CC BY
1
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
Научная статья
УДК 517.925
ББК 22.161.6
Р 65
DOI: 10.53598/2410-3225-2024-1-336-11-19
О бифуркациях сепаратрисных контуров динамических систем
с инволютивной симметрией
(Рецензирована)
Владимир Шлеймович Ройтенберг
Ярославский государственный технический университет, Ярославль, Россия, vroitenberg@mail.ru
Аннотация. Рассматривается двухпараметрическое семейство гладких векторных полей на плоскости, инвариантных относительно инволюции I. Предполагается, что инволюция имеет единственную неподвижную точку O, причем для векторных полей семейства точка O является гиперболическим седлом с ненулевой седловой величиной, сепаратрисы которого при нулевых значениях параметров идут в два симметричных относительно I седло-узла, образуя полицикл, гомеоморфный «восьмерке». Для типичных семейств в случаях положительной и отрицательной седловой величины получены бифуркационные диаграммы - разбиение окрестности нуля на плоскости параметров на классы топологической эквивалентности векторных полей в окрестности полицикла.
Ключевые слова: гладкое векторное поле на плоскости, седло, седло-узел, петля сепаратрисы, бифуркация, замкнутая траектория
Для цитирования: Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях сепаратрисных контуров динамических систем с инволютивной симметрией // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. : Естественно-математические и технические науки. 2024. Вып. 1 (336). С. 11-19. DOI: 10.53598/2410-3225-2024-1-336-11-19
Original Research Paper
On bifurcations of separatrix contours of dynamical systems with involutive symmetry
Vladimir Sh. Roytenberg
Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, Russia, vroitenberg@mail.ru
Abstract. A two-parameter family of smooth vector fields on the plane that are invariant under the involution I is considered. It is assumed that the involution has a single fixed point O and for the family of vector fields the point O is a hyperbolic saddle with nonzero saddle value, the separatrices of which, for zero parameter values, go to two saddle-nodes symmetric with respect to I, forming a poly-cycle homeomorphic to the figure eight. For generic families in the cases ofpositive and negative saddle values, bifurcation diagrams are obtained, that is, it is fulfiled a partition of a neighborhood of zero on the parameter plane into classes of topological equivalence of vector fields in a neighborhood of a polycycle.
Keywords: planar vector field, saddle, saddle-node, separatrix loop, bifurcation, closed trajectory
For citation: Roytenberg V. Sh. On bifurcations of separatrix contours of dynamical systems with involutive symmetry // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. : Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2024. Iss. 1 (336). P. 11-19. DOI: 10.53598/2410-3225-2024-1-336-11-19
Бифуркации положений равновесия и периодических траекторий гладких динамических систем с симметрией как двумерных, так и многомерных изучаются уже довольно долго (см., например, [1-5]). Некоторые бифуркации сепаратрисных контуров двумерных систем с симметрией рассмотрены в работах [6-9]. Особый интерес представляет описание бифуркации контуров, являющихся аттракторами. Одна из таких бифуркаций рассмотрена в настоящей работе.
Пусть С™ - диффеоморфизм 1\М->М открытого подмножества М плоскости R2 является инволюцией, то есть /2=/°/ = idM - тождественное отображение. Будем предполагать, что инволюция I имеет единственную неподвижную точку О . Основной пример такой инволюции - центральная симметрия R2 э z i—> -z е R2.
Рассмотрим семейство векторных полей X s( z) = Pj( z ,s)ö / özj + P^C z ,s)ö / dz2, где
P и P2 Cr -гладкие функции (r > 3) точки z = (zj,z2) e M и двумерного параметра s ,
т^ 0 -г, 2 т
меняющегося в окрестности Е нуля в R , инвариантных относительно инволюции I, то есть таких, что dl(Xs(z)) = Xs(I(z)).
