Новый подход к описанию однолинейных систем массового обслуживания с отказами Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

НОВЫЙ ПОДХОД К ОПИСАНИЮ ОДНОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ Жевнеров В.А.

Жевнеров Владимир Алексеевич - кандидат технических наук, доцент, кафедра электротехники и информационных систем, Национальный исследовательский технологический университет, г. Москва

Аннотация: для описания процесса функционирования однолинейных систем массового обслуживания с ограниченной очередью и внешними потоками отказов-восстановлений предлагается использовать метод вложенных координат. Применение такого метода требует наименьших трудозатрат по сравнению с известными подходами.

Ключевые слова: однолинейные системы массового обслуживания, ограниченная очередь, потоки отказов и восстановлений.

Однолинейные системы массового обслуживания (СMO) с ограниченной очередью и внешними потоками отказов-восстановлений наиболее часто используются при построении математических моделей больших систем с приоритетным обслуживанием и ненадёжными приборами. В настоящее время известные методы позволяют описывать СМО с пуассоновскими входящими потоками и показательным законом обслуживания [1], а для произвольного закона -определить значения вероятностей некоторых стационарных состояний системы [2].

Для более полного описания СМО рассматриваемого класса предлагается использовать метод вложенных координат (МВК) [4]. Суть метода заключается в описании процесса обслуживания произвольно выделенной из пуассоновского потока заявки. Процесс поступления заявок является марковским. Марковская цепь

образуется множеством Т = {¿г}, 1 = 1,2,... моментов времени окончания процессов обслуживания заявок в приборе. Каждой точке ^ марковской цепи соответствует

множество и = {ип} возможных состояний СМО, П - количество заявок,

находящихся в системе и влияющих на очередность обслуживания выделенной заявки.

Принимаются следующие критерии качества функционирования СМО: рс - вероятность обслуживания заявки;

Ротк = 1 ~ Рс - вероятность отказа в обслуживании;

1П - П -й момент времени ожидания заявки в очереди, в основном для п = 1 и п = 2;

р (5) - преобразование Лаплaca по параметру 5 плотности распределения вероятностей (п.р.в.) длительности времени ожидания обслуживания заявки в очереди.

По аналогии с методом катастроф [3] преобразование Лапласа для п.р.в, длительности времени взаимно независимых процессов трактуется далее как вероятность своевременной доставки (ВСД). В дальнейшем описание СМО

приводится в основном для критерия р (5). Остальные виды критериев определяются через р (5) следующим образом:

А ='М' - Н)■

В дальнейшем используются следующие обозначения:

^ - ВСД за оставшееся время ожидания в очереди для заявки, находящейся в состоянии и ;

qnm - ВСД для перехода между состояниями ип и ит

- начальное значение ВСД для поступающей заявки, в дальнейшем полагается

ч0 -1;

X - интенсивность пуассоновского входящего потока;

) - п.р.в. длительности времени обслуживания заявки в приборе; р0 - вероятность пребывания СМО в свободном состоянии;

рп имеет смысл ВСД, вычисленной для перехода поступившей заявки в

состояние ип через отрезок времени [¿и, ^ ] - время дообслуживания заявки,

находящейся в приборе к моменту ;

Яп - вероятность пребывания в СМО п заявок в моменты времени ^ + 0, т.е. за исключением уже обслуженной заявки.

Для описания значений р в дальнейшем применяются обратные уравнения Колмогорова, которые в данном случае будут иметь следующий вид

бп -Е Чпт • йт , п - 2, N

т-1

(1)

№ -1

Значение р , очевидно, определяется по следующему соотношению

N

р*(в) - Ро + (1 -Ро)ЕРп ■ йп (2)

т-1

Значения рп определяется через Жп по соотношениям, приведенным в [3].

Рассматривается случай показательного распределения длительности интервалов времени исправной работы прибора обслуживания, находящегося в занятом состоянии (в приборе присутствует заявка), т.е. п.р.в. длительности исправной

работы прибора равна wu (г) - ци (г) - ехр(—ци • г), где - (ги ) 1 - среднее

значение интервалов времени безотказной работы прибора.

В свою очередь п.р.в. длительности времени пребывания занятого прибора в состоянии отказа (неисправном) обозначается won¡к (?), а среднее время

ад

длительности отказа - готк, готк -1 womк (V) • г • Л.

0

Прибор, находящийся в свободном состоянии, начиная с момента окончания обслуживания последней заявки, находится в исправном состоянии в течение

N

<

интервала времени с п.р.в. в(1). Длительность интервала времени пребывания прибора в неисправном состоянии имеет п.р.в. d (V).

