CC BY
0
УДК 517.925
doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-5
О нелокальных бифуркациях в двухпараметрических семействах векторных полей на плоскости с инволютивной симметрией
В. Ш. Ройтенберг
Ярославский государственный технический университет, Ярославль, Россия
vroitenberg@mail.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Исследование динамических систем, инвариантных относительно разных групп преобразований, важно как для теории дифференциальных уравнений, так и для ее приложений. Локальные бифуркации в типичных двухпараметрических семействах динамических систем, задаваемых векторными полями, инвариантными относительно инволюции плоскости, имеющей прямую из неподвижных точек, были описаны Х. Жолондеком. Целью настоящей работы является исследование некоторых нелокальных бифуркаций в таких семействах. Материалы и методы. Применяются метод точечных отображений и другие методы качественной теории дифференциальных уравнений. Результаты. Рассматривается типичное двухпараметрическое семейство векторных полей на плоскости с симметрией относительно оси x. Предполагается, что при нулевом значении параметра поле имеет грубое седло, слабое седло, лежащие на оси х, и два симметричных контура, образованные сепаратрисами этих седел. Получена бифуркационная диаграмма - разбиение окрестности нуля на плоскости параметров по типам фазовых портретов в окрестности полицикла, составленного из указанных контуров. В частности, показано, что из каждого контура может родиться по одному устойчивому грубому предельному циклу. Выводы. Описан один из возможных сценариев возникновения устойчивых периодических колебаний при изменении параметров динамической системы с инволютивной симметрией.
Ключевые слова: векторное поле на плоскости, динамическая система, инволютив-ная симметрия, седло, слабое седло, сепаратрисный контур, предельный цикл, бифуркационная диаграмма
Для цитирования: Ройтенберг В. Ш. О нелокальных бифуркациях в двухпараметри-ческих семействах векторных полей на плоскости с инволютивной симметрией // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1. С. 51-63. doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-5
On nonlocal bifurcations in two-parameter families of vector fields on the plane with involutive symmetry
V.Sh. Roitenberg
Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, Russia vroitenberg@mail.ru
Abstract. Background. The study of dynamical systems that are invariant with respect to different groups of transformations is important both for the theory of differential equations and for its applications. Local bifurcations in generic two-parameter families of dynamical systems defined by vector fields invariant under the involution of a plane having a line of fixed points were described by H. Zholondek. The purpose of this research is to study some nonlocal bifurcations in such families. Materials and methods. The method of point map-
© Ройтенберг В. Ш., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
pings and other methods of the qualitative theory of differential equations are applied. Results. We consider a generic two-parameter family of planar vector fields with symmetry about the x-axis. It is assumed that at a zero value of the parameter, the field has a rough saddle, a weak saddle lying on the x axis, and two symmetrical contours formed by the separatrices of these saddles. A bifurcation diagram is obtained - a partition of the neighborhood of zero on the parameter plane by types of phase portraits in the neighborhood of a polycycle composed of these contours. In particular, we show that one stable rough limit cycle can be born from each contour. Conclusions. One of the possible scenarios for the occurrence of stable periodic oscillations when changing the parameters of a dynamical system with involutive symmetry is described.
Keywords: planar vector field, dynamical system, saddle, involutive symmetry, saddle, weak saddle, the separatrix contour, limit cycle, bifurcation diagram
For citation: Roitenberg V.Sh. On nonlocal bifurcations in two-parameter families of vector fields on the plane with involutive symmetry. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1):51-63. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-30402024-1-5
Введение
Изучение динамических систем с различного рода симметрией интересно с теоретической точки зрения и полезно для приложений. Имеется ряд работ, в которых рассматриваются бифуркации таких систем [1-8]. В основном изучались бифуркации положений равновесия и периодических траекторий. Нелокальные бифуркации рассматривались в [8] для систем на плоскости с центральной симметрией. Однако естественно рассматривать нелокальные бифуркации и для систем с другими симметриями.
