К численному решению сингулярных интегральных уравнений первого рода на отрезках Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА НА ОТРЕЗКАХ

© 2008 г. Л.Ю. Плиева1, Ш.С. Хубежты2

1Institute of applied mathematics and information theory VNTS RAN362027, Vladikavkaz, Marcus St,. 22, plieva-21 @mail.ru 2North Osetian State University 362015, Vladikavkaz,, Vatutin St., 46

Институт прикладной математики и информатики ВНЦРАН, 362027, г. Владикавказ, ул. Маркуса, 22

[email protected] 2Северо-Осетинский государственный университет 362015, г. Владикавказ, ул. Ватутина, 46

[email protected]

[email protected]

Рассматривается сингулярное интегральное уравнение первого рода на отрезке интегрирования. Строятся квадратурные формулы интерполяционного типа для сингулярных интегралов. Обосновывается вычислительная схема и оценивается погрешность в Гельде-ровской метрике. Указывается применение квадратурных формул для сингулярных интегралов к численному решению задач теории трещин.

Ключевые слова: сингулярный интеграл, сингулярное интегральное уравнение, индекс уравнения, аппроксимация, интерполяционные многочлены, квадратурные формулы, вычислительная схема, порядок сходимости, оценки погрешности.

A first kind singular integral equation on the integration segment is considered. Interpolation type quadrature formulas are being constructed for singular integrals. A computing scheme is based and an error is estimated in Holder metrics. Application of the quadrature formulas for singular integrals to numerical solution of problems of the crack theory are indicated.

Keywords: Singular integral, Singular integral equation, Index of the equation, Approximation, Interpolation polynomials, Quadrature formulas, The computing circuit, Order of the convergence, Estimations of error.

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение 1-го рода

1 jiC^ + i }k^t^Qt =

Л _]t — X Л _1

(1)

[3, 4] <

'о О

г

не ограничено на х = 1. Если при этом считать функции к(х.[) и / ^ достаточно гладкими на заданном отрезке, то всякое решение уравнения (1) представи-мо в виде [4, §105]

где ^ и /(^-функции, имеющие непрерывные производные до г -го порядка, причем производная ф^- удовлетворяет условию Гельдера с показателем ai^<a<\ . Такой класс обозначается через Нr {¡с :< > 1 . Отметим, что к численному решению уравнений указанного вида могут быть применены схемы, обоснованные в известной работе М.А. Лаврентьева [1]. Иная схема, основанная на аппроксимации сингулярных интегралов квадратурной суммой, дающей оценку погрешности на отрезке [-1,1] точности о{(~1 2 In« , рассматривается в [2]. Тем не менее схемы интерполяционной точности представляют определенный интерес, обусловленный тем существенным достоинством, что с увеличением гладкости функции kit,t и /X", порядок сходимости таких схем автоматически увеличивается.

Решения уравнения (1) могут задаваться функциями

цу-±=ФьС ИУ^ФоС

+t

(2)

где функция ф{] ( является достаточно гладкой на отрезке [-1,1]. В частности, будем считать, что функции к{х,() и / С принадлежат Нг (г > 1.0 < а < 1 .

Учитывая представление (2), запишем уравнение (1) в виде

Т+7,

(3)

5 </2'-1/2^о, хУ 0& = /(

Я--1» l-t

считая при этом £</2-1/2^0,х>1}

Л 1-/ 1-х

Приблизим функцию ф0 ( в сингулярном инте-

(/ 2 —1 / 2

грале .V ' щ^х ее интерполяционным многочленом по узлам Чебышева 1-го рода

_ 1 я ¿1>Т i

п /=1 t — Xj

^ф0 ^

(4)

Тп C"=cos^arccos/^ х, =cos——-ж

J 2 п

С = 1,2,...,»

которые соответствуют индексу % — 0,1,-1.

Из вышеуказанного следует, что важные значения имеют такие квадратурные формулы, в которых существенно используются концы отрезка в виде как расчетных, так и контрольных точек [3], а также равномерные оценки на весь отрезок, включая концы.

Рассмотрим эти случаи.

1. Пусть х = 0 > т е- рассматривается случай, когда решение уравнения (1) ограничено на конце х = —1 и

регулярную часть (3) будем аппроксимировать выражением

~ ЫГТ*» <&»'>> гДе чеРез К

Л _1-/

обозначим соответствующий (4) многочлен Ьп_х . осуществляющий интерполяцию функции по

переменной t. Воспользовавшись при этом свойством ортогональности на отрезке [-1,1] многочленов

а

Tn t по весу

JT-

несложными вычислениями

tz

приходим к приближенным формулам

Оя, «ik ij

*? i V — v \ ■

n 1 x — Xj

Наряду с уравнением (3) будем в классе Хп -функций ( , представляющих многочлены степени < п — 1, рассматривать уравнение