Предположим, что векторное поле X о удовлетворяет следующим условиям. Условия 1. Точка O - седло с собственными значениями матрицы линейной части поля в этой точке Л° > 0 и < 0 . Две симметричные точки O+ и O- = I (O+) -седло-узлы с собственными значениями матрицы линейной части поля в этой точке Ä+ = 0 и Х+ < 0 .
Условия 2. Выходящая сепаратриса LQ? (соотв. lQ_) седла O о -предельна к седло-узлу O+ (соотв. OQ ), но не является его входящей сепаратрисой. Выходящая сепаратриса седло-узла O+ (соотв. OQ ) совпадает с входящей сепаратрисой L10n+ (соотв. LQn_ ) седла O .
Пусть Г" := Ln+ {O, Oq }. Ясно, что Г = I(Г+), а полицикл Г := Г+ ^ Г
гомеоморфен «восьмерке» (рис. 1).
Рис. 1. Полицикл и его поглощающая окрестность Fig. 1. The polycycle and its absorbing neighborhood
По теореме о центральном многообразии [10] для £ , принадлежащих некоторой окрестности Е1 сЕ0 нуля, в окрестности точки 0+, не содержащей точки О, существует замена координат г = С(х, у,£), (х, у) е R2 , С е Сг-1, к = 1,2 , такая, что в координатах (х, у)
X £( г) = Р (х £ / 5х + 0 (х, у £ / 5у ,
где
P(x,s) = P(0,s) + (a + rj(x,s))x2, Q(x,y,s) = + r2(x,y,s)y , (1)
P(0,0) = 0 , a > 0 , r e C1, r (0,0) = 0 , r2 e C1, r2 (0,0,0) = 0 .
2 1
Выбрав достаточно малые число c > 0 и окрестность нуля Е сЕ , будем иметь
2 2
a + r (x ,s) > 0 , Л+ + r (x, y,s) < 0, если (x, y) e (-2c, 2c) , seE . (2)
Пусть r: :(-c, c) ^ M - отображения, задаваемые равенствами zs(u) := С(-c,u,s). Без ограничения общности можно считать, что дуга r:(-c,0) принадлежит полуокрестности петли Г+, не содержащей сепаратрис седла O, не входящих в Г+ . Седло-узел O+ поля X0 имеет координаты x = y = 0 , а его выходящая сепаратриса задается условиями y = 0, x > 0 . Поэтому сепаратриса L0+ трансверсально пересекает дугу r+ (- c, c) в точке с параметром y = 0 . Входящие сепаратрисы седло-узла O+ в координатах (x, y) задаются условиями x = 0, y > 0 и x = 0, y < 0 . Поскольку сепаратриса L0+ с ними не совпадает, то она входит в O+ по направлению y = 0 . Тогда c можно считать выбранным так, что L^"1 пересекает дугу г-(-c, c).
2 2 Мы можем считать, что окрестность Е выбрана так, что для любого s e Е в
точке O будет седло поля Xs с собственными значениями матрицы линейной части поля lj(s) > 0 , ^2 (s) < 0, ^О), ^2(') e Cr-1 и инвариантными многообразиями, Cr-1 -гладко зависящими от s [10]. Если окрестность Е достаточно мала, то седло O имеет выходящую (входящую) сепаратрису L°sa+ (соотв. ), пересекающую дугу т-(-c,c) (соотв. z~+ (-c, c) ) в точке с параметром y = y- (s) (соотв. y = y + (s) ), где y:(•) e Cr-1,
y + (0) = 0 . Вследствие симметрии L—^ := I(L^) и := I(L^) также соответственно
выходящая и входящая сепаратрисы седла O . Теперь мы можем сформулировать
Условие 3. Производные 8P(0,0)/ ds и 8y + (0)/ 8s линейно независимы.
Это условие не зависит от произвола в выборе координат (x, y) и числа c .
