Новый подход к проектированию устойчивых радиоэлектронных и электротехнических релейных автоколебательных систем с интегратором в цепи обратной связи

Ружников В.А.; Прохорова В.А.; Силина М.В.; Чернышев Э.П.

V. B. Antipov, I. V. Antipov, S. F. Makarov

Sibirian physical and technical institute associated with Tomsk state university

Dynamic regime in a system of coupled oscillators synchronized with phase-splitted external signal

General properties of transition processes are investigated for a system of arbitrary number N of coupling oscillators synchronized with phase-splitted harmonic signal. The system by its dynamic performance is shown to be similar to classic first order systems with phase error reduced to angle 2%/N .

Synchronization, phase demodulator, signal processing Статья поступила в редакцию 1 июня 2005 г.

УДК 621.3.001

В. А. Ружников

Иркутский государственный технический университет В. А. Прохорова, М. В. Силина, Э. П. Чернышев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ"

Новый подход к проектированию устойчивых радиоэлектронных и электротехнических релейных автоколебательных систем с интегратором в цепи обратной связи

Большое количество помех различной природы приводит к необходимости разработки помехоустойчивых радиоэлектронных и электротехнических систем. Релейные автоколебательные системы нашли свое широкое применение благодаря высокому быстродействию и простоте обработки информации. При построении таких систем особо важное место занимает исследование устойчивости. Приводится новый подход к исследованию устойчивости релейных автоколебательных систем, в частности класса систем с нерегулярной импульсной характеристикой линейной части, содержащей простой интегратор.

Релейная автоколебательная система, устойчивость, импульсная характеристика линейной части, передаточная функция, дискретные цепи, точный расчет автоколебаний

Возрастающее разнообразие естественных, искусственных и индустриальных помех делает актуальным решение задачи электромагнитной совместимости при проектировании новых систем радиоэлектронного, бытового и специального назначения. Помимо пассивных средств защиты объектов и обеспечения электромагнитной экологии широко разрабатываются специальные методы проектирования помехоустойчивых электрорадиоэлектронных систем с применением новых перспективных методов, например калманов-ской фильтрации случайных мешающих факторов [1].

Требования высокого быстродействия и простоты обработки информации часто приводят к использованию релейных автоколебательных электрорадиоэлектронных сис-

10

тем. Однако построение таких систем связано с необходимостью уточненного анализа задач обеспечения их устойчивости, важнейшая из которых в общем виде решена в [2]. Тем не менее имеются практически важные, но простые в реализации классы релейных систем с нерегулярной импульсной характеристикой (ИХ) линейной части (ЛЧ), в частности, содержащих простой интегратор, что соответствует классу передаточных функций (ПФ) ЛЧ, у которых степень знаменателя на единицу превышает степень числителя. В этом случае требует уточнения разработанная в [2] общая методика, в которой фактически рассматривалась регулярная ИХ ЛЧ (т. е. степень знаменателя ПФ отличалась от степени знаменателя минимум на 2). Решению этой задачи посвящена настоящая статья.

Как и в [2], далее используется наиболее строгий критерий устойчивости по Ляпунову:

xg (0) <ß^ xg (t) <в(ß) , (1)

т. е., согласно (1), система устойчива, если начальное значение вариации переменной x^ (t) в любой момент времени t > 0 не превышает бесконечно малой величины в, зависящей от бесконечно малой ß. Кроме того, в [2] установлено, что даже устойчивые автоколебательные релейные системы не подчиняются условию абсолютной устойчивости

xq (t) ^ 0; t ^ да, (2)

когда, согласно (2), вариация должна затухать до нуля при t ^ да .

Структура системы и параметры автоколебаний. Рассмотрим классическую схему системы, содержащую реле с положительным гистерезисом:

y (t) = a sign [x (t) - d sign X (t -)], (3)

где y (t) - выходная переменная релейного элемента (РЭ); a = 1 - нормированная высота гистерезисной характеристики; x (t) - входная переменная РЭ; d = 1 - нормированный

порог срабатывания (гистерезис) РЭ; x(t-) = lim x(t-a) - скорость изменения x(t) в

a^ö

момент, предшествующий срабатыванию РЭ.

ПФ ЛЧ (цепи обратной связи) считаем соответствующей идеальному интегратору:

X(s)/Y (s) = H (s) = -k/s, (4)

где X (s) и Y (s) - изображения по Лапласу РЭ x (t) и y (t) соответственно; s - аргумент преобразования Лапласа; коэффициент k учитывает особенности нормировки в (3): k = ak0/d, т. е. k0 = dkl a - статический коэффициент интегратора при отсутствии нормировки в (3).

