CC BY
17
ских флюктуаций огибающей сигналов в силу их ограниченной информативности представляется бесперспективным.
2. Полученные модели для многомерных случаев равномерного, гауссовского и логарифмически-нормального распределения, являются первой попыткой теоретического описания более информативных в статистическом смысле моделей.
3. Представляет огромный теоретический и практический интерес поиск других статистических подходов для описания моделей сигналов и помех в загоризонтной радиолокации, учитывая их уникальную сложность, по сравнению с сигналами и помехами в классической над-горизонтной радиолокации.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Шляхин В.М. Вероятностные модели нерелеевских флу-ктуаций радиолокационных сигналов. Радиотехника и электроника. - 1987, т.32, № 9.
2. Ахметьянов В.Р. и др. Модели законов распределения амплитуды отраженных от морской поверхности сигналов. Зарубежная радиоэлектроника. - 1985, № 1.
3. Поздняк С.И., Мелитицкий В.А. Введение в статистическую теорию поляризации радиоволн. - М., "Сов. Радио". -1974.
4. Обнаружение радиосигналов. Под ред. А. А. Колосова. -М. "Радио и связь". - 1989.
5. Ремизов Л.Т. Модели помех естественного происхождения. Радиотехника и электроника. 1981, т.24, № 2.
6. Левин Б.Р., Шварц В.К. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. М.: Радио и связь. 1985.
7. В.И. Тихонов, В.Н. Харисов. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М. Радио и связь. 1991.
Наджшла 15.03.04
Проанал1зоват ймовгршстш моделг нерелеевських флю-ктуацш огинаючог сигнал1в, якг naiinacmiiue застосовую-ться у даний час при описанш моделей сигнал1в i завад в задачах заобршног радтлокацп. Зроблений висновок про не-досконалжтъ i обмежегпсть статистичних можливостей таких моделей.
Наводиться узагальненпя odnoeuMipuux щмьностей роз-подыу ÛMoeipuocrneù на багатомгрний випадок для pieuoMip-ного розподшу, гаупвсъкого розподыу i логарифм1чно-нор-мального розподыу.
The widely used probability models of signal envelop non-Rayleigh fluctuation are analyzed when it is imperative to describe the signal and noise models in over-the-horizon radiolocation. The analyzed models are imperfect and have limited statistical possibility. The conclusion that it is necessary to work up the multi-dimensional models is drawn.
In the paper, the generalization of probability density functions for multidimensional case of uniform distribution. Gaussian distribution and logarithmic normal distribution are presented.
УДК 62-50
И.В. Щербань, Е.М. Бовкун
НОВЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ РАДИОЛОКАЦИОННОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ
The problem of the radar tracking has been formulated as the problem of choice by the current noised observations of nonstationary structure type of the dynamic stochastic system from the set of structures known apriori, and solved on the basis of the procedure of local optimization. The feasibility of practical realization of the approach suggested has been analyzed on the example of identifying the aerial target maneuver known apriori.
ВВЕДЕНИЕ
В большинстве практических задач многоканальной радиолокации [1,2] существует возможность предварительного прогнозирования технически доступных видов маневров группы воздушных целей или каждой цели в отдельности на основе априорных сведений об их физических возможностях (сведений о тактико-технических характеристиках конкретных видов целей, об их аэродинамических характеристиках и характеристиках рулевых органов и двигательных установок и т.д.) и информации о текущем пространственно-временном распределении целей. Иначе, функционирование группы целей в
каждый момент времени может быть представлено одной из возможных и априорно известных динамических структур, определяемой видом маневров всей совокупности целей или каждой цели в отдельности, обобщенной системы дифференциальных уравнений. В этом случае задача сопровождения может быть сведена к задаче идентификации текущего типа структуры (текущего маневра целей) названной динамической системы по результатам радиолокационных наблюдений на фоне шумов и ложных радиолокационных отметок.
