CC BY
7
УДК 517.925
DOI 10.18413/2075-463 9-2019-51 -2-192-202
О БИФУРКАЦИЯХ ОДНОРОДНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПЛОСКОСТИ
ON BIFURCATIONS OF HOMOGENEOUS POLINOMIAL VECTOR FIELDS ON THE PLANE
В.Ш. Ройтенберг V.Sh. Roitenberg
Ярославский государственный технический университет Россия, 150023, г. Ярославль, Московский пр. 88
Yaroslavl State Technical University, Russia, 88 Moskovskij pr.,Yaroslavl, 150023, Russia
E-mail: vroitenberg@mail.ru
Аннотация
В статье рассматриваются векторные поля на плоскости, компоненты которых являются однородными полиномами степени п. Множество HPn таких векторных полей отождествляется с 2п+2-мерным пространством коэффициентов этих полиномов. Фазовые портреты векторных полей из HPn рассматриваются на проективной плоскости. Грубые векторные поля Х, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к векторному полю, достаточно близкому к Х в HPn, образуют в HPn открытое всюду плотное множество. В настоящей работе описано открытое всюду плотное множество в подпространстве негрубых векторных полей в HPn. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в HPn и состоит из векторных полей Х первой степени негрубости, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к негрубому векторному полю, достаточно близкому к Х в HPn . Описаны бифуркации векторных полей первой степени негрубости.
Abstract
The paper considers vector fields on the plane whose components are homogeneous polynomials of degree n. The set HPn of such vector fields is identified with the 2n + 2-dimensional space of coefficients of these polynomials. Phase portraits of vector fields are viewed on the projective plane. Structurally stable vector fields X, for which the topological structure of the phase portrait does not change when passing to a vector field close enough to X in HPn, form an open everywhere dense set in HPn. In this paper, we describe an open everywhere dense set in the subspace of structurally unstable vector fields in HPn. It is an analytic submanifold of codimension one in HPn and consists of vector fields X of the first degree of structural instability, for which the topological structure of the phase portrait does not change when passing to a structural unstable vector field close enough to X in HPn . We describe bifurcations for vector fields of the first degree structurally instability.
Ключевые слова: однородное полиномиальное векторное поле на плоскости, грубость, бифуркация, бифуркационное многообразие, особая точка.
Keywords: homogeneous polynomial vector field on the plane, structural stability, first degree of structural instability, bifurcation manifold, singular point.
Введение
Симметрия дифференциальных уравнений традиционно использовалась для приведения их к специальным формам и получения первых интегралов [Овсянников, 1978; Арнольд, 1989; Ibragimov, 2006]. Однако есть ряд работ, посвященных изучению грубости и бифуркаций динамических систем с симметрией. В работах [Lamb, Capel,
1995; Lamb, Roberts, 1998; Лерман, Тураев, 2012] рассматривались бифуркации обратимых (реверсивных) систем. В [Takens, 1974; Арнольд, 1978; Golubitsky, Shaeffer, 1979] изучались локальные бифуркации плоских векторных полей с симметрией. В работах [Ройтенберг, 2018а] и [Ройтенберг, 2018б] даны необходимые и достаточные условия грубости относительно пространства векторных полей в единичном круге, инвариантных относительно группы вращений SO(2) и, соответственно, ее конечной подгруппы, состоящей из вращений на углы кратные 2ж/q, q = 2,3,... В работе [Ройтенберг, 2019] изучались бифуркации векторных полей, инвариантных относительно группы вращений.
В статье [Ройтенберг, 2018в] фазовые портреты двумерных однородных векторных полей рассматривались на проективной плоскости. Были получены необходимые и
достаточные условия грубости относительно пространства однородных Сг -
векторных полей степени п и пространства НРп однородных полиномиальных
векторных полей степени п; доказано, что грубые векторные поля образуют в этих пространствах открытое и всюду плотное множество.
Настоящая работа посвящена бифуркациям коразмерности один однородных полиномиальных векторных полей на плоскости.
1. Однородные полиномиальные векторные поля и их траектории в круге Пуанкаре и на проективной плоскости
Приведем некоторые определения и обозначения из работы [Ройтенберг, 2018в].
Будем р< степени п > 2
Будем рассматривать на плоскости К2 однородные полиномиальные векторные поля
X (x, y) = P (x, y)d / ax + P2 (x, y)d / ¿y,
где р (л, у) = ^ а^х1 у3 и р (х, У) = ^ Ъ^х1 у3 - однородные многочлены степени п .
