К оценке устойчивости автоколебаний в релейных цепях с интегратором в цепи обратной связи и непрерывной импульсной характеристикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

решивших разово, впервые воспользоваться услугами компании. Реализация этих услуг поможет грузоотправителям вновь, по-иному посмотреть в сторону перевозок с использованием железнодорожного транспорта, что в свою очередь позволит привлечь дополнительные объемы грузов.

Кроме того, необходимо расширить спектр услуг, предлагаемых клиентам при перевозке грузов в «Грузовом экспрессе». Так, например, предлагать не только место в поезде для повагонной отправки, но и место в вагоне для небольших партий груза и т.д.

Реализация этой технологии, благодаря созданию конкурентных по отношению к автомобильному транспорту условий, позволит в значительной степени переориентировать грузопотоки на железнодорожный транспорт, и, тем самым, отдалить вложение инвестиций в развитие автомобильных дорог, в настоящее время не справляющихся с пропуском плотного трафика большегрузных автомобилей.

Список литературы:

1. Каталог продукции «Сибирского завода молочных продуктов». [Электронный ресурс]. URL: http://snegovichok.su/catalog/cat1476. (дата обращения 22.08.2017)

2. «ОАО «РЖД» планирует формирование комплексного скоростного сервиса «Грузовой экс-пресс+»» [Электронный ресурс]. URL: https://www. gudok.ru/news/?ID= 1364712. (дата обращения 11.08.2017).

3. Псеровская Е.Д., Балаганская А.С. К вопросу о выборе способа перевозки грузов. // Научный форум: Технические и физико-математические науки: сб. ст. по материалам VII междунар. заочной науч.-практ. конф. - № 6 (7). - М.: Изд. «МЦНО», 2017. С. 26-32.

4. Псеровская Е.Д., Бакенов И.М., Балаганская А.С. Логистика грузовых перевозок на Восточном направлении. // Развитие современной науки: теоретические и прикладные аспекты: сб. статей., Пермь, 2017. С. 20-23.

К ОЦЕНКЕ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ ЦЕПЯХ С ИНТЕГРАТОРОМ В ЦЕПИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ И НЕПРЕРЫВНОЙ _ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ_

Дерипаска Алина Геннадьевна

Инженер-программист 1 кат, концерн Океанприбор, г. С-Петербург

Соклакова Марина Вячеславовна Старший преп. кафедры ТОЭ, СПбГЭТУ (ЛЭТИ), г. С-Петербург

Чернышев Эдуард Павлович

К. т. н., профессор кафедры ТОЭ СПбГЭТУ (ЛЭТИ), г. С-Петербург

Аннотация

В работе рассмотрен случай аналитической оценки устойчивости релейной системы, содержащей интегратор в линейной части. Такая система часто применяется на практике из-за простоты и быстродействия управления. Аналитическое описание и исследование устойчивости автоколебаний позволяет точнее и с наименьшими временными затратами подавать команды.

Abstract

This paper describes a special case of zero poles in the transfer function of the linear part. Description of the signal obtained in the analytical form and assess the stability of self-oscillations is also necessary to have an analytical view.

Ключевые слова: устойчивость, релейные цепи, автоколебания. Keywords: stability, relay circuits, self-oscillations.

Разработанный авторами аналитический метод расчета автоколебаний (АК) в релейных системах (РС) с оценкой устойчивости, проводимой также аналитически в общем виде был описан в [1, 2, 4]. Рассмотрим важный с теоретической точки зрения частный случай РС, когда передаточная функция (ПФ) линейной части (ЛЧ) имеет нулевой полюс, причем степень числителя ПФ не менее, чем на 2 порядка отличается от степени знаменателя, т. е. и переходная и импульсная характеристики будут непрерывны.

Предполагаем, что АК симметрично повторяются через половину периода т=Т/ 2 , таким образом, описание переменных соответствует (1)

х(г) = - х(г ± т), у(г) = -у(г ± т), (1)

где Т - период автоколебаний, I - время. Предположим также, что среди полюсов ПФ

ЛЧ имеется нулевой полюс $ 1 кратности Ш . Для

определения свободной составляющей реакции воспользуемся теоремой разложения с учетом нулевого полюса. Изображение реакции в этом случае будет иметь нулевой полюс кратности Ш +1, т.е. описывается выражением:

ш А п А■

0 св =1 А + I ,

]=1 & 1=Ш+1 & &

X

(2)

где

Л,- (т) = Нш

а(т+1" ])

] 5—0 (т +1 -])! ds(m+1-])

Л(т) = Нш(5 - Г/)Xо(г) .

