О рождении замкнутых траекторий из двух петель сепаратрис сшитого седло-узла, проходящих через развилку Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

Научная статья

УДК 517.925

ББК 22.161.6

Р 65

DOI: 10.53598/2410-3225-2023-3-326-11-20

О рождении замкнутых траекторий из двух петель сепаратрис сшитого седло-узла, проходящих через развилку

(Рецензирована)

Владимир Шлеймович Ройтенберг

Ярославский государственный технический университет, Ярославль, Россия,

vroitenberg@mail.ru

Аннотация. Рассматривается двухпараметрическое семейство кусочно-гладких разрывных векторных полей на плоскости. При нулевых значениях параметров предполагается, что векторное поле имеет особую точку на линии разрыва типа сшитый седло-узел, выходящая сепаратриса которой разветвляется и идет в сшитый седло-узел, образуя две петли. В случае общего положения получено разбиение окрестности нуля на плоскости параметров по числу и типу замкнутых траекторий, рождающихся из указанных петель.

Ключевые слова: кусочно-гладкое векторное поле на плоскости, сшитый седло-узел, петля сепаратрисы, бифуркация, замкнутая траектория

Original Research Paper

On the the generation of closed trajectories from two separatrix loops of a sewn saddle-node passing through a fork

Vladimir Sh. Roytenberg

Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, Russia, vroitenberg@mail.ru

Abstract. We consider a two-parameter family ofpiecewise-smooth discontinuous vector fields in the plane. At zero values of the parameters, it is assumed that the vector field has a singular point on the discontinuity line of the sewn saddle-node type, the outgoing separatrix of which branches out and goes to the sewn saddle-node, forming two loops. In general position, we obtain a partition of the neighborhood of zero on the parameter plane by the number and type of closed trajectories born from these loops.

Keywords: planar piecewise-smooth vector field, sewn saddle-node, separatrix loop, bifurcation, closed trajectory

Введение. Пусть M - компактное двумерное Cш -подмногообразие плоскости R2, D - разбиение M на компактные двумерные Cш -подмногообразия Mi, i e{1,..., n}, такое, что M = M1 u... u Mn, Mi n Mj =SMi ndM j при i, j e {\,.., n}, i Ф j . Обозначим S множество всех точек x eMi nMj при некоторых i, j e {1,..,n}, i Ф j. Пусть Xr(Mi) - банахово пространство векторных полей класса Cr (r > 1) на Mi с C -нормой. Кусочно-гладким векторным полем на M, задаваемым векторными поля-

ми X(г) e Xr(Mi), i e {1,..., n}, назовем класс всех векторных полей X : M ^ R2 таких, что X(х) = X(i)(х) в точках х e Mi \ S, i e {1,...,n} . Отождествим его с элементом X = (X(1),..., X(n)) банахова пространства Xr (M, D):=Xr (M1) 0... 0Xr (Mn). Под траекториями поля X eXr(M, D), следуя [1, с. 95], будем понимать траектории дифференциального включения X e Х"(х), х e M, где х(х)={х(^(х)}, если х e Mi \ S и X(х) = {sX()(х) + (1 - s)X()(х), s e [0,1]}, если х e дМг n dMj * 0 .

Исследованию бифуркаций кусочно-гладких векторных полей на плоскости посвящено большое число работ. С практической точки зрения наибольший интерес представляет изучение бифуркаций, при которых рождаются устойчивые замкнутые траектории. В [1] приведено описание бифуркации особых точек первой степени негрубости. Различные локальные бифуркации в типичных семействах кусочно-гладких векторных полей на плоскости с числом параметров < 2 исследовались в работах [2-6].

Бифуркации сепаратрисных контуров в типичных однопараметрических семействах были описаны в [3, 7]. Ряд нелокальных бифуркаций в типичных двухпараметри-ческих семействах был рассмотрен в [8-12].

В настоящей работе мы исследуем бифуркации кусочно-гладкого векторного поля, имеющего полицикл, состоящий из двух петель, образованных выходящей сепаратрисой особой точки на линии переключения поля типа сшитый седло-узел, проходящей через грубую особую точку на линии переключения, в которой она разветвляется на две полутраектории, с -предельные к сшитому седло-узлу. Рассматриваемые векторные поля образуют подмногообразие коразмерности два в Xr (M, D) . Поэтому их бифуркации естественно изучать в двухпараметрических семействах «общего положения».