1+ 3 =п 1+ 3=п
Множество таких векторных полей обозначим НРп. Поле X е НРп отождествим с арифметическим вектором (ап0,ап_1Д,...,а0п,Ъп0,Ъп_хъ..,Ъ0п), а НРп с пространством
К2п+2 с евклидовой нормой. Фазовые портреты векторных полей из НРп естественно рассматривать на круге Пуанкаре К и на проективной плоскости ЯР2.
Рассмотрим в Я3 полусферу К:= {(X, У, 7) е Я31X2 + У + 7 = 1, 7 > 0}. Она естественно отождествляется с кругом Пуанкаре К = {(Х,У) е К2| X2 + У2 < 1}.
9
Отождествим Я" с К\Ж посредством отображения \—> (х,у) = !2~).
Пусть 81 := К / . Диффеоморфизм
Л
С :[0,«ОхS1 ^K\{O}, C(r, р):= (X,7) =
cos р sin р
л/l + r2 Vl + r2
2
вводит в K \ {O} цилиндрические координаты r, р. Координаты (x, y) точки из R \ {O}
, cosp sinp _
выражаются через координаты r, р по формулам x =-— , y =-— . Поэтому
r r
X = R* (r, р)д / dr + Ф* (r, р)б / бр, где
R* (r, р) = -r2_И [Pi (cos р, sin р) cos р + P2 (cos р, sin р) sin р], Ф* (r, р) = r1-n [P2 (cos р, sin р) cos р - Pi (cos р, sin р) sin р].
Векторное поле X = —гЯ(ф)д / дт + Ф(ф)д / дф, где
R(p) = Pi (cos ф, sin ф) cos ф + р (cos ф, sin ф) sin ф, Ф(ф) = P2 (cos ф, sin ф) cos ф—Pi (cos ф, sin ф) sin ф
2
определено в K \{O} и имеет в R \{O} = K\ dK\ {O} те же ориентированные траектории, что поле X . В точках дК (т = 0 ) векторное поле X касается дК. Поэтому дК состоит из траекторий поля X. Траектории векторных полей X в R2 и X | дК назовем траекториями векторного поля X в К. На траекториях, отличных от особых точек, векторные поля X и X задают ориентацию, совпадающую на общих траекториях. Траектории, принадлежащие дК, будем называть бесконечно удаленными. Векторное поле X можно считать определенным и для значений т < 0 .
Отождествив диаметрально противоположные точки дК, получим из К
проективную плоскость RP2. Поскольку
Уф Rfr+z) = (—1)n+l R(^), Ф(ф+ж) = (—1)п+1Ф(ф), (1)
то траектории векторного поля X в К при этом перейдут в траектории векторного поля
X в RP2 . При нечетном n на траекториях в RP2 можно задать согласованную ориентацию, а при четном n это сделать нельзя.
2. Формулировки результатов
Будем говорить, что векторные поля X и Y из ИРи топологически эквивалентны в
2 2 2 2 2 К (в RP2), если существует гомеоморфизм h: К ^ К (h : RP ^ RP2, h(R2) = R2),
22 переводящий траектории поля X в К (в RP ) в траектории поля Y в К (в RP ) с
сохранением ориентации на траекториях (на траекториях, лежащих в R2 ).
9
Векторное поле X е ИРи назовем грубым в К (в RP ), если существует такая его
окрестность U(X) в ИРи, что X и любое векторное поле X eU(X) топологически
эквивалентны в К (в RP2 ).
Векторное поле X е ИРи назовем векторным полем первой степени негрубости в
2
К (в RP ), если оно негрубое и существует такая его окрестность U(X) в ИРи, что X и
* 9
любое негрубое векторное поле X е U (X) топологически эквивалентны в К (в RP2).
Это определение аналогично определению для векторных полей на плоскости [Андронов и др. 1967], но мы не требуем близости сопрягающего гомеоморфизма к
тождественному. В банаховом пространстве векторных полей класса Cr (r > 3) на
двумерном диске, векторные поля первой степени негрубости образуют вложенное Cr 1 -подмногообразие коразмерности один и всюду плотны во множестве негрубых векторных полей [Sotomayor, 1974]. Мы покажем, что аналогичное описание имеется и для однородных полиномиальных векторных полей первой степени негрубости.
Согласно [Ройтенберг, 2018в], множество =X°HPW грубых векторных полей из
HPn выделяется условием: или имеются бесконечно удаленные особые точки и все они гиперболические, или (что возможно только при нечетном n) дК - гиперболическая замкнутая траектория. Это множество открыто и всюду плотно в HPn .