Обозначим Xr (M) - банахово пространство Cr -векторных полей
2 2 2
с Cr -нормой (r > 3), заданных в круге M := {(л^, x2) е R : x1 + x2 < 1},
а X R (M) - его подпространство, состоящее из векторных полей
2
X : M ^ TM = R , инвариантных относительно инволюции R :(x1,x2) ^ ^ (x1, -Х2), т.е. таких, что X ° R = R ° X .
Пусть X£(Х1,Х2) = р(Х1,X2,£)d /Эх1 + ?2(Х1,Х2,£)d /dx2 - семейство векторных полей из XR (M), Cr -гладко зависящих от точки (Х1, X2) и парамет-
2
ра £ = (£1,£2)eR • Вследствие симметрии Х1,-Х2,£) = Х1,Х2,£), Pj(X1, — X2, £) = — P2 (X1, X2, £), а прямая F: X2 = 0, инвариантна для всех полей семейства и разбивает M на два инвариантных множества: M+ = {(X1, X2): X2 > 0} и M— = {(X1,X2): X2 < 0}.
Локальные бифуркации в типичных семействах таких полей изучены Х. Жолондеком в [3]. Мы опишем некоторые нелокальные бифуркации.
Предположим, что поле X0 имеет негрубое седло О0 = (s0, 0), грубое
седло O0 = (s0,0), s0 < s0, открытая дуга (OjO0) прямой F является их общей сепаратрисой, и, кроме того, существуют еще две симметричных сепаратрисы, соединяющие эти седла. Поскольку поле X0 имеет ко-размерность 2
в пространстве XR (M), то естественно рассматривать его бифуркации
в двухпараметрическом семействе Xe «общего положения». Заметим, что в пространстве Хг (M) векторное поле Xo имеет более высокую ко-размер-
ность и его бифуркации в Xг (M) следует изучать в семействах векторных
полей с большим числом параметров. Но исследование бифуркаций сепара-трисных контуров рассматриваемого вида в семействах векторных полей из
Xг(M) с числом параметров > 3 не проводилось.
1. Контуры из сепаратрис седла и слабого седла. Выбор параметров
Симметрия поля Xo влечет диагональность матрицы линейной части поля в точках О0 : (Эр (^0,0,0)/ Эх]) = diag (X^,Х02). Пусть Х101 * 0, Х02 = 0 . Тогда при е, достаточно близких к нулю, поле Xe имеет (центральное) инвариантное многообразие Wc (е), задаваемое в окрестности точки Ol0 уравнением = w(%2,е), X2 е (-1,l), где w е Сг , w(0,0) = 50 , Эw(0,0)/ д%2 = 0 [9]. Если ограничение поля Xo на Жс (0) имеет вид (6x2 + o(х|))Э / Эх2, где ЬХ01 < 0, то особая точка О0 называется слабым (по направлению оси Х2) седлом. Будем считать X0! < 0 , Ь > 0 . Тогда точка О0 имеет две выходящие сепаратрисы, принадлежащие Жс (0), и две входящие сепаратрисы, принадлежащие Е. Из работы [9, с. 293-294] следует, что существует такая Сг -замена координат
22
Х1 = gl(x, у, е), Х2 = ^2(х, У, е), (х, у) е R , ее (-5*, ) , £1 (-х, у, е) г gl(х, у, е), g2 (-х, у, е) г -g2(х, у, е), gl (0,0,0) = 510, sgn g 2( х, у, е) = sgn х,
что в координатах х, у центральное многообразие (е) задается уравнением у = 0, а линия Е - уравнением х = 0 , причем при е = 0 точки Е с координатой у > 0 лежат на (О0О0), поле Хе имеет вид
Хе (х, у) = Р( х, е)Э / дх + 0( х, у, е)Э / Эу,
где
Р( х, е) = а(е) х + (Ь + г1 (х, е)) х3, а(0) = 0, / е С, /1(0,0) = 0, б(хДе)г0, 0у(0,0,0) = Х01. (1)
Пусть выполняются следующие условия.
