О бесконечности числа отрицательных собственных значений модели Фридрисха Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984.53

О БЕСКОНЕЧНОСТИ ЧИСЛА ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МОДЕЛИ ФРИДРИСХА

Ю.Х. Эшкабилов Национальный Университет Узбекистана им. М.Улугбека, Узбекистан

yusup62@mail.ru

Изучен дискретный спектр самосопряженных операторов в модели Фридрихса с положительным симметричным ядром. Получены достаточные условия существования бесконечного числа отрицателных собственных значений в модели Фридрихса.

Ключевые слова: модель Фридрихса, спектр, существенный спектр, дискретный спектр. 1. Введение

Пусть п(Ь) — вещественная непрерывная функция на [0,1], и — оператор умножения на функцию п(Ь) в гильбертовом пространстве Ь2[0,1], т.е.

и№ = п(г)!(ь),/ е ь2[0,1] и К - самосопряженный компактный интегральный оператор в Ь2[0,1]. Некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики [6,7,11] сводятся к исследованию дискретного спектра оператора Н в пространстве Ь2[0,1], действующего по формуле

Н = и — К. (1)

Известно, что из классической теоремы Вейля о компактном возмущении вытекает, что существенный спектр ае(Н) оператора Н совпадает со спектром мультипликатора и, т.е. ае(Н) = а (и). В 1938 году оператор вида (1) был рассмотрен К. О. Фридрихсом [17], поэтому оператор вида (1) называется оператором в модели Фридрихса.

В работах [3,14] было показано, что в случае п(Ь) = Ь, если ядро интегрального оператора К — гёльдеровское с покозателем ц> 1, то оператор и—К имеет вне существенного спектра конечное число собственных значений. Далее, оператор в модели Фридрихса изучался в работах [2,4,5,16]. Пусть п(Ь) — вещественная аналитическая функция в некоторой комплексной окрестности отрезка [а, Ь], и пусть ядро оператора К — симметричная аналитическая функция в некоторой окрестности квадрата [а,Ь]2. Доказано (см. [2,4,5,16]), что, если число критических точек функции п(Ь), т.е. тех точек Ь е [а,Ь], в которых п'(Ь) = 0 , конечно, и каждая из них невырожденная, то дискретный спектр оператора Н конечен.

Вопрос о бесконечности числа собственных значений в модели (1), лежащих вне существенного спектра, изучен в работе [13]. В работе [9] изучен сингулярный спектр самосопряженных операторов в модели Фридрихса. Сингулярный и точечный спектры в самосопряженной неограниченной модели Фридрихса подробно изучены в работах [1,8,14,15].

Как нам известно, если мультипликатор и в модели (1), задан неотрицательной функцией п(Ь), 0 е Яаи(п) (т.е. птт = 0) и интегральный оператор Фредгольма К положительный, то вне существенного спектра ае(Н) оператора Н отсутствует положительное собственное значение. При этом, только в модели (1) может появиться отрицательное собственное значение, т.е. дискретный спектр а^,(Н) оператора Н лежит на отрицательной

полуоси вещественных чисел. Более того, если множество ad(H) бесконечно, то только ноль является предельной точкой для множества ad(H).

Настоящая заметка посвящена изучению отрицательных собственных значений в модели Фридрихса (1) для симметричных положительных ядер k(t,s) интегрального оператора K. Рассмотриваются два вопроса: первый —какие последовательности отрицательных чисел из 1\ будут лежать в дискретном спектре ad(H) оператора H, второй —для каких положительных функций u(t) и симметричных положительных ядер k(t, s) интегрального оператора K в модели (1) появится счетное число отрицательных собственных значений.

В третьем пункте доказано, что существует положительная непрерывная функция u(t) и существует симметричное неотрицательное непрерывное ядро k(t, s) для интегрального оператора K такое, что каждое отрицательное число

ап = ----, n Е N,

bn an

является собственным значением оператора U — K, где b > a > 2. В четвертом и пятом пункте получено достаточное условие для бесконечности отрицательных собственных значений в модели Фридрихса. Показано, что в модели Фридрихса с ядром Грина G(t, s) и с экспоненциональным ядром exp(\t — s|) существует бесконечное число отрицательных собственных значений.