1. Особые точки «сшитый седло-узел» и «развилка». Рассмотрим векторное поле X0 = (X0(1),..., X0n)) eXr(M,D). Предположим, что точка принадлежит

Sj := M nM + при некоторых j-, j+ e {1,...,n} , j- * j+; X°1 )(010) = 0 ; линейный оператор dX°1 )(010) имеет собственные значения Л10 < ЛЛ < 0, а его собственные подпространства трансверсальны касательной к S1 в точке 0°; вектор X01 )(010) направлен внутрь M- . Такая точка называется сжимающим сшитым седло-узлом. Траектории поля X0 в окрестности точки изображены на рисунке 1.

Пусть точка 02 принадлежит S2 := Mk_nMk+ при некоторых k-, k +e {1,..., n},

k * k+ . Выберем Cш -координаты z1, z2 в окрестности V2 точки 02^, в которых эта точка имеет нулевые координаты, Mk_nV2 (соотв. Mk+ nV2) задается неравенством

z1 < 0 (соотв. z2 > 0), X0k±)(z) = P± (z1,z2)d/dz1 + P±(z1,z2)d/dz2. Если P+ (0,0)dP2+ (0,0)/ dz1 > 0, P- (0,0) * 0 , то 020 - грубая особая точка типа 2а в терминологии из [1]. Нам будет удобно называть ее сходящейся (расходящейся) развилкой при P2 (0,0) > 0 (P2-(0,0) < 0). Траектории поля X0 в окрестности расходящейся развилки

020 изображены на рисунке 1.

2. Условия и результаты. Рассмотрим семейство полей Xs = (X^1-1,..., X(sn)) e Xr(M,D) (r > 2) , зависящих от параметра s, меняющегося в некоторой окрестности Е0 точки 0 e R2. Будем считать, что векторы ХЦ1)(z) C -гладко

зависят от (г,а) е М ^ хЕ0, у е [I,..., п}. Продолжим векторные поля X(е1), 1 е [I,..., п}, до векторных полей Х(Е 11 на некоторой окрестности М. в R2 так, чтобы отображения (г,а) ^ X{е 1^г) принадлежали классу Сг.

Предположим, что для поля Х0 выполняются следующие условия (рис. 1). (У1) Поле Х0 имеет особые точки: сжимающий сшитый седло-узел 01 е & := М _ пМ+ + и расходящуюся развилку О0 е := М _ пМк +. Из точки 02 вы-

11 к к

ходит единственная отрицательная полутраектория Ц поля Х0, при этом она кончается в точке 02 и не содержит особых точек, отличных от 02 и О20. Из точки О20 выходит положительная полутраектория Ц (соотв. Ц ), начинающаяся как полутраектории поля Х0к ) (соотв. Х0к )), не содержащая отличных от О20 особых точек и точек линейных особенностей и с -предельная к О^ по направлению, соответствующему собственному значению Х оператора ёХ(01 )(О10).

При выполнении условий (У1) Г0 := Ц_ ^ Ц (г = 1,2) - простые замкнутые кривые.

В окрестности У1 точки 01 выберем Сш -координаты (у1, у2) так, чтобы точка 01 имела нулевые координаты, М_ п У1 (М + п У1) задавалось неравенством у1 < 0

( У 2 > 0),

Х11)(У» У г) = Рп( У» Уг,а)д / дУх + Р12( У» Уг,а)д / дУг • Тогда Р+(0,0,0) = Р+(0,0,0) = 0, Р_(0,0,0) < 0. Так как

ёе^дР^ (0,0,0)/ дУ^) = ХХ ^ 0 , то по теореме о неявной функции найдутся такие окрестность нуля Е1 сЕ0 и число а1 > 0, что У а еЕ1 система уравнений Р+(У1, У2,а) = 0 , Р1+2(У1,У2,а) = 0 имеет относительно (У1,У2) е (_а1,а1)2 единственное решение У! = Г1(а), у2 = У2(е), при этом Г,(■) е Сг, Г,(0) = 0, г = 1,2.