Анализ известных методов идентификации [2,3,4] показывает, что получить решение на их основе в случае, когда структуры стохастической динамической системы изменяются с течением времени, не представляется возможным. Поэтому решение задачи выбора нестационарной структуры из совокупности возможных априорно известных структур обобщенной стохастической системы, характеризующей динамику группы воздушных целей и наблюдаемой РЛС, представляет теоретический и практический интерес.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
Пусть группа маневрирующих целей в 1-м состоянии (при 1-м типе маневра) может быть представлена следующей нелинейной динамической стохастической системой [2,3,5]
X = /')(Х, О +ЛР(Х, t)t,p , X(tQ) = х0,
te[t0,tk], (1)
где f~l\X, t) , f\j\X, t) - нелинейные векторные (dim(jW) = n{l)<N, здесь N = max(nV\ ..., n(s)) ) и матричные (dimfj^j^) = X n^ ) функции;
I = 1,5 - номер динамической структуры;
X(t)- вектор (dim (X)=N) состояния группы целей в любой структуре;
- вектор (dimfc^) = rn ^) белого гауссовского нормированного шума; и наблюдается РЛС
Z = Н(Х, t)+wr
(АПВ) расширенного вектора
(/ - номер состояния).
S
-£vir(X,0a>z(,)(M +
Г=1
s _
+ £vr/(X,i)coz(r>(X,i), l=l,s,
s °°
~Z jY(X,Z,i)a)zW(X,i>iX],
k=1
M D it) r i
yix.z,t)=^^lzp-Hp(x.t)]*
p,q=
*[zq-Hq{X,t)},
(2)
где Z - вектор (dim (Z)=M) наблюдений;
H(X, t) - функция наблюдения (dim (#)=M);
W( - вектор dim(Wt) = M белого гауссовского шума с нулевым средним и матрицей интенсивностей Dw{t).
Плотность апостериорного распределения р(Х, Z, t) вектора состояния X{t), как известно, может быть представлена в виде [3,5]
j J
Р(Х, Z,t) = £ Ы(Х, z, i,t) = £ 0, /= 1 / = 1 где (i>i!\X, t) - апостериорная плотность вероятности
Х\
В рассматриваемом случае непрерывного сопровождения, когда восстановленные значения /-го состояния (при /-м типе маневра) группы целей Х(0 совпадают с конечными значениями ее г-го состояния (при г-м типе
маневра), функции СО =1,5, описываются
следующей системой обобщенных уравнений Стратоно-вича [3,5]
(3)
где V ¡Г{Х - интенсивность переходов из состояния I в состояние г,
^ря^) ' алгебраическое дополнение рд-го элемента в
определителе (г)| матрицы ;
р, <7 - индексы соответствующих компонентов векторов;
- оператор Фоккера-Планка-Колмогорова. С целью представления системы (3) в более компактной форме введем вектор интенсивностей смены состояния [3]
ч{Х,и) = \0 у12(Х,2,Г) ...
...уь(х,г,г)у21(х,г,г)оу23(х,2,г)... ...у^^х^.ОоГ (4)
и вектор
а)2(*,0 = |соЛМ ... ш2М(*,г)Г.
Так как вектор V содержит нулевые компоненты, то в дальнейшем будем использовать не сам вектор V , а вектор \>0 , связанный с ним соотношением
V = Е0У о ,
где У0 - вектор, образованный из вектора V исключением нулевых компонент;
Е() - матрица, образованная из единичной добавлением нулевых строк для формирования соответствующих нулевых элементов в векторе V ).
