CC BY
13
УДК 511.3
DOI 10.18413/2075-4639-2018-50-3-265-282
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ДИОФАНТОВЫХ НЕРАВЕНСТВ В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
NUMBER OF SOLUTIONS OF SOME DIOFANTINE INEQUALITIES IN SPECIAL PRIMES
А.П. Науменко A.P. Naumenko
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова 119991, Российская Федерация, Москва, Ленинские горы, д. 1
Lomonosov Moscow State University GSP-1, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation
Email : [email protected]
Аннотация
Пусть Pq - множество простых чисел P , удовлетворяющих условию 0 < 10.5^/p |< 0.5 . Числа
множества Pq будем также называть «специальными» простыми. В настоящей работе доказано
существование бесконечного количества пар «специальных» простых p, p2 таких, что
|pi - p2| < C, где с = 478830 . При доказательстве мы использовали метод решета Сельберга и
его многомерный вариант (решето Голдстона, Пинтца, Йелдрима, GPY-решето), теорему Бомбь-ери-Виноградова и ее аналог для «специальных» простых чисел.
Abstract
The question of whether there exist infinitely many twin primes has been one of the great open questions in number theory for many years. This is the content of the twin prime conjecture (non proof), which states that there are infinitely many primesp such thatp+2 is also prime. In their celebrated paper Goldston, Pintz and Yildirim introduced a new method for counting tuples of primes, and this allowed
them to show that lim Pn±—— = 0. In 2011 the recent breakthrough of Zhang managed to extend this
n log pn
work to prove lim(Pn±1 - Pn )< 7 -107 thereby establishing for the first time the existence of infinitely
n
many bounded gaps between primes. Later James Maynard has succeeded in reducing the Zhang's bound to 600. The recent polymath project has succeeded in reducing the bound to 246, by optimizing Zhang's
arguments and introducing several new refinements. Let P0 is the set of primes p satisfies
0 - }< 0.5. We introduce a refinement of the GPY sieve method for studying small gaps between «special» primes. This refinement avoids previous limitations of the method, and allows us to show that lim(Pn±i - Pn)< 478830.
n
Ключевые слова: промежутки между простыми числами, решето Сельберга. Key words: gaps between primes, Selberg sieve.
1. Введение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть Р0 - множество простых чисел р , удовлетворяющих
условию ^ТР }< 0.5.
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема.
что
ТЕОРЕМА 1. Существует бесконечно много пар простых чисел pv p2 £ P0 |Pi -P2I * 478830 .
таких,
В дальнейшем мы будем использовать следующие определения и обозначения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Набор неотрицательных целых чисел h1, h2,..., hk назовем «допустимым», если для любого простого числа p > 2 существует такой остаток rp от деления на p , что rp Ф h (mod pt) для всех i = 1,2,..., k.
Обозначим W = "Л p , где D0 = log log log N.
a ap<d0
Для любого «допустимого» множества h1, h2, ..., hk, пользуясь китайской теоремой об остатках, можем найти остаток U0 (вообще говоря, не один) такой, что Ц, + hi взаимно просты с W для всех i. Везде далее мы будем рассматривать только числа n, лежащие в фиксированном классе вычетов О0 (mod W), то есть взаимно простые с W .
Определим далее две суммы
Л2
Si =
I
N < n < 2 N n=u0 (modW)
{o.^Vn }< 0.5
( k
^ d |n+h Vi
(1)
(2)
^2 = Е ЕХр(п + Нг ) Е^, й
N<п<2N ^ /=1 ДV/ у
n=^0(modW ) {о.5л/П }<0.5
Здесь хР (п) = 1, если п - «специальное» простое число и 0 в противном случае. Мы будем использовать аналог теоремы Бомбьери-Виноградова для «специальных» простых чисел.
ТЕОРЕМА 2. (см. [1]) Справедлив усредненный асимптотический закон распределения «специальных» простых чисел в прогрессии:
I
d <Xе
Ж IX
(x, d, l )-
Li (x)
2y(d )
< X
(ln x)
где n (x, d, l) = i
'n=l (mod d)
(n), в = 1/3.
Tei2-S
Пусть в - константа из теоремы 2. Определим
Я = N
для некоторой достаточно малой и фиксированной константы 8> 0.
Пусть -кусочно-дифференцируемая функция (которую мы выберем позднее), отличная от 0 только на множестве
k
=|(Л, x, )е[0,1Г : Е X < 1J .
Тогда определим коэффициенты Сельберга Я^ следующим образом:
/(П*1 ri)_FГ log r log гкл
( к
Я
d , ..Ч
ПЖК \ Е
V ¿=1
dj|r Vi (r, Ж )=1Vi
ЛПЫ r,
П>.)
log R log R
в случае I П d■ Ж = 1 и Я^,. = 0 в противном случае.
,=1 У
2. Леммы
ЛЕММА 1. Пусть
( к
У r1,..., r
Я
V ,=1
Ч ■ .--Ч
d1, П Ч:
r | Ч, Vi 11,=1 ,
Пусть далее y^ = maxя.....Jy,
Тогда
r ■ rk К .--Ч
«1 =
Ж
Е
У2,
r, n;=1^(r,)
■ + O
fyL^ (log R) Л
WD„
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Раскроем скобки и поменяем порядок суммирования. Тогда получим
' л2
«1 = Е
N < n < 2 N n=и0 (modW) Ю-^Vn }< 0.5
v d |n + h Vi
^L Яч1 ■. Яе1 ■.
