломонович
Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, вед. науч. сотр. отдела математического моделирования РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Маркуса, 22;
Цуцаев Арсен Олегович
Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, аспирант отдела мат. моделирования РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]
70
Xy6e>KTbi tt. C., Цуцаев A. O.
ON NUMERICAL SOLUTION OF A SCATTERING PROBLEM. ANALYSIS OF NUMERICAL RESULTS
Khubezhty Sh. S., Tsutsaev A. O.
Numerical results for the Lippmann-Schwinger equation obtained with the application of the associated second kind Legendre function are described and analyzed. The effectiveness of the constructed computational scheme is illustrated.
Key words: singular integral, nucleon-nucleon dispersion, computational scheme, error estimate.