2. Собственные значение мультипликатора

Пусть u(t) - заданная вещественнозначная непрерывная функция на [0,1]. Определим мультипликатор U : L2[0,1] ^ L2[0,1] по правилу

Uf(t) = u(t)f (t). (2)

Оператор U является самосопряженным ограниченным линейным оператором в L2[0,1]. Имеем

v(U) = Ve (U) = [umm,umax].

где umin = min u(t),umax = max u(t). te[o,i] te[o,i]

Предложение 2.1 [12] Мультипликатор U (2) имеет собственное значение тогда и только тогда, когда существует интервал (а, ß) С [0,1] такой, что u(t) = const, Wt Е (а, ß).

Пусть е > 0 достаточно мало. Определим множества V = V[0,1] в комплексной плоскости C следующим образом:

V = V(0) и V и V(1),

где V(0) и V(1) — е - окрестность в комплексной плоскости точек 0 и 1, соответственно и

V = {z Е C : 0 ^ Rez ^ 1, -е < Imz < е}. Из предложения 2.1 вытекает

Предложение 2.2 а) Если непрерывная функция u(t) строго возрастает (убывает) на [0,1], то у мультипликатора U отсутствует собственное значение;

б) Если функция h(z) аналитическая в области V[0,1] , при z Е [0,1] принимает вещественные значения и h(z) = u(z) = const, z Е [0,1], то у мультипликатора U отсутствует собственное значение.

Предложение 2.3. Для любой последовательности положительных чисел {rk}keN Е li существует неотрицательная непрерывная функция u(t) на [0,1] такая, что Ran(u) = [0, max rk] и каждое число rk является собственным значением мультипликатора U (2).

Доказательство. Рассмотрим убывающую последовательность {an}neNU{0} неотрицательных чисел:

ao = 1, ak > ak+i и lim an = 0.

Положим

An = 3 (an-i - an), n Е N.

Определим последовательность pk(t) непрерывных («трапециальных») функций на [0,1]:

f ^, t Е [ak,ak-i - 2Ak],

1, t Е [ak-i - 2Ak, ak-i - Ak], ak-1 1 t Е [ak-i — Ak ,ak-i] ,

Pk (t) = <

к 0, Ье [ак,ак-1], где к е N.

Пусть {гк}кем — последовательность положительных чисел такая, что

У] Г к < Ж,

к=1

т.е. {rk}кеN Е ¡1. Определим неотрицательную непрерывную функцию r(t) на [0,1] по формуле

те

r(t) = Yl Гк(t)Pk(t), t Е [0,1]. (3)

к=1

Очевидно, что 0 Е Ran(r), так как pk(0) = 0, k Е N. Следовательно, имеем

Ran(r) = [0, max rk ].

keN

Пусть

Xk(t) = X(ak-1-2Ak, ak--Ak )(t) , k Е N, где Xo(t) — характеристическая функция множества G. Тогда система функций

Mt) = ^, n Е N V ^и

является ортонормированной в пространстве L2[0,1].

Определим мультипликатор U в L2[0,1] следующим образом

Uf(t) = r(t)f (t).

Оператор U имеет счетное число собственных значений, более того, каждое число rk является собственным значением мультипликатора U, так как

U^k(t) = r(t)tpk(t) = rk^k(t), k Е N.

О бесконечности числа отрицательных собственных значений модели Фридрисха 19 3. Метод «треугольных» функций

Пусть функция и(Ь) на [0,1] определена равенством (3), т.е. и(Ь) = г(Ь), Ь е [0,1].

Теорема 3.1. Пусть {Лп}^М — последовательность положительных чисел удовлетворяющая условию:

те >

п=1

п

< оо.

(4)

Если последовательность {rk}keN удовлетворяет соотношению

0 <rk <Xk, k e N,

то существует неотрицательная непрерывная функция k(t,s) на [0,1]2 такая, что каждое число ап = rn — \п является собственным значением в модели (1), т.е. оператор H (1) имеет счетное число отрицательных собственных значений {an}kGN и при этом lim ап = 0.

п^те

Доказательство. Определим последовательность дп и д'п : Яп = ап-i — Ап, д'п = Яп — Ап (n e N), где последовательность {ап}кеN дана при определении функции r(t) (3). На [0,1] определим последовательность «треугольных» функций фп(^ :

2^41, t e

д qn+q'n дп, 2

Фп^) = < _2(t-qr) t е qr-q'n '

qn+q'n д 2 , дп

, 0, Ье [д'п, д.п] ,

где п е N.