..., dt
Е 1.
N<n<2N n=u0 (modW) [d, e,]| n + \ vi {о.5л/и }< 0.5
Рассмотрим внутреннюю сумму.
Из определения коэффициентов Я следует, что суммирование во внешней сумме идет по числам ..., ёк, ех,..., вк таким, что , ) = 1, (е., е^) = 1, (й.,е^) = 1 для любой пары индексов ] при I Ф ] .
Кроме того, при любом 1 <. < к выполнены условия (й., W) = 1, (е., W) = 1. Но тогда, очевидно, числа W, ^1, в1 ] , [^ в2 ] , ..., й, вк ] являются попарно взаимно
простыми.
Таким образом, приходим к равенству:
Е
N<n<2N n=u0(modW) Ч, е0]|n +A,v, {).5л/я }<0.5
Тогда для ^ получаем
1 =
N
2W [db e1 ][d2, е2 , е, ]
+
o(Vn ).
к
r.....r
к
r
к
к
е.....е
1' "к
_ N у а Л
1 = 2W I
/ di, ..., dk ei, ek Q
dj,.... dk
, e, ]
(
4N I /
U, "•, dj-
V e1. .••. ek
Ad d Ле e «1,..., dk ei, ek
где I / означает, что суммирование ведется по d1, .... dk, e1, .... ek, для которых числа
W, [di, e1], [d2, e2],.... [dk, ek] являются попарно взаимно простыми. Рассмотрим остаточный член.
Обозначим максимальное значение коэффициентов Л через Amax , то есть
Amax = ,maX Adi,..,dk . di, ...,dk 1 ' k
Заметим, что если d1d2 "'dk > R, то значение Л^ d = 0 . Следовательно, справедлива оценка:
I / k.dA..J <AL I 1 = 4L {l4 («)] «Ai^axR2 (log R )2k.
«. .... dt
d1d2"dk <R e1e2"ek <
Kd <R
Далее сосредоточимся на преобразованиях главного члена. Воспользуемся известным тождеством:
1
Г 1 = ~~ I *Р(Ы1 ).
[di, ei] | («, e)
Получаем
N I
w«1 ttdk
/ л«1,....«A
'1.«k e1.ek
П de ]
i=1
N
f k
W
=N I ) I
/ л«1.A
1... Uk e1... ek
«1. ... Uk V i=1
d1...«k П«)(П= e) e1... ek u; [(U, . e; )Vi
Напомним, что суммирование во внутренней сумме идет по числам е15 ^ таким, что (й/, )= 1 для любой пары индексов /, у при / Ф . . Условие (й., е.. ) = 1 мы можем записать, воспользовавшись тождеством для функции Мебиуса:
/VI1, если
(йг, е. )= 1,
У, 7 К^Т, е7 )
Тогда получаем
( к Л
Е П ¿щ) Е
(s.j) |0, если (d,, ej )> 1.
AT I k 2 2
N I 1П ¿U, ) | I / Л«1, Ae1,., ek
W
u1, .... uk V i=1 у
«1..... «
k
e1..... ek
П и, )п ^)=
N
W
f k
I ПЖ )| I
«1, Uk V i=1
^1,2, ... Sk, k-1
U, |(u,. e, )v;
r \
ПЖ,)
1<i,j<k
V
d1..... dk e1..■■. ek
Ad1, .,dkAe1, ... ek
si, j I di. eiVi^J
Заметим, что при суммировании по si,. мы можем ограничиться только слагаемыми, соответствующими случаю (у., и. ) = 1, (у.,., и. ) = 1 при любых / Ф . . В противном случае
e......e
k
e.....e
k
e.....e
k
uAd,, e, V;
коэффициенты Я^ . ^ или Я^ . обнулятся. По этой же причине, для любой фиксированной пары г, ] при г Ф ] можем считать, что (з ^, яа ^ ) = 1, (зг ^, )= 1 для любых а Ф ] и Ь Ф '. Указанные ограничения будем обозначать знаком Е .
Далее введем новые переменные
( к ЛЯ
Уч..,гк = ПМтЫпл Е ,-гк .
V ¿=1 I а.
При условии, что произведение й1й2 '"йк является бесквадратным числом, справедливо следующее тождество:
Е
d,\r, Vi
Уг,
( к
Я
гг Г\ = Е ПЖ)1Е ^=
П 1=1 ПГ) r1, .■'к V -1 уе1,.,ек Ц=1 ^
Я
= Е ^ Е ПЛг)=
Я
Ч ■ d.
е^ .-ек П;=, е1 ^ . ■ ' i=1
di|riVi r,\e, Vi
(3)
Обозначим максимальное значение модуля переменных y . через ymax , то есть:
У max = maX
гъ..., Гк
У
Из определения переменной уч,., следует, что достаточно рассматривать наборы т1, ..., тк такие, что т1 ■■■тк < Я, Ц(т ■■■тк) = 1 и (т1 — тк, W) = 1. При невыполнении любого из вышеуказанных условий ул . = 0.