Обозначим 2} множество векторных полей X е НРп \ 20, для которых существует двукратный нуль ( е[0,ж) функции Ф, такой, что Я((0) ф 0, а для всех остальных нулей (* е [0, ж) Ф'((*) ф 0 и Я((*) ф 0. Это означает, что для векторного поля X точки (0,ро) и (0,(0 + ж)- простые седло-узлы [Шильников и др., 2009, с. 89], центральные многообразия которых принадлежат Ж, а остальные особые точки гиперболические.
Обозначим множество векторных полей X е НРп \ 20, для которых все нули функции Ф простые, существует нуль (0 е[0,ж), такой, что Я((0) = 0, а для всех остальных нулей р* е [0,ж) Я(р*) ф 0. Это означает, что для векторного поля X все точки (/0, (0) и (Г),(0 + ж) , 0 < Г0 < да, являются особыми, а остальные особые точки, отличные от точки О, принадлежат Ж и являются гиперболическими. Ниже, в параграфе 5, будет показано, что для любой особой точки ¿0 = (/0,(0) (£0 = (г0,(0 +ж)), существует одномерное аналитическое локальное инвариантное многообразие Ж(/0) поля X, содержащее £0 и такое, что траектории, начинающиеся в точках Ж(/0), с- предельны к
£0, если Ф'((0) < 0 ((-Г^Ф'^) < 0) и а -предельны к ¿0, если Ф'((0) > 0
((-1Г}Ф'((0) > 0).
Обозначим также £3 = 23НРп множество векторных полей из НРп \ 20 при
нечетном п, для которых Ж - негиперболическая замкнутая траектория, то есть
2ж
Ф(() ф 0 при любом (е[0,2ж], а Х = -\ Я(()/ Ф(() dр = 0 . Все траектории поля
0
X е2} в К, кроме начала координат, замкнутые.
Пусть 2}:=2}НРп :=2} при нечетном п и 2}:=2}НРп :=2} при
четном п .
Теорема. Множество 2}НРп открыто и всюду плотно в НРп \ 20НРп и является
вложенным аналитическим подмногообразием коразмерности один в НРп . Векторное
0 2 поле X е НРп \ 2 НРп имеет первую степень негрубости в К (в ЯР ) тогда и только
тогда, когда оно принадлежит 2}НРп . При переходе через 2} две пары диаметрально противоположных на Ж особых точек типов седло и узел сливаются в седло-узлы и исчезают. При переходе через 22 две диаметрально противоположные на Ж особые
точки превращаются из седла в узел. При переходе через £3 устойчивость бесконечно
удаленной замкнутой траектории Ж меняется на противоположную. Доказательство теоремы приведено ниже в параграфах 3-5.
Замечание. Из доказательства и из [Андронов и др. 1967] видно, что
гомеоморфизм к: К ^ К, переводящий траектории поля X е2} в траектории поля
* }
X е2 пи(X), можно сделать сколь угодно близким к тождественному, выбрав достаточно малую окрестность и (X) поля X.
3. Плотность Е1ЫР в НР \ Е0НР
п п п
Открытость Е1 в НРп \ Е очевидна. Докажем плотность Е1 в НРп \ Е0. Пусть
и(X) - произвольная окрестность векторного поля X = Дд / дл + р д / ду е НРп \ Е0 \ Е1.
* 1
Мы должны доказать, что существует векторное поле X еЕ <^и(Хо). Для поля X имеет место один из следующих вариантов:
(A) Существует нуль (ро е [0, ж) функции Ф кратности > 3 .
(Б) Все нули функции Ф имеют кратность < 2; существуют два нуля (0,( е[0,ж) кратности 2.
(B) Функция Ф имеет нуль р е [0, ж) кратности 2, а все остальные нули Ф на [0, ж) простые, при этом Ф и Я имеют общий нуль.
(Г) Функция Ф имеет только простые нули, существуют два нуля (1,(2 е[0,ж), для которых Я(р ) = Я((2 ) = 0.
Рассмотрим случаи (А) и (Б). Без ограничения общности можно считать, что (0 = 0. Действительно, поворот плоскости на угол -(0 индуцирует аналитический
диффеоморфизм пространства НРп, переводящий векторное поле X в векторное поле X0,
для которого X0 = -гЯ0д /дг + Ф0д / др, где Я0 (р) = Я(р -р0), Ф0 (р) = Ф(р - р0), и мы
можем вместо поля X рассматривать поле X0. Определим векторное поле
Xapr^= pP-r д / ах + Pg-P-r-ud / ф е ЫРп , положив Pf'r(x, y) = Pl(x, y) + fix" +yxyn -1, pa,p,y,n (х- y) = p2 (x, y) + (gx + juy) y2 (x2 + y2 )m-1 + pxn~l y + ry", если n = 2m +1, и pgp-ru (x, y) = p2 (x, y) + gy2 (x2 + y2 )m-1 + pxn~1y + ryn, если n = 2m .