Условие Ах. Точка О0- слабое (по направлению оси х2) седло, точка 02 - грубое седло. Открытая дуга (О0О0) прямой Е между О0 точками О0
и О® является входящей сепаратрисой слабого седла О0 и выходящей сепаратрисой седла О0. Одна из выходящих сепаратрис слабого седла О0 принадлежит ^ М+ и является входящей сепаратрисой седла О0.
При е, достаточно близких к нулю, Хе имеет седло О2(е) е Е с собственными значениями матрицы линейной части X21(е) > 0, ^22(е) < О,
X2к ( )е С1 , Х2к (0) = X, к = 1,2, локальные неустойчивое и устойчивое инвариантные многообразия которого задаются соответственно уравнениями х2 = 0 и х1 = ^1(х2,е), где •) е Сг, ^1(-х2, е) = ^1(х2,е), ^(0,0) = х0.
Сделаем Сг -замену координат ^ = м (Х2, е) — Х1, п = Х2 , выпрямляющую устойчивое инвариантное многообразие. В новых координатах получаем
Хе= (Х21 + П, е)) ^Э / + (X 22 + Л, е)) ^Э / дл, (2)
где qk - непрерывные функции, qk (0,0,0) = 0, к = 1,2, причем при е = 0
точки с координатами п = 0, ^ > 0 лежат на дуге (О0О0).
Обозначим 1е - открытую дугу, задаваемую в координатах п условиями п = й , —й < ^ < й, где й > 0 , и параметризованную координатой ^ .
Если е достаточно близко к нулю, то центральное многообразие Жс (е) пеЛ 1
ресекает дугу 1е в точке с параметром ^ = р(е), где р() е С , р(0) = 0. Пусть теперь выполняется и следующее условие. Условие А2. Производные а'(0) и р'(0) - линейно независимы, т.е.
<(0) ре 2(0)—«е 2(0) ре1(0) * 0.
Это условие не зависит от произвола в выборе Жс (е) и . Сделав замену параметров е = а(е), &> = Р(е) и сохранив их прежние обозначения, можно считать, что
а(е) = е1, р(е) = е2. (3)
Пусть ¿+ с intМ+ - сепаратриса, идущая из седла О0 в седло О2 . Из-за симметрии ¿— := Л(£+) - также сепаратриса, идущая из седла О° в седло О0. Обозначим Г± := 4 и (О0О0) и (О0 О^}, Г0 := Г+ и Г—.
2. Формулировка результатов Теорема. Пусть выполняются условия А1 и А2. Тогда существуют числа 5> 0, 5д > 0, окрестность и полицикла Г0, Я(и) = и , и разбиение области параметров Е = (—5,5)х(—5д,5д) на множества (рис. 1):
В0 = ((0,0)}, В1 = (0,5) х (0},
В2 = (0} х (0,5с), В3 = ((еь 82): е1 = Р(е2»,
где
в :(0,50) ^ (-5,0), ве С1, в(+0) = 0, В4 = (-5,0) х {0}, В5 = {0} х (-50,0), Е1 = (0,5) х (-50,0), Е2 = (0,5) х (0,50), Е3 = {(еь е2): в(е2) <е1 < 0}, Е4 = {(еь е2): - 5 < е1 < в(е2)}, Е5 = (-5,0) х (-50,0)
такие, что поле Хе, ееЕ, имеет в и:
• только следующие особые точки:
- седло О2(е) при всех ееЕ, а также
- слабое седло О0 (соотв. О^е)е Е) при е = 0 (соотв. ееВ2 иВ5),
- грубое седло О^е) е Е при ееЕ1 иВ1 иЕ2,
- два симметричных грубых седла О± (е) е М± и грубый узел О1 (е) е Е при ееЕ3 иВ3 иЕ4 и В4 и Е5 ;
• следующие нетривиальные неблуждающие множества:
- два симметричных грубых устойчивых предельных цикла при ее Е2 иВ2 иЕ3,
- два симметричных устойчивых контура, образованных сепаратрисами седел О0 (соотв. О^е)) и О2(е) при е = 0 (соотв. ееВ1),
- две симметричные устойчивые петли сепаратрис седел О± (е) при
ее В3.