S

</2,4/2^

t,t\_x Qt = Ln_x <[,xl (9)

л _{i\-t

7l_]\l-t

где Äj < ^ 1 - xj 2 2 2cr-l

M

T X'

i ~ x - Л-

41 jj^j-n

где через обозначен многочлен Х^^^х^, интерполирующий функцию кп по узлам

х = х7 = 1.2_____я . Учитывая, что согласно построе-

нию вьфажения (5) S*-12, 1/2^„_i,x^= J-

Ва=—<х>$? ——-л, ^г- 1.2.....п (причем л, 3= 0. + где многочлен степени <п-2,

п 4п

С = 1,2,...,«>

В результате выражение в левой части (3) заменится суммой вида

¿»-1 , Л" У Рп-2 ^ХУ ILBjk С Xj ^о С

(5)

j=1

где Рп_2 многочлен степени <п — 2 относительно х, известным образом определяемый через значение ф() ^ ( = 1.2.....п .

Приравнивая выражение (5) в узлах х = х/.

^ = 1,2,...,и соответствующим значениям /, для определения приближенных значений ^ ^ получим определенную систему линейных алгебраических уравнений п-го порядка.

то •

Л í-t

Вместе с уравнением (3) и (9) рассмотрим эквивалентные [4, §105] им соответственно уравнения

= _s (1/2,1/

#„-1+S Ol < >1 =

чу1 'i

(10)

_ (1/2,1/2

\n-ljl (П)

При этом имеет место Бу-

дем представлять (10) и (11) как линейные опера-

Дадим обоснование этой схемы, предполагая, что торные уравнения соответственно в пространстве исходное уравнение однозначно разрешимо в рас- С <Р-1/2 и подпространстве Хп .

сматриваемом классе функций. Будем писать у/ е Н $ , если заданная на отрезке [-1,1] функция \|/ удовлетворяет условию Гельдера с показателем у.

Обозначая через kn(t,t^ многочлен Ln_x^,xj-интерполяционный функции к С", t _ по х, в узлах х = х ^¡=1,2,...,« положим

Пусть

. Да-

лее обозначим Г .

1 + //-Х

В дальнейших рассуждениях мы воспользуемся рядом предложений, излагаемых ниже в виде лемм 1 - 3. Лемма 1. Если ц/ то

Лемма 2. При условии (>1,0<а<1 и у е (/2.1 _справедливо

1п п

КФо - S^^iß^k: <,, % < . Пусть чу 1 '1

дл- н

чу '1

Найдем оценку нормы разности

~ К„ =

Г(Ч/2^)

= 0

r+a-y-\ I

(7)

Лемма 3. При любом /?е 1 и п > 1 справедливо

4,

1КчИ1я«0" 2п1+/>{* + -Ь [ (8)

Доказательство указанных лемм дано в [5]. Теперь перейдем к обоснованию вычислительной схемы, полученной с использованием (5).

= L [: <,, >kn О, i: < •

чу

Так как очевидно к*п С tx У кп С tx У Z„_1 ,t öt ictiykictiykn О, то в силу (6) и (8) имеем

\\^1-Кп}п_1\\<М1п312+^ + 4/лЫпу Х ij^fn jf n XJ' J ^^ const-•

l<y<n

Отсюда, учитывая условие > 1 и

применяя для соответствующей функции неравенство вида ¡¿„^^ < ^ + | [6] (по пере-

1

меной х

:), убеждаемся, что -Кп <

/

причем еп=0

n

ln2 n Л

r+a-ß-3/2

и тем самым, в силу

г >1 <>2^ стремится к нулю при п —> со .

Далее на основании (7) нетрудно получить

nW0||' £п-°\ r+a-ß-3/2

ln n

а также

(учитывая /еЯЛ) -Ь^ф <||/||,

ei=O

ln n

r+a-ß-3/2 '

n

Полученные оценки, учитывая К*п^п_х зывают, что выполняются известные условия общей теории приближенных методов [7]. Вследствие этого можно утверждать, что в предложении однозначной разрешимости исходного уравнения соответствующее (11) однородное уравнение при достаточном большом п имеет только нулевое решение. Это предложение, как следует из теории уравнений вида (1), в рассматриваемом здесь классе решений равносильно непрерывной обратимости оператора К . Тем самым аналогичное утверждение справедливо относительно уравнения (9). Учитывая структуру левой части последнего уравнения, убеждаемся, что при соответствующих п это уравнение разрешимо при любой правой части вида Ьп_х/, что в

свою очередь означает однозначную разрешимость упомянутой выше линейной алгебраической системы (пороченной уравнением (9)). При этом указанные для £п,£'п,е"п оценки убеждают нас, что при достаточной гладкости исходных функций к и / построенные на основе примечаемой схемы приближенные решения сходятся к искомому (по норме пространство Нф ) с достаточной быстротой.