Выберем 5 > 0 так, чтобы Xaprj eU (X0), если \a\<S, |P| < ^, ||| < ^, J < ¿.
Соответствующее Xapru векторное поле Xa^pru=-rRapru(()d/dr + Фа-/и(<)д/д<, где
Ra p r j(<) = R(<) + asin3 <eos< + jsin4 < + Peos"_1 < + r sinи_1 <,
2 2 -3
Фа J (<) = Ф(<) + a sin ( eos < + j sin < eos <, если n = 2m +1,
•„3 „ , n___n—1 „ ____-n—1
Я
p r j(<) = R(<) + asin ( +Peos < + r sin <.
2
Фа u(<) = Ф(() + asin <eos<, если n = 2m .
а , у
Поэтому 8 можно считать выбранным так, что и в случае (А), и в случае (Б) \/а,р,у,у^(0,8) Фа,^(0) = Ф^(0) = 0, Фа,у(0) = ^(0) + 2аФ0, Яа, д,,у(0) = Р*0.
Так как Ф'ау(ж/2) = Ф'(ж/2)-у при п = 2т +1, Ф'ау(ж/2) = Ф'(ж/2)-а при
п = 2т, то можно считать, что при некоторых а0, уе (0,8) Ф^^(ж/2) Ф0. Фиксируем
такие а0 и у . Так как Фао у - ненулевая аналитическая функция, то она имеет конечное число нулей конечной кратности. Выберем промежутки [-р,р], 0<р<ж/4,
и (а0 + e)с (0,5) так, чтобы Vae (а0 -а,а0 + &) функция Фа,^ имела на
\—р, р] единственный нуль р = 0. Так как Ф0, то р и & можно считать
выбранными так, что Va e (ao — er, ао + &) Vp e \п/2 — р, п/ 2 + р] Ф«,^(<) Ф 0. Поэтому Фа,^ либо не имеет нулей на \п/2 — р, п/2 + р], либо имеет единственный и простой нуль. Так как в случае n = 2m +1 Va e (a0,a0 + e) Фa,^(<) >Фа,/г(Р) при <pe\р,п/2 — р]о>\п/2 + р,п — р], в случае n = 2m Vae(a0,a0 + e) Фа,^(р) >Фа,/гО ( фа,/гр) <фа0 ,/u(P< ) при ре \р, п/2-р] (p e [п/2 + р,п —р]), а ^ имеет конечное число нулей конечной кратности, то существует такое ai e (a0, a0 + er), что Фа ^ имеет на \р,п/2 — р]^\п/2 + р,п — р] только простые нули. Таким образом, все нули pt, i = 1,..,N, функции Ф«,^ на (0,п) простые. Мы можем выбрать сколь угодно малые ß,ye (0,5) так, чтобы числа Pi, i = 1,..,N не совпадали с корнями уравнения
ctg p = —Y/ ß на (0,п) . Тогда при достаточно мал^1х ß,ye (0,5) Rа ßy^ (Pi) * 0, i = 1,..,N. Тем самым X* = X e^1 nU(X) .
Рассмотрим случаи (В) и (Г). Пусть Xa ^ - векторное поле, определенное выше. Выберем 5 > 0 так, чтобы X0^ 0 e U(X), если |ß| <5, л<5.
В случае (В) функция Ф0 0(р) = ф(р) имеет на \0, п) двукратный нуль р и только простые нули р , i = 2,..,N. Без ограничения общности можно считать, что р Ф 0 , i = 1,..,N. Как и выше получаем, что ß,y e (0,5) можно выбрать так, чтобы в случае (В) числа р , i = 1,..,N не совпадали с корнями уравнения ctgn—1р = — у /ß на (0, п), и потому при ß, у, достаточно близких к нулю, Rßr 0(р) ф 0, i = 1,..,N. Тем самым
X*= X0,ß,y,0 eS1 nU(X) .
В случае (Г) функция Ф0 0(р) = ф(р) имеет на \0, п) только простые нули pi, i = 1,..,N, причем можно считать р1 = 0, R(p1) = 0. Выбрав ye (0,5) достаточно малым, будем иметь R0,0,y,0 (0) = 0, а R0 0y0(Pj) = R(pt) + ysinn—< Ф 0, i = 2,.., N. Тем самым X*= X0,0,y,0 ez2 nU(X) .
Итак, плотность 21HPn в HPn \ E0HPn доказана.