Доказательство теоремы приведено в разд. 3-5. В силу симметрии векторных полей Хе достаточно описать поведение их траекторий в окрестности контура Г+ в М+ .
3. Отображения соответствия. Оценки времени перехода по траекториям
Пусть о\, ее (-5',5')2, - область в М , задаваемая в координатах х,у неравенствами |х| < 2й, |у| < 2й , где й > 0 и 5' > 0 выбраны столь малыми,
чтобы в выполнялось неравенство
| ШуХе (х, х2) - divX0 (^,0) | =| divХе (х, *2) - Х^ | < | Х^ | /10. (4)
Вследствие (1) и (3) для любого числа й , при котором выполняется (4), можно выбрать число 51 е (0,5') так, что уравнение Р(х, е) = 0 на интервале (-2й,2й), помимо корня х = 0 , имеет при ее (-51,0]х(-61,51) еще два корня х = ±х ((ёЦ, е2 ),где х(-, •) - С1-функция,
х(0, е2) = 0, хЦ (Ц, е2)| ц=е2=0 = 1/>/Ь > 0, (5)
а при ее (0,51)х(-51,51) не имело корней. Тогда поле Хе имеет в 0\ три особых точки, принадлежащие Wc (е): О1 (е) с координатами х = у = 0 и
О±(е) с координатами х = ±Х(| е^ е2) и у = 0 при е^ е (—5^0), и одну
особую точку (е) с координатами х = у = 0 при е^ е [0,). Мы можем считать 5! столь малым, что О (е) - устойчивый узел при ег е (—5!, 0) и седло (слабое седло) при ег е (0,5!) (при ег = 0), а О± (е)- грубые седла. Ввиду (1) можно также считать, что
0(х,у,е) < 0 при всех хе (—2й,2й), уе (0,2й), ее (—5г,5г)2. (6)
Рис. 1. Бифуркации в семействе векторных полей с условиями (А1) и (А2)
Далее мы уточним выбор чисел й и 51. Пусть
и+ (е):= хе2) при ее (—5Ь0)х(—5Ь5г)
и и+ (е):= 0 при ее [0,5г)х(—5Ь5г). (7)
12 1 Обозначим 1е (соотв. 1е ) открытую дугу в G£, задаваемую в координатах х,у условиями у = й , —й < х < й (соотв. х = й, — й < у < й) и параметризованную параметром х (соотв. у). Вследствие (6) и неравенства Р( х, е) > 0 для х > и+ (е) положительная полутраектория поля Хе , начинающаяся в точ-
12 ке е 1е с параметром и > и+ (е), пересекает дугу 1е в точке А с парамет-
Г-1
ром у = ф1 (и, е) > 0, где ф1(-, •) е С , ф1(и+ (е) + 0, е) = 0, время перехода по
Íd
йх / Р(х, е). Зададим
•>и
число
N >|х21+х 22|/(х01Х 22). (8)
Из выражений (1) и (3) следует, что й и 51 можно считать выбранными так, что при рассматриваемых (х, е) 0 < Р(х, е) < х / 2N, тогда
Т1 (и,е) > -2N(1пи - 1пй). (9)
2
Зададим число 0 <а< 0,1. Пусть Gе - область в М , задаваемая в координатах п в окрестности О2(е), ее (-5',5')2, неравенствами < 2й, |п| < 2й, где й и 51 можно считать теми же, что были выбраны для
области О^ и столь малыми, что для (х1,х2) е О^ , ее (-5',5')2, имеем |йуХе(х, х2) - divX0 (^, 0) = Хе(х1,х2) - + X22)| < а^ + Х2^ , (10)
