CC BY
8
Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2003, Том 5, Выпуск 2
УДК 519.64
К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ МЕТОДОМ ЛОКАЛЬНО-КАНОНИЧЕСКОГО РАЗБИЕНИЯ
Ш. С. Хубежты
Применяются квадратурные формулы повышенной точности, аналогичные методу дискретных особенностей, для решения граничной задачи Дирихле на областях, ограниченных гладкими замкнутыми контурами. Доказывается существование решений приближенных систем, оценивается погрешность вычислительной схемы.
Метод граничных интегральных уравнений, как известно (см. [1]), является одним из наиболее эффективных средств численного решения некоторых классов задач математической физики и механики. При этом, как было показано в [2], решение аналогичных задач на основе аппроксимации сингулярных интегралов может обладать определенными преимуществами перед обычно рассматриваемыми схемами, основанными на приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма. Метод аппроксимации сингулярных интегралов в определенном смысле обладает некоторой возможностью увеличения порядка точности схемы. Это обстоятельство и аспекты конструирования метода дискретных особенностей (см. [2, 3, 4]) мы будем пояснять более подробно на примере задачи Дирихле.
Пусть И — конечная односвязная область в плоскости комплексного переменного г = х + {у, ограниченная замкнутым контуром Ляпунова Ь, уравнение которого относительно дуговой абсциссы з есть £ = 1(з) = х(з) + 0 ^ з ^ I, /(£) — заданная на Ь (действительная) функция. Представление решения соответствующей задачи Дирихле в виде
Щх,у) = Ые- (геД/га#Е 0),
ш ,] г — г
где </?(£) — искомая действительная функция, приводит к граничному интегральному уравнению (см. [1; §61])
+ = (¿о а). (1)
т ь
Решение указанной задачи методом аппроксимации сингулярных интегралов заключается в аппроксимации уравнения (1) непосредственно на основе замены сингулярного интеграла
{Б^т^- [ А &
т ь
© 2003 Хубежты Ш. С.
его некоторым приближенным выражением. Конкретно, в этом качестве мы используем метод локально-канонического разбиения контура Ь с использованием далее метода дискретных особенностей, изложенного в [5]. Указанная схема строится следующим образом.
Считая, что Ь — замкнутый (ляпуновский) контур на комплексной плоскости, введем систему точек разбивающих Ь на равные части. Зафиксировав произвольно V (1 ^ V ^ 2п) и положив ¿о = ти, рассмотрим
1 /" = + ± [ У® - <ь
7Гг / 7Гг
Ь ти-1Ти+1
I (2)
(подразумевается, что возрастание индексов в узлах соответствует положительному направлению на Ь), причем под обозначением т8тр (в < р) понимается кратчайшая дуга с концами т8,тр; то = тщ 2п = т-}-, 3 = 1,2,..., 2 п). Далее, исходя из (1), подынтегральное выражение на каждой дуге будем аппроксимировать линейным интерполянтом по узлам ти+а+1. Что касается интеграла по дуге то в качестве интерполяционных узлов используем обходя тем самым узел т„, который в данном случае будет контрольным аналогично методу дискретных особенностей (см. [5]). В результате получается следующая квадратурная формула (см. [4]):
1 [ , ч . , . Мту-1) - <р{ти) . , . Мту+1) - <р{ти)
-Ц и <р{ти) + (р„-2 +Рио)--ь (РиО +Ри+1)-
где
■кг 3 г — Ту т„_1 — ти+\ — ти
+ "е (р„+„ + (, = 1, 2,..., 2„), (3)
^ Ти+а+1 ~ Ту
_ Ту+1 — Т„-1 + 1 — • _ 1 о о„ о
-Ъй-' ^ ~-Ъй-' ~~ ''' ~~
Полученная формула (3) является своеобразной модификацией метода дискретных особенностей (см. [5]), так как интеграл рассматривается на дуге а параметр
сингулярности ¿о принимает значение т„ в середине дуги
В дальнейшем формулу (3), по определенному соображению, удобнее переписать так
1 /" ( \ I I ^(P(т»+a+l) - <р(т„)
-<й и <р(ти) + (ри-* +^+<7+1)---, (4)
I I ------Г \ " / 1 / J \Í ' Г СТУТ1 /
7TÍ J г —т„ ^ T„+0-+I —т„
где
t¡/+i — т„_ i Ty+j+i — r^+j P¡/+0 —Pu-1 ~Pvo —--' Ри+з ~-2tt¡-'
j = -n,-n + l,...,n-l (j ¿ -1, j ¿0).
