Стационарное распределение вероятностей в системах массового обслуживания с обновлением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ф

ф

УДК 519.872

Стационарное распределение вероятностей в системах массового обслуживания с обновлением

Рассматриваются марковские системы массового обслуживания с обновлением. Для этих систем на основе доказанной в работе для обобщенного процесса размножения и гибели теоремы получены алгоритмы нахождения стационарных вероятностей состояний. В качестве примеров приведены алгоритмы расчетов для экспоненциальных системы с обновлением — системы M/M/n/r без дообслуживанием и системы M/M/n/r с дооб-служиванием.

Ключевые слова: марковский процесс, матричное решение, стационарное распределение, обновление, дообслуживание.

Рассмотрим две системы массового обслуживания (СМО) с обновлением.

В СМО первого типа (без дообслуживания) заявка, окончившая обслуживание на приборе, с вероятностью с убивает все заявки в накопителе и покидает СМО, а с дополнительной вероятностью р = 1 — с просто покидает систему. Вероятность сс называется вероятностью обновления.

В СМО второго типа (с дообслуживанием) с вероятностью с обслужившаяся заявка остается в системе, убивая все заявки в накопителе, и с вероятностью р =1 — с покидает систему. Здесь вероятность с также называется вероятностью обновления.

Интерес к данному классу систем массового обслуживания связан с развитием компьютерных и телекоммуникационных систем. Впервые СМО с обновлением были рассмотрены А.Я. Крейниным [1,2] и применялись для моделирования работы системы, в которую поступают потоки команд (заявок) нескольких типов (в том числе поток исполняемых команд) и возможен переход от исполняемой команды к иной команде с потерей промежуточных команд. В настоящее время этот подход начинают применять к моделированию систем, в которых обслуживание (а точнее говоря — момент окончания обслуживания) может вызвать сбой в работе системы, чреватый потерями заявок. В частности, в [3] были изучены вероятностные модели протоколов для систем, чувствительных к отказам. В этой же работе были построены системы массового обслуживания с приоритетами и обновлением. Отметим, что СМО с обновлением имеют также интересную интерпретацию с точки зрения математических моделей финансов и экономики, где с их помощью описывается стоимость рисковой ценной бумаги на финансовом рынке. При этом переход в нулевое состояние интепретируется как банкротство (дефолт) компании, выпустившей данный рисковый актив.

В настоящей работе, в отличие от [1], в которой стационарное распределение вероятностей состояний найдено в терминах производящей функции, предлагается алгоритм поиска этого распределения, основанный на предложенном в [4] для обобщенного ПРГ методе.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ грант №06-07-89056).

П. П. Бочаров , И. С. Зарядов

Кафедра теории вероятностей и математической статистики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Введение

Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 1-2. 2007. с. 14-23 15

1. Вспомогательные результаты

Рассмотрим однородный неприводимый марковский процесс с непрерывным временем, конечным множеством состояний и инфинитезимальной матрицей Q

Я =

вида:

(N0 Л 0 . .0 0. . . 0 0 0 0 \

Мо N1 Л . .0 0. . . 0 0 0 0

Мо М1 N2 . .0 0. . . 0 0 0 0

Мо М1 М2 . .0 0. . . 0 0 0 0

= Мо М1 М2 . .Л 0. . . 0 0 0 0

Мо М1 М2 . . N1 Л. . . 0 0 0 0

Мо М1 М2 . . М1 N . . . 0 0 0 0

Мо М1 М2 . . М1 0. . . 0 М N Л

\Мо М1 М2 . . М 0. . . 0 0 М N■+1/

(1)

где Л, М, М, Мк, Мк, Мк — квадратные матрицы, причем Мк = М + Мк, к = 0,1 и I < г - 2.

Как видно из (1), начиная с I + 1-го столбца матрица, становится трехдиаго-нальной.

В частности, для многолинейной СМО с конечным накопителем и обновлением без дообслуживания матрица Я имеет вид

Я = Я1

Л 0

М1 N1 Л 0. . . 0 0. .0 0

0 М2 N2 Л. . . 0 0. .0 0

0 0 Мз N3 . . . 0 0. .0 0

0 0 0 0. . . Л 0. .0 0

0 0 0 0. . N„-1 Л. .0 0

0 0 0 0. . М„ N . .0 0

0 0 0 0. . М М. .0 0

0 0 0 0. . М 0. .Л 0

0 0 0 0. . М 0. . N Л

0 0 0 0. . М 0. .М N^+1/

0

0

0

0

где Mn = Mn + M, а для многолинейной СМО с конечным накопителем и обновлением с дообслуживанием вид

