CC BY
29
Действительно, пусть (з.^ер,. Докажем, что (у/($),(//(/)) е <5,.
Если (ла0) е р,, то в силу транзитивности отношения р,, (л,о0) е р, и по определению отображения у/, ^/(л) = у/(?) = х0. В силу рефлексивности отношения <5,, ((//(л ),у/(/))е .
Если (з,а0)<£ р,, то тем более (ла0)ер,. Тогда по определению отображения у/ , I//(л) = 11/(1) = у,, и в силу рефлексивности отношения д\ заключаем, что (у/М,!//(/)) е <5,. Если же {х,а0)е р,, (?,ц,)£ р,, то по определению отображения (И4пО)Ч*0.>о)-Отсюда, по условию, (ц/($),ц/(1)) е 51.
Тогда в силу уже доказанного п. 1) тг(са,ц/)= и, в частности, ц/1- е Нот(Х2,У2)-
С другой стороны, по построению для любого I е А' выполняется равенство в частности, при х = а0,
Vе" (Ж )) = 8 а Н«0 )) = 8 а (*0 ) ’
при х = Ьп,
V- (/(^о )) = 8 а Ыро )) = 8а {у0 ) ■
Другими словами, гомоморфизм (//■ отображает упорядоченную пару (/(«0),/(Д,)) в упорядоченную пару (5„(л:о)'§„(>’о))- с ДРУГОЙ стороны, в силу того, что /-изоморфизм упорядоченного множества Х1 на упорядоченное множество Х2 и (а.гЬ0)е р,, выполняется условие (Ж)-Ж)) е р,. Тогда, в силу того, что ц/с" - гомоморфизм упорядоченного множества Х2 на упорядоченное множество У2, выполняется условие 6 82.
Значит,§а - изоморфизм У, на У2.
По аналогии ясно, что если /”- антиизоморфизм Х] на Х2, то все отображения Ба {а е X) также будут антиизоморфизмами У, на У2, так как в этом случае условие (а0,Ь0)е р1 влечет (Ж)Жо))е Р2 и> следовательно, (&,(у0)-&,(хо))е 32 ■
Доказательство теоремы.
Очевидно, что если упорядоченные множества Х^У, соответственно изоморфны упорядоченным множествам X,, У2 или упорядоченным множествам Л',,}', , то полугруппы входных сигналов автоматов А(т{Х[,У^), Аии(Х2, К;) изоморфны.
Обратно: пусть п - изоморфизм полугруппы Б, входных сигналов автомата Ат^Х^У^ на полугруппу Б2 входных сигналов автомата А1т(Х2,У2), тогда из лемм 2-5 следует, что этот изоморфизм 7г определяется по указанной в лемме 5 формуле некоторыми биекциями /: X, -> Х2, ga: У, ->■ У2 (а е X), которые одновременно являются изоморфизмами или антиизоморфизмами соответствующих упорядоченных множеств.
Литература
1. Плоткин, Б.И. Элементы алгебраической теории автоматов / Б.И. Плоткин, Л.Я. Гринглаз, А.А. Гварамия. М.:Высш.шк., 1994.
2. Глускин, Л.М.Полугруппы изотонных преобразований / Л.М. Глускин // УМН. 1961. Т.16, вып.5. С.157-162.
Д. В. СОЛОМАТИН (Омск)
РАССЫПЧАТЫЕ ПОЛУГРУППЫ С ПЛАНАРНЫМИ ГРАФАМИ КЭЛИ
Графом Кэли полугруппы 5 относительно множества X порождающих ее элементов называем граф, состоящий из множества вершин 5 и множества помеченных дуг -всевозможных троек (а.х.Ь), где а.ЬеБ, хеХи ах = Ь. Заметим, что в данном случае граф Кэли является ориентированным мультиграфом с реберной раскраской. Вершины графа обычно изображаются точками на плоскости, а дуга (а,х,Ь) - линией со стрелкой, направленной от а к Ь и помеченной элементом х. В случае, когда метка ребра не имеет значения или восстановить не составляет труда, мы будем ее опускать. Для удобства
восприятия пунктирными стрелками изображены цепи, соединяющие соответствующие вершины. Такое понимание графа Кэли является аналогичным определению графа Кэли, связанного с группой.