Считаем автоколебания (АК) в системе (3), (4) простыми (одночастотными), обладающими очевидными свойствами периодичности и симметрии:

x (t) = -x (t ± Т/2) ; y (t) = -y (t ± Т/2), (5)

где T - период АК. Ввиду простоты системы параметры АК определить несложно, считая для простоты в (5) для интервала 0 < t <т = Т/2

y (t) = 1; x (t) = 1 - kt. (6)

Следовательно, полупериод АК согласно (3), (6) соответствует

x (т) = 1 - kT = -1; т = 2/k. (7)

11

В интервале -т < t < 0

у (г) = -1; х (0 = -1 + k (г — т) = -1 + k (г + 2Д) = 1 + И ; х0 = х(0-) = k, (8)

причем формулы (7), (8) также очевидны.

Естественно, эти же результаты можно было получить, используя общую методику, описанную в [2], [3].

Использование теории дискретных цепей для анализа устойчивости автоколебаний. Для анализа устойчивости АК воспользуемся предложенной в [2], [4] методикой "исчезающего воздействия" на входе РЭ:

Ъх (I) = Ро5 (г), (9)

где р0 - бесконечно малая величина; 5 (•) — дельта-функция, т. е. Ъвх — дельта-функция бесконечно малой площади1 [5].

В результате импульсного воздействия переменные системы х (г) и у (t) получат вариации х(г) и у^ (t) соответственно. Следовательно, моменты переключения РЭ в режиме АК tn = пт (п — целое число) тоже получат вариации т^ (г), причем с учетом (8) считаем, что

тд (t) = хд (гУх0 = хд (г Yk. (10)

При положительных вариациях х^ и т^ в (10) произойдет вариация срабатывания РЭ, на выходе которого появится вариация у- в виде короткого положительного прямоугольного импульса нормированной высоты 2а = 2 и длительности т^. Этот импульс в соответствии с [5] можно описать дельта-функцией (например, для момента t = 0):

у. = 2т.5 (г) = 2х. (0) х-15 (0) . (11)

Следует учесть, что в (10), (11) и в дальнейшем используется существенное допущение: вариации переменной х<- на входе РЭ приводят в моменты переключения РЭ к вариациям переменной у- на его выходе в виде совокупности дельта-функций бесконечно малой площади 2х-/х0 т. е., во-первых, скорость изменения .¿0 = х(0-) = -х(т-) считается неизменной (вариация скорости х0 не учитывается) и, во-вторых, моменты возникновения коротких импульсов вариации у- на выходе РЭ считаются соответствующими моментам переключения РЭ гп = пт (вариации моментов переключения учитываются как соответствующие им импульсы вариации у- ). В результате этого при описании нелинейного процесса формирования вариаций у- можно не учитывать малые высших порядков, как это и рекомендуется в [5] при анализе устойчивости по Ляпунову.

1 В методике "исчезающего воздействия" использовано известное положение из [5], согласно которому бесконечно малое начальное условие может быть эквивалентно заменено бесконечно малым ступенчатым воздействием или импульсным воздействием бесконечно малой площади. Случай отрицательных вариаций будет рассмотрен далее. 12

Таким образом, с учетом (9) вариации выходного сигнала РЭ для t > 0 можно в отличие от (11) записать в виде дискретного сигнала

yg (t) = [р05 (t) + xq (пт) 5 (п - пт )] 2 Хо1, (12)

откуда, перейдя к соответствующим дискретным последовательностям согласно основам теории дискретных цепей [5], получим

yg (пт) = [р050 (пт) + xq (пт)] 2ХХ01. (13)

Следовательно, анализ производится только в дискретные моменты времени t = пт и (13) уже полностью соответствует разностному уравнению дискретной цепи.

Переходя от (13) и (4) к уравнениям дискретных цепей (ДЦ) и используя z-преобра-зование [5], можем записать:

Y(z) = [Ро + X- (z)] 2xc0;l; Xq (z) = H (z)Y(z), (14)

где H (z) - ПФ ДЦ, соответствующая ПФ ЛЧ аналоговой цепи (4). Уравнение замкнутой ДЦ, полученное после исключения Y в (15), будет Xq (z) [1 - 2Х-1Н (z)] = 2xX-1H (z) p0, откуда ПФ замкнутой ДЦ

Xq (z)/P0 = 2H (zУ[Х0 - 2H (z)] = XBkz/(z - zk ) . (15)

Согласно [5], знаменатель ПФ (16) является характеристическим полином (ХП) ДЦ

P(z) = x0 -2H(z) = 0, (16)

а его корни zk определяют устойчивость АК, поскольку, согласно (15), решение имеет вид

xg (пт) = X В^пР0, (17)

где Bk - коэффициенты разложения (15) на простейшие дроби. Полученный с использованием "исчезающего воздействия" (9) результат полностью соответствует левой части (1), если обозначить бесконечно малой Р вариацию x^ (0) = ^ BkzP0 = Р.

Согласно (17), если все |zk| < 1, то xg (пт) ^ 0 при п ^ да и релейная цепь (РЦ) в соответствии с (2) абсолютно устойчива. Если один из корней |zk| > 1, то xg (пт) ^да при п ^ да и РЦ неустойчива. Если же хотя бы один из корней ХП (16) имеет единичный модуль (например, = 1), то xg (пт) = B1P0I = const и РЦ будет в соответствии с (1) устойчива по Ляпунову.