При выполнении условия 3 мы можем выбрать в некоторой окрестности нуля
^ 2 r_1 _ ^
Е с Е C -координаты sis так, что для любого s e Е
P(0,s) = si, y + (s) = s2 . (3)
Далее будем считать, что Е* = (-5*,5*)2 и s = (s1,s2), если s e Е*. Теорема. Пусть семейство векторных полей {Xs}, s e Е0 , удовлетворяет условиям 1-3, а седловая
величина &0 ■ = + ^2
Ф 0 . Тогда существуют окрестность U полицикла Г , граница 8U которой состоит из простых замкнутых кривых l + , l- и l0 (рис. 1), для которых l- = I(l+), l0 = I(l0), и окрестность Е := (-5,5)2 с Е* нуля на плоскости параметров со следующими свойствами:
В точках 8U траектории полей Xs , s e Е входят в U .
В случае и0 > 0 бифуркационная диаграмма семейства {Xs ^}, seE , представляет собой разбиение области параметров Е на множества (рис. 2) {(0,0)}, В .,
Е;, j = 1,2,....6, где В, = {s : s2 = b(s1)}, bt e C 1(0,5),(-5,5)), bt(+0) = Ц(+0) = 0 ,
/ = 1,2,3, B4 = {0} x (0, J), B5 = (-0,0) x {0} , B6 = {0} x (-0,0), E^ E \ U6. 0B , в границу которой входят В и В +1 (здесь В7 := Bt).
связная компонента
В случае а0 < 0 бифуркационная диаграмма семейства {Хе\и}, ееЕ, представляет собой разбиение области параметров Е на множества (рис. 3) {(0,0)}, В .,
7 = 1,2,3,4, где В= {е : е2 = Ь(е)}, Ь е С1 (0,5),(-5,5)), Ь(+0) = Ь'(+0) = 0,
Е
1'
связная компонента
В2 = {0} х (0,£), В3 = (-¿,0)х{0} , В4 = {0} х (-¿,0), Е. (-3,8)2 \и4/=0В; , в границу которой входят В и В .+1 (здесь В5 := В1).
В обоих случаях векторные поля X е , е е Е., грубые в и , векторные поля X е , геВ , первой степени негрубости в и , а схемы фазовых портретов векторных полей X е , ее (-5,5)2, имеют вид, изображенный на рисунке 4 в случае и0 < 0 и на рисунке 5 в случае и0 > 0 .
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма в случае
> 0
Fig. 2. Bifurcation diagram in the case a0 > 0
Рис. 3. Бифуркационная диаграмма в случае
^0 < 0
Fig. 3. Bifurcation diagram in the case a0 < 0
Рис. 4. Бифуркации фазовых портретов в случае а0 > 0 Fig. 4. Bifurcations of phase portraits in the case a0 > 0
Рис. 5. Бифуркации фазовых портретов в случае а0 < 0 Fig. 5. Bifurcations of phase portraits in the case a0 < 0
Доказательство. Ограничимся рассмотрением более сложного случая с^ > 0. Из [11, п. 13.8], (3) и равенства А1 (0) + (0) = ст0 следует, что при достаточно малых
Mj е (0,с) и 5^(0,5*) определено отображение /(г~(у_(е) + и)) i-> т+е {у/{и, е)),
u e (0, u) по траекториям поля -Xе, s e (-5,5 )2, где
y/(u,s) = s2 + l(s)ur(s) + q(u,s), r(s) = -Л(s)/Л(s) >Г0 > 1, l(•) e C1, l(s) > l0 > 0 , (4)
| 8 'q (u, s) / 8u' | < ur(s) -'+a, | 8q(u,s)/ 8s | < ur(s)+a при 0 <a< 1, i = 0,1,2 , j = 1,2 . (5)
Из (1)-(3) следует, что в области (-2c,2c)2 при se (0,5*) x (-5*,5*) определено уравнение
dy = Q ( x, y ,s) dx P ( x,s)
а его решение y = 7 (x, u,s), удовлетворяющее начальному условию Y (-c, u,s) = u , определено на интервале (-2c,2c). Функция p(u, s) = Y(c, u, s) задает отображение
те (и) н» rg £■)) дуги rg(-c,c) в дугу ге(-с,с) по траекториям поля Хе s e (0,5*) x (-5*,5*), при этом
р(0, е) - 0 .