Далее оценим Ятах через Утах . Имеем
к Л ( к (т )2
Па. Е [п4Ц-
^тЬ
< ,max ymax
S faVi )=1
<
f к
< ymax ,max,
d1, .., dk
П
d
^ s(r ')2тк (r0
<
V i=1 V(d )У г 4R/пк=1 ч, P(r0 )=1 (г< ц^ф
S(d )2 ^ М^У^к (r )2^к (u )
u)
< y max V ИуЛ> V S' ' кУ' / < y V SuJ кУ
< ymax ,max Е -ГТТ Е -ГЛ- < max Е-ТГ
. '■ Чк d|П^Ч ) r<R/П*=М P(r) u<R <P(u)
(гШк=14)=1
Окончательно получаем (см., например, [2], глава 5):
Я» << ymax (log R)" . (4)
Полученную нами оценку остаточного члена вида O^/N^maxR2 (log R)2k ) , используя последнее неравенство, можно заменить на оценку в терминах ymax вида
o(VNyma*R 2 (log R)4" ).
Обозначим а, = u,П S , и b = u,П
J л Ji£ j '■J J J i JJV
к
Г
к
Тогда, переходя к переменным уц,. для главного члена ^ , получаем выражение
N ж
(к
Е Пр«| Е
и15..., Щк V /=1
у1,2, ,к-1
Л
П^,. )
<к
V
(
N
ж
Е [ПрЫ)1 Е
и, , ..., Щк V /=1
У У1,2, Ук,к-1
П^и )
Е
У Й1,., вк
и.. ,е. V/
,7 \й/ ,е7 ViФ.
Л
( к
«1,., йк вк
П
1 р(ъ, )р(а/)
У«1,..., ак Л,...,¿к.
1</,7<к V ^ У
Так как при суммировании мы учитываем только попарно взаимно простые значения и.., .... у.., к и и., ., у2. .,..., . , то справедливы равенства
Таким образом, получаем для ^ следующую формулу:
( . Л
N
Г к Ж Г
51 Е,.1П <р(и,)
у1, 2, ., Ук, к-1
u1,., ик v '
(у,., )
П / У2
1<П<к р(у/,. )
v г ф 7 у
Уа1..... акУь1..... Ък +
-О^у^х Я2 (1ов Я )4к ).
Как мы видели ранее, уа,. а = 0 при (а1...
ак, Ж) > 1. Тогда при суммировании по
У 7 достаточно учитывать только слагаемые у, , = 1 и у, . > £>0.
Интуитивно понятно, что основной вклад должны вносить слагаемые, соответствующие случаю .. = 1.
Оценим вклад слагаемых у, . > £>0.
При некоторой фиксированной паре ,, . имеем
N 2Ж
Е [ ПП Р& Iе'
щ1. - --."к V г
(О
<<
У 22 ЯХ^
2Ж
^(и )2
и<Я р(") v(w) У
П л ъ
V у
к2 -к-:
Уа1..... акУъ1. Ък
<<
V л,.)2 ж )2 Л к -к-1 _ утржм^
Е I V Е
VУ/, 7>А Р(У/, ./ У
(у/, . )2 !е Р(у)2 У
<<
2Жк+1Д
0
Таким образом, считая, что все у,,. в главном члене равны 1, получаем асимптотическую формулу:
— е
1 2Ж Е
У"1 , .... Ык
«1. .. ы1 Пг=1Р(и, )
+ О
^Е^*8 Я Г + ут-хЯ 2 (1о8 я Г^
v
Жк+1Д
Так как по определению Я= N- < N - и Ж << N , окончательно имеем
2
1 2Ж«1,Еик Пк=1Р(и, )
Лемма доказана.
ж
,,... Ук, к-1; ,, >^0
к
Далее получим асимптотическую формулу для суммы
^2т) = Е хА*+к)
N<п < 2N l=v0{щodW) ~ 5°п }<0.5
ЕК...
V а | п+й У г
ЛЕММА 2. Пусть §-вполне мультипликативная функция, заданная на простых числах равенством §(р) = р - 2. Пусть
у(ш ) =
Г к
ПМт)§(т)| Е
Я
V г =1
тг | у г
ПЫг)
и утХ = тах т,.....т,У!."т.,
Тогда при любом фиксированном А > 0 справедлива асимптотическая формула
^ (т) = _
N
Е
(>&■»)2 , п( (утХ ?-2N(1свN) 21 + Л у!хN ^
.(1св N )А
Wk
2Ы(w)logтк (Т)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Поменяем порядок суммирования и раскроем скобки в сумме . Получим
Ехр(п + К ).
N < п < 2 N
е1, ..., е4 п=v0(modW)
[а., е° ]1п+к Уг {о.^л/П {< 0.5
Как и для суммы ^ , мы можем считать, что суммирование во внешней сумме ведется по наборам й1,..., йк, е1,..., ек для которых числа W, [й1, е1 ] [й2, е2]..., [йк, ек] являются попарно взаимно простыми. Кроме того, вклад в сумму будут давать только слагаемые, соответствующие й = е = 1
Пусть д = е1 е2 ].[ак, ек ] . Обозначим также
XN = Ехр(п) .
N<п<2N
Гриценко в 1986 году [3] показал, что для XN справедлива асимптотическая фор-
мула
XN =
N
+ О
С N ^
21og N 1og2 N )
Рассмотрим внутреннюю сумму при указанных выше условиях. Имеем
Ехр(п + к, )="(2 N^} + О(Е(У,«)).