В рассматриваемой задаче .¿0 = k согласно (9), и оценка устойчивости на основании

(16) целиком определяется ПФ ДЦ H (z). Поскольку, согласно (12) и (13), анализируемые сигналы - дельта-функции (аналоговые и дискретные), то при переходе к анализу устойчивости по эквивалентной ДЦ можно, на первый взгляд, использовать метод инвариантности (полного соответствия) ИХ аналоговой ИАц (t) и дискретной Идц (пт) цепей в дискретные моменты времени:

Идц (пт) = Иац ); г = пт . (18)

Согласно (4), Иац (г) = -к5^ (г) (81 (г) — единичная ступенчатая функция). Следовательно, на основании (18)

ИДЦ (пт ) = -к1п 51 (пт ) о Н ДЦ (г ) = -кг/(г -1), (19)

где — знак соответствия дискретной последовательности и 2-преобразования.

Подстановка (19) в (16) дает Р (г) = к + 2кг/(г -1) = к (3г -1)/(г -1) = 0; = 1/3. Далее, согласно (15), (17), находим оригинал:

X- (г)/р0 = 2Н (г)/[х0 - 2Н (г)] = -2г/3 (г -1/3) о хд (пт) = - 2/3 (1/3)п р0 ^ 0 (20) при п ^да, т. е. х. (пт) в (20) соответствует асимптотической устойчивости, что вызывает сомнения.

Уточненный подход к анализу устойчивости. Сомнения возникают по следующим причинам:

• При АК в релейных цепях должно выполняться условие (5), а в случае (20) переменная не изменяет знак.

• ПФ (4) идеализирует реальный интегратор, т. е. порядок знаменателя ПФ обычно значительно выше порядка числителя (из-за "паразитных" элементов системы); в этом случае согласно [2] у ХП должен быть корень = -1, что согласуется с процессом АК.

• Даже в идеальном случае (4) вариация у. (г) состоит из прямоугольных импульсов (а не дельта-функций), поскольку скачок у. (г) не появляется на выходе интегратора

мгновенно в отличие от идеализации (19).

Таким образом, необходимо изменить ПФ ДЦ (19). Вариантом является исключение из (19) значения на нулевом шаге при п = 0, т. е. Идц (0) = -к. Уточненная ИХ будет иметь вид

ИДЦ (пт) = -к1п-151 (пт - т ) о НДЦ (г ) = - [кг/( г -1)] г-1 = - к/( г -1). (21)

Подставив (21) в ХП (17), получим Р (г) = к + 2к/(г -1) = к (г +1)/(г -1) = 0. Следовательно, искомый корень ХП = -1, что было предсказано ранее и полностью согласуется с данными [2].

Таким образом, АК в релейной системе с интегратором в цепи обратной связи являются устойчивыми по Ляпунову, однако они не асимптотически устойчивы. Полученные результаты позволяют существенно расширить класс релейных автоколебательных устройств, используемых при проектировании помехоустойчивых электрорадиоэлектронных систем, решающих задачи электромагнитной совместимости объектов.

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 2

Библиографический список

1. Завьялов А. Е., Силина М. В., Чернышев Э. П. Некоторые особенности структуры калмановских корреляционно -экстремальных систем // Изв. ГЭТУ. 1998. Вып. 519. С. 24-30.

2. Ружников В. А., Силина М. В., Чернышев Э. П. Особенности проектирования устойчивых моделей релейных автоколебательных радиоэлектронных и электротехнических систем // 5-й Междунар. симп. по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии: Сб. науч. докл. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2003. С. 250-253.

3. Чернышев Э. П., Мясоедов Г. Б., Ружников В. А. Метод точного расчета автоколебаний в электрических цепях, содержащих нелинейные элементы с релейной гистерезисной характеристикой // Изв. вузов. Электромеханика. 1987. № 11. С. 125-127.

4. Данилов Л. В., Матханов П. Н., Филиппов Е. С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энер-гоатомиздат, 1990. 576 с.

5. Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теории электрических цепей. СПб.: Лань, 2002. 464 с.

V. A. Ruhznikov

Irkutsk state technical university

V. A. Prokhorova, M. B. Silina, E. P. Chernyshov

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

New approach to designing steady radio-electronic and electrotechnical relay self-oscillatory systems with integrator in a feedback circuit

A plenty of handicaps of the various nature leads to necessity of development of noise proof radio-electronic and electro technical systems. Relay self-oscillatory systems have found the application owing to their high speed and simplicity of processing of the information. At construction of such systems especially important place borrows research of stability. In the given work the new approach is led to research of stability of relay self-oscillatory systems in particular a class of systems with the irregular pulse characteristic of the linear part containing the simple integrator. Work continues researches which results have been presented on the previous symposium.

Relay self-oscillatory system, stability, linear part pulse characteristic, transfer function, discrete circuits, oscillations accuracy calculation

Статья поступила в редакцию 15 июля 2005 г.