Для сингулярного интеграла в точке íq € tvtv+i, íq ^ tu+i воспользуемся формулой
1 f <p(t) _ /, ч . / . x <p(Tv+cr+i) - Lnu((p;tQ)
-dt И ip{t0) + > {Pv+a +Pv+c7+l)-
7TÍ J í - í0 ^ T„+er+i - í0
L фф_j
Lnv(<p;t0) = (Lnu(p)(t0) = luo(to)<p(Tv) + lvl(t0)<p(Tu+i),
lvo(to) = —------5 lui(to) = —--— , ta € т„т„+i, to 7- ти+\.
Tu — Tu+i Tu+1 — T„
Тогда квадратурный процесс можно записать в виде
(S(p)(tQ) И (p(to) + (Qnv<p)(tо), t0 € T^Ty+i, í0 T4 Ty+i, 1 ^ v ^ 2n,
где
(Qn^Xfo) = E +p,+ff+i)¥>(T,/+ff+l)"¿7(¥>;*0).
К доопределению (Qni><p)(tq) в точке r¡,+i (как соответствующего предельного значения) достаточно заметить
ш/
¥>(r„+i) -
7V+1 — Ту
Í0=TV+1
Ти+1 — ¿0
При этом непосредственным образом убеждаемся, что вообще
{ЯщЧ>){т3+1) ф {Ящ+ир){т3+1) {] = 1,2,..., 2 п), (^2п,2п¥')(т2п) = (^2П093)(т0)5 Т0 = Т2„.
В связи с этим, с целью построения заведомо непрерывной на всем Ь аппроксимации (что существенно с точки зрения обоснования схемы), мы в дальнейшем, полагая
{ЯпфЩо) = (Фту^Н^о), ¿о <Е т?-т?-+1 (¿о ,7 = 1,2,..., 2п,
(Яп<р)(*о) = о) = Ьо(*о)(Яп1'<р)(т„) + 1и1(1а)(Япи+1<р)(Ти+1),
¿о е ТуТу+1, I/ = 1,2,... ,2п;
(б^Х^о) и ¿о е где = ¥>(¿0) + (Фп^К^о)-
Доказывается, что оценка точности приближения (й'^з)(¿о) суммами типа 9?(^о) + Для функций 93 £ Нг(ц) (0 < /л ^ 1), непрерывных на I/ вместе с производными вплоть до порядка г (г ^ 0), причем 93^ принадлежит классу Гёльдера с показателем ц, выражается формулой
тах|(^)(*0) - (ЗД(*0)| = О У{г)\\н(ф (5)
где
о) = ¥>(*о) + («Эп^^о) (<о е ь),
||И1яы=тах|^)|+ 8ир И^ {ЬФЬ), (5')
которая справедлива и для г = 0 и г = 1.