Тогда система (3) может быть представлена в виде
дt
-[q[coz(X,f)]{Es ® Is)-ш/(X,t)<8>Es]£0v0(X,Z,t),
i/[oz] = 4wz] + G[coz],
где Es- единичная матрица (dim (£'s)=sxs); Is- единичная строка (dim (/s)=lxs); ® - символ кронекеровского произведения;
Q(coz) =
r=1
Ю
(1)
0
0)
W
Анализ системы (4) показывает, что сам факт перехода обобщенной динамической системы (1) из одной структуры в другую - т.е. изменение вида маневра группы целей (или некоторых из целей, или одной цели), полностью определяется только вектором У(). Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что процедура идентификации номера текущей структуры систем (1) должна представлять собой поиск такого вектора \>0, который доставлял бы оптимум заданному функционалу качества (т.е. обеспечивал бы адекватность модели (1) реальному движению группы воздушных целей), с последующим определением номера максимальной компоненты вектора вероятностей состояний Р^) =
[3,5] - т.е. наиболее вероятной в текущий момент времени динамической структуры.
Поэтому в качестве критерия оптимальности идентификации вектора состояния системы (1) по наблюдениям (2), полученным в текущий момент времени целесообразно использовать критерий минимума классического квадратичного функционала [4,5,6], но для текущего времени £
min(j) = min/ J[Z-H{X,tf -H{x,t)]p(X,Z,t)dX
дополнительно пот ебовав в качестве ограничения на искомый вектор (для обеспечения физической реализуемости системы (4) в силу т.н. "принципа Ферма") минимума его квадратичной формы на текущем интервале времени для X и X*, т. е.
Vox
l
+ J Jv0T(X,Z,t)v0(X,Z,t)dX dt
(5)
'o*
Эсо
dt
^ = i/(coz)-[Q(cüzX^ ®/s)-cozT
*E0v0 =t/(wz)-F(o)z)v0.
(6)
Тогда окончательно поставленную задачу можно сформулировать как задачу поиска вектора , доставляющего минимум функционалу (5) существующему на множестве решений системы (6), с последующим формированием оптимального вектора СО^ > позволяющим решить задачу идентификации (выбора) искомой структуры путем определения минимальной компоненты вектора вероятностей состояний системы (1)
P{t)= J* СО z{X,t)dX.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СФОРМУЛИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ
Для последующего решения задачи используем тот известный факт, что при неотрицательно определенной критериальной функции для обеспечения ее минимального значения в каждый момент времени достаточно, чтобы производная ее по времени, взятая с обратным знаком, имела максимум [3,5,6]. В рассматриваемом случае - для функционала (4), это приводит с следующему условию
min(y) = maxi- j) =
v v„ vo о
max V„ о \ x
z bH{X,t)
dt
Dw-l[Z-H{X,t)] +
-l
w
Учитывая, что при введении вектора (£>г выражение для плошости р имее"- ви"
+ [Z-H{X,t)]TD]
х (z - - DWDW-1 [Z - Н(Х,,)]) J/,mz (X,t) +
+ [z - Н(Х, t)]T Dw~l[z - H(X,№, ^^ + + v0T(Z,X,t)v0(Z,X,t))dxj
или с учетом правой части уравнения (6) - к условию п
p{X,Z,t)=Isü>z{X,t),
окончательно минимизируемый функционал представим далее как
J = J[.Z-H(X,t)]TDw~l[Z-H(X,t)]ls(x>z(X,t)dX +
z-
dH(X,t)' dt
Dw-l[Z-H{X,t)] +
+ [Z - H{X,t)f ZV-1 x
x
и перепишем для наглядности последующего решения векторное уравнение (4) следующим образом
+ [г - н{х, г)]т ¿V1 [г - н(х, ф5 [и{ю2) - )]+
Из полученного выражения имеем исходное уравнение для определения вектора У0
-[г-н{хДт-н{х,ф5р{ы2) + К т =о,
откуда искомый вектор V; =^т(со2)//[г-я(х,0]то1,-1[г-я(х,0]. (7)
Подстановка найденного вектора Уд (7) в уравнение (6) позволяет сформировать уравнение, описывающее вектор (% плотностей распределений расширенных векторов состояний системы с интенсивностью их смены, обеспечивающей оптимум функционала идентификации (5)
от I
Очевидно, что интегрирование полученных уравнений (8) завершает решение задачи идентификации (выбора) текущей структуры обобщенной динамической системы (1) путем последующего определения максимальной компоненты вектора вероятностей состояний
P{t)= Jeoz{X,t)dX .