Без ограничения общности можно считать, что координаты г2 в окрестности

У2 точки О{° выбраны так, что Х(ак )(г2) = Р21 (, г2,а)д/дг1 + Р22(г,г2,а)д/дг2, где Р2+г(0,0,0) > 0, Р2+2(0,0,0) = 0, дР2+2(0,0,0)/дгх > 0, Р_(0,0,0) < 0. По теореме о неявной функции найдутся такие число а2 > 0 и окрестность нуля Е2 с Е1, что У а е Е2 уравнение Р22(г1,0,а) = 0 имеет относительно е (_а2,а2) единственное решение 2Х = 2Х (а), при этом

ВДе С, 1,(0) = 0, Р2[х(1х(е),0,ё) > 0, дР^а)^)/дгх > 0, Р^а^а) < 0. (1) Так как отрицательная полутраектория Ц поля Х0, выходящая из точки О20 е &2 с координатой = (0), трансверсально пересекает линию & в точке О° с координатой Уг = 0 и не имеет особенностей кроме этих точек, то, учитывая (1), получаем, что Е2 можно выбрать так, что при а е Е2 отрицательная полутраектория Ц поля Ха, выходящая из точки О2 (а) е &2 с координатой = (а), трансверсально пересекает линию & в точке с координатой Ух = Г (а), где Г (■) е Сг, Г (0) = 0 . Условие

(У2) Производные Y2'(0) и Y'(0) линейно независимы не зависит от произвола в выборе координат (y1, y2), (z1, z2) и векторных полей X(1 ).

При условии (У2) в некоторой окрестности нуля Е* ^ Е2 можно выбрать координаты (s1,s2) так, что Y2(s) = -s1, Y (s) = s2. Отождествим точку seE* с ее координатной строкой (s1,s2) . Пусть Е* = (-5",5")2.

Теорема. Если семейство векторных полей Xs e Xr (M, D), seE0, удовлетворяет условиям (У1) и (У2), то существуют такие число 5 > 0 и разбиение области параметров (0,5) х (-5,5) на множества Bt = {s : s2 = ß(s1)}, i = 1,2,3,

E = {s : -5 < s2 < ß(s1)} , E2 = {s : ß1(s1) < s2 < ß(s1)} , E3 = {s : ß2(s1) < s2 < ß(s1)} ,

E4 = {s: ß3(s1) <s2 <5},

где

ß : (0,5) ^ (-5,5).

ß e C, ß (+0) = 0.

Уе1 е (0,5) Д (е1) < Д2(е^ < Д3 (е1) , что у векторного поля Хе, ее (0,5) х (-5, 5), имеются следующие замкнутые траектории, рождающиеся из петель Г0 и Г^: при ее В1 двойной цикл Г1 (е), 11 Г1 (е) = Г°0, при ееЕ2 иВ2 иЕ3 иВ3 иЕ4 устойчивая гиперболическая замкнутая траектория Г* (е) , 11 Г* (е) = Г°0; при ее Е2 (ее В2) неустойчивая гиперболическая замкнутая траектория (неустойчивая замкнутая траектория, проходящая через 02 (е) ) Г" (е), 11 Г" (е) = Г0; при ее Е1 и В1 и Е2 и В2 и Е3 (ее В3) -

s^0

устойчивая гиперболическая замкнутая траектория (замкнутая траектория, проходящая через 02(е), устойчивая справа и неустойчивая слева) Г2(е), 11 Г2(е) = Г0.

При е е (-5,0] х (-5,5) замкнутых траекторий, рождающихся из Г0 и Г2, нет.

Если существует последовательность Гт, т е N, замкнутых траекторий векторных полей X т , не содержащих дуг линии , для которой ет ^ 0, 11 Гт = Г

е т^го

или 11 Гт = Г2, то найдется такой номер т0, что при т > т0 Гт совпадает с од-

т^го

ной из перечисленных выше траекторий.

Доказательство теоремы приведено в п. 3-5.