Перейдем теперь к доказательству ряда утверждений, относящихся к обоснованию изложенной здесь схемы. Обозначим через Н(ц) (0 < ц ^ 1) пространство функций,
удовлетворяющих на Ь условию Гёльдера с показателем /л при соответствующем (5') определении нормы. Покажем что при достаточно большом п для
(11п<р№) = - (зп<р)(го)
при <р б Н(а) (0 < а ^ 1) справедлива оценка
№пЧ>\\н(Р) = О Мщ*) (0 < р < а). (6)
Действительно, полагая 1о £ (1 ^ V ^ 2п), воспользуемся неравенством
|(Дп9р)(^о)| ^ К^о^^о) - + \Ьп„{8ч> - о)|, (7)
где
Ш ь 0
Учитывая Ьпи( 1; ¿о) = 1, согласно теореме Племеля — Привалова ([1; §18]) для первого слагаемого в первой части (7) нетрудно получить оценку 0{п~а)\\(р\\н(ау Ко второму же слагаемому применим оценку (5) при г = 0 (ц = а). В результате получаем
шахкад^о)! = О |М1ян (П > 1). (8)
Далее, пусть € Ь. В силу (8) находим
--= 0
Для таких, что — 12\ < Ь/2 можно при достаточно большом п считать £ 1 и т(1 ^ ] ^ 2п — 2). Полагая пока, что обе эти точки находятся на одной дуге разбиения, воспользуемся для — (В,п<р)({>2) аналогичным (7) неравенством.
Тогда учитывая
Mil) -U(*2)| = Mil) -lul(t2)\ =
tl-t2
Tu+1 — Ъ
для рассматриваемого выражения нетрудно получить оценку
Inn
= 0{nß)\h -trf
\{Rn4>m - (.Rn4>m\ = о 1*1 - t2fMH(a).
Случай, когда ti,t2 находятся на разных дугах TjTj+i,Tj+iTj+2, очевидным образом сводится к предыдущему.
Возвращаясь к уравнению (1) заметим, что в силу известных утверждений относительно его разрешимости и сингулярных операторов вида (S<p)(ta) (см. [2]), оператор К = I + l/2ReS,q (H(fj) —> H(fj), 0 < (3 ^ 1) непрерывен и непрерывно обратим. В принятом в начале предложении ляпуновости контура L аналогичное справедливо и в пространстве непрерывных функций. В дальнейшем наряду с уравнением (1), которое будем считать всюду ниже записанным в виде Kip = 1/2/, в пространстве Н{0) будем рассматривать
(KnWl)(tQ) = <pn{t0) + 7-Re (Qn<pn)(to) = If (to). (9)
Для разрешимости уравнения (9) рассматривать соответствующие однородные уравнения
<pn(tQ) + l/2Re (Qn<p,г)(i0) = 0 (90)
и докажем, что начиная с некоторого п они имеют лишь нулевое решение. Для этого воспользуемся утверждениями 1)-2) доказанными в [2]:
1) Пусть {jn} — любая последовательность натуральных номеров с условием jn/n —> 0 (п —> оо). Тогда при любом v (1 ^ v ^ 2п) и ctq,Aq,Ai таких, что Tu+a0,Tu+(J0+i, ти+х0,ти+х1 € TvTv+jn, справедливо
-= о7Г,а1 Л Л1 + Q(^fc)] (Т» ^ оо), (Ю)
Ти+Ао - T^+Ai 27гг(Ао - Ai)
где
winh = max ||ж'(£) -®'(r?)|, |у'(С) -у'(»?)|} 0 (n ^ оо).
2) При достаточно большом п имеем
Ibnll н(р) = 0(\nn)hnp(ipn), (11)
где <рп — решение уравнения (9q), а
hnp(<Pn) = -f-75- J = V + А, А Ф 0 .
Использование (11) вместе с (8) для <рп (с заменой а на fi) дает
Лп2 п\
max |(Дп9Р?1)(^о)| = О —д- ) hnp(<pn) (поо). (12)
toEL \ W J
Кроме того, можно написать
1
(K(pn)(tQ) - (Kn<pn)(t0) = -Re(Rn(pn)(to), согласно которому и (9q), следует
1
(K(pn)(tQ) = -Re(Rn(pn)(tQ).