N<п<2N n=v0(modW) [й, ег ]| п+к У г
где
2
а
к
['■■■'''к
ат =1
E (N ■ q) = 1 + max
Е Яр(n) —Г\Zp (n)
N<n <2N <P(q)
n=a(mod q)
(a^ q )=1
Таким образом, для S^ получаем X
(m) _ XN
S m) =
Яdl■ ..■■ Чк Яе1 ■ ..■■ ек + O
V(W) Ч1ЕЧк Пк=1Ч ■ е1 ]
Е \ЯА...,к Яе,..^^, q)
еи -•■ ек
d1 ■... ■ Чк V еЬ "•■ ек
Оценим остаточный член. Предварительно, заметим, что каждому бесквадратному q = W[d15 е1 ][d25 е2].[Чк5ек]< WR2 соответствует не более %(q) различных наборов
dvd^ек.
Применяя неравенство (4), получаем
Е К.Чк¿1.MN,q)< yix(logR)2" Е^(')2Гзк(r)E(Nr).
d ■ .••■ dt
r < R 2W
Для оценки последней суммы воспользуемся неравенством Коши. Имеем
2 / Л/ Л
ЕМ' )Чк (r )E (Nr)
r <R W
<
Е^Зк(r)E(Nr)| Ем(г)2E(Nr)
O2ti
Vr<R W yVr<R W
В первой скобке воспользуемся оценкой, вытекающей из неравенства Бруна-Титчмарша [2]
E(N , r) = O(N /p(r)).
Далее, с учетом известной оценки для суммы квадратов числа делителей [4] и нижней границы для функции Эйлера, имеем
Ем(г )24 (r )E(Nr )<< N log9k 2+3 N.
r<R2W
Для оценки второй скобки воспользуемся теоремой 2, которая является аналогом теоремы Бомбьери-Виноградова для «специальных» простых чисел. Получаем, что для любого A > 0 справедлива оценка
ЕМ')2E(N r) = o(n/logAN),
Vr<R2W У
константа в знаке O зависит только от A .
Выберем A > 9к2 + 4к + 3 + A, где A > 0 - константа.
Тогда окончательно получаем для остаточного члена оценку вида
O
( y2 N ^
✓ max
log aN
константа в знаке О зависит только от А и к . Рассмотрим теперь главный член.
Нам понадобится следующее тождество, справедливое для бесквадратных йг, е1:
1 1
^([d ■ ег ]) (P(di )^(ег) щ | Й ^ ).
ет dm 1
е,.....е
1' •••' ск
Здесь £ - вполне мультипликативная функция, такая что £ (р) = р - 2 для любого простого значения Р .
Как и при доказательстве леммы 1 мы запишем условие (й,.. в.) = 1 при помощи введения разрывного множителя вида Е^ .Ж',.), считая, что у,,. взаимно просто с числами
Ы( , и. , У,,а и Уъ,. для всех а Ф, и Ъ ф ] и обозначая этот факт Е при суммировании по
Тогда для главного члена получим следующее выражение:
X
N
Рж ) ы1е
Е (и,)|Е1.,.....Л П/4,)| .Е
ик
\}</,] <к
, ..., йк в1. •••. вк
и. | (й., в1 )Vi
У, 7 I (й/. в7 )Vi Ф 7
X X
й1..••.йк в1..••.вк
П^р^, )р(в,)
Введем новые переменные:
А к
/т) =
1... гк
ПЖ)£(г,)| Е
X
'й,,.... й.
V,=1
М..... йк
г I й, V,
=1
ПР)
Заметим, что в случае Гт > 1 по определению получаем у^.., гк = 0 .
Как и при доказательстве леммы 1 обозначим а = и П у и Ъ = и П у для
1 } } ± ±./ф. ',} } .А ±/ф7 }
всех 1 < . < к , отметив, что выполнены условия ) = )Пг^ •) '
V(ъ. )= Ж. П, Жи I £(а. )= )П/Ф, Ж и \ £(ъ. ) = Пф 7 Ж/,7).
Оценим вклад в сумму слагаемых, соответствующих у. , > 1. Для него имеем оценку
чк -1
<<
(у2тх ) N
р(Ж )1о8 N
У(и )2
«<Я £(щ)
V(u,W )=1 У
Е
Е
Ж )2
£ (у )2
хк (к-1)-
^(У/1,/2)2 _ (у2тх )>Ж)к 2N(108Я)к-1
\ 1 ' ^ .1. '2' << 4.7>^0 £)
Жк-1В0108 N
Таким образом, для 52(т) окончательно получаем:
N
5 (т) =
Е
кт)..,ик у , (у2тх )к 2N(108 Я) 21 + 0(.ут^'
, ■ ) i ВЖк-1 у ^(108
в ж
к-1
2р(Ж)108NUlЕUk (и,)
Далее рассмотрим связь между переменными у"^..,и и уч,. Справедливо следующее утверждение. ЛЕММА 3. Пусть Гт = 1. Тогда
+ О
у(т) = Е «1, ... «к / '
у*,...
Р(ат )
+ О
ут
р(ж )108 я
жвп
(т)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подставим в определение переменных у выражение (3), полагая в нем Гт = 1. Получим
йт =вт =1
У
а
У" * =(П Ж )§(т )Л Е (П М(аг )йг Л Е Уак"',ак .
