О квадратурных формулах для сингулярных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2001, Том 3, Выпуск 1

УДК 517.5

О КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Задача нахождения приближенного значения интеграла Римана исследована достаточно подробно. Построены квадратурные формулы для разных классов функций. Аналогичная теория для сингулярных интегралов начала развиваться значительно позже.

В настоящей заметке дается анализ имеющихся квадратурных формул для сингулярных интегралов и приводятся новые квадратурные формулы.

Задача нахождения приближенного значения интеграла Римана исследована достаточно подробно. Построены квадратурные формулы для разных классов функций (см. [1]). Аналогичная теория для сингулярных интегралов начала развиваться значительно позже [2]. На современном этапе благодаря работам Лифанова И. К., Саникидзе Д. Г., Шешко М. А. и других существуют достаточно развитые численные методы.

В настоящей заметке дается анализ имеющихся квадратурных формул для сингулярных интегралов и приводятся новые квадратурные формулы.

1. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов типа Ньютона — Котеса

Рассматривается сингулярный интеграл в смысле главного значения следующего вида,

где /(£) — функция класса Hr(a) (0 < a < 1). Это означает, что / имеет непрерывные производные на отрезке [a,b], вплоть до порядка, г > 1 и производная /О) удовлетворяет условию Гёльдера с параметром а. Разделим отрезок [а, Ь] на V равных частей точками ,гд. (/,: = 0. 1.... . п). где xj- = а + kh. h = (b — а)/п.

Среди квадратурных формул для регулярных интегралов построены широко известные и часто применяемые формулы Ньютона-Котеса. Они имеют

Ш. С. Хубежты

ъ

а < х <Ъ

(1)

а

© 2000 Хубежты Ш. С.

вид

ь

П

f(x)dx& (6- a)^Blf{xh), (2)

a k=0

щ6

П

(__1\п—к

?п _ V /

пк\(п — к)\

о

В% = _ 7 |Ли------I t(t — 1)... (£ — к + 1)(£ — к — 1)... (£ — n)dt.

В частности, при п = 1 имеем формулу трапеций; при п = 2 — формулу Симпсона; при п = 3 формулу 3/8 и т. д.

Аналогичные формулы можно построить для сингулярного интеграла (1) следующим образом.

Построим для функции /(¿) интерполяционный многочлен Лагранжа

м/; () = (3)

Гд6

w(t) = w'fafc) = ” хз)'

j=0 3=0

Подставляя вместо /(£) его интерполяционный многочлен в (1), получим

s j сУ i - ж

a

n b

= Y 1 [_______________ffe,) (4)

¿»'Wi (t^xk)(t^x)nXk) 1 j

a

= f{xk) ( f w{t) _ Г w{t)

^Q{x - xk)w!(xk) \J t-x J t-xk

Рассмотрим отдельно полученные два интеграла. Для первого выполним следующее преобразование

ъ ъ ъ

w(t) , f w(t) — w(x) , , , f dt

dl = —^-------K-^dt + w(x) 1

I — X J I — X J t — X

a a a

Здесь подинтегральное выражение представляет собой многочлен п-

го порядка, поэтому интеграл можно точно вычислить с помощью выше указанных квадратурных формул Ньютона — Котеса (см. [1]). Тогда

т(і) - т(х) _ д и)(хк) - IV(х) _ ^

Г ^ ПС і. - 'Г г

і — X

к=О

Хк — X

к=О

™1Х) _ гг { Л

к — Нп[х), (5)

X — Хк

где ,1 /,. = (Ь — а) ■ В%. Таблица этих коэффициентов дана в [1].

Второй интеграл можно вычислить аналогично, на основе следующего преобразования:

и) (і) і - хк

сіі

і - хк

j=0

Учитывая (5) и (6) из (4) окончательно получаем

1 / „ , ч , ч, Ь — х

к=О

> - хк)ги'(хк)

НпХх) + ш(ж)1п ■

х — а

Аки;'{хк) ) ¡(хк). (7)

Равенство (7) является приближенной формулой для сингулярных интегралов вида, (1).