^к(х,у,е) | < а | Х2к | при |х| < 2й, |у| < 2й, ее (-5',5')2, к = 1,2. (11)
42
Обозначим 1е - открытую дугу в Ое , задаваемую в координатах п условиями ^ = й , -й < п < й , и параметризированную параметром п . Дуга
1е , задаваемая условиями п = й , -й < ^ < й, уже была введена выше. Из выражений (2) и (11) следует, что отрицательная полутраектория поля Хе,
42
начинающаяся в точке В е 1е с параметром V > 0, задается в Ое уравнением
£ = Е(п, V,е), п е [V, 2й), где Н - С1-функция, Н(х, V,е) > 0, Н(х, +0,е) = 0,
3
пересекает дугу 1е в точке $2 с параметром ^ = е) = Н(й,V,е), а время перехода по траекториям поля от $2 до $1 определяется соотношением:
Tз(v, е) = -[ -0-—Л-<-- (1п V - 1п й). (12)
v
(X 22 + v, е), n, e))n (1 -a)X^2
При достаточно малых о> 0 и 52 е (0,51] отрицательная полутраекто-
21 рия поля Хе, ее [-52,52] , начинающаяся в точке дуги 1е с параметром
и е [0, а] первый раз пересечет дугу в точке с параметром п = ^1(и, е) через время -Т4(и, е), где е С1, ^(0, е) г 0, (^)и (и, е) > 0. Тогда Т4(и,е) и (и,е) ограничены. Тем самым при некотором К > 0 имеем
и / К <^1(и,е) < Ки , 0 < Т4(и,е) < К для всех и е [0,а], ее [-52,52]2. (13)
Мы можем также считать, что при выбранных а, 62 и K положитель-
22 ная полутраектория поля Хе, е е [—62, 62] , начинающаяся в точке дуги /е
с параметром уе [0,а], первый раз пересечет дугу 1е в точке ¥2(У,е), где ¥2 е C1, ¥2y (У, е) > 0, ¥2(0, е) = р(е) = е2, через время Tj(у, е):
0 < T2( у, е) < K. (14)
Отображение f (•, е):=¥—1(ф—1(¥ 2(Ф1( , е), е), е), е), где ф—1(-, е) и ¥— 1(,е) - отображения, обратные соответственно к Ф2О, е) и ¥1 (,е), является отображением последования по траекториям поля Хе на части дуги . Далее мы уточним его область определения в зависимости от параметра е .
4. Устойчивость рождающихся циклов
Лемма. Существуют числа р > 0 и 6е (0,62) такие, что замкнутая тра-
21 ектория поля Хе , ее (—6,6) , проходящая через точку дуги 1е с параметром
u е (0, р), является грубым устойчивым предельным циклом.
Доказательство леммы. Пусть указанная замкнутая траектория Ье (u)
имеет период T и задается уравнениями xк = x^ (t), tе [0,T], к = 1,2, где
(X?1 (0), X2(0)) е Тогда получаем ее характеристический показатель [10, с. 126]:
т
Х(L (u)) = T jdivХе (X1 (t), X2 (t)) dt. (15)
0
При достаточно малых р и 6 траектория Ье (u) последовательно пересекает дуги /,?, I3, /£ и соответственно в моменты
t1 = T1(u,е), t2 = T|(u,е) + T2(фl(u,е),е), t3 = T1 (u, е)+T2 (ф1 (u, е), е) + Тъ (¥1 (u, е), е) и T = T1 (u, е) + Tj^ (u, е), е) + T3 (¥1 (u, е), е) + T4 (u, е).