Рис. 1. Траектории векторного поля X0 Fig. 1. The trajectories of the vector field X0

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма Fig. 2. The bifurcation diagram

3. Функции соответствия по траекториям. Мы можем считать окрестность Е* столь малой, что для любого е еЕ* матрица (др(У1( е),У2(е), е)/ду}.) имеет собственные значения Л1(е) < Л2(е) < 0, причем Лг (•) е Сг-1, ^ (0) = Л°, г = 1,2 , и собственный

вектор (q(s),1), q()e Cr-1, соответствующий собственному значению X2(s) . В окрестности V перейдем к координатам х = y1 - Y1(s) + q(s)(y2 - Y2(s')), y = y2 - Y2 (s) = y2 +s1. В этих координатах S1 задается уравнением y = s1, а

XSj \z) = P(х, y, s)d / 5х + Q(х, y, s)d / dy , где

P( х, y,s) = Л (s) х + r (х, y, s), Q (х, y, s) = a (s) х + Л (s) y + r2 (х, y, s)),

r (0,0, s) = дгг (0,0, s)/дх = дгг (0,0, s)/dy = 0, i = 1,2. (2)

Выберем число 0 < k < 1, удовлетворяющее неравенству

k\a(0)\ < шт{\Л°\/2, (X -Л,0)/2}. (3)

Вследствие (2) и (3) существуют такие числа d > 0 и 5г е (0,5*], что функция R(х, y,s) := P(х, y,s)/Q(х, y,s) определена для всех 0 < y < d, |х| < ky, se (-51,51)2 и R(ky, y,s) > k, R(-ky, y, s) < -k для всех y e (0, d]. Поэтому решение х = %(y, u, s) уравнения dх / dy = R(х, y, s) , удовлетворяющее начальному условию r(d, u,s) = u при |u| < kd, определено для всех y e (0, d] и имеет место неравенство

\ Z( У, u,s)\ < ky . (4)

Обозначим T1 и T дуги, задаваемые, соответственно, условиями y = d, \ х \ < kd и y = s,, \ х \ < kd. Пусть 52 - наименьшее из чисел d и 5,. При s е (0,52) х (-52,52) функция <(■, s) := %(s1,-,s) является функцией соответствия по траекториям векторного поля X(£J ) между дугами TlE и Tl.

Лемма. Существует такие числа а > 1, C > 0 и 53 е (0,52], что для всех u е [-kd,kd], s е (0,53) х(-53,53)

<p(u,s)\< ksx, 0 <—(u,s) < Csa du

д 2<

du2

(u, s )

< с sa,

d<

д s2

(u, s)

< Csx . (5)

Доказательство. Первое из неравенств (5) - следствие (4). Производная

дГ

— (y, u, s) удовлетворяет уравнению в вариациях

du

d dr. dR , . . ,dr ,

ТЧТ( u, s ) = Т" (r( y, u s l y, s У, u s ) =

dy du дх du

и начальному условию d%(d, u, s)/ du = 1. Поэтому

-(y, u,s) = exp y-dR(r(y., u,s\ y,s) dy = exp -f■dR (r(y, u,sl y,s) dy

J дх •> дх

du

d

1 0 и i0

V y

дх

(6)

J

Пусть 1 < a < 2Л /(Л +Л) . Считая d и 53 e (0,52] достаточно малыми, из (2) и (3) имеем

dR(х,y,s)/дх >а/y при 0 < y < d, х < ky, se (-53,53) .

(7)

Из (4), (6) и (7) теперь получаем неравенство

0 <д%(у, и, е)/ ди <(у / ё) при | и | < кё, у е (0, ё], £ё (0,^3) х (-83,83) (8) и, в частности, второе из неравенств (5) с С > 1/ ёа .

Из (6) следует, что

дV. . д^ . . f д2R, . . . д^ ч .