Подставляя в (7) вместо х средние значения между двумя узлами, т. е. х = Хк+Хк+1 (/,: = 0,1,... , гг — 1), получим все значения интеграла (1). Для вычисления значений в точках хк (к = 1,2,... , п — 1) надо взять в (7) соответствующие пределы при х —>• хк.

Оценим погрешность квадратурной формулы (7). Как известно

/(ж) = Ьп(/; х) + Дп(/; х),

где

Тогда

-Кп(/;ж)

т(х) {п + 1)!

/(п+1)(С), а < £ < Ь.

5,(/;ж) - 5,п(/;ж)

сіі

Оценим последнее выражение: ъ

ЕпЦ\і) Ь-х [ Дп(/;і) - Д„(/;ж)

■аі = пп(}]х)пі--------------------------------Ь / -:-ш.

і — х

х — а

і — х

ь

а

Ъ

Ъ

а

а

Ъ

а

Ъ

а

а

Из общей теории оценок для сингулярных интегралов в классе функции II,. (а) (см. [2, 4, 5, 6]), получим

¿>(/;ж)-5п(/;ж) |< тах |Дп(/;ж)

х£[а,Ь]

1п

Ь — х

х — а

+ о

1п п

п

г+а

О

1

г+а

П

1п

Ь — х

х — а

+ 0(1пп) ) (п > 1).

Рассмотрим два частным случая п = 1 и п = 2.

Пусть п = 1. Тогда А0 = (Ь — а)/2, А\ = (Ь — а)/2 и

^(Дж)

1

(х — а)ги'(а)

Н\{х) + ад(ж)1п--------------------------- —и/(а) 1 /(а)

+

1

Н х(ж) + ад(ж)1п

х — а I) — х Ь — а

х — а

(8)

т\Ъ) ДЬ),

где

[х — Ъ)т'(Ъ)

и/(а) = а — Ь, и/(Ь) = Ъ — а, ии(х) = (ж — а) (ж — Ь),

тт г \ . 'ш(х) . ю(х)

Нг(х) = Л0—+ Лх-Ц-.

ж ^ а х — о

Формула (8) называется элементарной формулой типа трапеций для сингулярных интегралов (1). Сложная формула трапеций будет иметь вид

1

(х — а)т'0(а)

Ню (ж) + шо(ж)1п

Х\ — х

х — а

^шо(а) ) /(а)

1

{х — х^т^хх) 1

(ж — х1)ги'г{х1) 1

(ж - ж2)ш'1(ж2)

Ню(х) + ги0(ж)1п Яц (ж) + Ш1(ж)1п Нц( ж) + 101 (ж) 1п

XI — X

ж — а

ж2 — ж

ж - - Ж1

ж2 — ж

X — XI

^о(Ж1) ) /(жх) ^Щ(хг) ) /(жх) ^Ц(ж2) ) Дж2)

+

+

■х

(ж - Жп-^^.^Жп-!)

х ( Ях!П_1(ж) + гип_1(ж)1п

Ь — х

X Хп — 1

^<_1(жп_1) ) /(жп_0

(ж - Ь)^_!(Ь)

Ні,п-і(х) + гип_і(ж)1п

Ь — х

X Хп—і

^«4_і(ь)) №,

{_х %к) ' ^к-\-1)? ^к^\Хк) хк 1 • ^& (•£&+!.) -^/г+І Агэ

, , Лп Лі

//і/,.(.'■) =--------------1--------------, к = 0,1,... , п — 1.

Ж — Ж& Ж — .Г/,.+ |

Формулу (9) можно переписать так

8і(І;х) = ^2Ак(х)Цхк),

к=О

где

Л*,(ж)

= (яі,к-іМ+ | | -¿Ч-1Ы

+ —т-77—г (н1}к(х) + тк(х)Ы I ^±1—® |

(^Ж ХкрЮ^\Хк) \ X Xк 2

(к = 1,... ,п - 1),

А0(х)

1

(ж — а)ю'0(а) 1

тт { \ , м , жі — ж . к . , . ,

ізю(ж) + ш0(ж)1п | -------------— |------'ш0{а) I ,

-Ні п_і(ж) + гип_і(ж)1п

ж — а 2 Ь — х

(ж-Ь)Ч_! (Ь)

Для погрешности справедлива оценка

Ж Жп_х

п

2+а

П

2+а

І11

Ь — ж

ж — а

Очевидно, в этом случае подразумевается что г > 2.