Из выражений (4), (9), (10) и (12)-(14) получаем, обозначив
D = max max | div Хе (z)|, ее[—6',6']2 геЫ
t2
j div Хе (x1 (t), x2 (t)) dt < DT2 (ф1 (u, е), е) < DK,
j div Хе (x1 (t), x2 (t)) dt < T4(u, е) < DK ,
t
3
■ divXe (jq (t),x2 (t))dt < (1 + a) | x2i + ^22 | T3(V1 (u,e),e) <
< 1 + а|Х 21 X221 и + 1П к _ 1П й 1 -а
Гг 9Х?1 9Х?1
ГdivХе (, (г), ,2 (г)) & < —11 Т1 (и, е) <--11 N(1п и - 1п ^),
10 5
0
Т
Гdiv Xе (, (^), х2 (^)) Ж < С11п и + С2 , (16)
0
9Х01 лг 1 + а | X 21 +Х22| „ где С2 не зависит от и и е, а С1 =--— N +---—^^ . Вследствие
2 151 -а х22
неравенства 0 <а< 0,1 и (8) имеем С > 0 . Так как 1im 1пи = , то из (15)
и^+0
и (16) получаем, что р> 0 можно выбрать так, что %(Ье (и)) < 0, если и е (0, р). Но это означает грубость и устойчивость цикла Ье(и).
5. Получение бифуркационной диаграммы
Мы можем считать, что отображение /(•, 0) определено на (0, р], где р выбрано согласно лемме, при этом /(+0,0) = 0 . Покажем, что все траектории поля Х0, проходящие через точки дуги ¡^ с параметром и е (0, р], ю -предельны к контуру Г+, что равносильно неравенству /(и ,0) < и . Пусть это не так. При сделанном предположении либо /(и0,0) > и0 для всех и0 е (0, р), либо /(и* ,0) = и* при некотором V* е (0, р). Из леммы следует, что 0 < /(и*,0) < 1 и потому /(и0,0) > и0 при некотором и0 е (0,и*). В обоих случаях фиксируем число и0 . Тогда при е, близких к нулю, имеем
/(и0, е) > и0. (17)
Пусть е = (0,е2), где е2 < 0 - достаточно близко к нулю. Так как ^2(0, е) = ^(е) = е2 < 0, то /(•, е) определено на (г?(е), р), где ы(е) = Ф1_1(^-1(0, е), е) > 0, и
/ (и(е) + 0, е) = 0 < и(е). (18)
Из (17) и (18) следует, что существует и е (и?(е), р) такое, что /(и,е) = и . Согласно лемме 0 < /(и,е) < 1. Вместе с (17) и (18) это влечет существование у /(•, е) еще двух неподвижных точек, в противоречие с утверждением леммы. Итак, сделанное предположение неверно и все траек-
t
t
2
тории поля Хо, проходящие через точки дуги с параметром и е (0, р),
Т-0
ю -предельны к контуру Г + .
Так как /(р,0) <р, то 5 можно считать выбранным так, что /(р, £)
определено при ее (-5,5) и
/(р, е) < р для всех е е (-5,5)2. (19)
Обозначим 4 р - часть дуги 1\, состоящую из точек с параметром и е (0, р].
Из неравенства /(р, 0) < р следует, что через точку 11 с параметром х = / (р,0) можно провести замкнутую трансверсаль Г+1 с М+ к траекториям поля Х0 . Выберем во внешней компоненте М \(£+ и ¿- и {О0, О0}) за-
т^ех г>/т^ех\ т^ех
мкнутую кривую Г , л(1 ) = Г , негомотопную нулю и пересекающую прямую ^ в двух точках так, чтобы в замкнутом кольце между ¿+ и¿- и {О0,О0} и Гех не было особых точек поля Х0, отличных от О° и О0. Пусть и - окрестность Г0, границей которой является Г+1 и Л(Г+1) иГех. Если 5 выбрано достаточно малым, то для любого поля Хе, ее (-5,5) , О^е), 0±(е) и 02(е) - единственные особые точки, лежащие в и, а замкнутая траектория, лежащая в и, либо пересекает I\ р , либо ей симметрична.