Очевидно, что фп(Ь) е С[0,1], п е N. Нетрудно проверить, что системы \ фп образуют ортогональные системы в Ь2[0,1] и

^n

Фп^)

dt

п

n е N.

Следовательно, системы функций {фп}пеN С L2[0,1], заданные равенством

Фп^) -

3

п

Фп^)

(5)

являются ортонормированными.

Определим функцию k(t,s) на [0,1]2:

k(t,s) = ^2 \пфп^)фп^), t,s e [0,1].

(6)

k=1

Из (4) и (5) следует, что последний функциональный ряд на [0,1]2 сходится равномерно и, следовательно,

к(Ь,в) е С[0,1]2, к(Ь,в) ^ 0, Ь,в е [0,1]. Пусть ядро интегрального оператора К в (1) задано равенством (6). Тогда

Ифп = ифп - Кфп = т(Ь)фп(Ь) - Лпфп(Ь) = (Гп - Лп)фп(Ь), п е М,

1

2

0

т.е. каждое отрицательное число an = rn — Xn является собственным значением оператора (1). Очевидно, что lim an = 0.И

Пример 3.1. Пусть an = и rn = bn, где b > 2 и функция r(t) задана равен-

ством (3). Тогда

Положим

An = 1 • —, n е N. n 3 2n

Xn = -1, n е N,

где 2 < a <b. Тогда

rn < Xn, n е N и In = 3 • (2)n, n е N

X„

v^ Xn

n=l

Пусть интегральный оператор K задан с ядром (6). Тогда в силу теоремы 3.1 каждое

число

_ 1 1

а'а = bn an является собственным значением оператора H (1).

4. Метод характеристических функций

Пусть u(t) — непрерывная неотрицательная функция, u(t0) = 0, t0 е [0,1], k(t, s) ^ 0 и k(t0, t0) = 0. Пусть системы {Gk}кеN открытых подмножеств Gk С [0,1] удовлетворяют следующим условиям:

(i) Gi П Gj = 0 при i = j;

(ii) существует последовательность положительных чисел {en}n^N такая, что lim en

0 и Gn С OEn(to) П[0,1], где Os(t) = (t - 8,t + 8); ™

Теорема 4.1. Пусть и(х0) = 0 и к(х0,х0) = 0 для некоторого х0 Е [0,1]. Если существуют системы открытых подмножеств {Сга}гаеМ множества [0,1] удовлетворяющие условиям (1) и (и) такие, что

sup u(t) < ß(Gn) inf k(t,u), Wn е N, tecn t,uecn

где /!(■) — мера на а — алгебре измеримых подмножеств из [0,1], то в модели (1) существует счетное число отрицтельных собственных значений.

Доказательство. Определим последовательность ортонормированных функций {/п} в Ь2[0,1] по правилу:

1п (¡) = ^¡к, п Е N.

уц-(Ьп)

Тогда имеем

(НП ¡п) = (ип ¡п) - (к/п, ¡п) = I и(г)!2п(г)м-

ll

fn(

' 0 J 0 J Gn J Gn J Gn

k(t,u)fn(t)fn(u)dudt = / u(t)f2n(t) - / k(t,u)fn(t)fn(u)dtdu ^

0

2

/п(

^ supu(t) fn(s)ds - inf k(t,u)[ fn(£)d£ =

tecn Jon t,ueG„ \JGn

= sup u(t)--inf k(t,u) ( I XGn (0d£

tec„ MGW \JGn

= sup u(t)-- inf k(t,u) • f2(Gn) = sup u(t) — f(Gn) inf k(t,u) < 0, n Е N.

teGn f(Gn) t,u^Gn teGn t,ueGn

Отсюда и, в силу теоремы 3.3 из [13] (о достаточном условии бесконечности дискретного спектра в модели Фридрихса) получим,что оператор H (1) имеет счетное число собственных значений. ■

Пример 4.1. Пусть ядро k(t, s) интегрального оператора K является экспоненциальной функцией, т.е.

k(t, s) = et-s, t,s е [о, i]

и

u(t) = ta, a > 2.