Q = Q2 =

No Л 0 0. . . 0 0 0. .0 0

M1 N1 Л 0. . . 0 0 0. .0 0

0 M2 N2 Л. . . 0 0 0. .0 0

0 0 M3 N3 . . . 0 0 0. .0 0

0 0 0 0. . Nn-1 Л 0. .0 0

0 0 0 0. . . Mn Nin Л. .0 0

0 0 0 0. . . 0 Min N. .0 0

0 0 0 0. . . 0 Mi M. .0 0

0 0 0 0. . . 0 Mi 0. .Л 0

0 0 0 0. . . 0 Mi 0. .N Л

0 0 0 0. . . 0 Mi 0. .M Nr+1^

(3)

где Мп = Мп + М, N = N + М.

Для марковского процесса с матрицей (1) стационарное распределение вероятностей состояний р = (ро, Р1,...,рг+\)т, гдерк — компоненты векторар, находятся из системы уравнений равновесия (СУР)

r+1

pT No + pT Mo + j2 -T mm = 0 T, j=2

r+1

pLiA + PpV + pT+iMfc + pjMk = 6T, k = ~l,

j=k+2

pjfe-1A + pT N + pT+1M = 0T , k = l + l,r,

с условием нормировки

p T Л + p j+1Nr+1 = 0 T

r+1

Ер Ti = i.

k=o

(4)

(5)

(6) (7)

Для марковских процессов с матрицами (2) и (3) имеем следующие СУР:

р Т N0 + р Т М1 =0 т,

Р1_1А + plNk +Pfc+1Mfc+i = 0 , к = 1,п — 2,

n+r

РП-2Л + p П- 1 Nn- 1 + рП Min + ^ pjj M =0'

n+1

Pfc_iA + #fcN + pfc+1M = бт, fc = n,n + r-l,

-P n+r — 1Л + -P n+rNn+r = 0 ,

(9) (10)

(11)

(12) (13)

p T No + P1 T M1 = 0 T,

pl_1A + plNk +Pfc+1Mfc+i = 0 , fc = l,n-l,

(14)

(15)

и

ф-

-е

п+г

р 3

рп-Л+^п+рп+1ммп+1 + §Т м = 0

п+2

(16)

р1к_1А + р1кМ + р1+1М = 01 , к = п + 1,п + г — 1,

р п+г- 1Л + § п+г^п+г = 0 .

Рассмотрим теперь систему уравнений

г1к_1А + г1кВ + г1к+1С = 01, к = 1,1-1,

(17)

(18)

(19)

., ¿г — векто-

где А, В и С — квадратные матрицы одинакового порядка, а Ро, ¿1, ры той же размерности.

Теорема 1. Пусть существуют матрицы К и 5 такие что А + КВ + К2С = 0, 52А + 5 В + С = 0, и не вырождена матрица 5 А + В + КС. Тогда общее решение системы уравнений (19) представимо в виде

= + 9Т31~к, к = 0,1,

(20)

где р и д — произвольные векторы1 .

Отметим, что утверждение теоремы 1 применимо к системе уравнений (19) с любыми матрицами А, В и С (а не только с матрицами интенсивностей переходов).

Перейдем непосредственно к матрице интенсивностей переходов (1).

Теорема 2. Пусть существуют матрицы К и 5 такие что: Л + К^ + К2М = 0 и 52Л + + М = 0, кроме того, не вырождена матрица 5 Л + N + КМ. В этом случае вектор стационарных вероятностей р = (§0,р1,... ,§г+1)т удовлетворяет СУР рТ^ = 0т с матрицей Q вида (1) тогда и только тогда, когда для некоторых векторов рр и рд справедливы равенства:

Р1 = 1ТВк~1 + дТЗг+1~к, к = 1,г+ 1,

(21)

р Т N0 + §Т Мо + £ рТ Мо + рт

3=2

г+1

]Г Кк-г I Мо+

+ рд

г+1

Е

. к=г+1

5г+1-к I Мо = 0 т, (22)

г+1

РТ-1Л + р Т N + РТ+1М* + ^ рТ М^, + р§т К'

к-г

Мк+

3=к+2

I к=г+1

г+1

+ 9Т( Е Я"4-1-* ] Мк = 0Т, к = 1,1-2, (23)

РГ-2Л + Р1-1 N1-1 + (р§т + д т5г+1-г) Мг-1 +

1 Доказательство теоремы см. в [4] или [5].

