МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2003. №4. С. 13-14. © Омский государственный университет
УДК 512.54
О ЧИСЛЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАМКНУТЫХ ПУТЕЙ
НА ПЛОСКОСТИ*
Ж.Т. Беленкова
Омский государственный аграрный университет, кафедра высшей математики 644008 Омск, ул. Сибаковская, 4
Получена 14 июня 2003 г.
Some characteristics of closed combinatorial paths on the plane are derived.
При вычислении усредненной функции Дена для свободных абелевых групп (см. , например, [1]) используются различные числовые характеристики комбинаторных путей на плоскости. В данной работе получен ряд таких характеристик.
1. Введение. На эвклидовой плоскости R2 зафиксируем декартову систему координат Ох у. Граф Кэли Г свободной абелевой группы Ао = Z х Z =< a,b\ab = Ьа > считаем естественно вложенным в R.2 относительно Оху: элемент g = a'b3 соответствует точке g с координатами (i,j), ребра графа проводятся параллельно соответствующим осям. В работе рассматриваются комбинаторные пути на Г с началом в точке О. Путь называется замкнутым, если он заканчивается также в О. Через \р\ обозначим длину пути Р-
Пусть tm - число всех путей в Г длины т, а 1-2п — число всех замкнутых путей в Г длины 2п.
Основным результатом работы является
Теорема. Асимптотически nl-2„ эквивалентно t-2n ■> более точно:
ni 2„ hm -
п^оо t-2n
2. Вычисление lim„
1
7Г
hn+2 hn
Рассмотрим вначале произвольные пути на Г. Так как из каждой вершины выходит 4 ребра, то t2n = 42п .Тогда = 16.
= 42" .Тогда : Покажем, что lim.
hn+2 _
^ = 16 . Для этого вычислим 1-2 п ■ Любой замкнутый путь на Г соответствует слову № = Х1£1Х-2£2 ...Х-2п£2п 1 гДе Х1 €
*Работа поддержана РФФИ (грант 01.01.00674) и Минобразования РФ (грант Е-02-1.0-191). Автор выражает благодарность В. А. Романькову за постановку задачи и полезные обсуждения.
{a,6},t ¿ G {±1}, ¿ = 1, 2,..., 2/г, в котором сумма показателей степеней при а, Ь, соответственно, равна 0. Отсюда следует, что общее число вхождений в w букв а, Ь равно п. То же самое можно сказать о любой паре а£, (t, 17 G {±1}) •
Выберем наугад п клеток из упорядоченного набора 2п клеток, в которые последовательно записываются буквы слова w. Считаем, что в выбранных клетках размещаются буквы а, Ь. Таких выборов С'2п.
Еще раз выберем п клеток из набора 2п клеток. Считаем, что в этих клетках размещаются буквы а, б-1. Таких выборов С"п. Если клетка выбрана два раза, то в ней находится а, если ни разу, то а-1. Если клетка выбрана только первый раз, то она соответствует 6, оставшиеся клетки соответствуют б-1.
Любому слову w указанного вида соответствует описанный двойной выбор клеток, и наоборот: любой двойной выбор клеток дает слово w указанного вида. Значит, 1-2„ = (С"п)2. Тогда
lim„_ (lim„ (lim„ (lim„
hn+2 _
limn
(c:
+ 1 \2 2n+2) _
(C¡
rn + l
cSn 1 ~
(2n+2)!n!n! (n + l)!(n + l)!(2n
(2n + l)(2n+2)^9 _ ,,2 _
(n + l)(n + l)
= 4 = 16.
Доказательство теоремы: вычисление lim„
ni 2
Сначала выясним, чему равен Ит^-нх, Воспользуемся формулой Стирлинга (см., например, [2]):
п\ = ,
где 0 < 9 < 1.
Тогда С2"п = = е-)
УТтуУ27у(2п)2пе 24 гг епеп 92п
е2гг yj2тгуПгпп е 12п \/2tv л/ггпп е 12п
Отсюда
= 757е 24"
14 Ж.Т. Беленкова
1™ "'2» |ш| "—¿2
1;™ (С2» 11Шп—42»
(С?»)2 _
22» в! во 2 2
е 247 - ~) 42
в1 в2 42»е 12» - 6?
0.
11Ш1п—пп42»
Из произведенных вычислений легко следует,
2 вТ в2 п12п п4 е 24» в» 1
11Ш - = ИШ -2- = _.
п—<х t2" п—<х Пп42" П
п.
[1] Кукина Е.Г., Романьков В.А. Субквадратичность усредненной функции Дена для свободных абеле-вых групп. (Сибирский математический журнал, принято к печати).
[2] Фихтенгольц Т.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М.: Наука, 1969.