Анализ устойчивости автоколебаний в релейной цепи с разрывной переходной характеристикой линейной части Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Системы телекоммуникации, устройства передачи, приема и обработки сигналов

УДК 621.3.001

В. А. Ружников

Иркутский государственный технический университет

М. В. Силина, Э. П. Чернышев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

I Анализ устойчивости автоколебаний в релейной цепи с разрывной переходной характеристикой линейной части

Предложенный ранее подход к исследованию устойчивости релейных автоколебательных систем обобщен на класс систем с разрывной переходной характеристикой линейной части цепи обратной связи.

Релейная система, автоколебания, переходная характеристика, устойчивость, передаточная функция, дискретные цепи

Благодаря высокому быстродействию и простоте обработки информации релейные автоколебательные системы находят широкое применение. В построении таких систем особо важное место занимает исследование устойчивости. В [1] предложена новая методика анализа устойчивости автоколебаний (АК) в релейных цепях (РЦ) с симметричными характеристиками гистерезисного релейного элемента (РЭ) и непрерывной импульсной характеристикой (ИХ) И (г) линейной части (ЛЧ) цепи. Методика анализа устойчивости АК при бесконечно малом изменении момента переключения РЭ базируется на элементах теории дискретных цепей (ДЦ) [2], поскольку в этом случае вариация переменных на выходе РЭ представляет собой периодическую последовательность бесконечно коротких прямоугольных импульсов, которые удобно рассматривать как сигналы в некоторой ДЦ.

В [3], [4] методика расширена для случая разрывной ИХ И(г) = (г) ЛЧ, когда переходная характеристика (ПХ) И (г) еще остается непрерывной. В настоящей статье сделана попытка расширения методики для случая разрывной ПХ ЛЧ, когда ИХ содержит 8-функ-цию 5 (г), как указано в [2].

Проведенное исследование привело к неожиданным результатам, возможно расширяющим классическое определение устойчивости по Ляпунову [5], когда бесконечно малая вариация переменной х^ (г) в начальный момент времени г = 0 дает

х^ (0) <р0 ^ х^ (да) <в (р0 ), (1)

где р0 и в - бесконечно малые. Если же при г вариация х^ ^ 0, говорят об асимптотической устойчивости.

© Ружников В. А., Силина М. В., Чернышев Э. П., 2008

45

Анализ устойчивости АК в РЦ с непрерывной импульсной характеристикой

ЛЧ. Рассматривался РЭ с гистерезисной характеристикой

y (t) = a sign [x (t) - b sign x (t -)], (2)

где y (t) и x (t) - выходная и входная переменные РЭ соответственно; a = i- высота петли гистерезиса, b = 1 - ее полуширина (обе величины нормированы); x (t -) = lim x (t -у) при у ^ 0 - скорость изменения переменной x (t) в момент времени t, предшествующий рассматриваемому.

РЭ охвачен цепью линейной обратной связи с передаточной функцией (ПФ) ЛЧ

H (s) = = ^ + - + bis + Ь0 , (3)

Yw ansn +-----+ ais + ao

где X(s) и Y(s) - изображение по Лапласу входной и выходной переменных РЭ соответственно; s - аргумент преобразования Лапласа; k, bj, ap, j = [i, m], p = [i, n] - постоянные коэффициенты; m и n - степени полиномов числителя и знаменателя ПФ ЛЧ.

В начале анализа предполагалось m < n - 2, т. е. не только ПХ hi (t) • Hi (s) = H (s)/s, но и ИХ h (t) o H (s) задавались непрерывными:

h (0 -) = h (0 +) = 0. (4)

Использовались следующие два допущения.

1. АК предполагались симметричными, т. е.

x{t) = -x{t±т) ; y(t) = -y(t±т), (5)

где T = T/ 2 - полупериод АК, простая методика расчета параметров которого предложена в [6] и кратко описана в [i].

2. Предполагалось, что в невозмущенной РЦ переключение РЭ с уровня y (t -) = -i к уровню y (t +) = +i происходит в нулевой момент времени t = 0, а обратное переключение при t = т .