4. Необходимость условий первой степени негрубости
Пусть векторное поле X = Д д / дх + р д / ду e HPn - первой степени негрубости в K, U(X) - окрестность поля X, фигурирующая в определении грубости. Тогда любые
два негрубых векторных поля из U(X) топологически эквивалентны. Так как Е1 всюду
плотно в HPn, то либо а) X топологически эквивалентно векторному полю из Е1, и потому Ф(р) на \0, п) имеет один нуль <0 четной кратности, а остальные нули Pi, i = 1,..,N, имеют нечетную кратность, либо б) X топологически эквивалентно
векторному полю из е2, и потому все нули Pi e\0,п), i = 1,..,N, имеют нечетную
кратность, а R(%) = 0, R(%) Ф 0 для i = 2,..,N, либо в) n нечетно, Ф(%) не имеет нулей,
2л
а z = ~f R(%)/ Ф(%) d% = 0 .
о
В случае в) X eZ1. Докажем, что X eZ1 и в случаях а) и б). Предположим, что это не так: X e HPn \ Z1 \ Z0 и придем к противоречию.
Рассмотрим случай а). Тогда либо а1) %0 имеет кратность 2т > 4, либо а2) % -двукратный нуль, а один из нулей % , i = 1,..,N, для определенности %, имеет кратность 2m-1>3.
В случае а1) без ограничения общности можно считать %) = 0. Выберем такое
s> 0, что sgn Ф(%) = sgn Ф(2т)(0), если 0 <|%<s. Рассмотрим векторное поле
Xi= X -Яхп 1yd / dx. Ему соответствует поле Хл=-гЯл(%) д / дг + ФЯ(%) д / д%, где
ФЯ (%) = Ф(%) + Я sin2 % cosn-1 % . Так как (ФЯ )'(0) = Ф'(0) = 0, то XÁ e HPn \ Z0 . Выберем
5> 0 так, что XÁeU(X), если |Я|<£. Так как Ф"(0) = 0, то (ФЯ)"(0) =Ф"(0) + 2Я = 2Я.
Выбрав достаточно близкое к нулю Я так, чтобы sgn^^)ff(0) =-sgnФ(2т)(0), будем иметь для Фя(%) на интервале (-s,s) не менее трех нулей, при этом число нулей на
[s, л — s] не уменьшится. Таким образом, Xi e U(X) \ Z0 имеет больше особых точек, чем X , что противоречит их топологической эквивалентности.
В случае а2) без ограничения общности можно считать % = 0. Тогда % e (0, л) .
Выберем такое s> 0, что sgn Ф(%) = sgn Ф" (0), если 0 <%|<s. Рассмотрим векторное поле X -Я(/хп-2 y2 + yn )д / дх, Яф 0, /ф 0 . При Я и / достаточно близких к
нулю XЯ/ e U(X). Для функции ФЯ/ (%) = Ф(%) + Я sin3 % ( / cos""2 % + sinи"2 %) % = 0 - трехкратный нуль и потому Xя / e U(X) \ Z0 . Выберем / > 0 столь малым, что /cosn 2%0 + sinn 2%0 > 0. Так как ФЯ/(%0) = lsin3%0(/cos"-2 % + sin"-2 %), то sgn Фя,/(%0 ) = sgn Я. Пусть sgn Я = - sgn Ф"(0) . Тогда при Я достаточно близком к нулю у функции Фя,/(%) в (%0 -s,%0 + s) будет два нуля, а число нулей в Ц + s, % -s + л]
не уменьшится. Тем самым Xi / e U(X) \ Z0 имеет больше особых точек, чем X, в
противоречие с их топологической эквивалентностью.
Рассмотрим случай б). Тогда один из нулей %, i = 1,..,N имеет кратность 2т-1 >3 .
Мы можем считать, что все % Ф 0. Рассмотрим поле Xf v = Pf,v д / дх + Pf,v д / ду e HPn, где Pfv (х, у) = P (х, у) + /Vvxn + xyn-Х), Pf,v (х, у) = Рг (х, у) + /(vxn -Ху + yn).
Соответствующие функции Ф/v (%) = Ф(%) , Rf v (%) = R(%) + f(v cos"_1 % + sinn_1 %) .
Выберем v> 0 так, чтобы vcosn % + sinn % > 0 для всех i = 1,..,N. Тогда при достаточно малом /> 0 R/V(%) Ф 0 для всех i = 1,..,N, а X/VeU(X). Так как Ф/,v(%) = Ф(%) имеет кратный нуль, то Xfve U (X )\ Z0 . Поскольку векторное поле
X^v, в отличие от X, имеет конечное число особых точек, то оно не может быть топологически эквивалентно X. Снова получаем противоречие.