V г=1 )а1,• ■■, ак V г=1
ы(йг ) ) а1, .,ак П )
т1 | / У1 / | а1 У;) '
йт =1
Сделаем суммирование по а внешним:
^ Л
п «("*) _ I I I / /I 1^-1-1 -м 1 I Ж а1 , ак
У Т1, Гк
V 1=1 )а1, ..., ак
У г х г 1 х / | а,, т | / У г
а„ =1
^ ^^(тг )§(т )|Е
VI 1/=1 Ы(аг) Рассмотрим внутреннюю сумму. Имеем
Е П
¡Л(й1 )аг
)
а,..., /
г=1 Ы(аг )
V П Ц(йг Н _ П [ У Ц(аг )аг ^
Е П ^) =П Е
а,,... л
=1
г ф т V , I а>
г; .и ы(аг)
Мы можем вычислить сумму по каждой переменной /г. Действительно,
(т )т ^ )/ )т
V Ц(аг К _ Ц(тг )т^ )а _ ц(аг ) Е Л Е
/, а1|а1, г^/, Ы(аг ) Ы(Т' ) Е Ы(/) Ы(аг )
11 а —
Тогда для у(т) т получаем выражение:
т ..,гк
У,
(т) _
г к
ПЛт)§(т)| Е
V 1=1
У а
, У1
чП.Ы'Д))
П
Ц(аг )Т
Ы(аг )
Из определения Уа следует, что достаточно рассматривать только суммирова-
аъ ак
ние по (а-, W)= 1. Тогда либо а- = Т-, либо а - > Б0т-.
Оценим вклад слагаемых, соответствующих а- > 00т- при - Ф т. Для него справедливы оценки
л ^ (ж. )2 лтгг^лг
<<
Утах i П § (Т' Уг 1 Е
уф— )
Е
(а„, W )=1
П Е
<<
к §(Т, )Т 1 Утах^^ Утах
П Ы(т,)
Ы(ат ) |Пк(Е а, Ы(аг )2
1 ф
)log Я
<<
)
о
WDn
Тогда для Ут(т,.) ,т окончательно получаем
У(т) =
П§ (т Уг V
П Ы; ) Е
Так как
(т, w )=1
V г=
У 1>--> Тт-1
Тт-1, ат , Т
т+1, Тк
Ы(ат )
^ + О
Утах^)l0g Я
WD,
0 )
справедлива оценка
П§Г>1 <П П )" < П
(
1 +
р >
(р -1)2
= 1+о(о0-1).
Лемма доказана.
Для дальнейшего изложения нам потребуется следующая техническая лемма, доказанная в [5] на основе результатов [2], Глава 5.
а А а,, тА а, У1
г
'к
а.....а
гФт
к
т а
^ <Я
1=1
а- >00т/
к
1
ЛЕММА 4. Пусть к, Д, Д, L > 0. Пусть У - вполне мультипликативная функция,
у(p)
которая удовлетворяет условию 0 <-< 1 - Д при любом простом p.
p
Пусть также при любом 2 < w < z выполняется двойное неравенство - L <
I y(p)l°g Р
- к log z / w < Д.
w<p<z P
Положим далее g - вполне мультипликативная функция, заданная на простых числах равенством g(p) = y(p)/(p - y(p)). Пусть, наконец, G: [0,1] ^ R кусочно дифференцируемая функция и Gmax = SUPie[0,1](G{tJ + |G' (t)).
Тогда справедлива формула
I»(d )2 g («V S iiog^ J G(x)xk-1Ux + OAi,AJsLGmx (log z ) 1), d< z V log z у Г(к) J0 1 2
где
S=П|
1 -y(p)
VV 1 ^к
1--
p У V p у
Константы в знаке О не зависят от G и L.
Для получения более удобной асимптотической формулы для суммы 51 будем предполагать, что
^8 Г 108 Гк ^ (5)
У
= F
logR logR
для некоторой кусочно-дифференцируемой функции F: Rk ^ R, заданной на множестве = {(х1,.... xk)e[0,1f : I^X, < 1j. Напомним также, что y...^ = 0 , если (r1••• rk, W)> 1
или M(r1 "rk ) = 0.
Далее получим асимптотическую формулу для S через значения функции F. ЛЕММА 5. Пусть y... заданы в форме (5). Обозначим
Fmax = SUP |Fk, .... tk) +
(<1... tk )e[0.1]k
Тогда справедлива формула
i=1
sF
(t1. .. tk ) .
_ ¿W)kN(log R)k 7 J Fm2ax^(W)kN(log R)k '
1 2Wk+1 k ( ) Wk+1D '
где
Ik(F) = JJF2(t1, ..., tk)dtl ...dtk .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Используем результат леммы 1, предварительно подставив выражение для у. Получаем
S =
N у |А ^(u, )
2W u1iuk [П ¿(U,) (u , u^ )=1 v; ф j (u , w )=1 v;
2 л
F
log u1 log uk
log R log R
+ O
FLAW )kN (log R ) Wk+D
k
Исключим условие (и,, и-) = 1. Оценим вклад слагаемых, которые мы при этом добавляем в сумму.
Пусть (иг, и-)= х > 1 . Так как (иг, W) = (щ ,W)= 1 очевидно существует простое
р > 00 такое, что р \ х . Тогда имеем
(
Е П
Ц(и,)
и1, • ••, ик V (и,, и- )=1 У1Ф-{и,, W )=1У1
г=1 Ы(иг )
(
Р
1og щ 1og и.
1og Я 1og Я
Р2 N
тах
к
w
Е Е П
ц(т)2
р>00 и1,., ик <Я 1=1 ы(и1) р| (иг, и-)
7
<<
Р2 N
тах
w
Етг1
р > 00
(р - 1)2
Ц(и )2
и<Я ы(и)
{{и^ )=1 )
Е
<<
{и,, W )=1 У1
Рах^ )kN (log Я)
wk+0
Таким образом, для ^ получаем:
N
*= N Е П
гг ul,ик V
{и,.