Выберем числа кь, кл , удовлетворяющие неравенствам
0 < кь <-пХ1^4а < кд, кд (г(0) - 2) < ^ (Г(0) - 1). Лемма 1 [12]. Существуют такие числа 52 е (0,51), < к < к+ < кл , что для любых и е (- с, с) и ее (0,5) х (-52,5)
ехр(-к+ < р'и(и,е) < ехр(-к- /-у/ёЦ,
1 р'1и(и ,е) 1 < ехр(-к- /4е1),
Р (и,е) | < ехр(-к/^/ё^) , / = 1,2 .
к > 0.
(6)
(7)
к-, к+,
(8) (9)
(10)
Ввиду (6), (8) и (10) функцию р можно продолжить до С1 -функции р на
(-с, с) х (-52,5 )2, положив р( и,е) = 0 при и е (- с, с), ее (-52,0] х (-5,5). Пусть
F(s) := s2 _ <(у_(s), s). Так как F'e (s) = 1, F'e (s) = 0, то найдется такое 53 е (0,J2], что для любого sl е (_£3,£3) уравнение F(sbs2) = 0 имеет в интервале () единственное решение s2 = b2 (s), где b2 (•) е С1, Ъ2 (0) = 0, Ь'2 (0) = 0. При se (_£3 ,£3 )2 сепаратриса zou+ совпадает с сепаратрисой L'"+ тогда и только тогда, когда s2 _ <(у_(s), s) = 0 , то есть, если s2 = b2(s) > s e (0,£3).
Пусть и2 - наименьшее из чисел и и c _ max j>_ (s). Функция
se[_£2 ,£2 ]2
d(u, s) := u,s) _ <( y_ (s) + и,s) определена для всех и е (0, u2), s е (0, J3) х (_S3,S3).
Обозначим Yl(^,s) функцию, обратную к функции ,s). Функция f (u,s) := iy~l(<(у_ (s) + u,s),s), и е (0, u2), s е (0,J3) х (_J3,J3), задает отображение соответствия T~(y_(s) + u) i—> 7(г~(/(м, £■))) по траекториям поля Хе, ss (0,J3) х (_J3 ,J3). Функция П 0,s):= f (f (,s),s) - функция последования по траекториям поля Xе. Для нее П2(и,s) > 0 . Нетрудно проверить, что справедливы следующие утверждения:
П (и,, s) = и,^ f (и,, s) = u, ^ d (и,, s) = 0 ; (11)
П(u,,s) = и,, П2(и,,s) < 1 (> 1) » d(и,,s) = 0, d'(и,,s) > 0 (< 0) ; (12)
П (и, ,s) = и,, Пи (и, ,s) = 1, Пии (и, ,s) * 0 » d (и, ,s) = d'u (и, ,s) = 0, d'^ (и, ,s) * 0 . (13) Ввиду (4), (5), (8) и (10) существуют такие и е (0, и2) и 8Ае (0,83 ], что
d' (и,s) > 0 при всех и е (0,и], s е (0,J4) х (_J4,J4) . (14)
Пусть и е (0, и). Вследствие (4), (5), (6) и (8) найдется такое S5 е (0, J4], что
d(и,s) > 0 при всех и е [и,и] , s е (0, ) х (_J5, ) . (15)
Обозначим
^ ( , uR (s) := exp _
uL (s) := exp
(r(s) _ 1)^
iris) _ 1)7s
(16)
Можно считать, что 35 выбрано столь малым, что при всех ее (0,55) х (-55 ,55)
¡(s) <
Из (4)-(10) и (16) следует
Лемма 2. Число 5е (0,55] можно выбрать так, что для любого
ss (0,J) х (_5,5)
d2 (и,s) < 0, если и е (0,uL (s)], d2 (и,s) > 0 если и е [uR (s), и ], d22 (u,s) > 0 если и е [uL(s),ил(s)], d' (и,s) > 1/2 если и е (0,ил (s)] .