[х0(5)] =;

у (г) = asign[ х(г) + , (7)

а в ЛЧ описана ПФ вида (8) при р —> О , что и обеспечивает особенности решения задачи

5—5

Н ( я ) =

X ( я)

-к

(8)

Вычеты Aj и ЛI находим, используя

выражение для изображения реакции ЛЧ на входной сигнал

Н (?) 1 - 51

Хо=н(?)г(?)=н= -12 • -—- •

я 1 + е

С учетом (2) и алгоритмом нахождения решения [1] представим изображение условного первого полупериода вынужденной составляющей —(5) т Л, п А.

ВД=—^ -Е л- - Е

]=1 5 I =т+15 5г

т Л- п

=—1(5) -Е Л- - е

Л

]=1 5 г =т+15 5

(3)

Изображение переходной характеристики (ПХ) ЛЧ запишем в виде:

т С ■ п С

Е + Е , (4)

—1(5):

—(?)

]=0 5+1 г=т+15 5г

где

С, = 1iш

а(т--)

] 5—о(т - ])! а5(т-]) = 11т (5 - ^Щ^).

(5 - 51)т+1—1(5)"

Подставив (4) в (3), получим:

Х1(5) = Е

т С,--1 - Л,- С

^ ]-1 ] + ст

+ Е . (5) у(1) = У1(г)-у^-т) + у,(г-2т)-У1(?-3т) +...

У (5) (5 + Р)(5 + 1) причем в (7), (8) х(г) ^ X(5) , у(г) ^ У(5) -сигналы и их изображения по Лапласу на входе и выходе РЭ; 5 - оператор преобразования Лапласа; ~ - знак соответствия; а = 1, Ь = 1 - нормированные высота и ширина петли гистерезиса РЭ. Далее в примере для определенности численных расчетов

будут приняты к = 10 = СОП! - статический коэффициент; 51 = 0 , 5 2 =-1 - полюсы ПФ.

АК считаем устойчивыми по Ляпунову [4], если выполняется условие

х?(0) < 8 — х?(г) < а(е) > г (9)

т.е. если начальное значение вариации переменной меньше бесконечно малой 8. то конечное значение вариации не превысит бесконечно малой

а , зависящей от 8; Х(/) - возмущенная координата системы, вызванная каким-либо «возмущающим» воздействием [3, 5]. Основное внимание в случае проверки устойчивости уделяется моментам времени г —^ ^ , считая, что бесконечно малое возмущение внесено при г = 0.

Считаем, что при

г < 0 сигнал у(г) отсутствовал. Тогда установившиеся симметричные АК в виде знакочередующихся прямоугольных импульсов на выходе РЭ будут на основании [5]

ч]

т+1

5 - 5,-

]=1 5 5 г=т+1

Как и было описано ранее [1] находим коэффициенты Лг, Л- , которые содержат неизвестный

полупериод колебаний, для его нахождения формируют нелинейное функциональное уравнение. Из его решения, например, численными методами, находим искомый полупериод колебаний, а затем определяем описание колебаний во временной области в интервале 0 < t < Т :

т с 1 - Л , Г т п . (6)

х(г) =1Ст]-1 + Ст- + п (С,-Л)е

]=1 (]"1)! т! г=т+1

Полученное описание (6) с учетом симметрии АК периодически продолжаем для остальных моментов времени t, контролируя выполнение условий существования АК.

Аналогичным образом можно получить результаты и для случая произвольного количества полюсов различной кратности, в том числе и нулевых.

В качестве примера рассмотрим одноконтурную РС, содержащую в нелинейной части (НЧ) релейный элемент (РЭ) с характеристиками (7)

■ч-У(5) = У (5)/(1 + е-*) = (1 - е-* )/5(1 + е 5 ) (10)

причем в (10) У (5) - описание прямоугольного импульса на выходе РЭ в интервале условного первого полупериода АК 0 < г < х=Г/2.

Реакция ЛЧ у ,„-к 1 - е"^ .

Х0(5) = 52(5 +1)' 1 + е-" Представим (5) в виде суммы свободной и периодической вынужденной составляющих.

Х0(5) ^Хсв(5) ^ХВыН(5) Изображение свободной составляющей согласно (2) имеет вид:

Х0Св (5) = Л + , 5 5 + 1

где Л1=&аОг5 [ 52 Х0(5)]=-2Т=Л1(т);

Л2 = liш(5+1) ВД = -k(1-—)=4(т).