Если 52 было выбрано достаточно малым, то при всех ее (-52,52)2
функция ф(-,е):= ¥-1 (ф-1 (•,е),е)) задает отображение дуги ц = ё , 0< ^ <52 в дугу у = ё , 0 < х < ё , по траекториям поля Хе . Согласно [11, с. 296-298] имеем
е) = с(е)^(е) + г & е), (20)
где Х(е) := -X 22 (е) / X 21(е) - седловой индекс точки О2 (е),
с(е) > 0, с()е С1,
д+г & е)
Эе]
<, в > 0, 0 < 5 < 1, 0 < 1 + ] < 1. (21)
Выходящая сепаратриса седла О+ (е) будет совпадать с его входящей сепаратрисой, образуя вместе с седлом контур Г+ (е), если е2 > 0 и Д(е) = 0 , где
Д(еье2):= /(х((Ц,е2) + 0, е)--х((Ц, е2 ) = ф(е2,е)-х((еЦ,е2). (22)
Вследствие (20) имеем
Л'е^Ъ е2) = е2 )• ^
- +
+с(е)е2(е) 1п е2 Х'ч (е) + о'ч (е)еХ(е) + г' (е2, е). (23)
Ввиду (5) первое слагаемое в (23) стремится к при е1 ^ -0, е2 ^ +0. Поскольку остальные слагаемые в (22) ограничены, то 5 можно считать выбранным так, что
А'е1 (е1, е2) > 0 при всех (е1, е2) е (-5,0) х (0,5). (24)
Из (20)-(22) и (5) видно, что при достаточно малом 5
А(-0, е2) > 0 при всех е2 е (0,5). (25)
Определим функцию у: (0, ^ (-^,0), положив
у(т) := -ТХ(0). Из
(20)-(22) и (5) следует, что при е2, достаточно близких к нулю, А(у(е2), е2) < 2с(0)е2Х(0)/3 - еХ(0)/2 / ^л/Ь , и потому 5 можно считать выбранным так, что при 50 = тт{5, у-1(5)}
А(у(е2), е2) < 0 для всех е2 е (0,50). (26)
Из (24)-(26) получаем, что Уе2 е (0,50) Зр(е1) е (у(е2),0) с (-5,0) такое, что
sgn А(е1,82) = sgn(еl - р(е2)) для всех (е1,82) е (-50, 0) х (0,5). (27)
Из (24) и (27) по теореме о неявной функции следует, что в( ) е С1. Так как у(+0) = 0, то и р(+0) = 0 .
Определим множества Вг- (/ = 0,1,...,5) и Ej (] = 1,2,...,5) так, как сформулировано в теореме. Аналогично случаю е = 0 доказывается, что все траектории поля Хе, ееВз, проходящие через точки дуги ¡\ с параметром - ((еЦ, е2) < и < р , ю -предельны к контуру Г+ (е).
При ееЕ2 иВ2 иЕз из (7), (27) и (22) получаем /(и+ (е) + 0, е) > и+ (е). Отсюда и из (19) следует, что /( ,е) имеет на интервале (и+ (е),р) неподвижную точку. Вследствие леммы дугу ¡\ р пересекает
единственная замкнутая траектория - грубый устойчивый предельный цикл. Из (27) и (22) также имеем
/(((,е2) + 0, е)< х((0Ц, е2) при всех ееЕ^ (28)
Из (19), (28) и леммы следует, что предположение о существовании замкнутой траектории, пересекающей дугу ¡\ р , приводит к противоречию.
При eeBj выходящая сепаратриса седла Oj(e) идет в седло 02(e), образуя вместе с дугой линии F между этими седлами, контур Г+ (e). Как и
при e = 0 траектории, пересекающие дугу l\p , ю -предельны к Г+ (e).
При ееБз UE5 uEj ^2(9l(0,e),e) < 0 . Поэтому функция f (•,e) определена на интервале (l(e),р), где l(e) =¥-1(ф-1(0,e),e), и f (l (e) + 0, e) = 0 < l (e). Отсюда, из (19) и леммы следует отсутствие замкнутых траекторий поля Xe в U .