ф-

-е

г+1

г+1

+ f

Е ММ1-1 + 9 Т I Е ^

г+1 —к

Мг-1 = 0 Т, (24)

I к=г+1

р'/_ 1Л + рТ (N1 + ДМг) + 9Т(М + ^N1} +

г+1

+ f

г+1

Е

. к=1+2

Е 1 | М + 9Т I Е 5Г+1-к | Мг = 0 Т, (25)

рТ+ Л) + 9Т (N^+1 + 5Л) = 0 Т. (26)

Доказательство. Согласно теореме 1 уравнения (6) имеют место тогда и только тогда, когда для некоторых векторов f и 9 справедливы выражения (21)

р1 = 1тик~1 + дтБг+1-к, к = Т^ТТ. Учитывая, что М^ = М + М&, выразим из (21) векторы р1— 1, р1:

р1 = / Т + 9Т

р1—1 = / Т л + 9 Т !.

Подставляя полученные значения р1—1 и р1 в (6) при к = I и I — 1, приходим к уравнениям (24)-(25).

г+1

В выражении (4) представим сумму ^ р ТМ в виде

5 = 2

Г+1 1 Г+1

!>Т м = е рТ мм + е рТ М.

5=2 5 = 2 5=1+1

Подставляя (21) в последнее слагаемое вместо р Т и производя аналогичную операцию с (5) при к = 1,1 — 2, приходим к (22)-(23). Для векторов рг и рГ+1 из (21) имеем

рг = / ТлГ—1 + 9ТрГ+1 = / ТлГ+1—1 + р'

Подставляя полученные выражения в (7), получаем (26).

□

Из теоремы 2 непосредственно выводятся следующие следствия, позволяющие найти стационарное распределение числа заявок в СМО с матрицами интенсив-ностей (2) и (3).

Следствие 1. Пусть существуют матрицы Л и 5 такие что: Л + ЛN + Л2М = 0 и 52 Л++ М = 0, кроме того, не вырождена матрица SЛ + N + ЛМ. В этом случае вектор р = (р0,р1,... , рп+г)Т удовлетворяет СУР рТ= 0Т с матрицей вида (2) тогда и только тогда, когда для некоторых векторов / и 9 справедливы равенства:

р к

X = /ТЛЛ-П+1 + дТБп+г-к, к = п - 1, п + г,

рП-2Л + рТ ^п—1 + ДМп) + 9Т(5^п-1 + Мп) +

п+г

п+г

+ рТ I Е л5-п+11 лМ + 9Т I Е 5п+г-51 лМ = б^

5=п+1 / \5=п+1

/Т (Д^+г + Л) + 9Т + 5Л) = 0Т.

ф-

ф

ф

е-

-е

Следствие 2. Пусть для некоторых матриц К и 5 верны выражения Л + RN + К2М = 0 и 52Л + + М = 0, кроме того, не вырождена матрица 5Л + N + КМ. В этом случае вектор р = (ро, р1,..., рп+г)т удовлетворяет СУР ртQ2 = 0т с матрицей Q2 вида (3) тогда и только тогда, когда для некоторых векторов рр и рд справедливы равенства:

PÏ = f TRk~n + gTSn+r~k, k = n,n + r,

PL2Л + pП-iNn-i + / + gTSr) M„ = 0T,

p П- 1Л + /T (Nn + RM„) + gTSr-1 + Mn) +

'n+r \ (n+r

j- 1

+ / t ( e rj-11 m + gt ( e sr+1-j i m = 0t,

i j = n

i j = n

/ T Rr-i (RNn+r + Л) + gT (Nn+r + 5Л) = 0T.

В следующих разделах рассмотрим работу предложенного метода поиска решения на примере двух экспоненциальных многолинейных систем с обновлением: системы без дообслуживания и системы с дообслуживанием, которые будем кодировать, соответственно, как M/MR/n/r и M/MRR/n/r. Для этих систем будем обозначать через Л интенсивность входящего потока, а через ^ — интенсивность обслуживания.

2. Система M/MR/n/r с обновлением без дообслуживания

Система уравнений равновесия для СМО и условие нормировки имеют вид: - Apo + ДО1 = 0,

\pk-i - (Л + kjj)pk + p(k + l)ßPk+i = 0, к = 1, п - 2,

n+r

Apn-2 + (А + (n - 1)^)pn-1 + P«Wn + E Pj = 0,

j=n+1

Apfc_i - (A + riß)pk + pn/ipk+i = 0, к = n, n + r - 1,

„ APn+r-1 + Wn+r = 0

(27)

n+r

E

k=0

EPk = 1

Согласно следствию 1, решение такой СУР имеет вид

Рк = fRk~n+1 + gSn+r~k, k = n-l,n + r, где / и g — постоянные, определяемые из соотношений

Apn-2 + / [—А + (n - 1)^ + pn^R] + gSr [- (А + (n - 1))S + pn^] +

(n+r \ in+r

ERj-n+1 ! + gnq^ (£ Sn+

j = n У \j = n

(28)

r-j

= 0, (29)

/Яг (Л - п^Я) + д (ЛБ - = 0, (30)

а 5 и Я — корни квадратных уравнений Л — Я(Л + + Я2р^ = 0 и Б2Л — Б(Л + + р^ = 0, удовлетворяющие условию Б Л — (Л + + Яр^ = 0.