ц(щ )
2 Л
Р
1og щ 1og щ
Л
2
+ О
Рах^ )kN (log Я У
wk+0
=1 Ы(иг) ) V 1ogЯ' ' 1ogЯ
{и,, w )=1 Уг
Используя лемму 4, мы можем асимптотически вычислить сумму:
Е
{щ. л )=
Ц2 (ик 1og и1 1og и
1 (р(ик)
Л2
1og Я 1og Я
ик <Я /{и1Щ2 ик-1 )
Положим в лемме 4
К = 1, у(р)=.
Тогда .21
^ ц2 (ик 1og и1 1og
{и., W )=1 Ы(ик )
ик <Я
и,.
1og Я 1og Я
П
1, р не делит W, 0, в противном случае.
ТУ
р V
1
р )
1 —
V р
1og 4Р:
1og и1 1og ик
1og Я 1og Я
Ж. +
+ О
П(1 1-1
( о
1 —
р ) V р)
Заметим, что (см., например, [2])
^ р
Е ^=М* / *)+О(1).
р<1 р
Следовательно, можно подобрать такую константу А , что
Е Ир^р - loglogЯ < А2 .
»< p<1og Я р ^
Далее при ^ < 00 имеем
^ /М1^р= ^ ^ 1ogр
р<^Я р
м>< Я р м>< р< 00 р
2
к
к
к
I ^<logD0 + A,.
w< p< D0 P
Положим
l = log D0 + д. Кроме того, справедливо равенство
П|1 -yp Г
f 1 ^ a(w )
1 —
p У V p У
W
Тогда получаем
И («
(uk ) J log U1 log Uk 1 _ A(w )log R ^c-2 (log U1 log rk
(Uk .W )=
1 A(uk) VlogR'"'' logR
W
J1 F2
J0
log R log R
dtk +
+ O
A(W )Fm
2
max
W
log D0
Действуя аналогичным образом при суммировании по каждой переменной "к-1, "к-2, «1, получаем для 5 выражение вида:
S1 =
a(W )kN (log R)k
\k » r/l _ _ n\k
^k+1 '1 k
2Wk
Ik (F)+ O
^Fm2aA(W )kN (log R )k-1log D,
W
k+1
^FLa(W )kN (log R )
+ O
k
W k +1 D
Так как по определению параметров R и D имеем log R >> D0 log D0, то первый остаточный член можно не учитывать. Лемма доказана.
Теперь мы будем заниматься получением асимптотической формулы для S2( m) в терминах функции F. Для этого, сначала, получим выражение для У^., ^ через F. ЛЕММА 6. Пусть ул,. , заданы в форме (5),
(t1,..., tk )е[0.1]
Тогда справедлива формула
k
Fmax = SUP |F (t1, .... tk ) + I
i=1
SF ,
у
,(m) _
(log ^ (П f |C F [ S , . lg£->m ^
+ O
log R log R
f Fmax A(W)log R Л WD
log rkЛ log R '. log R
«L +
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Используя лемму 3 и равенство (5) получаем
m+1
y(m) = у И(и)2 F[ log Г1 log Гт-1 logU log Гт
r1'"-rk Ik Л a(u ) [ log R'"' log R 'log R 'log R
U. WП,=1 r,
Справедлива оценка
log rk log R
+
+ O
FlxAw )log R
л
WDn
y(m) <<
./max
a(w)Fmaxlog r
w
Uu < R
k
1' ■■ 'k
Для получения асимптотической формулы для У(т) воспользуемся леммой 4 с
■у ^ ^ |1, р не делит Wп.=1 Т, i 0, иначе.
Далее заметим, что
1 + е — <<
p\W П,=1 г
Р p <log R Р
Е logp + е loglogR <<loglogN .
log R
P|W П^
p >logR
Следовательно L мы можем выбрать из условия L = O(log log N). Тогда окончательно получаем
y m) =.
(P(W )log Г log r1 log rm-1 , log rm+1 log Гк
W r
rr V 1=1 t
t„
+ O
0 I log R log R ' "" log R' log R iFmaXp(W )log R^
dtm +
m
v
WD,
0 у
Лемма доказана.
ЛЕММА 7. Пусть yr . заданы в форме (5),
к
^ = SUP \F(t„ ..„ tk ) + Е
(^ .■■■ h >[0^1 J
i=1
8F
Ж
(tL h X
Тогда справедлива формула
p(W )"n (log R)"+1
S (") =.
2Жк+1 log N
4m) (F)+ O
Fm2axP(W)"N(log R) Жк+1Dn
где
'к •
4т)(р) = |о.£[£р(^г.)/гп| /г,...лт_1лт+1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Оценка суммы во многом похожа на оценку суммы ^ .
Из леммы 4 легко видеть, что если тп = 1 и т = П.1 Г удовлетворяет условиям = 1 и ц(т)2 = 1, то Уг г определяется формулой леммы 6. В противном случае
y(m) r = 0.