и наклонная дальность до цели соответственно; коэффи-2
циент а и величина ад характеризуют ширину спектра
и дисперсию ускорения <-/(£); у- коэффициент, ограничивающий рост дисперсии скорости во времени и определяемый типом цели и условиями движения; -белый гауссов шум с единичной спектральной плотностью; и(х) - импульсный процесс, отражающий ускорение цели вследствие маневров (за счет, например, газодинамических рулевых органов), о характере которого с целью упрощения последующих рассуждений и не нарушая их общности предполагалось, что он может случайным образом принимать только два значения (маневры типа "ускорение-торможение")
uit) =
м, = const; м 2 = const,
щ < u2
(10)
С точки зрения вычислительных затрат решение уравнений (8) оказывается сложнее исходной системы интегродифференциальных уравнений (6) (базовой в теории динамических систем со случайной структурой [3]). Но, с другой стороны, предложенный подход позволяет существенно упростить общую задачу радиолокационного сопровождения в ее постановочной части [2,4] и, соответственно, обеспечить большее быстродействие и повысить количество одновременно обслуживаемых целей в сравнении с традиционными алгоритмами оптимального радиолокационного слежения [4,5,7]. Недостатком подхода является достаточно сложный предварительный этап формирования банка возможных динамических структур системы ( 1 ), определяемых видами маневров конкретных типов воздушных целей.
Таким образом, представленный подход может быть использован при синтезе алгоритмов одновременного сопровождения группы высокоскоростных маневрирующих целей простой аэродинамической формы (управляемых боевых элементов межконтинентальных ракет, крылатых ракет различных классов и т.д.), когда критичным является время на решение задачи оценивания параметров движения целей и довольно просто сформировать банк возможных (доступных) маневров.
Для оценки практической эффективности предложенного подхода было рассмотрено его использование на примере задачи слежения за одной маневрирующей целью.
Пример.
Предполагалось, что априорные сведения о маневрирующей цели позволили сформировать следующую систему стохастических дифференциальных уравнений, определяющих функционирование цели на интервале
наблюдения /е [0;100]с
da/dt = -а а + аа dv/dt = -уvit) + ait) + uit) ; dr/dt = vit) . (9)
где ait), vit), rit) - ускорение, скорость движения цели
Т.е. обобщенная стохастическая система (1) содержала две случайные структуры, где
Xit) = | ait) vit) rit) |T,
о о Г,
/o(0=/o(2)=aaV^,
-aait)
- yvit) + ait) + ux vit)
-a ait)
- jvit) + ait) + u2 vit)
Полагалось также, что информационное сообщение X it) входит в наблюдение (2) линейно
f(2)(x,t) =
z(0 =
Z\ it) vit) 4- Wvit)
z2it) rit) Writ)
(И)
iwvit) и ыг(0 - нормированные белые гауссовы шумы).
На подобном примере в [4] приведено решение задачи квазиоптимального слежения за целью, но при этом априорно известный импульсный процесс к(0 задавался уравнением Колмогорова - Феллера. Рассматривавшаяся постановка задачи слежения, естественно, существенно проще примера в [4], но она может иметь место, как отмечалось ранее, в практических случаях сопровождения в реальном времени высокоскоростных целей. Известно например, что программы оптимального управления динамическими объектами при наличии ограничений на фазовые переменные и управление традиционно имеют релейный характер.
Идентификация структуры Х(Л) осуществлялась на основе минимизации критерия (5), где
'12
{x,Z,t
>21 (*,Z,/)f р(x,z,t) = wz^(X,t)+ coz^(x,t).