5—-1 (1 + е )

1

Найдем описание искомых АК на выходе ЛЧ в пределах полупериода I:

н(у) а А — ^ А Ап 1

X (у)=- А - А=н (у)-—-А2

& у у + 1 у у + 1

В соответствии с (4) разложим изображение переходной характеристики (ПХ) ЛЧ на простейшие дроби:

С С С Н(у) = Со + С + С

у + 1

где Со = й [ у2 н(*)] = -к;

С = 11Ш у2 н (у) = к;

у—0

из

С = 11т (у + 1)н (у) = -к.

у—-1

Тогда согласно (5)

С — А С С - А

X (у) = + С + С^-А2.

у у у +1 Неизвестный полупериод колебаний I найдем решения нелинейного функционального

уравнения. По теореме о начальном значении оригинала

х (0+) = -А - А.

Согласно условию существования автоколебаний

х(0) = й,

где й - параметр, учитывающий тип характеристики РЭ (примем й = 1, считая релейную характеристику положительной и нормированной).

Таким образом, нелинейное функциональное уравнение в нашем случае

р(I) = - а - а .

В примере ЛЧ представлена ПФ вида

н (у)=ХМ

У (у) у (у +1)

Изображение условного первого импульса сигнала на выходе линейной части периодически продолженное (в предположении х(г) = 0 при г < 0)

X (у) = Н (у)У (у) =

Н (у) 1 - в~

-10 1-е

1 + е~у т у2 (у +1) 1 + е

"7 = Xсв (у) + Xвын (у)

(11)

причем в (11) X (у), (у) - условные

свободная и вынужденная составляющие решения при этом аналогично (10).

Описание свободной составляющей периодических АК

Xсв ( у ) = А + ,

у у +1

где Д - коэффициенты разложения X (у)

на простейшие по полюсам ПФ у .

Н(у) _ -10

Н(у) =

= В + 4 + ^ - АС) = ( В0 + В? + В2е~?) 51 (г) •

у у у +1 4 7

А (I) = 11т—

у—0 йу

Здесь -10(1 - е-Т) '

(у +1)(1 + е-ут)

4(0 = 11т

у—1

-10(1 - е~уг) 2(1 + в - уТ ),

= -5т, 10(1 -ет)

(1 + ет)

ПХ Ь (?) для нашего примера

В1 В2

у 2 (у + 1)

Коэффициенты разложения ННХ (^) В0 = 10; Далее находим искомое описание установив-

1 0 шихся (вынужденных) автоколебаний

х(г) = х (?) при 0 < г < Т :

В = -10; В = -10.

X1( у) = ■

= 10 + 5^-1^ (-10 + (10 (1 - ех У(1 + е -)))

у

у +1

Найдем начальное значение решения

х (0)=-а - д=5т +

10(1 - ет)

(1 + ет)

Из условия х (0) = 1 находим значение неиз- решение тогда

вестного полупериода колебаний 1 = 1,42363 и ^ (?) = 17,11815 -10? - 16,11814е-.

зависящие от 1 коэффициенты разложения Условия существования АК (х (0) = 1,

А(I) = -7,11815, А(т) = 6,11814,

искомое

х (т) = -1) выполняются.

у

у

у

При анализе устойчивости РС перейдем к оценке поведения вариаций переменных цепи при мгновенном воздействии на цепь некоторого «возмущающего» воздействия типа дельта-функции

5(г).

Предположим, что при г = 0 под действием «исчезающего возмущения» [2] вида , пло-

щадь которого 8 считаем бесконечно малой, произошло преждевременное срабатывание релейного элемента на «бесконечно малое» время Л. Разность между «возмущенным» сигналом

т

и

прямоугольных импульсов в моменты г = ПТ . Эти импульсы бесконечно малой площади приближенно можно описать дельта-функциями [5]

у? (г) = 2Лп5(* - пт), (13) где коэффициент «2» определяется переключением РЭ с уровня «-1» к уровню «+1», а время

сдвига Л/п момента П -го переключения прибли-

п

женно находится

Лгп = [ 85(г) + х?(г)]/х0

(14)

исходным нала:

у(г)

является вариацией [4] этого сиг-

(12)

где х0 = л'(О)- скорость изменения сигнала

на входе РЭ при г = 0 -.

Таким образом, вариации переменных РС через каждый полупериод Т на основании (12) - (14) и (8) можно в моменты г = пТ приближенно описать уравнениями вида

х

При этом вариацию (12) согласно (7) при симметричных АК можно считать периодической последовательностью знакопеременных коротких

>',(/) = 2_х0'[е5(/)

Следует отметить, что: 1) знакопеременность импульсов (13) вытекает из знакопеременности вариации х (пт) в моменты переключения РЭ через

каждую половину периода при г = пт ; 2) система (14) описывает динамику РС в дискретные моменты времени г = пт, что позволяет перейти от (14) к уравнениям дискретных цепей (ДЦ) и дискретным последовательностям [5]

ур (иг) = 2х01 [е80 (иг) + х^ (их)],

а затем использовать 1 -преобразование [5] уравнений ДЦ:

= 2х0' [е + Х^)], Х^) = НдЩ(г) (15)

причем в (15) 50(пт) + ¥ (1) = 1 - дискретная

дельта-функция и ее 1 -преобразование; — (1) -

ПФ ДЦ, соответствующая ЛЧ РС.