Определим последовательность подмножеств [Gn}neN следующим образом

Gn = I x Е [0,1] : —1— < x < 11 , n Е N. n \ L J n + 1 nj

Очевидно, что Gn П Gm = 0 при n = m и Gn С 01 (0) f|[0,1], n Е N.

n

Имеем

inf k(t, s) = inf elt-sl ^ 1.

t,s£Gn t,s£Gn

Тогда

1

ß(Gn) inf k(t, s) >

г,зео„ ' 2п2' Легко убедиться, что при всех п > п0 = 2^ выполняется неравенство

1 1

2n2 na

Следовательно,

sup u(t) < ß(Gn) inf k(t, s) при всех n > n0.

teGn t,seGn

Тогда, в силу теоремы 4.1, в модели (1) с ядрами экспоненциальной функции е11-^ существует счетное число отрицательных собственных значений {an}neN, для которых

lim an = 0.

n—^^о

Пример 4.2. Пусть ядро k(t, s) интегрального оператора K является функцией Грина, например

( t(1 - s), 0 ^ t ^ s ^ 1, k(t, s) = G(t,s) = <

{ s(1 - t), 0 ^ s ^ t ^ 1.

и

п(г) = [г - 2

Очевидно, что п(2) = 0 и С( 1,2) = 1 • Определим последовательность подмножеств {Сп}пт следующим образом

Gn = <J x £ [0,1] : —^т- <

n +1

1

Х " 2

< 1 !> , n £ N. n

Легко заметить, что Gn П Gm = 0 при n = m и Gn С 01 (1), n £ N. Имеем

1\4 1

sup u(t) = sup ( t — — I = — при n ^ 2.

2n

tecn tec,

С другой стороны,

inf G(t, s) ^ inf G(t, s) = 7o > 0 при n ^ 3.

t,secn t,seo i (2)

Имеем,

2

MGn) = —(—: TT, n ^ 3. n(n + 1)

Легко убедиться, что существует натуральное число n0 ^ 3 такое, что

1 27о

— < ———— при всех n > no.

n4 n(n + 1)

Следовательно,

sup u(t) < ß(Gn) inf G(t, s) при всех n > n0.

tecn t,secn

Тогда, в силу теоремы 4.1, в модели (1) с ядрами Грина G(t, s) существует счетное число отрицательных собственных значений [an}n€N , для которых lim an = 0.

5. Модель Фридрихса с произвольным положительным мультипликатором

Пусть u(x) — произвольная неотрицательная непрерывная функция на [0,1].

Теорема 5.1. Если u(0) = 0 и u(x) ^ xai при всех x £ (0,е), 0 < е < 1, где а1 > 1. Тогда существует неотрицательное непрерывное ядро k(t, s) такое, что оператор H (1) имеет счетное число отрицательных собственных значений.

Доказательство. Пусть an = , n £ N. Определим последовательность (An}neN :

х = -L L

An = un + na2 ' 2n , где a2 > 1 и un = max u(£), n £ N.

?e[q'n ,qn]

Здесь

11

qn an-1 0 r.n, qn qn

3-2п 3 • 2п

Определим функцию к (г, в) следующим образом

те

к(г,в) = ^2 ХпФп(г)Фп(в), г, в £ [0,1], к=1

где {фп} - ортонормированная система в Ь2[0,1] заданная формулой (6). Очевидно, что существует п0 £ N такое, что п(х) < аа-1 для всех х £ [0, ап-1] при п > п0^

О бесконечности числа отрицательных собственных значений модели Фридрисха 23 Отсюда при п > п0 получим, что

Хп • 2n = ( un + — • — ) • 2n = 2n • un + — = 2n • sup ) + — ^ 2n • aai+ — n 1 n na2 2n) n na2 teWnL] na2 n-1 na2

2n 1 ( 2 \n-1 1 2 1

+ — = 2 • — + — = 1W„ ^ +

2(п-1)«1 па2 \ 2а1 / па2 2(®!-1)(п-1) па2

Тогда имеем:

по те / ч п-1 те

к(М) ^9Лп■ 2п ^ ^Лп■ 2п + 18 £ ( — \ + 9 £ — < ^М Е [0, ^

пбМ п=1 п=по+1 ^ ' п=по+1

т.е. к(^, в) является неотрицательной непрерывной функцией на [0,1]2. Пусть К интегральный оператор с ядром к(Ь, в). Тогда

(Нфп,Фп) = (ифп,фп) - (Кфп,фп) = и(г)\фп(^)\2йг - Лп =

'0

u(t)\^n(t)\2dt - \Un + п) ^ max u(£) [ iftn(t)dt - (Un + 1

Лп] Jq'n

1 \ 1

,q- у 2nna2 J te[q'n ,qn] Ь ' n ^ / у 2nUa2

nn

= max u(£) — un +--=--, n E N.