Л + ц ± -у/(А + ц)2 - 4р\ц _ А + ц т + иУ ~ -2р/х-' 51>2"-2Л-'

Отметим, что с учетом условия Б Л — (Л + + Яр^ = 0 для дальнейших расчетов можно взять любую из двух пар корней: (Бх,Ях) или (52, Я2). Естественно, использование любой из этих пар приводит к одному и тому же конечному результату.

Из первого и второго уравнений СУР (27) имеем:

р1 _

Pí = -JPo, ъ=1,п-1, (31)

где р = Л/^. Из (29)—(31) после преобразований получаем выражения:

п^ — ЛБ 1 — Я

Подставляя любое из них в уравнение (28) и используя условие нормировки, получим формулы для / и д:

/9"-1 _1 - Д_

1 ~ (п - 1)! ' 1 - л + (ДБ^+^Д - ЯЗ)^0'

_ р"-1 Дг+2(1-Б)

9 ~ (п - 1)! ' 1 - Д + (ДБ^+^Д - КБ)

где

1

Ро =

Ро,

V £1 + Р"'1 Г_Д(1-(Д5)Т'+1)_

^ а ' (п-1)! i 1-д+(д5')''+1(д-д5')

¿=0

Таким образом, окончательное выражение для стационарных вероятностей имеет вид:

1

Р° = -'

V £1 4- р"'1 ( Д(1-(Д^)Г+1) й "т" (п-1)! i 1-д+(д5')''+1(д-д5')

¿=0

. ,-т (32)

Рг = -тРо, г = 1,11-1, г!

р™"1 (1 - Д)Д^-"+1 + (1 - 5)Дг+25п+г_<

Средние числа заявок в системе и очереди определяются формулами:

^п—1 4 п— 1

Е ^ + п Е

чг=0 ¿=0

N =

/п—1 4 п—1 ¡\

А(1 - рп+г) + п/х(п<? - 1) - ¿¿(1 - дп) Е + п Е Ро

\г=0 ' ¿=0 ' /

пдо

п— 1 7' п— 1 7'

Я

¿=0 ¿=0

ф-

Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 1-2. 2007. с. 14-23 21 Стационарная вероятность Рш=о немедленного обслуживания имеет вид

n— 1

Pw=0 = PO Е 7! '

В частности, для однолинейной СМО M/MR/1/r с обновлением (n = 1) получаем следующие формулы для стационарного распределения числа заявок в системе и средних чисел заявок в системе и в очереди:

№ = ! _ {д8)г+2 ((! - R)Rk + - S)Sr+1"fc) , * = Ô^+I,

дГ = А(1 - Pr+i) - M 1 - Ро) ^ = A(1 -Pr+i) - К1 -Ро)

m m '

3. Система M/MRR/n/r

с обновлением и дообслуживанием

Система уравнений равновесия для СМО и условие нормировки имеют вид: 0 = -Лро + PMP1,

0 = Apfc_i - (A + k/j,)pk + p(k+ 1)црк+1, k = l,n-l,

n+r

0 = Лрп-1 + (Л + n^)pn + qn^pn + pn^pn+1 + qn^ 53 P, (33)

j=n+1

0 = \pk-i - (А + пц)рк +рпцрк+\, к = п+ 1,п + г - 1,

0 = Арп+ г—1 + ^рп+г,

п+г

Рк = 1

к=о

Согласно следствию 2 решение такой СУР имеет вид

Рк = /Ек~п + дБг+п~к, к = п,п + г, (34)

где р = А/и, а р и д — постоянные, определяемые из соотношений

Арп-1 - (А + прп^) (р + д5г) + рп^ (рК + д5г-1) +

(п+г \ / п+г \

53 К3-п I + дпдо ( £ 5п+г—3 I =0, (35)

3=п+1 3=п+1

РКг-1 (А - п^К) + д (А5 - п^) = 0, (36)

а 5 и К — корни квадратных уравнений А — К(А + + К2р^ = 0 и 52А — 5(А + + р^ = 0, удовлетворяющие условию 5 А — (А + + Кр^ = 0.