При анализе устойчивости считалось, что "исчезающе" короткое входное возмущение [6]

/вх (t) = ß0Ö (t) (6) (при более строгой записи /вх (t) = ß0Ö (t + At) в момент t = 0 - At при At ^ 0) приводит к преждевременному срабатыванию РЭ (5 (t) - S-функция). В результате появляется смещение выходной переменной РЭ y~ (t) относительно ее невозмущенного значения y (t) на бесконечно малый интервал At. В итоге вариация переменной

yq (t) = y~ (t) - y (t) (7)

на основании (5) представляла собой знакочередующиеся прямоугольные импульсы, амплитуда которых согласно (2) и допущению 2 составила ymax - ymin = 2 при бесконечно

малой площади, равной |sn| = |2Atn|; их длительность при n-м переключении РЭ приближенно определялась по формуле

Агп = х- (пт у х ( 0 -) = х- (пт ух0, (8)

где х^ (пт) - значение вариации, вычисляемое аналогично (7) как разность возмущенного и невозмущенного движений: х^ = х~ - х; хо = х(0-) - скорость изменения входной координаты РЭ (т. е. выходной переменной ЛЧ) в момент, предшествующий исходному переключению условно при г = 0 (вычисляется согласно методике из [6]).

В результате система уравнений для расчета вариации переменных в РЦ приближенно (с точностью до учета линейных членов разложения процессов в ряд Тейлора, как этого требует анализ устойчивости по Ляпунову [5]) записывается с использованием (6), (8) в виде

у. (г) = 2х-1 [р5 (г) + х. (г)5 (г - пт)];

(9)

что для дискретных моментов времени г = пт дает (в обозначениях [2])

(10)

Xg ( s) = H (s)Yq (s),

Y (z) = 2 V [Pq + Xg (z)];

X. ( г ) = Н ДЦ ( г ) У. ( г ), где 2 - аргумент ¿-преобразования в теории ДЦ [2]; Ндц (г) - ПФ эквивалентной ДЦ,

обеспечивающей обработку информации аналогично второму уравнению в (9). Первое уравнение в (9) - это совокупность коротких прямоугольных импульсов у- (г), которые

приближенно можно описать согласно [2] 8-функциями бесконечно малой площади Уд (пт) Агп8 (г - пт), действующими только в моменты пт (с точностью до бесконечно малых

Агп ). Поэтому их можно рассматривать как дискретную последовательность у- (пт) о- У- (г)

и осуществить переход к эквивалентной ДЦ (10).

Передаточную функцию ДЦ Ндц(г) наиболее логично формировать по ПФ ЛЧ

Н (я) на базе метода полного соответствия (инвариантности) ИХ в моменты г = пт, т. е.

Ндц (пт) = И (пт ) . (11)

С учетом (10) ПФ замкнутой ДЦ

= Х^ = 2 V Н ДЦ <г> = (12)

Р0 1 - 2 х-1Н ДЦ ( г > г - гк

причем Э - коэффициенты разложения (12) на простейшие дроби по полюсам гк , т. е. по корням знаменателя (12). Таким образом,

хд (пт) = (XЭкг1)в0, (13)

а в случае |гк | < 1 соответствует АК, устойчивым по Ляпунову (1) при г ^ да (т. е. при п ^ да ).

Анализ устойчивости АК в РЦ с разрывной импульсной характеристикой ЛЧ.

При т = п -1 в ПФ (3) импульсная характеристика ЛЧ является разрывной [2]:

И (0 + ) = *И (*)|*= кЬт/ап Ф к (0 -) = 0, (14)

т. е. принципиально отличающейся от (4).

Это означает, что вариация согласно (9) у- (0) в виде прямоугольного импульса при

его идеализированном описании 8-функцией даст мгновенный отклик х^ (0) ф 0, что исказит картину реальных процессов в РЦ. Действительно, вариация у- (0) - прямоугольный импульс, а ПХ ЛЧ в отличие от (14) при т = п -1 является непрерывной, т. е. к1( 0 + ) = 0 = к(0 -); следовательно, мгновенного отклика в х? (0) от этого импульса не

будет. Поскольку устойчивость согласно (1) оценивается при г ^да, то без ущерба для анализа устойчивости при переходе к ДЦ в (11) можно опустить начальное значение ИХ к (0 +) при п = 0 и записать скорректированную формулу перехода к ДЦ в виде

Идц (пт) = И(пт)51(пт-т), (15)

где согласно [2] 5} (пт-т) - смещенная на один шаг единичная ступенчатая последовательность.

Второе отличие в случае разрывной ИХ касается вычисления значения скорости в формулах (10), (12):

Х0 = X (0 -) = -Х (т-), (16)

что вытекает из (5). Для вычисления скорости (16) используются результаты общей методики расчета АК, описанной в [6] или кратко в [1].

Следует отметить, что для контроля правильности расчетов в (12), (13) необходимо учитывать указанное в [3], [4] условие обязательного получения в (12), (13) корня единичного модуля = -1, что соответствует физическому смыслу АК.