№,qn] V n 2nnay 2nna2' Отсюда и в силу теоремы 3.3 из [13] (о достаточном условии бесконечности дискретного спектр в модели Фридрихса) получим, что оператор H (1) имеет счетное число отрицательных собственных значений.

Литература

[1] Дынкин Е.М, Набоко С.Н, Яковлев С.И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса //Алгебра и анализ. — 1991. — Т.З, №2.—С. 77-90.

[2] Имомкулов С.А., Лакаев С.Н. Дискретный спектр одномерной модели Фридрихса //Докл.АН УзСССР. — 1988. —№7.—С. 9-11.

[3] Ладыженская О.А., Фаддеев Л.Д. К теории возмущений непрерывного спектра //Докл.АН СССР.— 1962. —Т.145, №2. —С. 301-304.

[4] Лакаев С.Н. О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса //Докл. АН УзССР. — 1979. — №4. — С.9-10.

[5] Лакаев С.Н. Некоторые спектральные свойства обобщенной модели Фридрихса //Тр.семинара Н.Г.Петровского. — 1986. —№11. —С. 210-238.

[6] Лакаев С.Н., Минлос Р.А. О связанных состояний кластерного оператора //ТМФ. — 1979. — Т.39, №1. — С. 83-93.

[7] Минлос Р.А., Синай Я.Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа //ТМФ. — 1970. — Т.2, №2. — С. 230-243.

[8] Набоко С.Н., Яковлев С.И. Об условиях конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса //Функ.анализ и его прил. — 1990. — Т.24, №4. — С. 88-89.

[9] Павлов Б.С., Петрас С.В. О сингулярном спектре слабо возмущенного оператора умножения // Функ.анализ и его прил. 1970. — Т.4, №2. — С. 54-61.

[10] Рид Н., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4: Анализ операторов. — М: Мир, 1982.

[11] Фаддеев Л.Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного сектра /Краевые задачи математической физики. Сборник работ. Посвящается памяти В.А. Стенлова в связи со столетием со дня его рождения //Тр. МИАН СССР. Т.73. М.-Л.: Наука, 1964. С. 292-313.

[12] Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — М.: Мир, 1970.

[13] Эшкабилов Ю.Х. О бесконечности дискретного спектра операторов в модели Фридрихса //Мат.труды. — 2011. —Т.14, №1.—С. 195-211.

[14] Яковлев С.И. Граница конечности сингулярного спектра в окрестности особой точки операторов модели Фридрихса //Алгебра и анализ. — 1998. — Т.10, №4. —С. 210-237.

[15] Яковлев С.И. Теорема единственности и сингулярный спектр в модели Фридрихса около особой точки// Алгебра и анализ. — 2003. — Т.15, №1. — С. 215-239.

[16] Abdullaev J.I., Lakaev S.N. On the spectral properties of the matri-valued Friedrichs model /Many-Particle Hamiltonians: Spectra and Scattering //Adv. Soviet Math.Providence, RI: Amer.Math.Soc., — 1991. — V.5. — P. 1-37.

[17] Friedrichs K.O. Uber die Spectralzerlegung eines Integral Operators //Math. Ann. — 1938. — V.115, №1.— P. 249-272.

ON INFINITE NUMBER OF NEGATIVE EIGENVALUES OF THE FRIEDRICHS MODEL

Yu.Kh. Eshkabilov

The discrete spectrum of a self-adjoint operator in the framework of the Friedrichs model with a positive symmetrical kernel is studied in this paper. Sufficient conditions for the existence of infinite number of negative eigenvalues in the framework of the Friedrichs model are described.

Keywords: Friedrichs model, spectra, essential spectrum, discrete spectrum.

Yu.Kh. Eshkabilov - National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, Tashkent, Uzbekistan, mechanical-mathematical faculty, Doctor of sciences in physics and mathematics, professor, yusup62@mail.ru