(u s) = ^т ^ s)\чГТ(Х(y, u s), y, s (y, u s) dy . (9)

дм дм дх дм

d

Из (2) и (3) получаем, что существует такая постоянная N > 0, что

д2R(х,y, s)/дх2| < N/y2 при 0 < y < d, |х| < ky, s e (-53,53)2. (10)

Теперь из (8-10) следует третье неравенство в (5) с C > N /(da+l(a -1)). Производная дх( y, u, s ) / д!2 удовлетворяет уравнению в вариациях

d дх дR дх дR

-(y, u, s) = —(х, y, s)—(y, u, s) +—(x, y, s), где х = x(y, u, s),

-( y, u, s )

= 1 ^^м,s\У, s)expfм, s\^s)dsdy . (11)

y = s1 dд s yдх

dy 5 ег дх д е2 д е2

и начальному условию , и, е ) / 5 е2 = 0. Поэтому

дХ

д е 2

Из (2) и (3) следует существование такой постоянной Б > 0, что

|дД(х,у, е)/5е2| < Б при 0 < у < d, \х\ < ку, е е (-53,53)2. (12)

Теперь из (7), (11) и (12) получаем и четвертое неравенство в (5) с С > Б / (а -1) .

Пусть Те - дуга £2, задаваемая условиями г2 = 0, 21(е) - V < z1 < 21(е). Согласно [8] из определения 21(е) и формул (1) следует, что если числа V > 0 и 54 е (0,53 ] достаточно малы, то отрицательная полутраектория поля Хе, е е (-54,54)2, выходящая из точки дуги Те с координатой z1 = 21(е) + V, V е (-у,0], трансверсаль-но пересекает дугу Те в точке с координатой х = в^, е), где в е Сг, 0(0, е) = У(е) = е2, в0(V, е) Ф 0 при V Ф 0, вв(0, е) = 0, в^(0, е) < 0. Можно считать, что координаты (У1, У2) и соответственно координаты (х, у) выбраны так, что в'у^, е) > 0 при V Ф 0. Пусть в_1(-, е) - функция, обратная к в(, е). Обозначим Те2(- и Те2(+) части Т ^ с координатой х < в(0, е) = е2 и х > в(0, е) = е2.

Так как по условию (У1) полутраектории Ц и И2 входят в точку 010 по направлению прямой х = 0, то можно считать, что число d такое, что Ц и И2 пересекают дугу Т1 в ее внутренних точках. Тогда V, 0 < и < кd и 0 < 55 < шт{54,и} можно выбрать так, что V е = ( е1,е2) е (-55,55)2 положительная полутраектория поля Хе, выходящая из точки дуги Те с координатой z1 = ( е) + V , V е [-V, 0], пересекает дугу Те в точке с координатой х = г)(у, е), где т е Сг, т]'у (V, е) > 0, а положительная полутраектория, выходящая из точки дуги Те с координатой х = и , и е [ е2, и ], пересекает дугу Т1 в точке с координатой х = т)(и, е), где т) е Сг-1, т)" (и, е) > 0 .

4. Функции последования и функции расхождения. При е е (0,55) х (-55,55) определим функции последования /(и, е) := ср(т(в1(и, е), е), е), и е [и( е), е2], и(е) = в(-V,е), и /(и, е):=^()(и,е), е), и е [ е2, V], функции расхождения

dе ):=[/(u, е ) - и]и=в(„, е) = Я>(Л(v, е), е ) -в(v, е ), v е ,0]Ь и d(u, е ):= I(и, е ) - и,

u e [s2,u]. Ясно, что

f(u,s) = й, f'u{u,s)<1 (f'u(u,s)>^^d(u,s) = 3u(u,s)<0 (f(u,s)<°) (13)

Так как Л{„,е) = fmM при

JuK в'и (u,s) JmK ' (в'и (u,s)Y F

v = 6 l(u,s), то

f(u,s) = u, fu(u,s)< 1 (f'u(us)> 1)^d(f,s) = 0, dv(f,s)<0 (d'v(v,s)>0), v = в 1(u,s),(14) f(ui,s) = u, f'u(u,s) = 1 fl (u,s) * 0 d (v,s)= d 'V(v,s) = 0, d"w (v,s) * 0, v = в 1 (). (15) Из неравенства в'^(0,0) < 0, равенства e's2(0,0) = 1 и (5) получаем, что v и 55 можно читать столь малыми, что для всех v е [-v,0], se (0,55) х (-55,55)

dl(v,s) > 0, (16)

d's2(v,s) < 0. (17)