Анализ устойчивости АК в РЦ с разрывной переходной характеристикой ЛЧ. В рассмотренных ранее случаях ПХ к (г) о И1 (*) = И (*)/* была непрерывна:

к ( 0 +) = И (* )| * = И (* )|* = 0 = И ( 0 -) . (17)

Если же в (3) степени числителя и знаменателя одинаковы (т = п), то в отличие от (17) ПХ становится разрывной:

И (0-) = 0 ф к (0 + ) = кЬп/ап , (18)

а в ИХ согласно (18) и [2] появляется составляющая в виде 8-функции:

Ш) = И0 (г)+к (0+)5(0 = И (г), (19)

где И) (г) - непрерывная часть ИХ.

Таким образом, сформировать ПФ ДЦ методом инвариантности импульсных характеристик (11) в случае (19) вообще невозможно: согласно [2] классическая 8-функция имеет "бесконечную" высоту, в то время как дискретная 8-функция §0 (пТ) имеет единичную высоту.

Исходя из рассмотренной ранее физической сущности АК и работ [3], [4], необходимо описывать вариацию у^ (г) на выходе РЭ короткими прямоугольными импульсами.

Следовательно, на основании лишь (7)-(9), например положительный импульс при t = пт, можно приближенно записать как

у. (пт) = 2 [5! (пт + Агп ) - 5! (пт)], (20)

причем длительность импульса на шаге с номером п согласно (8) определится как Atn = х- (пт )/ х0 .

Следовательно, на основании (20) сигнал на входе РЭ будет содержать две смещенные на Atn разрывные составляющие, т. е. короткие почти прямоугольные импульсы вида

2/?! (0+) [5} (пт + Atn )- 5} (пт)], причем эти импульсы согласно (5) будут знакочередующимися. Их амплитуда 2/ (0 +) при анализе устойчивости АК не изменяется и, следовательно, не соответствует классическому определению устойчивости по Ляпунову (1).

В то же время, как указано при анализе устойчивости АК в РЦ с разрывной импульсной характеристикой ЛЧ и в работах [3], [4], при анализе устойчивости важно рассмотрение момента г ^ да, а не t = 0. Поэтому формула (15) для перехода к ДЦ (когда не учитывается "нулевой" шаг), представляется справедливой и в рассматриваемом случае:

/дц (пт ) = /0 (пт ) 51 (пт-т ). (21)

Скорость изменения координаты на входе РЭ в момент переключения определится на основании (16), для чего необходимо провести предварительный расчет АК, детально описанный в [7] и позволяющий найти координату х (t) и полупериод АК т .

Пример. Рассмотрим наиболее сложный случай при Н (я ) = X (я )/ У (я ) = = -0.5 (я + 4)/(я +1), т. е. в (3) к = -0.5, а степени т = п .

Вначале используем описанную в [7] методику расчета АК для этого варианта. Описание условного первого импульса на выходе РЭ у (я) = (1 - е У$, а изображение по

Лапласу всех импульсов У (я) = У1 (я) (1 - + е~2эт - е~3эт + •••) = У1 (я)/(1 + е~). Изображение сигнала на входе РЭ

X ( ^ ) = H ( ^ ) Y ( ^ ) =

A = (s +1) X (s) = 1.5 (l - eT )/(l + eT ) при s = -1.

-°.5 ( s + 4)" " (1 - e~sT ) "

L (s + 1) J _ s (1 + e~sT ) _

A1 X1 ( s )

-—— +—1-

s+1 1+e

- st

где л = и + иX = 1.5ц — е ;/ и +е

Таким образом, в интервале 0 < t < т описание первого полупериода установившихся АК имеет вид

X1 (s) =

X ( s ) - A

+ e^ ) =-°(5( s + 4) -Л. = H1 (s)

(s + 1) s s + 1 s +1

1.

причем ПХ Н1 (я) = (-2/я) - [1.5/(я +1)] о / (^) = -2 + 1.5е-'; / (0 + ) = Н (0) = -0.5 . Как показано в [7], первое условие наличия АК в случае т = п имеет вид

х1 (0 +) = Ь + 2/ (0 +) >-Ь = -1, (22)

где Ь - полуширина петли гистерезиса в (2), т. е. в примере дает

х1 (0 + ) = 1 + 2(-0.5) = 0 >-1. (23)

С учетом (22), (23) получим х: (г) = -2 + 1.5е- - Ае-; х: (0 +) = 0 = -0.5 - А ;

А = -0.5 . Из исходного выражения для А получим уравнение для расчета полупериода т :

-0.5 = 1.5 (1 - ет )/(1 + ет ) ; ет = 2 ; т = 1п 2 (причем второе условие наличия АК в [7] Ну (да) =

= -2 <-Ъ = -1 здесь также выполняется).

Поскольку исходные параметры АК найдены, перейдем к анализу устойчивости АК.