Аналогично можно выписать и квадратурную формулу типа Симпсона для сингулярных интегралов. В этом случае п = 2. Элементарная формула Симпсона имеет вид

ь

Р^-М « ЗгС/^ж)

£ — ж

(ж — а.)(а. — — Ь) V 6

6-а/ а + Ь\, . 4(6 — а) , .. .

ж-----^— I (ж — о) Н- ---(ж — а) (ж — о)

2

6

1

а

і

Ь^а. ./ а + Ь\ . ./ а + Ь\. б^ж

Н-- —(ж — а) (х---- —^ + (х — а) ^ж- —у {ж — о) 1п----

2

ж — а

1

ж-*±*)(*±*-а)(*±*-6)

х

6 V 2

Ь^а/ а + 6\. 4(6 — а) Ь^а. / а + 6

—(^ж------— ^(ж - 6)4--- ---(ж - а) (ж - 6) Н-— (ж - а) (ж-—

. / а + 6\. б^ж 4(6^а)/а + 6 \/а + 6

+ (ж — а) I ж- — I (ж — 6)ш--------------------------1-( — -а I ( —;-6

2

'а + 6\

х/| — ) +

ж — а

1

6

2

2

(ж - 6) (б - а-^) (6 - а)

6 — а ( а + 6\ , .

ж---------------;— I (ж — о)

6

2

а + 6

4(6 - а) . .. б^а. . /

Н--- --(ж — а)(ж — 6)4- —(ж - а) ж л

о о V 2

х-^(г'-^)(г'-“))/(4)-

Сложная формула Симпсона будет иметь вид

ъ

т

£ — ж

1

(ж — а)г^о(а) 1

(ж — Ж1)^(Ж1) 1

(ж - ж2)г^(ж2) 1

(ж - Ж2)г4(ж2) 1

(ж - Ж3)ш2(ж3) 1

(ж — Ж4)г«2(ж4) + ...

Я20 (ж) + Шо(ж)1п ж2 — ж ж — а 2к . ~~ "б"Ш°

ю о 'ж) + шо(ж)1п ж2 — ж ж — а 8/г , - ти,0

ю о 'ж) + Шо(ж)1п ж2 — ж ж — а 2/г , - ти,0

ю ю 'ж) + ш2(ж)1п Ж4 — Ж ж — ж2 2/г . - Г'"2

ю ю 'ж) + ш2(ж)1п Ж4 — Ж ж — ж2 8/г , - тш>

ю ю 'ж) + ш2(ж)1п Ж4 — Ж ж — ж2 2/г . - ■б"'"2

а

+

1

(ж - жп_2)и4_2(жп_2)

X \ Н2,п^2{х) + тп^2{х)\п

Ь — х

X Хп — 2

+

(х - хп^1)ш'п^2(х1)

X

X ( Н2п_2(х) + ги„_2(ж) 1п I —-—— I -^ги^_2(жп_1) ) Джп_1)

' х - хп^2 6

1

{х - Ь)ю'п_2(Ь)

Н2,п^2(х) + 11)п^2{х) 1п

Ь — х

X Хп — 2

у «4-2 («О ) /№)’

где

^о(х) = (ж — а) (ж — хг)(х — х2), и)2(х) = (ж — ж2)(ж — жз)(ж — Х4),... ,

и)п^2(х) = (ж - хп^2)(х - хп-1)(х - Ь),

Нм = А0^>- + А1^>- + А,^-, (к = 0, 2,4.....- 2),

х — Хк X ^ Хк^1 X ^ .Г/,.+2

2/г , 8/г . 2!г

• »(I = Л1 = —, А2 = —, п - четное.