Напомним, что известно описание конечных групп, допускающих плоские графы Кэли [1]. Изучению возможностей, при которых одна и та же группа обладает неизоморфными плоскими графами Кэли, и неизоморфных групп, допускающих изоморфные графы Кэли, посвящены работы [2] и [3], а описание всех возможных вариантов выбора групп и их порождающих множеств, приводящих к регулярным замощениям как графам Кэли, дано в [4].
Мы продолжаем изучение полугрупп, допускающих планарный граф Кэли, начатое в [5] и [6].
Напомним, что плоским графом называется обыкновенный граф (т.е. неориентированный и без петель), вершины которого являются точками плоскости, а ребра — непрерывными плоскими линиями без самопересечений, соединяющими вершины так, что никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины. Любой граф, изоморфный плоскому графу, называется планарным.
Для обоснования планарности обыкновенного графа используются различные критерии. Наиболее распространен являющийся исторически первым критерий Понтрягина-Куратовского: граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, гомеоморфных полному пятиэлементному графу К5 или полному двудольному графу Кг, [7,с. 160].
Два графа называются гомеоморфными, если оба могут быть получены из одного и того же графа подразбиением его ребер.
Основой ориентированного мультиграфа называем обыкновенный граф, полученный из данного графа удалением петель и заменой всех дуг, соединяющих две вершины одним ребром, соединяющим эти вершины. Ориентированной основой ориентированного мультиграфа называем ориентированный граф, полученный из заданного удалением петель, а также заменой всех одинаково направленных дуг одной дугой. Ориентированный мультиграф называем планарным, если его основа является планарным графом.
Известно, что свойство планарности графа Кэли не является инвариантом полугруппы, а существенно зависит от выбора порождающих элементов. Поэтому естественно рассматривать графы Кэли полугрупп относительно минимальных множеств образующих. Особый случай доставляют полугруппы, в которых любое минимальное множество образующих совпадает со всей полугруппой. Нетрудно показать, что это возможно тогда и только тогда, когда полугруппа ^является рассыпчатой, т.е. для любых элементов
а, Ь из Б выполняется аЬ=а или аЬ=Ь.
В настоящей статье решается задача описания рассыпчатых полугрупп, допускающих планарный граф Кэли.
Известно, что любая рассыпчатая полугруппа является ординальной суммой сингулярных полугрупп [8,с.50]. Напомним, что ординальной суммой попарно непересекающихся полугрупп 5., где е пробегает цепь Р, называется полугруппа 5 = , в которой при
<?< / для любых а е и ЬеБг действует правило умножения а ■ Ь = Ь- а = а . Полугруппа называется сингулярной, если является полугруппой левых или правых нулей.
Лемма. Основа графа Кэли «-элементной полугруппы правых нулей является полным графом Кч.
Доказательство. Множество вершин графа Кэли полугруппы правых нулей совпадает с множеством элементов этой полугруппы, причем каждый из них входит в множество образующих. Более того, граф Кэли полугруппы правых нулей содержит помеченное ребро (а,х,Ь) тогда и только тогда, когда х=Ь. Следовательно, любая вершина графа Кэли такой полугруппы, будет соединена дугой с каждой вершиной этого графа, т.е. основа этого графа является полным графом К
Теорема. Пусть 5 — рассыпчатая полугруппа и 5 = - соответствующая
ординальная сумма сингулярных полугрупп. Тогда 5 допускает планарный граф Кэли, если и только если выполняется одно из следующих условий'.
1) |Р| = 1 и |5| < 5, если 5 - полугруппа правых нулей',
2) |^| = 2 и выполнено одно из условий:
а) обе компоненты - полугруппы правых нулей и |^| < 5;
б) только одна из компонент 5 является полугруппой правых нулей и < 3 , а другая компонента содержит менее трех элементов',
в) обе компоненты - полугруппы левых нулей, и одна из них содержит менее трех элементов;
3) \Р\ = 3 и выполнено одно из условий:
а) все компоненты - полугруппы правых нулей и |5| < 5 ;
б) две из компонент содержат по одному элементу, а третья компонента -полугруппа левых нулей',
в) все компоненты являются полугруппами левых нулей и |5| < 5 или |5(.1 = 2 для любого ее Р ;
4) \Р\ = 4 и |5|<5.