Так как в(0,0) = 0, а e'v(v,0) > 0 при v е [-v,0), то в(-v,0) < 0, и потому 5 е (0,55 ] можно выбрать так, что Vs е (0,5) х (-5,5) в(-¥, s) < -ksx < <р(ц(-v, s), s) . Следовательно,

d (-v ,s) > 0 при всех se (0,5) х (-5,5). (18)

Поскольку d'v(-v,s) = <(ri(-v,s),s)ri'v(-v,s) -вХ-vs), а в'у(-v,0) > 0, то из (5) следует, что 5 можно взять столь малым, что

d'v (-v,s) < 0 при всех se (0,5) х (-5,5). (19)

При v е [-v, 0], s е (0,5), s2 = -sx имеем d(v, s) > -ksx - s2 = -ksx + s . Так как k < 1, то

d(v, s) > 0 при всех v e [-v, 0], s e (0,5), s2 = -sx. (20)

Аналогично получаем

d(0,s) < 0 при всех sx e (0,5), s2 =sx. (21)

Поскольку d'v(0,s) = <u(r(0,s),s)r'v(0,s) -в[(0,s), а в[(0,s) = 0, то

d'v (0,s) > 0 при всех se (0,5) х (-5,5). (22)

Из равенств

d(u, s) = <(r(s2 ,s),s) - u , d'v (u, s) = 1 (U, s< (^ s) | s=r(u,s) -1,

S d (s2,s) = [<v (s, s)r'v (s2, s) + < (s, ss]s=r{s2s) - 1 , и неравенств (5) получаем, что 5 можно считать выбранным так, что

d (u,s) < 0 при всех se (0,5) х (-5,5), (23)

dV (u,s) < 0 при всех se (0,5) х (-5,5), u е [s2, u ], (24)

s d (s2,s) < 0, при всех se (0,5) х (-5,5). (25)

Аналогично неравенствам (20) и (21) доказывается, что d (s2,s) > 0 (соотв. d (s2,s) < 0), если s е (0,5), s2 =-sl (соотв. s2 =sx). (26)

5. Бифуркации рождения замкнутых траекторий. Из (16), (19) и (22) получаем, что Vs е (0,5) х (-5,5) d(•, s) имеет единственную точку минимума /u(s) е (-v, 0) ,

при этом /л()е Cr. Из (17), (20) и (21) следует, что для m(s):= d(^(s),s) при всех

s e (0,5) х (-5,5) имеют место неравенства m'2( s) < 0, m( s1, -s1) > 0, m( s1, s1) < 0. Поэтому для любого s1 e (0,5) существует число ß(s1) e (-s1, s1) такое, что

sgnm( s) = sgn(ßl(sJ) - s2) при всех s e (0,5) х (-5,5). (27)

Поскольку m'2( s1, ß(s1)) * 0, то из (27) и теоремы о неявной функции следует, что ß(-)e Cr.

Вследствие (17), (21) и неравенства d(0, s) > m( s) = 0 при s2 = ß(s1) для любого s1 e (0,5) существует число ß2 ( s1) e (ß ( s1), s1) такое, что ß2() e Cr,

sgn d(0, s ) = sgn(ß2( s1) - s2) для всех s e (0,5) х (-5,5); (28)

Из (18), (27) и (28) следует, что функция d(•, s) при -5 < s2 < ß1(s1) не имеет нулей, при s2 = ß( s1) имеет один двукратный нуль /(s) , при ß( s1) < s2 < ß2( s1) имеет два простых нуля v- ( s) e (-v, /( s )) и v+ ( s) e (/( s),0), при s2 = ß2( s1) имеет два простых нуля v-( s) e (-v, /( s)) и v+ ( s) = 0, при ß2( s1) < s2 <5 имеет единственный простой нуль v- ( s) e (-v, /( s )), при этом v± (•) e Cr, sgn d'v (v± (•), s) = ±1. Отсюда и из (14) и (15) получаем следующие утверждения. При -5 < s2 <ß(s1) f (•, s) не имеет неподвижных точек, а поле Xе не имеет замкнутых траекторий, пересекающих T2- . При s2 = ß ( s1) f(•, s) имеет единственную (двукратную) неподвижную точку в(/(s), s), а T°(-) пересекает единственная замкнутая траектория поля X s - двойной цикл Г- ( s). При ß( s1) < s2 < ß2( s1) ( s2 = ß2( s1)) f (•, s) имеет две неподвижные точки 0(v- ( s ), s ) и 0(v+ ( s ), s ), а дугу T^-1 пересекают устойчивая гиперболическая замкнутая траектория Г - ( s ) и неустойчивая гиперболическая замкнутая траектория Г-( s) (неустойчивая замкнутая траектория Г-( s) , проходящая через развилку 02( s)). При ß2 ( s1) < s2 <5 f (•, s) имеет единственную (устойчивую гиперболическую) неподвижную точку Q(v ( s), s), а T2- пересекает единственная (устойчивая гиперболическая) замкнутая траектория Г- ( s) .