Подставим выражение для yГ™]^ из леммы 6 в асимптотическую формулу S2(m) из
леммы 3:
S (m) =
N
Е
2P(W) tog N^ Пк=1 g(r )
Тогда получаем
fen, j + íy2"ax)2p(Ж)kllN^gN)
чк-2 ^ ' ymaxN ^
Wк-1Dn
+ O
(log N)
A
У
S (m) = p(W )N (log Rf у (A s('i ( ) 1(F (m) )2 + O 2 2W2 log N Е (П g(' У ^ -Гк)
(r ■ W )=1 Vi ^■'j )=1 vi * j
rFLAW fN (log R )
wк+D
r )r
к
У
V
г =1
m
Для вклада слагаемых, соответствующих случаю (г , г. )> 1 рассуждением, аналогич-
ным содержащемуся в доказательстве леммы 5, получим оценку
<<
р(Ж ^ (108 Я )2 /у
2т?2
тах
Р(Р )
2
V р >В0 £ (Р )2 Р 2 У
Л
к-1
М(г )2Р(г )
Г < Я
Цг, Ж )=1
2Ж 2 108 N Далее рассмотрим суммы вида
(
м(г )2р(г, )
£ (г )Г
<<
/тахРЖ)kN(108 N)к
2Жк+В
Г1, ., Гт-1, Гт+1, ., Гк
(г. , ж )=1^
1</<к £ (г, )г, V ,Ф7 У
(/т,гк )
по каждой переменной Г,
Для оценки таких сумм воспользуемся леммой 4. Пусть к = 1 и
,', , 1
г(р)=
1 + ■
Р2 - Р -1 0, иначе;
, Р не делит Ж,
Л <<1 +Е ^ << 108 в,,
I Ж Р
для подходящих констант А , А .
Тогда окончательно получим
(т) =р(Ж)к^08^ Т (т) + О 2 2Жк+1 к
Г/т2ахР(Ж)к^(Ь N) Жк+В
к
где
11 ( 1
•/'(т) = I . ■ ■ II I¥^ . ■ ■ ' ^ ^т . • • ^т-А+1 . ■ ■ ^к .
0 0 V 0
Лемма доказана.
Доказательство Теоремы 1.
Нам достаточно показать, что
52 > 51.
Действительно, в (1) и (2) внутренние суммы
Е*«,
V й1\п+к>И
(6)
неотрицательны при
любом п. Коэффициент, стоящий в (2) перед каждой такой суммой, равен ЕхР(п + к,) и
,=1
может принимать значения 0, 1, 2,.... к.
к
Но тогда из (6) следует, что среди значений Е ХР (п + к,) есть хотя бы одно большее
,=1
единицы. Таким образом, мы нашли промежуток длины не более |кк - к\, содержащий не менее двух простых чисел.
2
2
й
к
Далее, меняя пределы внешнего суммирования в (1) и (2) на \2N4N), ... и
повторяя указанные рассуждения, мы сможем построить бесконечное количество таких промежутков.
Теперь рассмотрим частное 52 / 5. Из лемм 5, 6 имеем
k
Ч J (F). »
Sl> j1_ log R
S1 ~ Ik (F) log N ■
С учетом определения R, для выполнения условия (6), нам достаточно выбрать функцию F и соответствующую размерность к так, чтобы
k
i(m)(
J=1 > 6.000001.
J (F )
1к (/ )
Пусть В представлена в форме
, . . . , 1к )=^Пк1 ) если Ек=1^ < 1
[0, иначе,
где £(г) = 1/(1 + АТ) для г е[0,Т / к] , для некоторой константы а > 0 и Г такого, что 1 + АТ = вА.
Выбранная функция симметрична, и для простоты можем писать Т к вместо любого
значения /кт). Аналогично, будем писать Iк вместо (/). Обозначим
Н>„ £ ()2 Л'.
Тогда имеем
1к =| . .I /(*!,...,гк)2.. ак £(кг)йг! = к~к/. (7)
Теперь рассмотрим /к . Так как функция g задана на отрезке [0, Т] и квадрат всегда
неотрицателен мы получим для /к нижнюю оценку, вводя условие Е._т г,. < 1 - Т / к. Таким образом, имеем
/ > | ^ ¡[¡Г (П£(кг, ^ ^ ^ • • йгк. (8)
<1-Т/к V V ,'=1 У У
Правую часть в (8) мы можем записать в виде Тк , где
Jk=J .....v м j|f 1 k (n (kt, )|u'1
i=1
2 / \ k-1
. ■ ■ dtk —
j; g(kt1 )ut11 (j0 g(kt)2 dti = k-k-1yk-1(j; g («)««
2
^ =1 г -Я ,0 1(1:/ к |П§ (кгг т
Ек_2г, > 1-: / к
йх2. • • йг ^ —
к--1 [ £ §(и / i £ и . £П § (Щг)2 /и 2 ... /ик.
Ек_щ > к-: г=2
Обозначим
[ и§(и)2 йи т
ц = £\ 2 < 1 - : . £ §(щ )2 к
Для упрощения записи обозначим 77 = (к -:)/(к -1)-ц> 0. Если Ег=2Щ > к - :, то Ег=2 Щ > (к - 1)ц и справедлива оценка
1 <г/
1 к
—Е к -1 Е
к Л2
щ - ц .