Так как коэффициенты сноса и диффузии А^ В1} (¿,/=1,2,3) оператора ФПК в этом случае имели следующий вид
Д. =/,.("(/= 1,2), Вп = 2аоа2, В12 = в13 = ... = в33 = О,
то система уравнений апостериорных плотностей имела вид
Эсо
Z(I) Í V (1) *>ZW
-— = (а + YPz + -т— +
(i)
bt
да
.Эсо,« Эсо2«
+ (yv -a -u{)—^— + V—~— + аа„
Э со
Эу
Эг
да2
(О
(О
[(z, - v(í>)2 + (z2 - r(f))2
*=1 -o,
-v12coz(l) +v21coz(2);
Эш
(2)
dt
= (а + y)coz'2' + аa
Эсо
(2)
da
+ (yv - a - м2 )—-г-— + v —ir— + аа„
dv
Эг
эЧ(2)
да2
со
(2)
[(^-víOf + ^-KO)2
X Jfel - vf + (г2 - r)2KW 1 - V120)Z(1) + v21co;
(2)
k=1
или в векторной форме Эсо
Эг
= í/(coz)-F(coz)v0> coz =| coz(l)
со
(2)
F{ coz) =
со
« -со
• со
(1)
со
(2)
m(Í) =
к2, re lo,46Je, щ, t б [46,80]с, м2, í 6 [80,100]с.
(12)
Для повышения качества сравнительного анализа с примером в [4] было выполнено предварительное моделирование "движения" цели по выбранной программе с одновременной записью зашумленных параметров движения a(t), vit) и rit) в отдельные файлы, а моделирование "измерений" и идентификация структур (маневров) цели осуществлялись далее в реальном времени (моделирование осуществлялось на ЭВМ с тактовой частотой 700 МГц). По завершении интегрирования и формирования приближенных значений функций coz^,
со
(2)
Уравнение (8) для оптимального вектора со2 в этом случае приняло вид
Эсо
/и 1 1 |.
Решение этого уравнения осуществлялось на основе
аппроксимации функций рядами Фурье с точ-
ностью до 3-х членов разложений [8] и интегрирования полученной системы уравнений для коэффициентов разложения на временном интервале [0; 100] с. Начальные условия задавались соответственно [4], а "неизвестные" наблюдателю маневры цели задавались распределенными по времени следующим образом
2 номера структур, выбранных по признаку максимальной вероятности состояния в текущий момент времени, оказались распределенными по времени в соответствии с заданными временными интервалами (12), но с временным запаздыванием, составившим не более 0,8 с. Это существенно меньше временного запаздывания оценки маневра в примере в [4], составлявшим более 5 с.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, полученные результаты позволяют сделать вывод как о теоретическом решении задачи идентификации нестационарных структур стохастической динамической системы, так и о возможности эффективного практического применения разработанного метода.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Шишов Ю.А., Ворошилов В.А. Многоканальная радиолокация с временным разделением каналов. М.: Радио и связь, 1987. -188 с.
2. Войтенков И.Н. Методы и средства дифференциального оценивания и идентификации моделей. Киев: Наукова думка, 1989. - 384 с.
3. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980. 412 с.
4. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. - 608 с.
5. Соколов C.B., Хуторцев В.В. Современные принципы управления и фильтрации в стохас-тических системах. М.: Радио и связь, 2001. - 808 с.
6. Соколов C.B., Щербань И.В. Непараметрическая идентификация динамических систем, оптимальная по квадратичному критерию // Теория и системы управления. № 1, 2002. - С. 36-40.
7. Максимов М.В., Меркулов В.И. Радиоэлектронные следящие системы. Синтез методами теории оптимального управления. М.: Радио и связь, 1990. - 226 с.
8. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд. МФТИ, 1994. - 528 с.
НадШшла 20.01.04
Задача радиолокационного сопровождения сформулирована как задача выбора по текущим зашумленным наблюдениям типа нестационарной структуры динамической стохастической системы из совокупности структур, априорно известных и решена на основе процедуры локальной оптимизации, Возможность практической реализации предложенного подхода исследована на примере идентификации априорно известного маневра воздушной цели.
2