Из (25) и (26) следует, что для любого s1 e (0,5) существует такое ß3( s1) e (-s1, s1), что sgn d( s2, s) = sgn(ß3( s1) - s2) для s e (0,5) х (-5,5); при этом

ß3(^)e C . Так как f ( s ) > f ( s ), то d( s )|s2=ß2( ei) > d(0, s )| s2=ß2( so = ^ и потому для любого s1 e (0,5) ß2( s1) < ß3(s1) . Ввиду (23), (24) и (13) функция последова-ния f (•, s) имеет на [0, u ] единственную неподвижную точку u0 e (0, u) при -5 < s2 < ß3( s1) и u0 = 0 при s2 = ß3( s1), эта точка устойчивая и гиперболическая и не имеет неподвижных точек при ß3( s1) <s2 <5. Тогда поле X s при -5 <s2 < ß3( s1) имеет устойчивую гиперболическую замкнутую траекторию Г2( s ), пересекающую дугу T°(+а при s2 = ß3( s1) имеет замкнутую траекторию Г2( s ), проходящую через точку 02 ( s ), устойчивую слева и неустойчивую справа.

Так как u можно выбрать сколь угодно малым, то топологический предел lt Г2( s) = Г0, то есть Г+ ( s) рождается из контура Г0. Если существует последова-

s^0

тельность Гp, p g N, замкнутых траекторий векторных полей X , sm g (-S, S)2, не содержащих дуг линии S2, для которой lt Г m = Г„, то найдется такой номер p«,

что Гp при p > p« пересекается с дугой T2+) и потому совпадает с Г2 (sm ). Следовательно, Г2( s ) - единственная замкнутая траектория поля Xs, рождающаяся из контура Г«. Аналогично, Г ( s) и Г ( s) - единственные траектории, не содержащих дуг линии S2, рождающиеся из Г«.

При s g {О} х (-S, S) (соотв. s g (-S, О) х (-S, S) ) все траектории, пересекающие дугу T2, с -предельны к сшитому седло-узлу (соотв. к узлу). Поэтому замкнутых траекторий, рождающихся из Г+ и Г-, нет.

Примечания

1. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Москва; Наука, 1985. 224 с.

2. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2O11. Vol. 25O, No. 4. P. 1967-2023. DOI 1O.1O16/j.jde.2O1O.11.O163

3. Kuznetsov Ju.A., Rinaldi S., Granini A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // International Journal of Bifurcations and Chaos. 2OO3. Vol. 13, No. 8. P. 2157-2188.

4. Ройтенберг В. Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер.^ Естественно-математические и технические науки. 2O16. Вып. 4 (191). С. 53-59. URL^ httpV/vestniLadygnetru

5. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «сшитый трехкратный фокус» // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2O17. № 2 (42). С. 18-31. DOI 1O.21685/2O72-3O4O-2O17-2-2

6. Simpson D.J.W. A compendium of Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems // arXiv^ 1 894.1 1O9v1 [math DS] 3O Apr 2O18. 11 p.

7. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях петель сепаратрис особых точек на линии разрыва. Ярославль ■ Яросл. политехн. ин-т., 1987. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 22.O4.1987, № 2795-В87.

8. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях кусочно-гладкого векторного поля в окрестности петли сепаратрисы особой точки на линии разрыва // Математика и математическое образование. Теория и практикам межвуз. сб. науч. тр. Ярославль, 2OO6. Вып. 5. С. 49-52.

9. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях сшитого тройного цикла // Математика и математическое образование. Теория и практикам межвуз. сб. науч. тр. Ярославль Изд-во ЯГТУ, 2O14. Вып. 9. С. 54-67. URL^ https■//www.ystu.ru/information/university/nauka

10. Ройтенберг В.Ш. О рождении предельных циклов из контура, образованного сепаратрисами седла и сшитого седло-узла кусочно-гладкого векторного поля // Вестник Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова. 2O14. Т. 2О, № 2. С. 26-3O.

11. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях предельного цикла, проходящего через точку пересечения линий разрыва векторного поля и касающегося одной из них // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер.^ Математика. Физика. 2O18. Т. 5О, № 1. С. 21-34. DOI 1O.18413/2O75-4639-2O18-5O-1-21-34

12. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях петли сепаратрисы двумерной кусочно-гладкой динамической системы // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2O2O. № 1 (53). С. 36-5O. DOI 1O.21685/2O72-3O4O-2O2O-1-3

References

1. Filippov A. F. Differential equations with a discontinuous right-hand side. Moscow: Nauka, 1985.224 p.

2. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250, No. 4. P. 1967-2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.0163

3. Kuznetsov Ju.A., Rinaldi S., Granini A. One-parameter bifurcations in planar Filippov sys-

tems // International Journal of Bifurcations and Chaos. 2003. Vol. 13, No. 8. P. 2157-2188.

4. Roytenberg V.Sh. On the generation of a strange attractor from a joining point of lines of discontinuity of a vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser.: Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 4 (191). P. 53-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru

5. Roytenberg V.Sh. On bifurcations in the neighborhood of a singular point of the triple sewn focus type // News of Higher Educational Institutions. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences. 2017. No. 2 (42). P. 18-31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2

6. Simpson D.J.W. A compendium of Hopf-like bifurcations in piecewise-smooth dynamical systems // arXiv: 1 894.1 109v1 [math DS] 30 Apr 2018. 11 p.

7. Roytenberg V.Sh. On two-parameter bifurcations of separatrix contours. Yaroslavl: Yaroslavl Polytechnic Institute, 1987. 26 p. Dep. in VINITI 22.04.1987, No. 2795-B87.

8. Roytenberg V. Sh. On bifurcations of a piecewise-smooth vector field in a neighborhood of a separatrix loop of a singular point on a discontinuity line // Mathematics and Mathematical Education. Theory and Practice: Inter-Higher School Coll. of Scientific Works. Yaroslavl, 2006. Iss. 5. P. 49-52.

9. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of a sewn triple cycle // Mathematics and mathematical education. Theory and practice: inter-higher school coll. of scient. works. Yaroslavl: YaSTU Publishing House, 2014. P. 54-67. URL: https://www.ystu.ru/information/university/nauka

10. Roytenberg V.Sh. On the generation of limit cycles out of a contour formed by separa-trixes of a saddle and a sewn saddle-node of a piecewise smooth vector field // Bulletin of Kostroma State University named after N.A. Nekrasov. 2014. Vol. 20, No. 2. P. 26-30.

11. Roytenberg V. Sh. On bifurcations of a limit cycle passing through the point of intersection of the discontinuity lines of a vector field and tangent to one of them // Belgorod State University Scientific Bulletin. Ser.: Mathematics. Physics. 2018. Vol. 50, No. 1. P. 21-34. DOI: 10.18413/20754639-2018-50-1-21-34

12. Roytenberg V.Sh. On the separatrix loop bifurcations of two-dimensional piecewise-smooth dynamic system // News of Higher Educational Institutions. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences. 2020. No. 1 (53). P. 36-50. DOI: 10.21685/2072-3040-2020-1-3

Статья поступила в редакцию 11.08.2023; одобрена после рецензирования 21.08.2023; принята к публикации 22.08.2023.

The article was submitted 11.08.2023; approved after reviewing 21.08.2023; accepted for publication 22.05.2023.

© В. Ш. Ройтенберг, 2023