Определим: Н (я) = -0.5 (я + 4)/(я +1) о И (г) = -1.5е-г5Х (г) - 0.55 (г) = Н0 (г) - 0.55 (г). При переходе к ДЦ согласно (21) исключим нулевой шаг в ИХ: Ндц (пт) = И0 (пт) 5! (пт - т) = -1.5е-пт51 (пт - т) =

= -1.5е-(п-1+1)т5! (пт - т) = -0.75 • 0.5(п-1) 5Х (пт - т), (24)

поскольку ет = 2 ; е-т = 0.5.

С учетом того, что х^ (г) = -2 + 1.5е- + 0.5е- = х (г), в рассматриваемом случае установившихся АК найдем производную: х(г) = -2е-г; х(т) = -2е-т = -1; .¿0 = -х(т) = 1.

ПФ эквивалентной ДЦ согласно (24) и [2] Ндц (г) = -0.75/(г - 0.5), тогда ПФ замкнутой ДЦ (12) имеет вид

Нз (г):

Xg (z) _ -2-1-0.75/(z - 0.5) _ -1.5

Ро 1 + 2-1-0.75/(z - 0.5) z + Г Следовательно, вариация переменной на входе РЭ

(пт) = -1.5 (-1)п-151 (пт-т), (25)

причем здесь отражена физическая сущность АК (наличие корня Z1 = -1), как отмечено ранее.

Из проведенного анализа могут быть сделаны следующие выводы.

1. Метод использования теории ДЦ для анализа устойчивости АК расширен на самый сложный случай разрывной ПХ ЛЧ, когда в ПФ (3) m = п .

2. Полученный расширенный подход может быть использован и для более простых случаев: m = п -1, m < п - 2.

3. АК (25) в примере устойчивы по Ляпунову (1) при п ^ да (т. е. при t ^ да ), однако асимптотической устойчивостью не обладают.

4. Наряду с составляющей типа (25) при анализе устойчивости вариации для самого сложного случая m = п выявлены незатухающие знакочередующиеся импульсы с амплитудой в вариации 2/ (0 +) = const, которые не подпадают под определение устойчивости по Ляпунову (1) и требуют расширения этого понятия (по крайней мере, для рассматриваемого случая).

5. Попутно установлено, что часто используемый в научной литературе при переходе к ДЦ метод инвариантности ИХ неприемлем, если ИХ аналоговой цепи содержит S-функцию, что также может быть предметом отдельного исследования.

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 5

Библиографический список

1. Ружников В. А., Силина М. В., Чернышев Э. П. Особенности проектирования устойчивых моделей автоколебательных радиоэлектронных и электротехнических систем // 5-й Междунар. симп. по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии. Сб. науч. докл. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2003. С. 250-253.

2. Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теории электрических цепей. СПб.: Лань, 2002. 464 с.

3. Новый подход к проектированию устойчивых радиоэлектронных и электротехнических релейных автоколебательных систем с интегратором в цепи обратной связи / В. А. Прохорова, В. А. Ружников, М. В. Силина, Э. П. Чернышев // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 2. С. 10-15.

4. Ружников В. А., Силина М. В., Чернышев Э. П. Оценка устойчивости моделей релейных автоколебательных систем // 7-й Междунар. симп. по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии. Сб. науч. докл. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2007. С. 242-244.

5. Данилов Л. В., Матханов П. Н., Филиппов Е. С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энер-гоатомиздат, 1990. 256 с.

6. Мясоедов Г. Б., Ружников В. А., Чернышев Э. П., Метод точного расчета автоколебаний в электрических цепях, содержащих нелинейные элементы с релейной гистерезисной характеристикой // 1-я Всесоюз. конф. по теоретической электротехнике, 15-17 сент. 1987 г. Тез. докл. Ташкент: Изд-во ТашГУ, 1987. С. 98-100.

7. Чернышев Э. П. Точный расчет периодических режимов в цепях, имеющих релейную характеристику с гистерезисом // Исследование и моделирование электротехнологических устройств и преобразователей энергии / ЛЭТИ. Л., 1988. С. 71-74 (Изв. ЛЭТИ. Вып. 401.)

V. A. Ruzhnikov

Irkutsk state technical university M. V. Silina, E. P. Chernishev

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Analysis of stability of self-oscillations in a relay circuit with the explosive transitive characteristic of a linear part

The offered earlier approach to research of relay self-oscillatory systems stability is generalized to a class of systems with the explosive transitive characteristic of a linear part of a chain of a feedback.

Relay system, self-oscillations, the transitive characteristic, stability, transfer function, discrete circuits Статья поступила в редакцию 17 апреля 2008 г.