Таким образом, предположение, что векторное поле X е HPn первой степени
негрубости не принадлежит S1 приводит к противоречию. Следовательно, X eS1.
5. Достаточность условий первой степени негрубости. - подмногообразия
Изменим обозначения, записав поле X е HPn в виде
х, y, x ) д / ах+p2( х, y, x )д / ay,
где Pi (х, y, X), i = 1,2, являются многочленами от (х, y, X) = (х, y, a0,..., a0 n, b 0,..., b0 n ) . Соответственно, вместо R(q>) и Ф(ф) будем иметь аналитические функции R(ф, X) и Ф(ф, X) переменных (ф, X) .
Пусть X0 eS}, ф0 е[0,л) - нуль функции Ф(-,X0), фигурирующий в
определении S}; остальные нули этой функции из [0, л) - простые. Так как
Фф(ф0, X0) = 0, Фффф X0) *0, то по теореме о неявной функции [Нарасимхан, 1971]
существуют окрестность V(X0) поля X0 и число 8е (0,л /2), такие, что VX eV(X0)
уравнение Фф(ф, X) = 0 имеет на промежутке (ф - 8,ф + 8) единственное решение
ф = ф(Х), где ф(-) - аналитическая функция, ф(Х0) = ф . Выбрав окрестность V(X0) достаточно малой, мы можем считать, что
V ф е (ф0 -8ф + 8) VX eV (Х0) Ффф, X) * 0, R(ф, X) * 0, Ф(, X) имеетна [ф0 + 8,ф0 - 8 +л] только простые нули, отличные от нулей R(, X).
Функция f : V(Х0 ) ^ R, определенная равенством f (X) := Ф(ф(X), X), является аналитической. Покажем, что f'(Х0) * 0 .
При n = 2m +1 возьмем H = -y(х2 + y2 )m д / дх + х(х2 + y2 )m д / dy е HPn . Тогда
Ф(ф, Х0 + тИ) = Ф(ф, Х0) + т, ф(Х0 + тИ) = ф, f (Х0 +тИ) = т. При n = 2m возьмем И = -(х2 + y2)msin^д/дх + (х2 + y2)mcos^ д/д^eHPn.
Тогда
Ф(ф,Х0 +тИ) = Ф(ф,Х0) + т^(фф, ф(Х0 +тИ) = ф0, f (Х0 +тИ) = т.
В обоих случаях f'(Х0 )И = d | т=0 f (Х0 + тИ) = 1 * 0 и потому f'(Х0 ) * 0 . Так как f (Х0) = 0, f'(Х0) * 0, а dim HPn = 2n + 2, то вследствие теоремы о неявной функции существуют число c > 0, окрестность U(Х0) с V(Х0) поля Х0 и
аналитический диффеоморфизм g: (-c,c) х R2n+} ^ U(Х0), такие, что g(0,0) = Х0, f (g(т,Л)) = т [Палис, Мелу, 1986]. Для X = g(0,Л) имеем f (X):=Ф(ф(X), X) = 0 .
Учитывая (2) и (1), получаем, что g(0 х R2n+}) = S} oU(Х0), все векторные поля из этого
множества принадлежат S} и топологически эквивалентны полю Х0 и в K и в RP2. Тем
самым Х0 имеет первую степень негрубости, а S} - вложенное аналитическое
подмногообразие HPn. При Ффф(ф0, Х0)т>0 (Фффф, Х0)т<0) векторное поле
X = g(г, Л) принадлежит 20 и не имеет бесконечно удаленных особых точек с координатами p е [Po —8, Po + 8] и p е [Po — 8 + ж, Po + 8 + ж] (имеет по две бесконечно удаленные особые точки с координатами р е[р0 —8,(q +8] и ре[рд — 8 + ж, Po + 8 + ж]).
Пусть Хд еХ|). Ро е[0,ж) - нуль функций Ф(-,X0) и R(-,X0), фигурирующий в определении , а Pi, i = 1,..,N, - остальные нули Ф(-,Хд) на [0,ж). Так как Ф(Р/, хХ0) = 0 , ФР(Ру, хХ0) *0 , j = Од,.., N, R(Pi, Хо) * о , i = 1,.., N, то существуют попарно не пересекающиеся интервалы (Pj —8,Pj +8), j = ОД,..,N, окрестность V(Хд) поля Хо и аналитические функции Pj : V(Хд) ^ (Pj —8,Pj +8) , такие, что, VX е V(Хд) Pj(Х), j = ОД,..,N, - простые нули Ф(•,Х), Pj^g) = Pj; других нулей Ф(•,Х) на промежутке [Pg(Х), Pg(Х) + ж) не имеет; sgn R(p, Х) = sgn RP, Хд) * 0, если ре (Pi —8,Pi +8), i = 1,..,N.