Отсюда в силу (12) и замеченного выше об обратимости оператора К находим, что равномерно относительно to G L выполняется
(In2 п \
<Pn{h) = О I J hnp(<pn) (nоо). (13)
Теперь, используя (10), (13) можно показать, что при достаточно большом п уравнение (9q) не может иметь нетривиальных решений. Для этого, очевидно, исходя из структуры сумм Qn, достаточно доказать, что начиная с некоторого п имеет место hnp(ipn) = 0.
В дальнейших рассуждениях считаем указанную в утверждении 1) последовательность {jn} выбранной так, что для заданного /3 G (0,1) и любого 5 G (0,1] верно
£ In2 п —У 0, nrs£+s и (п оо). (14)
Переходя непосредственно к оценке Ьпр{<рп), разделим множество узлов = ти+\ на и — > Зги \з — ^ Зп- Используя (13), получаем
\<Рп(ъ) - <Рп(т„)\ , , м /1п2п\
\ц-т„\е =0\7) № Ыгр)| = 0 {—) К1зШ (п ^ оо)-
(15)
В оценке соответствующего выражения при — ь>\ ^ очевидно, достаточно ограничится ] = V + А (А = 1, 2,... 1 ^ ^'п < 1 ^ ^ 2п). Учитывая, что в силу
(9о)
1 г 1
фп(Ти+х) ~ <Рп(Ты) + -Ие [((¿пи+Х<Рп)(ти+х) ~ (Яп<Рп)(Ти)\ = о, (16)
разобьем суммы в выражениях (С}Пи<Р1г)(ти) и (Яп^+х'Р^^+х) соответственно на
И Х^З'Х^' ГДе
(Е ,)(*■»> = Е
^(т^+1) - ¥>(т„+а)
/ а=_0-п Ти+а+1 7~и+Х
а ^ - 4 содержат суммы остальных слагаемых соответственно в (С}Пи<Р1г)(ти) и
(О
яг/
Воспользовавшись в суммах Х^иЕ^з представлением (10), убеждаемся (учитывая 1т(рп(1) = 0), что в получающихся в результате слагаемых главные члены оказываются чисто мнимыми, поэтому
( \ 1 Ке Е ■ , ~ Е ■ 1 (Рп) = 0(Щпь№п/э(<Рп)^ V = ^ОК^пИУ«)-
\ ЗпЗ Зп± / —* и *
4 ' сг=1
К (^„4'Е^гХ^п) применим представление
/ -(2^ + 1) п
( Е,п4 ~ ) = Ч'Л^+А) - <ЛгЫ] Е + Е
\<т=-(п-1) <т=2.ь + 1, /-(2^+1) п \
+ А-г.) Е + Е
^ (Рп{Ту+сг+1) ~
(т"г/+о-+1 — Ти+Х)(ти+17+1 — Ту)
заметив при этом, что сумма со множителем т^+д — т„ в соответствующем представлении может быть оценена выражением вида
0(Н2Х) шах Iф (т )1 \ _
С—^Зп т1
На основании этого, воспользовавшись соотношением (13) убеждаемся, что рассматриваемая сумма
/ \ | ^Y^ ^ I V^ I { I \ 93îi(7"i/+cr+l) — <Рп{ти+А) (Tv+x—Tvji у + > \ {'Pv+<J+i +'Pv+a)-,-w-Г
_ /АЛ^ 1п2 п\
= о (—— I Kpvpn)-
Оставшуюся сумму в выражении ^ — ) (fn) представим в виде Xjni(<pn) + KnÀVn)-
К1Ш = - ( Pu+23n+1 + ^ ) Ыти+х) ~ Ыти)],
\T„+2jn + l ~ Ту Tu-2jn ^ Ту J
\ { \ I Pu+2jn+2 V^ Ри+а+1 + Ри+а A jn2(<Pn) = ~ --— + --~
\Tv+2]n+2 ~ Ту Tu+IJ+i - Ти
п \
+ + Е *"а+1 ) ыъ+х) - мъ)].
