О числе комбинаторных замкнутых путей на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Омского университета, 2003. №4. С. 13-14. © Омский государственный университет

УДК 512.54

О ЧИСЛЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАМКНУТЫХ ПУТЕЙ

НА ПЛОСКОСТИ*

Ж.Т. Беленкова

Омский государственный аграрный университет, кафедра высшей математики 644008 Омск, ул. Сибаковская, 4

Получена 14 июня 2003 г.

Some characteristics of closed combinatorial paths on the plane are derived.

При вычислении усредненной функции Дена для свободных абелевых групп (см. , например, [1]) используются различные числовые характеристики комбинаторных путей на плоскости. В данной работе получен ряд таких характеристик.

1. Введение. На эвклидовой плоскости R2 зафиксируем декартову систему координат Ох у. Граф Кэли Г свободной абелевой группы Ао = Z х Z =< a,b\ab = Ьа > считаем естественно вложенным в R.2 относительно Оху: элемент g = a'b3 соответствует точке g с координатами (i,j), ребра графа проводятся параллельно соответствующим осям. В работе рассматриваются комбинаторные пути на Г с началом в точке О. Путь называется замкнутым, если он заканчивается также в О. Через \р\ обозначим длину пути Р-

Пусть tm - число всех путей в Г длины т, а 1-2п — число всех замкнутых путей в Г длины 2п.

Основным результатом работы является

Теорема. Асимптотически nl-2„ эквивалентно t-2n ■> более точно:

ni 2„ hm -

п^оо t-2n

2. Вычисление lim„

1

7Г

hn+2 hn

Рассмотрим вначале произвольные пути на Г. Так как из каждой вершины выходит 4 ребра, то t2n = 42п .Тогда = 16.

= 42" .Тогда : Покажем, что lim.

hn+2 _

^ = 16 . Для этого вычислим 1-2 п ■ Любой замкнутый путь на Г соответствует слову № = Х1£1Х-2£2 ...Х-2п£2п 1 гДе Х1 €

*Работа поддержана РФФИ (грант 01.01.00674) и Минобразования РФ (грант Е-02-1.0-191). Автор выражает благодарность В. А. Романькову за постановку задачи и полезные обсуждения.

{a,6},t ¿ G {±1}, ¿ = 1, 2,..., 2/г, в котором сумма показателей степеней при а, Ь, соответственно, равна 0. Отсюда следует, что общее число вхождений в w букв а, Ь равно п. То же самое можно сказать о любой паре а£, (t, 17 G {±1}) •

Выберем наугад п клеток из упорядоченного набора 2п клеток, в которые последовательно записываются буквы слова w. Считаем, что в выбранных клетках размещаются буквы а, Ь. Таких выборов С'2п.

Еще раз выберем п клеток из набора 2п клеток. Считаем, что в этих клетках размещаются буквы а, б-1. Таких выборов С"п. Если клетка выбрана два раза, то в ней находится а, если ни разу, то а-1. Если клетка выбрана только первый раз, то она соответствует 6, оставшиеся клетки соответствуют б-1.

Любому слову w указанного вида соответствует описанный двойной выбор клеток, и наоборот: любой двойной выбор клеток дает слово w указанного вида. Значит, 1-2„ = (С"п)2. Тогда

lim„_ (lim„ (lim„ (lim„

hn+2 _

limn

(c:

+ 1 \2 2n+2) _

(C¡

rn + l

cSn 1 ~

(2n+2)!n!n! (n + l)!(n + l)!(2n

(2n + l)(2n+2)^9 _ ,,2 _

(n + l)(n + l)

= 4 = 16.

Доказательство теоремы: вычисление lim„

ni 2

Сначала выясним, чему равен Ит^-нх, Воспользуемся формулой Стирлинга (см., например, [2]):

п\ = ,

где 0 < 9 < 1.

Тогда С2"п = = е-)

УТтуУ27у(2п)2пе 24 гг епеп 92п

е2гг yj2тгуПгпп е 12п \/2tv л/ггпп е 12п

Отсюда

= 757е 24"

14 Ж.Т. Беленкова

1™ "'2» |ш| "—¿2

1;™ (С2» 11Шп—42»

(С?»)2 _

22» в! во 2 2

е 247 - ~) 42

в1 в2 42»е 12» - 6?

0.

11Ш1п—пп42»

Из произведенных вычислений легко следует,

2 вТ в2 п12п п4 е 24» в» 1

11Ш - = ИШ -2- = _.

п—<х t2" п—<х Пп42" П

п.

[1] Кукина Е.Г., Романьков В.А. Субквадратичность усредненной функции Дена для свободных абеле-вых групп. (Сибирский математический журнал, принято к печати).

[2] Фихтенгольц Т.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М.: Наука, 1969.