ООО

Если г > 4, то для погрешности верно неравенство

Д2п(/;ж) \<0

1

4+ а

П

1п

Ь — х

х — а

+ о

1п п

4+а I ‘

П

2. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов типа Гаусса

Не нарушая общности можно рассматривать следующие сингулярные интегралы

1

5(/, ж) = /*р(£)-^-^-сЙ, —1 < х < 1,

./ £ х

где р(£) > 0 весовая функция, /(£) е Нг(а) (0 < А < 1). Интересен случай, когда

р(£) = (1 — ¿)Л(1 + (а,{3> -1).

1

1

С помощью аналогичных рассуждений получается формула

f{xk)

П

£»*(/; —л (нп(х) + т(х)у(х) - Аки;'{хк)),

_^ [X ХкрЮ \Хк)

где хк (к = 1, 2,... , п) — корни многочлена ии(х), ортогонального по весу р(х) многочленам меньшей степени на отрезке [-1,1], Ак — коэффициенты интерполяционных квадратурных формул

і

If w{x)dx

А* = ~Г(—\ Р(х)-> w{x) = У (х-хк),

W {хк) J Х-Хк ^

нп(Х) = ±лк^, 7(1) =/ЖЛ.

І гГ -- ГГ 1 If - ГГ

1

w{x)

lfc-----> 7W = .

х-хк J t-x

К— 1 _

Таблица коэффициентов Ак и узлов хк {к = 1,2,... ,п) для разных весовых функции р(х) имеется в [7].

Отметим, что алгебраическая точность таких квадратурных формул равна п — 1. Точность будет наивысшей (2п — 1), если в качестве х возьмем нули следующего уравнения

1

pit) W^ dt = 0. (10) t х

В этом случае такие формулы имеют очень простую форму для разных весовых функции pit). Вот их вид

Ut)P-dtK ± !(Хк) {-Akw'(xk))=±AkI^-, (11)

J t-x ^ {х - xk)w'{xk) ^ хк-х

где х корень уравнения (10).

Формула (11) по форме совпадает с квадратурной формулой типа Гаусса для функции /(£)/(£—ж). Она имеет простой вид и наивысшую алгебраическую степень точности 2п — 1.

В технических приложениях особое значение имеют частные случаи, например, а и /3 принимают значения из множества {0,±^}. Рассмотрим эти случаи:

1. a = 0, (3 = 0. В этом случае p(t) = 1. В роли хк возьмем корни многочлена Лежандра (см. [7]).

П

2. а = —¡3 = —\. В этом случае />(/) = "^=г- Тогда Ак = а = cos -“'Г'тг — корни многочлена Чебышева 1-го рода.

3. а = -|, ¡3 = \. В этом случае /)(/) = \/1 — /2. Тогда хк = сон ^.

Ак = (к = 1,2,... , п), — корни многочлена Чебышева П-го

рода.

4. а = |, (3 = —\. В этом случае />(/) = . Тогда ,1/,. = 2(|^| нт '->2/АД,.

= сое 2;^| (/.: =1.2.......//).

5. а = —1,/?=|. В этом случае />(/) = . Тогда ,1 /,. =

47Г /ч/'.у 2 2к 1 —г 2/с 1 _

2п+1 2(2п+1) 5 'Ьк ^ КА)Ь 2п+1 '

Заметим в заключение, что указанные выше формулы имеются у некоторых авторов (см., например, [2, 3, 5]), но там они приводятся в частных случаях.

Литература

1. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.—М.: Наука, 1967.— 410 с.

2. Лифанов И. К. Методы сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент,—М.: ТОО «Янус», 1995,—520 с.

3. Саникидзе Д. Г. О порядке приближения некоторых сингулярных операторов квадратурными суммами // Известия АН Армянской ССР.—1970.— Т. 5, № 4,—С. 371-384.

4. Белоцерковский С. М. Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях.—М.: Наука, 1985.—252 с.

5. Корнейчук А. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов. // в кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурных формул.—М.: Наука, 1964.—С. 64-74.

6. Шешко М. А. О сходимости квадратурных процессов для сингулярного интеграла // Изв. вузов, Математика.—1976, № 12,—С. 108-118.

7. Крылов В. И. Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию.—М.: Наука, 1966.—370 с.

г. Владикавказ

Статья поступила 23 февраля 2001 г.