(17)
(18)
(19)
(20)
Из (17)-(19) получаем, что для любого е е (0,5) х (-5,5) функция d(-,е) имеет точку минимума щ(е) е (иь (е), ил (е)), где и0(•) е С1 , и
d'u(и,е) = 8§п(и - ио(е)) . (21)
Из (20) и (21) следует, что
8 1 — d (ы0(е),е) = (и, e) u(e) >- для всех ее (0,5) x (-5,5) . (22)
Из (16), (4)-(6) и (8), считая 5 выбранным достаточно малым, получаем, что
d (u0 ( е ), е )|е=е > 0 для всех ее (0,5) x (-5,5). (23)
Так как d (+0, е) = - р(y_ ( е), е), то ввиду (8) и (10) можно считать 5 столь малым, что d' (+0, е) > 0 . Поэтому
sgn d (+0, е ) = sgn( е2 - Ъ2 (е^) для всех ее (0,5) x (-5,5) . (24)
Вследствие (24) и (17) d(u0( е), е)|e2=fe2(£i) < 0 . Отсюда и из (22) и (23), используя
теорему о промежуточных значениях непрерывной функции и теорему о неявной функции, получаем, что V е1 е (0,5) 3Ъ3( ех) е (Ъ2( ех),ех)
sgn d(и0 ( е), е) = sgn( е2- Ъ3 ( е^) для всех е е (0,5) x (-5,5), (25)
при этом Ъ2 (•) е C1. Так как
d' (и,е)
d(и, г ) и = и0(г ), г = Ьъ{г1) и0( г ) е (^ ( г ),ик ( г )), то из (16), (4), (5), (10) и (20) следует, что и Ь'3(+0) = 0 .
Вследствие (15), (21), (24), (25) и (17)-(19) функция d(и, г ), и е (0, и], при г1 е (0,5), -5 < г2 < Ь2 (г1) имеет единственный нуль и+ ( г), а d'u(и+( г), г) > 0 ; при г1 е (0,5), Ь2 ( г1) < г2 < Ь3 ( г1) имеет ровно два нуля и ( г) е (0,иь( г)), в котором d'u(и_( г), г) < 0 , и и+ ( г) е (ид ( г),и), в котором d'u(и+( г), г) > 0 ; при г1 е (0,5), г2 = Ьз (г1) имеет единственный (двукратный) нуль; при г 1 е (0,5), Ьз ( г^ < г2 <5 не имеет нулей.
Ввиду (11)—(13) получаем, что дугу г_(у_(г),у_( г) + и], г е (0,5) х (_5,5), пересекают следующие замкнутые траектории поля Xе: при _5 < г2 < Ь2 (г1) - устойчивая гиперболическая замкнутая траектория, при Ь2 ( г1) < г2 < Ь3 ( г1) - устойчивая и неустойчивая гиперболические замкнутые траектории, при г2 = Ьз ( г^ - двойной цикл.