А + ц ± (А + /х)2 - 4рА/х А + ц т л/(А + ц)2 - Ар\ц -2рщ-' 51>2"-2А-'

Как и в предыдущем примере, отметим, что с учетом условия 5 А — (А + + Кр^ = 0 для дальнейших расчетов можно взять любую из двух пар корней: (51, К1) или (52, К2). Естественно, использование любой из этих

пар приводит к одному и тому же конечному результату. Из первого и второго уравнений СУР (33) имеем:

Рг = "ТТРО, 1=1,п. (37)

Из (37)—(36) после преобразований получаем выражения:

П— * РГ-1 ^ ~ ^ п— * ъг+1 1 ~ 3

9-!к -гтт, 9-!к -Б-

п^ — А5 1 — К

Подставляя любое из них в уравнение (34) и используя условие нормировки, получим формулы для р и д.

рп _1 - Д_ _ Дг+2( 1-5)

^ 9 ~ ры}. ' 1 - К + {КБ)Г{К -

где

1

Ро

А , ^ д(1-(ДЗ)Г) \

^ рН\ "Т" р"гг! I /

г=о

Таким образом, окончательное выражение для стационарных вероятностей имеет вид:

1

Ро

У +

Z^I p»i! I

R(l — (RS)r)

рЧ\ ~ pnti\ \ l-R+(RSY(R-RS)

i=0

P1 ■ ï— (38)

Pi = —.Po, г = l,n,

ргг!

pn (1 - R)Ri-n + (1 - S)Rr+1Sn+r—

№ = --1 -R+(RSy(R-RS)-* = « + +

Средние числа заявок в системе и очереди определяются формулами:

/ n » n-1 i \

A(1 - Pn+r) - nfi(p - qn) + fj,(qn - p) E ^ - « E {q\ Po

Д^ _ _\г=1 i=0 1 J

nq^ '

(n—1 i n—1 i \

i=0 Pii! i=0 р г!) Стационарная вероятность PW=o немедленного обслуживания имеет вид:

n— 1 i

Pw=о =Ро Е ~Г\-r—i рЧ!

i=0 1

В частности, для однолинейной СМО M/MRR/1/r с обновлением (n = 1) получаем следующие формулы для стационарного распределения числа заявок в системе и средних чисел заявок в системе и в очереди:

р^ (1 - R) + Sr Rr+1(1 - S)

Ро — -г" '

л I л - - v- -, ■ - V--, , .

i?fc_1(l - Д) + 1Г+1(1 - S)Sr+1~k

Рк ¡f(l-R) + ¡fSrRr+1(l-S) + l-(RSУ+1, к l'r + l

N = А(1 - pr+i) - /i(p - g)(l - Ро) q = A(1 - Pr+i) ~ M1 ~ Po)

m m '

е

■е

В работе рассмотрены марковские системы массового обслуживания с обновлением. Для этих систем на основе доказанной в работе для обобщенного процесса размножения и гибели теоремы получены алгоритмы нахождения стационарных вероятностей состояний. В качестве примеров приведены алгоритмы расчетов для экспоненциальных системы с обновлением—системы М/М/п/г без дообслужи-вания и системы М/М/п/г с дообслуживанием.

В дальнейшем планируется изучение систем массового обслуживания более общего вида с обновлением, а также рассмотрение случая, когда заявки, выбитые из очереди, формируют отдельный накопитель, из которого повторно могут пойти на обслуживание.

1. Kreinin A. Queueing Systems with Renovation // Journal of Applied Math. Stochast. Analysis. - Vol. 10, No 4. - 1997. - Pp. 431-443.

2. Kreinin A. Inhomogeneous Random Walks: Applications in Queueing and Finance // CanQueue / Fields Institute. — Toronto: 2003.

3. Towsley D., Tripathi S. K. A single server priority queue with server failure and queue flushing. — 1999.

4. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. — М.: РУДН, 1995. — С. 529.

5. Naoumov V. A. Matrix-multiplicative approach to quasi- birth-and-death processes analysis // Proc. First Internat. Conf. on Matrix-Analytic Methods in Stochastic Models. — Detroit: 1995.

UDC 519.872

Queueing Systems with Renovation. Stationary Probability Distribution

The Marcovian queueing systems with renovation are revised. The matrix algorithm for computing the stationary distribution of the Markov process is described. As examples of the method the algorithms for exponential systems are given — queueing systems M/M/n/r without reservice and M/M/n/r with reservice.

Заключение

Литература

P. P. Bocharov , I. S. Zaryadov

Department of Probability Theory and Mathematical Statistics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

e— e

—e e