Функция f: V(Хд) ^ R, определенная равенством f (Х):= R(Pg(Х), Х), является аналитической. Покажем, что f'(Хд) * 0 . Возьмем
H = (xn + yxyn—1 )д / dx + (xn—1y + уyn )д / dy е HPn,
n—1
где у * —ctg Po при Po * 0. Тогда
Ф^, Хд + гН) = Ф^, Хд), Po (Хд + гН) = Po, f (Хд + гН) := R(po, Хд + гН) = r(cosn—1 Po +у sinn—1 Po),
f'(Хо) H = d
f (Хо + гН) = cosn—1 Po + у sinn—1 Po * 0, f' (Хо) * 0.
г=0
йт
Ясно, что {X: /(X) = 0} = V(X0)\ Е0 =е2 пГ(X0). Так как /'(X0) Ф 0, то отсюда
следует, что е2 - вложенное аналитическое подмногообразие НРп.
Все точки лучей р = р0(X) и р = р0(X) + ж - особые. Так как Ф(ро(X),X) = 0, Ф((Р0(X),X) Ф0, Я(р0(X),X) = 0, то 8! > 0 можно выбрать так, что при 0 <| р - р0 (X)| <81 Я(р, X)/ Ф(р, X) = а(р), где а(р) - аналитическая функция на ((0( X) - 81, р0( X) + 81). Уравнение г = ^ехр ¿^(в) йв, ре (роЩ-81,ро(X) + 81),
задает аналитическое локальное инвариантное многообразие Ж(Г0) поля X, содержащее особую точку с координатами г = Го, р = ро(X), к которой с -предельны ( а -предельны) траектории, начинающиеся в точках Ж(Г0), если Фрро,Xо) <0 (Фрро,Xо) >0) . Ввиду
(1) существует и аналитическое локальное инвариантное многообразие поля X, содержащее особую точку с координатами г = Го, р = ро (X) + ж, к которой с -предельны (а -предельны) траектории, начинающиеся в его точках, если (-1)п-1Фр(ро,Xо) < о
((-1)п-1Фр(р0, X0) > 0). Теперь ясно, что все негрубые векторные поля X еV(Xо) топологически эквивалентны Xо . Тем самым Xо е е2 имеет первую степень негрубости.
Бесконечно удаленные особые точки с координатами р = р0 (X) и р = ) + ж при ДХ)Фр(Р),х0) <0 - узлы, а при /(X)Ф(((),Х0) >0 - седла.
Пусть X) еХз. Выберем окрестность V(X)) поля X) так, чтобы УХ е V(Х0)
2ж
Т>Г у\
Ф(р, X) Ф 0. Функцию / : V(X) ) ^ К зададим равенством /(X) := - Г-,-йр. Пусть
) ф(р X)
Н еНРи определено равенством Н(х,у):= -Р2(х,У,Xo)д/ дх + Р1(х,у,Xo)д/ду. Как
2ж
показано в [Ройтенберг, 2018в] /(X0 + тН) = - Г К(р Xo) -тФ(р Xo) йр, и потому
; Ф(р,Xo) + тЯ(р,Xo)
т = 0
f(X0 +тИ) = 2f ^ ^ + ф2р Xo) 0 и f'(X0) Ф 0
J rfS2 /" V Л
f'(X0)H = d____________0 , _ ,,
0 ф2(^ X0)
Следовательно, S3 nV(X0) = {X: f (X) = 0}, и S3 является вложенным аналитическим подмногообразием HPW. При f (X) < 0 (f (X) > 0 ) Ж является устойчивой (неустойчивой) траекторий поля X в K.
Поскольку для любого поля X0 eSfc (k = 1,2,3 ) S n V (X0) = Sk nV (X0), а Sk
является вложенным аналитическим подмногообразием HPW, то и S1 является вложенным аналитическим подмногообразием.
Список литературы References
1. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. 1967. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука. 487 с.
Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Maier A.G. 1967. Teorija bifurkacij dinamicheskih sistem na ploskosti [The theory of bifurcations of dynamical systems on the plane]. Moscow. Nauka Publ. 1967. 488 p.
2. Арнольд В.И. 1978. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. 304 с.
Arnold V.I. 1978. Dopolnitel'nye glavy teorii obyknovennyh differencial'nyh uravnenij [Additional chapters of the theory of ordinary differential equations]. Moscow. Nauka Publ. 304 p.