При достаточно малых и > и > 0 и 5 > 0 определено отображение
т~(у_(в) + и)) н» Тд(у/+(и, е)) , и е [-и, 0)
по траекториям поля _Хе, г е (_5+ ,5+)2, для которого имеет место представление (4)-(5), конечно, с другими функциями I и q, и функция ^ (и, г) := (и, г) _ р(у_( г) + и, г) , нули м„ которой определяют точки г_(ур_(г) + и„)), через которые проходят замкнутые траектории поля Хе, при этом
dJr (и, г ) < 0 для всех и е [_ и,, _ и ] . (26)
Как и выше доказывается, что 5 можно считать выбранным так, что 5 е (0,5+) и существует С1 -функция Ьг :(0,5) ^ (_5,5) со следующими свойствами: V г1 е (0,5)
Ь1( г1) < Ь2(г1), дугу Г_ [у_ (г) _ и, у_ (г )), (I (г_ [у_ (г) _ и, у_ (г)))) ге (0,5) х (_5,5), пересекают следующие замкнутые траектории поля Хе: при г2 = Ь (г1) - двойной цикл, при Ь1 (г1) < г2 < Ь2 ( г1) - устойчивая и неустойчивая гиперболические замкнутые тра-
ектории, при ¿2 (si) < s2 < 3 - устойчивая гиперболическая замкнутая траектория.
Пусть ис е [-и, _ и ], ис е [и, и]. Аналогично [12] можно построить кусочно-гладкие замкнутые кривые l0 и l+, трансверсально пересекающие дугу т-(y_(0) - и,y_(0) + и), соответственно, в точках г_(y_(0) + ис)) и г_(y_(0) + ис)), причем l0, l+ и l~ := I(l+) ограничивают окрестность U полицикла Г такую, что в U
нет особых точек поля X 0 , кроме O , а в точках SU = l0 ^ l + ^ l _ траектории X 0 трансверсальны гладким дугам SU и входят в U . Мы можем считать 3 выбранным столь малым, что при s е (_3,3)2 траектории поля Xs также трансверсальны гладким
дугам SU и входят в U , дуга zS_(y_(s) _ и, y_(s) + и) содержится в U , а дуга
(y_(s) _ и,, y_(s) + и) пересекается с l0 и l + .
Определим теперь множества В ., Е., j = 1,2,....6, как в формулировке теоремы.
При se (0,3) х (_3,3) любая замкнутая траектория поля Xe |u пересекается с дугой (y_(s) _ и, y_(s) + и). Ввиду (15) и (26) любая замкнутая траектория поля Xs пересекающаяся с дугой т~__(y_(s) _ и, y_(s) + и), пересекается и с z~__(y_(s) _ и,y_(s) + и). Из доказанного выше следует, что фазовые портреты векторных полей Xs при s еЕ6, s еВ, s еЕ, s еВ2, s еЕ, s еВ3, s еЕ имеют вид, описанный в теореме.
Ввиду (1) и (2) 3 можно считать столь малым, что поле Xs |u при s = 0, s еВ4 и s еВ6 имеет единственную особую точку - седло-узел с координатами х = y = 0 , а при s еЕ4, s еВ и s еЕ имеет ровно две особые точки - гиперболические седло и узел, лежащие на дуге {z = £(x,0,s), х е (_с, с)} . Так как любая траектория поля Xs U пересекает дугу (_с,с), то при рассматриваемых s все траектории поля с -предельны к особым точкам, и потому замкнутых траекторий у поля нет и фазовые портреты векторных полей Xs U имеют вид, описанный в теореме.
Примечания
1. Takens F. Singularities of vector fields // Publ. Math. IHES. 1974. Vol. 43. P. 47-100.
2. Жолондек Х. О версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Математический сборник. 1983. Т. 120, № 4. С. 473-499.
3. Golubitsky M., Shaeffer D., Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-Verlag, 1988. 533 с.
4. Николаев Е. В. Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнений, допускающих инволютивную симметрию // Математический сборник. 1995. Т. 186, № 4. С. 143160.
5. Шноль Э. Э. Правильные многогранники и бифуркации симметричных положений равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений // Математический сборник. 2000. Т. 191, № 8. С. 141-157.