Из (15) находим ПФ замкнутой ДЦ:

—(1) = Х (1)/8 = 2х01 —Д (1)/ [1 - 2х-НД (1)] .(16)

Характеристический полином (ХП) ДЦ [5] -это знаменатель ПФ (16):

Р(7) = Х0-2ЯД(7) = 0.(17)

(г)], ] = — (5)У?(5).

х,

(пт) = Е018,

(19)

д

Если корни 1 ' ХП (17)

1.

< 1

(18)

то ДЦ устойчива, а следовательно, и устойчивы АК в РС, поскольку при выполнении (18) решение для вариаций согласно (16) будет

причем д^ в (19) - это коэффициенты разложения (16) на простейшие дроби [5] по полюсам

1г. Очевидно, (19) при выполнении (18) полностью соответствует условию устойчивости по Ляпунову (9).

Начальное значение скорости — л(0) используемое в формулах определяется как:

х(0) = Е5, (Л - В) = Е2В151/(1 + ечт) .(20)

Наиболее просто ПФ ДЦ —д (1) определяется путем приравнивания импульсных характеристик (ИХ) аналоговой цепи и ДЦ в моменты

г = пТ :

Ид (пт) = И(г)> г = пт. (21)

По формуле связи ИХ и ПХ [5]:

щ)=т=Е в5—5' ,

что при г = пт на основании (21) и [5] дает:

—Д (1) = Е В^/ (1 -е5г т). (22)

Подставляя (20) и (22) в ХП (17) получим

Д1)=еГ-2В5. ^

( ) Е11 + е5'т

= 0 .(23)

1 -ег у

Уравнение (23) можно преобразовать к виду

Ев

-е5'т - 1е5т

(1 + е5' т)( 1 - е5'т)

-=Ев

'¡т \ Iг

1

(1 + е-т)(1 - е5'т)

= 0.

(24)

Из (24) следует, что первый корень ХП

Zl =-1, что в соответствии с (19) отвечает «физике» процесса АК.

Второй корень характеристического полинома отыскивается на основании (24) из уравнения

Ву

= 0.

31,521

г -1 г - е1 z1 - 5,1521г + 4,1521

Откуда ХП замкнутой ДЦ

Р = 0,5 • 6,11814--

31,521

г2 - 5,1521г + 4,1521

=0.

Для того, чтобы применить критерий устойчивости ДЦ, найдем корни ХП.

Р-

3,0591г -15,7606г-18,819 г2-5,152^ + 4,1521

0

Первый корень получаем г1 = 1, что свидетельствует о наличии АК, однако, второй корень

характеристического полинома г2

детельствует о том, что АК в приведенной РС устойчивы не будут.

Таким образом, и при наличии нулевого полюса аналитический метод для расчета автоколебаний и анализа их устойчивости в РС применим.

Список литературы:

1. Морозов Д. А., Соклакова М. В., Чернышев Э. П. Аналитический расчет релейных цепей и систем. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012. 128 с..

2. Ружников В.А., Силина М.В., Чернышев Э.П. Особенности проектирования устойчивых моделей автоколебательных радиоэлектронных и электротехнических систем / Сб. науч. трудов 5-го Междунар. симп. по ЭМС и электромагнитной экологии. СПб; Изд. СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2003, с. 250 -253.

3. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

4. Чернышев Э. П., Мясоедов Г. Б., Ружников В. А., Метод точного расчета автоколебаний в электрических цепях, содержащих нелинейные элементы с релейной гистерезисной характеристикой / Известия вузов «Электромеханика», 1987, №11, с. 125-128.

5. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей. СПб.: Издательство «Лань», 2005.

6,150

сви-

(25)

'(1 + е~ут)(г - еут)

В нашем примере (где у — 0 ; у2 =-1; т=1,42363; к = -10) получим

Щ) = (10 - 10е- )§! (г).

Методом полного соответствия ИХ аналоговой цепи и ДЦ получим

Н(т) = (10-Ше-^ (т).

Для исследования устойчивости важно поведение возмущенной реакции при г—да, поэтому значение ИХ на начальном (нулевом) шаге можно

исключить. Используя формулы г -преобразования

получим ПФ ДЦ

10 -10 н (г) =-+