3. Арнольд В.И. 1989. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1989.
472 с.
Arnold V.I. 1989. Matematicheskie metody klassicheskoj mehaniki [Mathematical methods of classical mechanics]. Moscow. Nauka Publ. 472 p.
4. Лерман Л.М., Тураев Д.В. 2012. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах. Нелинейная динамика. T. 8, № 2. С. 323-343.
Lerman L.M., Turaev D.V. 2012. On symmetry breaking bifurcations in reversible systems. Nonlinear Dynamics. V. 8. No. 2. P. 323-343 (In Russian).
5. Нарасимхан Р. 1971. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. Пер. с англ. М.: Мир. 232 с.
Narasimhan R. 1968. Analysis on real and complex manifolds. Paris. Masson & Cie.
6. Овсянников Л.В. 1978. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 400 с. Ovsjannikov L.V. 1978. Gruppovoj analiz differencial'nyh uravnenij [Group analysis of
differential equations]. Moscow. Nauka Publ. 400 p (In Russian).
7. Палис Ж., Мелу В. 1986. Геометрическая теория динамических систем. Введение. Пер. с англ. М.: Мир. 301 с.
Palis J., Melo W. 1982. Geometric theory of dynamical systems. An introduction. SpringerVerlag. 198 p.
8. Ройтенберг В.Ш. 2018. Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно конечной группы вращений. Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. «Естественно-математические и технические науки» № 3 (226). С. 13-19.
Roitenberg V.Sh. 2018. Structural stability of vector fields on the plane those are invariant under a finite rotation group. Bulletin of the Adyghe State University. Series «Natural-Mathematical and Technical Sciences» No. 3 (226). P. 13-19 (In Russian).
9. Ройтенберг В.Ш. 2018. Грубость векторных полей на плоскости, инвариантных относительно группы вращений. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Сер. Математика. Физика. Т. 50, № 4. С. 398-404.
Roitenberg V.Sh. 2018. Structural stability of planar vector fields those are invariant under the rotation group. Belgorod State University Scientific Bulletin. Ser. Mathematics. Physics. V. 50, No. 4. P. 398-404 (In Russian).
10. Ройтенберг В.Ш. 2018. О типичных однородных векторных полях на плоскости. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. № 2 (46). С. 15-26.
Roitenberg V.Sh. 2018. On generic homogeneous vector fields on the plane. University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. No. 2 (46). P. 15-26 (In Russian).
11. Ройтенберг В.Ш. 2019. О бифуркациях векторных полей на плоскости, инвариантных относительно вращений. В кн.: Математика и естественные науки. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 14. Ярославль. Издат. дом ЯГТУ. С. 46-55.
Roitenberg V.Sh. 2019. On bifurcations of vector fields on the plane those are invariant under rotations. In: Matematika i estestvennye nauki. Teorija i praktika: Mezhvuz. sb. nauch. tr. Vyp. 14 [Mathematics and natural sciences. Theory and practice: coll. of scientific works. Iss. 14]. Yaroslavl. YaSTU Publishing House. P. 46-55 (In Russian).
12. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. 2009. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. Москва-Ижевск: ИКИ. 548 с.
Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L. 2001. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 2. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. World Scientific.
13. Golubitsky M, Shaeffer D. 1979. Inperfect bifurcations in the presence of symmetry. Comm. Math. Phys. V. 67. P. 205-232.
14. Ibragimov N.H. 2006. A practical course of differential equations and mathematical modeling. Carlscrona (Sweden): ALGA. 370 p.
15. Lamb J. S. W., Capel H. W. 1995. Local bifurcations on the plane with reversing point group symmetry. Chaos. Solitons. Fractals. V. 5. No. 2. P. 271-293.
16. Lamb J. S.W., Roberts J.A. G. 1998. Time-reversal symmetry in dynamical systems: A survey. Physica D. V. 112. No. 1-2. P. 1-39.
17. Sotomayor J. 1974. Generic one-parameter families of vector fields on two-dimensional manifolds. Publ. Math. IHES. 1974. V. 43. P. 5-46.
18. Takens F. 1974. Forced oscillations and bifurcations. Comm. Math. Inst. Rijacuniversiteit Utrecht. V. 3. P. 1-59.
Ссылка для цитирования статьи Reference to article
Ройтенберг В.Ш. 2019. О бифуркациях однородных полиномиальных векторных полей на плоскости. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 51 (2):192-202. Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-2-192-202.
Roitenberg V.Sh. 2019. On bifurcations of homogeneous polinomial vector fields on the plane. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics. Physics. 51 (2): 192-202 (in Russian). Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-2-192-202.