Доказательство. Для полугрупп, удовлетворяющих условию теоремы, строится плоская укладка соответствующего графа Кэли. Если полугруппа не удовлетворяет приведенным выше условиям, то её граф Кэли содержит подграф, гомеоморфный К5 или К}У
1) Если |^| = 1 , то планарность исследуемой полугруппы = непосредственно
зависит от планарности полугрупп левых или правых нулей. Основа графа Кэли полугруппы левых нулей Ь состоит из множества вершин I и пустого множества ребер и, следовательно, является планарным для любого числа вершин. Если единственной компонентой является полугруппа правых нулей, то по лемме при числе элементов не менее 5 соответствующий граф Кэли не является планарным.
2) Рассмотрим возможные ситуации объединения двух полугрупп, когда |/>| = 2. Граф Кэли в таком случае станет двудольным графом, причем в каждой из долей будут находиться вершины, соответствующие объединяемым полугруппам. Но так как Р -цепь, каждый элемент одной полугруппы будет связан ребром с каждым элементом другой. Хорошо известно, что двудольный граф не будет являться планарным, если число вершин в каждой из компонент больше либо равно 3. Например, основа графа Кэли полугруппы, являющейся ординальной суммой двух трехэлементных полугрупп левых нулей, - это полный двудольный граф Къу Ориентированная основа такого графа изображена на рис.1. Предположим, что одна из объединяемых полугрупп является полугруппой правых нулей. Если в ней не более трех элементов, то граф Кэли допускает плоскую укладку. В противном случае, выбрав четыре минимально возможных неудовлетворяющих условию планарности элементов полугруппы правых нулей, по лемме получим полный граф КА. Причем каждая из его вершин, в силу того, что Р является цепью, будет соединена ребром с одной из вершин, соответствующей элементу второй компоненты ординальной суммы. Таким образом, получим граф, гомеоморфный Ку Если же и вторая компонента - полугруппа правых нулей, то соединение каждой вершины графа Къ с каждой вершиной графа Кг будет содержать К5 в качестве подграфа, следовательно, условие < 5 необходимо для выполнения планарности в данном случае.
3) Пусть |Р| = 3 . Если все объединяемые компоненты являются полугруппами левых нулей, то при объединении трех двухэлементных полугрупп и при объединении двух одноэлементных с полугруппой левых нулей произвольного порядка граф Кэли имеет плоскую укладку, аналогичную изображенным на рис.2 и рис.З плоским укладкам соответствующих основ. В противном случае граф Кэли содержит подграф, гомеоморфный К}У Если все объединяемые компоненты являются полугруппами правых нулей, то для плоской укладки необходимо и до-
Рис.1. Ориентированная основа графа Кэли полугруппы Б = {а,Ь,с}'и{с1,е,/}, где {а,Ь,с}, - полугруппы левых нулей
статочно, чтобы |5| < 5, так как каждая вершина графа Кэли будет соединена ребром с каждой вершиной, следовательно, будет присутствовать подграф Кг
Рис.2. Ориентированная основа графа Кэли ординальной суммы трех двухэлементных полугрупп левых нулей 5 = {а,Ь}'и{с,с/}'^>\е,/}
Рис.З. Основа графа Кэли ординальной суммы двух одноэлементных полугрупп с полугруппой левых нулей 5 = {б}и{с}'и{о1,а2,...,о„}
4) Граф Кэли наименьшей возможной полугруппы, для которой |5|>5, имеющей |/’| = 4, содержит подграф, гомеоморфный графу К5, изображенный на рис.4, причем независимо от того, образуют ли множества {а, Ъ} и {с, с!} полугруппы правых или левых нулей и в каком порядке они располагаются.
5) При |.Р| > 5 выберем элементы а, Ь, с, с1, е, образующие цепь, из пяти различных компонент полугруппы 5. Граф Кэли полугруппы 5 не является планарным, так как содержит подграф, изображенный на рис.5, гомеоморфный графу Ку
Рис.4. Подграф графа Кэли полугруппы 5 = {а,б}и{с,б/}и{е}и{/}
Рис.5. Подграф графа Кэли полугруппы Б, содержащей пятиэлементную цепь {а,Ь,с,сЗ,е}.
Основной результат этой статьи анонсирован в [9].
Автор выражает глубокую благодарность профессору Л.М. Мартынову за постановку задачи и полезные советы по ее оформлению.
Литература
1. Цишанг, X. Поверхности и разрывные группы /X. Цишанг, Э. Фогт, Х.-Д. Колдевай. М.: Наука, 1988. 688 с.