6. Ройтенберг В. Ш. Бифуркации полицикла, образованного двумя петлями сепаратрис негрубого седла динамической системы с центральной симметрией // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Сер. : Математика. Механика. Физика. 2021. Т. 13, № 2. С. 39-46. DOI: 10.14529/mmph210305
7. Ройтенберг В. Ш. Бифуркации полицикла, образованного сепаратрисами седла с нулевой седловой величиной динамической системы с центральной симметрией // Математиче-
ские заметки СВФУ. 2023. Т. 30, № 3. С. 67-77. DOI: 10.25587/SVFU.2023.86.26.007
8. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях сепаратрисных контуров динамических систем, инвариантных относительно конечной группы вращений // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. : Естественно-математические и технические науки. 2023. Вып. 2 (321). С. 11-18. DOI: 10.53598/2410-3225-2023-2-321-11-18
9. Ройтенберг В. Ш. О некоторых нелокальных бифуркациях динамических систем с симметрией // Математика и естественные науки. Теория и практика : Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 18. Ярославль : Изд-во ЯГТУ. 2023. С. 25-34.
10. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. Москва ; Ижевск : ИКИ, 2004. 416 с.
11. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 / Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. Москва ; Ижевск : ИКИ, 2009. 548 с.
12. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях контура из сепаратрис седла и седло-узла. Ярославль : Ярославский политехнический институт,1988. 39 с. Деп. в ВИНИТИ, № 2555-В88.
References
1. Takens F. Singularities of vector fields // Publ. Math. IHES. 1974. Vol. 43. P. 47-100.
2. Zholondek H. On the versality of one family of symmetric vector fields on the plane // Mathematical Collection. 1983. Vol. 120, No. 4. P. 473-499.
3. Golubitsky M., Shaeffer D., Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-Verlag, 1988. 533 p.
4. Nikolaev E. V. Bifurcations of limit cycles of differential equations admitting involutive symmetry // Mathematical Collection. 1995. Vol. 186, No. 4. P. 143-160.
5. Shnol E. E. Regular polyhedra and bifurcations of symmetric equilibria of ordinary differential equations // Mathematical Collection. 2000. Vol. 191, No. 8. P. 141-157.
6. Roytenberg V. Sh. Bifurcations of a polycycle formed by two separatrix loops of a non-rough saddle of a dynamical system with central symmetry // Bulletin of the South Ural State University. Ser. : Mathematics. Mechanics. Physics. 2021. Vol. 13, No. 3. P. 39-46. DOI: 10.14529/mmph210305
7. Roytenberg V. Sh. Bifurcations of a polycycle formed by separatrices of a saddle with zero saddle value of a dynamical system with central symmetry // Mathematical Notes of NEFU. 2023. Vol. 30, No. 3. P. 67-77. DOI: 10.25587/SVFU.2023.86.26.007
8. Roytenberg V. Sh. On bifurcations of separatrix contours of dynamical systems invariant under a finite group of rotations // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. : Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2023. Iss. 2 (321). P. 11-18. DOI: 10.53598/2410-3225-20232-321-11-18
9. Roytenberg V. Sh. On some nonlocal bifurcations of dynamical systems with symmetry // Mathematics and Natural Sciences. Theory and Practice : coll. of scientific works. Yaroslavl : YaSTU Publishing House, 2023. Iss. 18. P. 25-34.
10. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 1 // L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. Chua. Moscow ; Izhevsk : IKI, 2004. 416 p.
11. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 2 // L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. Chua. Moscow ; Izhevsk : IKI, 2009. 548 p.
12. On bifurcations of a contour formed by separatrices of a saddle and saddle-node. Yaroslavl : Yaroslavl Polytechnic Institute, 1988. 39 p. Dep. in VINITI. No. 2555-В88.
Статья поступила в редакцию 14.01.2024; одобрена после рецензирования 29.01.2024; принята к публикации 30.01.2024.
The article was submitted 14.01.2024; approved after reviewing 29.01.2024; accepted for publication 30.01.2024.
© В. Ш. Ройтенберг, 2024