2. Пусть х = 1, т е- рассматривается случай, когда решение уравнения (1) не ограничено на обоих концах. Это означает [4, §105], что всякое решение уравнения (1) представимо в виде

,» 1 . ж ^

: Хп, пока-

JT-

tz

где функция ф0 ( является достаточно гладкой на отрезке [-1,1]. Учитывая представление (12), запишем уравнение в виде

S

(1/2,-1/2~

считая при этом .S'^1 14 2

(13)

> 1 г

1 Фо<

dt.

л -l-s/l-i2 f~x В этом случае приблизим функцию ф0{ в сингу-

лярном интеграле S

(1/2,-1/2"

снова интерполя-

ционным многочленом по узлам Чебышева второго рода вида (4), а для регулярной части (13) будем использовать квадратурные формулы Мелера. Тогда получается следующее дискретное уравнение:

1 ^ 1J ^

nj=1

1-х 2

х — х

пм

11 г С

Здесь используется формула — J ,—_ У —dt = UnA (

( х

^ = 0,1,...^ хе( 1,Г, где !?,, , <>

sin arccosx л/l-x2

(12)

многочлен Чебышева 2-го рода.

Но в этом случае решение не единственное, оно зависит от произвольного постоянного, которое фик-

сируется следующим образом: — J

?dt = C.

Для численного решения задачи получаем систему линейных алгебраических уравнений

-т-

nj=1

"■JA

'(¿n-i ~Уи„-1 ij ij >

1 n d ^ j n

1 " / > -lL<f>o\j j=c,

(14)

nj=1

Очевидно, при к = ] подразумевается соответствующий предел.

Существование и единственность системы (14) доказывается аналогично.

3. Пусть / = . т.е. рассматривается случай, когда решение (1) ограничено на обоих концах. Это

означает, что оно представимо в виде ф V1 - <2 ф,, С ? где ф(] ( является достаточно гладкой на [-1,1].

Теперь приблизим функцию ф0 ( в сингулярном интеграле л . х _ ее интерполяционным

многочленом по узлам Чебышева 2-го рода

И + 1

t — х,

После подстановки в (3) и некоторого упрощения получается следующее дискретное уравнение:

И + I ;=1 х - X ■

>

1

й -2 i" ki,x

Visin

n + 1 j=i n +1

j pu <j Jff^t^

(15)

Здесь использована вторая формула обращения

Л -л

1-1

Uni

2 Un t — X

■-dt = -Tn+i XZ n = 0,1,... V хе <-1,f.

Но при решение (3) существует и единст-

венно при условии

х

о

хк х

х

о

J

11 I—

/С—

dt = 0 • (16)

Дискретный аналог имеет вид

Z \ftjjr-= (17)

3 п + \к=\ П +1 ^ ^

кЖ i,k = \,2..,nl

- 2j -1 где х = cos———и

хк = cos-

с весом p^ij1

выполняется, и разрешимость (1) не требует дополнительного условия.

Также можно ввести дополнительную неизвестную [3], и соответствующая система примет вид

Уп +

1

n + 1

j=1

( Гй+1 ^ > Ги+1 ( Jo ( J-

---¿sin

n+\j=i n +1

задач теории трещин [8]

1 i 1 x + t + dcosß

7r_,t-x л _,4 + t + dcosß^ + d2 sin2 ß

3 2п " п +1

Из (15) получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ^ ^- ^о С"„ Они будут решениями (3), если удовлетворяют (17).

Замечание. При условии, что ¿(,/>1 и /(>1 1

условие (16) автоматический

= /С = ОДПри к = 0, х0 = совО = 1, но это не мешает системе, так как сингулярный интеграл существует и в концах отрезка. Если уп —» 0 при п со , то выполняется и (16) [3].

Заметим, что вышеуказанные квадратурные формулы можно использовать для численного решения

■ — Л. Л- |

где / _ функция нагрузки на берегах трещин.

Решение этого уравнения подтверждает эффективность изложенного подхода.

Литература

1. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ. 1932. Вып. 118. С. 3-56.

2. Лифанов И.К., Полонский Я.Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // ПММ. 1975. Т. 35. № 4. С. 742-746.

3. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1966.

5. Саникидзе Д.Г., Миронашвили М.Г., Хубеджашвили Ш.С. О применении прямых схем интерполяционной степени точности к численному решению некоторых классов сингулярных интегральных уравнений // Тр. ин-та вычислительной математики им. Н.И. Мусхелишвили. АН ГССР. 1987. Вып. 27. С. 184 - 194.

6. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.;Л., 1949.

7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1977.

8. Панасюк В.В., СаврукМ.П., Дацыщин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев, 1976.

Поступила в редакцию

11 октября 2007 г

1

2

n

Xи - X

k