Очевидно Ajni(9P„) = Olh13X13j^1)hnp((pn). Относительно Xjn2 заметим, что множитель для {'■рп{ти+\)^(рп{т1/)) можно рассматривать как усложненную квадратурную сумму (см. [6]) для интеграла
dt
1п = L\Tu^2jnTu+2jn (n Ос).
Tri J t — T,
In
Для соответствующего остаточного члена гп((рп), можно написать
П 1 П 1
|г„Ы| = 0(Л2) Е Е - = O(j-1)^0 (п^оо). (18)
a=2jn + l Шп ^ v=2jn+l °
Легко вычисляется, что (см. (10))
g- = h Ь " ? = 1 + In f 1 + T^^l = 1 + 0{wHh).
7Г i J t-Tv TTÎ Tv+2jn + l ~TV \ 1 - Wjnh
In
Последнее вместе с (18) дает
AJn2(<Ai) = hl + Oün1) + 0(wjnh)][<pn(Tv+а) - <рп(т„)], n ^ оо.
В результате, с учетом (16) получаем
Уп(тУ+а) - Ч>п{Ту) 1, (рп{ти+\) - Ч>п{Ту)
I T„+X-T„\ß 2 1 + £и) Ir^-r^
+ (0(n-ôjf+ô) + In2 n)hnß(<pn) = 0, 1 < A < jn, (19)
где 6 (0 < 6 ^ 1) показатель в условии Ляпунова для контура L, еп —> 0 (п оо). На основании этого и (14), (15) следует требуемое утверждение hnр((р) = 0 при достаточно большом п. А это означает, что <pn{tq) = 0 — тривиальное решение для уравнения (9q) начиная с некоторого п> щ.
Далее рассмотрим тождество
<p-<pn = ±K-1(Kn-K)K-1f.
Из выше доказанного следует, что операторы Кп в пространстве Н{0) имеют непрерывные обратные. Тогда на основании оценки (6), учитывая, что (р и (рп решения уравнений (1) и (9) при (р £ Н{а) {а > /3), имеет место
/ In2 п \
У - <Рп\\н(р) = О [ ^гд] (п-> 00). (20)
Таким образом справедлива
Теорема. Пусть D — конечная односвязная область, ограниченная замкнутым контуром Ляпунова L, f(t) — заданная функция на L (действительная), удовлетворяющая условию Гёльдера Н(а) (0 < а ^ 1), тогда вычислительная схема (9) для граничной задачи (1) при n > nq имеет единственное решение <рп и справедлива оценка (20), где a > р.
Наконец отметим, что можно построить квадратурные формулы по методу локально-канонического разбиения более высокой степени точности. В частности, вместо интерполяции с двумя узлами можно взять три или четыре узла. В этом случае обоснование вычислительной схемы проводится аналогично, но при существовании соответствующих производных оценки будут более высокого порядка.
Литература
1. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.—540 с.
2. Саникидзе Д. Г. К численному решению граничных задач методом аппроксимации сингулярных интегралов // Дифференциальные уравнения.—1993.—Т. 29, № 9.—С. 1632-1644.
3. Нинидзе К. Р. О локальном каноническом разбиении в схемах численного решения задач плоской теории упругости // Тр. IX Международного симпозиума, Орел.—2000.—С. 329-332.
4. Саникидзе Д. Г. О методе дискретных вихрей повышенной точности для числ енного решения одного класса сингулярных интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения.—1998.— Т. 39, № 9.-С. 1-7.
5. Лифанов И. К. Метод ситнгулярных интегральных уравнений и численный эксперимент.—М.: ТОО «Янус», 1995.-520 с.
6. Никольский С. М. Квадратурные формулы.—М.: Наука, 1974.—224 с.
Статья поступила 5 апреля 2003 г.
Хуеежты Шалва Соломонович, к. ф.-м. н. г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, E-mail: shalva57@rambler. ru