1=2 )
(9)
Так как правая часть (8) неотрицательна при любом иг, мы получим верхнюю оценку
2( ,,т„,к-1 ,,2_,к-1 Л
ц:г
ц И
К к-1 к-1 ,
к-1 к-1
Ек, перемножая 77 2 (е. Щ, /(к -1)-ц) и не учитывая условие Ем и, > к - :. Тогда получим
Ек <р 2к-к-1 §(и)йи
Далее находим
Г2Е
<
■п~2ц:к к-1и
к-1
£ §(и)йи
(10)
щи,
^2<г'<-<к г 1
2цЕк=2 иг
г=2 ■ + ц
-ц2/-1
йщ ...йи, = ——--.
2 к к -1
)
(к -1)2 к -1
Для и 2 справедливо неравенство и2 § (и. ) < :и§ (щ ) на всей области определения функции § . Тогда
£." £ щ2 (пП§ (и. )2 /2... аик < :/-2 £^и-§(и- )2 /и- = ц:/-1. (11)
Далее имеем
Ек <р-2 к к-1 [£° § (и /
2/
,к-1
ц И
ю ^ г ) [ к -1 к -1
2 к-1 -2
к-1 к-1
<
г/-2ц:к-к-1И к -1
£ § (и )/и
Так как (к-1^2 > к (1 - : / к-ц)2 и ц < 1, используя (7), (8), (9) и (11), получаем
кЗ,
>
£ §(и )/щ
и | (
1 --
:
(12)
!к £°§2(и)йи [ к(1 -:/к-ц)2
Так как § (г ) = 1/(1 + А:) для г е[0,: / к ] и некоторой константы а > 0, приходим к равенствам
—1, I § (и )2 йи = — 1--1
£:/к§(щ)/и =1og(l + А:), £:§(щ)2йщ=1
£: и§ (и)2 /и = \(log(l+а: ) -1+—1
£ А2 V ^ ' 1 + А
1+а:
V 1+а:)
Так как Т выбрано из условия 1 + А: = еА, сразу получаем ц = 1/(1 - е А )- А 1.
(13)
2
1=1
2
2
2
2
Используя (12), (13), (14), приходим к оценке
I.
> ■
1 -
1 -
T
k(1 -T/k -и)2
Выбираем
A = log k - 2 log log k > 0. Теперь мы можем вычислить значения правой части (15) для
k = 3,4,...
При к=69248 получим
f
1 - e
- A
1 --
T
\
= 6.00000103....
к (1 - Т / к-^)2
Согласно [6] допустимое множество из 69248 элементов построено, при этом
\кк - к 1 = 478830.
Теорема доказана.
A
Список литературы References
1. Гриценко С.А., Зинченко Н.А. 2013. Об оценке одной тригонометрической суммы по простым числам, Научные ведомости БелГУ, Серия: Математика. Физика. № 5(148). Вып. 30: 48-52.
Gritsenko S.A, Zynchenko N.A. On the estimate of a trigonometric sum over primes. 2013. Nauch-nyye vedomosti BelGU, Series: Math. Physics. № 5(148). Vol. 30: 48-52. (In Russian).
2. Halberstam H., Richert H.-R. 1974. Sieve Methods. Academic Press, London.
3. Гриценко С.А. 1986. Об одной задаче И.М. Виноградова. Математические заметки. т. 39(5): 625-640.
Gritsenko S.A. A problem of I.M. Vinogradov. 1986. Matematicheskie Zametki. Vol. 39(5): 625640.
4. Митькин Д.А. 2006. Об оценке некоторых арифметических сумм с числом делителей. Математические заметки, т. 80(3): 471-472.
Mit'kin D.A. 2006. Estimates of certain arithmetic sums related to the number of divisors. Matematicheskie Zametki. Vol. 80(3): 449-450.
5. Goldston D.A., Graham S. W., Pintz J., and Yildirim C. Y. 2009. Small gaps between products of two primes. Proc. Lond. Math. Soc, 98(3):741-774.
6. Sutherland A.V. http://math.mit.edu/~drew/partition_bounds 342_plus_4000000.txt.
7. Maynard J. Small gaps between primes. 2014. Ann. of Math, SECOND SERIES, Vol. 181, No. 1, pp. 383-413.
8. Hooley C. Applications of sieve methods to the theory of numbers. 1977. Bull. Amer. Math. Soc. 83, no. 5, 1015-1021.
Hooley C. Applications of sieve methods to the theory of numbers. 1977. Bull. Amer. Math. Soc. 83, no. 5, 1015-1021.
9. Прахар K. Распределение простых чисел. 1967. M., Мир. Prahar K. Distribution of prime numbers. 1967. M, Mir (in Russian)
11. Goldston D. A., Pintz J., and Yildirim C. Y. Primes in tuples. III. 2006. On the difference pn+ v - pn. Funct. Approx. Comment. Math., 35:79-89.
12. Goldston D. A. and Yildirim C. Y. 2007. Higher correlations of divisor sums related to primes. III. Small gaps between primes. Proc. Lond. Math. Soc. (3), 95(3):653-686.
13. Polymath D. H. J. A new bound for gaps between primes. Preprint. https://arxiv.org/ abs/1409.8361.
14. Selberg A.. Collected papers. Vol. II. Springer-Verlag, Berlin, 1991.With a foreword by K. Chandrasekharan.
15. Zhang Y. Bounded gaps between primes. 2014. Ann. of Math, SECOND SERIES, Vol. 179, No. 3, pp. 1121-1174.
16. Elliott P. D. T. A. and Halberstam H. 1970. A conjecture in prime number theory. In Symposia Mathematica, Vol. IV (INDAM, Rome, 1968/69). Academic Press, London, pp.59-72.