Учет влияния на качество функционирования СMO рекуррентного потока отказов-восстановлений для занятого прибора производится соответствующим изменением

значения Ь (5) - преобразования Лапласа п.р.в. длительности времени обслуживания Ь(^) заявки в приборе, т.е. в дальнейшем применяются обычные соотношения для прибора без отказов в занятом состоянии с заменой Ь (5) на И (5), где в соответствии с [2]

Н\5) = Ь\5 + Ни ' [1 - ^(5)]) для процесса обработки заявки с дообслуживанием, и

Ь \5 + Ни )

И'(5) =

1 - ™отк (5)

Х_Ь (5 + Ни )

1 + 5 / Ни

для обслуживания заявки всякий раз заново после каждого прерывания вследствие отказа. В дальнейшем интенсивность обслуживания заявки в ненадёжном приборе

обозначим н , Н =—дИ* (5)/д5^

Учет влияния рекуррентного потока отказов-восстановлений для прибора, находящегося в свободном состоянии, удобно производить введением разделения

и отк

состояния щ на два состояния и0 и щ .

В состоянии и и в СМО отсутствуют заявки, и прибор находится в исправном состоянии, а в состоянии и £тк свободный прибор неисправен. Из состояния и Ц

отк

заявка поступает сразу на обслуживание в прибор, а из и может поступать в

соответствии с дисциплиной очереди в иные состояния. Поэтому в используемом графе потоковой модели СМО с надежным прибором после ветви перехода с вероятностью р0 в и0 в момент времени ?0 появится следующее добавление, приведенное на рис.1, где использованы обозначения: ри - вероятность пребывания СМО в состоянии и % ;

~отк „отк г\ лт -п^тт ^ \

Ро ' , п = 0, N - ВСД для интервала времени (?0, ^ ) при переходе

, отк

заявки в системе из состояния и в и ;

р0 - средняя по времени вероятность пребывания прибора в незанятом состоянии.

Рис. 1. Структура графа переходов для нулевого состояния Аналогичные изменения производятся и при составлении потоковой модели для вычисления значений п{.

С учетом сделанных ваше замечаний соотношение (2) для р (я) примет следующий вид:

N

р» - (1—ри0 • Ро)+е (Рп + ктк • чотк) • а

п-1

в котором значения р имеют тот же вид, что и для системы без отказов в свободном состоянии и величины ^ определяются по тем же соотношениям вида (1) с учётом замены Ь (я) на И (я) . Значения qоТ" вычисляются также по аналогичным соотношениям, что и ри , но с заменой функции Ь (я) на й (я). Нетрудно убедиться, что

1 — e*(X)

рои -

~ отк _ р0 -

1 — е (X) • й (X) е* (X)

(3)

1 — е (X) • й (X)

где е (X), й (X) - вероятность отсутствия поступления заявок соответственно на интервалах времени ?м и гоиж .

Значение р определяется следующими соотношениями, вывод которых аналогичен приведенному в [4]:

ро - Ит

ро - Ит

Т ^ад

Т ^ад

1 —

Т - рс •X Ни • Т

1 X

- 1 — рс ■-

Ни

По • рс ■ Т •X•T|

Т

- П

рс ■X•то

где т0 - средняя длительность времени пребывания прибора в незанятом состоянии.

Величина п0 = А' т0 - имеет смысл среднего количества заявок, поступивших на интервале пребывания прибора в незанятом состоянии, которая с учетом (3) равна

.« , -ж , г _[l - e * (А)]-1 -Л-1

' ^ Г I I т

no = Po + Po -Л-fd =

d [l - e*(Ä) - d *(Л)]

(4)

где td = J d(t) -1 - dt, откуда в частности

0

-_ 1 1 -е\Л) [l-Л-7d]

Л 1 - е'(Л) - d *(Л) (5)

Величины ж , n = 0, N определяются приведенными в [3] соотношениями,

составляемыми для СМО без отказов при свободном состоянии прибора с п.р.в. h(t), но в которых производится учёт особенностей свободного состояния прибора, аналогичный описанному выше для величин ри , то есть делается следующая замена:

N

hon ^ PU - hon + Ктк -ZЧок - hk-in .

k=1

Таким образом, описание однолинейных СМО с отказами обслуживающего прибора с учетом сделанных замечаний может быть произведено на базе соотношений, разработанных для СМО с исправным прибором.

Список литературы

1. КлейнрокЛ. Вычислительные системы с очередями. М.:Мир, 1979.

2. Климов Г. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука. 1970.

3. Жевнеров В.А. Потоковые системы. Моделирование и оптимизация. М.: Наука, 2002.

4. Жевнеров В.А. Метод вложенных координат// Проблемы управления. 2007. №05. с. 81-83.