2. Беленкова, Ж.Т. Плоские графы Кэли конечных групп: препринт / Ж.Т. Беленкова, В.А. Романьков. Омск: Омский гос. ун-т, 1997. 8 с.
3. Беленкова, Ж.Т. Все плоские графы Кэли группы Б4: препринт / Ж.Т. Беленкова. Омск: Омский гос. ун-т, 1997. 11 с.
4. Беленкова, Ж.Т. Регулярные графы Кэли / Ж.Т. Беленкова, В.А. Романьков // Сиб. мат. журнал. Деп. в ВИНИТИ, 1997. №802-В97. 37 с.
5. Соломатин, Д.В. Конечные свободные коммутативные полугруппы с планарными графами Кэли / Д.В. Соломатин // Математика и информатика: наука и образование: Ежегодник: межвуз. сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2003. Вып. 3. С. 32-38.
6. Соломатин, Д.В. О допустимости некоторых графов в качестве графов Кэли полугрупп / Д.В. Соломатин // Математика и информатика: наука и образование: Ежегодник: межвуз. сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2004. Вып. 4. С. 32-36.
7. Лекции по теории графов / В. А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сараванов, Р.И. Тышкевич. М.: Наука, 1990.
8. Шеврин, Л.Н. Полугруппы / Л.Н. Шеврин // Общая алгебра /под ред. Л.А.Скорнякова. М.: Наука, 1991. Т.2, гл. IV. С. 11-191.
9. Соломатин, Д.В. Рассыпчатые полугруппы с планарными графами Кэли / Д.В. Соломатин // Международная алгебраическая конференция: к 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина. Екатеринбург, 29 авг. - 3 сент. 2005 г.: тез. докл. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2005. С. 14-15.
А.В. КАРТАШОВА (Волгоград)
О НЕЧЕТКИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ АЛГЕБРАХ
Введение
В данной статье обобщены некоторые результаты из [1] для случая алгебр произвольной сигнатуры. При этом особое внимание уделено унарным алгебрам (т.е. алгебрам, сигнатура которых состоит только из унарных символов). В работе использована терминология [1 - 3].
Напомним необходимые определения из теории нечетких множеств.
Пусть X - произвольное множество. Нечеткое подмножество А в X отождествляется с функцией принадлежности // Л: X—» [0,1].
Нечеткое подмножество А в X пусто тогда и только тогда, когда // /х) = 0 при любом ХеХ.
Если А и В - два нечетких подмножества в X, то
Ас В <=> (\/хе Х)(МА(х) < М „(х));
А = В о(\/хе Х)(Ц /х) = и “(х)).
Объединением двух нечетких подмножеств А и В % X называется такое нечеткое подм С=йиД что
(\/хе Х)(и с (х) = тах{// /х), А в(х)}).
Пересечением двух нечётких множеств А и В в X называется такое нечеткое подмножество D = А ел В, что
(V хе Х)(м D(x) = min{Ц /х), Ц /х)}).
Будем говорить, что нечеткое подмножество А в X обладает sup свойством, если для каждого подмножества Т сХ найдется элемент !„ е Т такой, что цЛ ({о) = suPVa (О ■
Пусть а : X —» Y - произвольное отображение. Тогда прообразом нечеткого подмножества В в Y при отображении а называется такое нечеткое подмножество а ' (В) в X, что /Vv/i/х) = а(х)) при любом хе X, а образом нечеткого подмножества А в Xпри отображении а - такое нечеткое подмножество а(А) в X, что
sup f-iA(z), если а~'(у) = {х\а(х) = у} непусто,
На<А>(У) = у-“'<У>
[0 -в остальных случаях.
Нечеткие подалгебры
Пусть <Х, Q > - алгебра сигнатуры Q и А - нечеткое подмножество в X. Тогда А будем называть нечеткой подалгеброй алгебры <Х, Q >, если для каждой операции Fe Q произвольной арности п при любых х,, х,,..., х„ е X справедливо неравенство
MA(F(xl ,х2,...,хп))> min {цА (хх), Иа (х2),..цА (х„)} .
Предложение 1. Пусть а - гомоморфизм алгебры <Х, Q > произвольной сигнатуры Q в алгебру <Y,Q> и В - нечеткая подалгебра алгебры <Y,Q >. Тогда прообраз а~[(В) -нечеткая подалгебра алгебры <Х, Q >.
Доказательство. Пусть FeQ - произвольная сигнатурная операция арности п и я,,*,..хп е X . Тогда имеем