Список литературы
1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978. 304 с.
2. Takens F. Singularities of vector fields // Publ. Math. IHES. 1974. Vol. 43. P. 47-100.
3. Жолондек Х. О версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Математический сборник. 1983. Т. 120, № 4. С. 473-499.
4. Golubitsky M., Shaeffer D., Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-Verlag, 1988. 552 p.
5. Николаев Е. В. Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнений, допускающих инволютивную симметрию // Математический сборник. 1995. Т. 186, № 4. С. 143-160.
6. Шноль Э. Э. Правильные многогранники и бифуркации симметричных положений равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений // Математический сборник. 2000. Т. 191, № 8. С. 141-157.
7. Лерман Л. М., Тураев Д. В. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах // Нелинейная динамика. 2012. T. 8, № 2. С. 323-343.
8. Ройтенберг В. Ш. Бифуркации полицикла, образованного двумя петлями сепаратрис негрубого седла динамической системы с центральной симметрией // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика, Механика, Физика. 2021. Т. 13, № 3. С. 39-46.
9. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004. Ч. 1. 416 с.
10. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М. : Наука, 1967. 488 с.
11. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2009. Ч. 2. 548 с.
References
1. Arnol'd V.I. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy = Additional chapters on the theory of ordinary differential equations. Moscow: Nauka, 1978:304. (In Russ.)
2. Takens F. Singularities of vector fields. Publ. Math. IHES. 1974;43:47-100.
3. Zholondek Kh. On the versality of one family of symmetric vector fields on the plane. Matematicheskiy sbornik = Mathematical collection. 1983;120(4):473-499. (In Russ.)
4. Golubitsky M., Shaeffer D., Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-Verlag, 1988:552.
5. Nikolaev E.V. Bifurcations of limit cycles of differential equations admitting involutive symmetry. Matematicheskiy sbornik = Mathematical collection. 1995;186(4):143-160. (In Russ.)
6. Shnol' E.E. Regular polyhedra and bifurcations of symmetric equilibrium positions of ordinary differential equations. Matematicheskiy sbornik = Mathematical collection. 2000;191(8):141-157. (In Russ.)
7. Lerman L.M., Turaev D.V. On symmetry loss bifurcations in reversible systems. Nelineynaya dinamika = Nonlinear dynamics. 2012;8(2):323-343. (In Russ.)
8. Roytenberg V.Sh. Bifurcations of a polycycle formed by two loops of separatrices of a non-rough saddle of a dynamic system with central symmetry. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika, Mekhanika, Fizika = Bulletin of South Ural State University. Series: Mathematics, Mechanics, Physics. 2021;13(3):39-46. (In Russ.)
9. Shil'nikov L.P., Shil'nikov A.L., Turaev D.V., Chua L. Metody kachestvennoy teorii v nelineynoy dinamike = Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Moscow; Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovaniy, 2004;1:416. (In Russ.)
10. Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Mayer A.G. Teoriya bifurkatsiy dinamicheskikh sistem na ploskosti = Theory of bifurcations of dynamic systems on a plane. Moscow: Nauka, 1967:488. (In Russ.)
11. Shil'nikov L.P., Shil'nikov A.L., Turaev D.V., Chua L. Metody kachestvennoy teorii v nelineynoy dinamike = Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Moscow; Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovaniy, 2009;2:548. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Владимир Шлеймович Ройтенберг Vladimir Sh. Roitenberg
кандидат физико-математических наук, Candidate of physical and mathematical
доцент, доцент кафедры высшей sciences, associate professor, associate
математики, Ярославский professor of the sub-department of higher
государственный технический mathematics, Yaroslavl State Technical
университет (Россия, г. Ярославль, University (88 Moskovskiy avenue,
Московский проспект, 88) Yaroslavl, Russia)
E-mail: vroitenberg@mail.ru
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 13.06.2023
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 18.09.2023 Принята к публикации / Accepted 02.11.2023
