Марковские системы обслуживания с интенсивностью входного потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационные системы в экономике

Н.И. Головко,

кандидат технических наук, доцент кафедры математики и моделирования ДВГАЭУ;

В.В. Катрахов,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и моделирования ДВГАЭУ;

H.A. Филинова, аспирант кафедры математики и моделирования ДВГАЭУ

МАРКОВСКИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДНОГО ПОТОКА

Рассматриваются марковские системы массового обслуживания (СМО) типа М / М / Ь / N0 с конечным накопителем, экспоненциальным обслуживанием, с дважды стохастическим входным пуассоновским потоком заявок со скачкообразного интенсивностью. Предлагается матричный метод расчета стационарного распределения числа заявок в СМО данного типа. Матричный метод демонстрируется на примере анализа системы обслуживания типа М / М / Ь / N0. Задача расчета стационарных вероятностей числа заявок сводится к решению системы линейных ачгебраиче-ских уравнений и обращению матрицы диагональной структуры. Стационарные характеристики числа заявок применяются при проектировании и эксплуатации информационных систем, в частности, локальных вычислительных сетей. Приводятся результаты численного анализа.

При проектировании и эксплуатации различных информационных систем (ИС) широко используется аппарат теории массового обслуживания. При этом в качестве моделей ИС в целом, так и отдельных ее фрагментов могут выступать системы массового обслуживания (СМО). В последнее время в связи с развитием и появлением новых ИС возрастает интерес к СМО, параметры которых меняются со временем, и возможно случайным образом [1,6,10]. В литературе достаточно хорошо изучены системы обслуживания с дважды стохастическим (ДС) пуассоновским потоком (1111) заявок, интенсивность которого представляет собой марковскую или полумарковскую цепь с конечным множеством состояний [8]. Меньше исследован случай, когда интенсивность ДС ПП СМО представляет марковскую цепь с бесконечным числом состояний или марковский процесс с непрерывным пространством состояний. Так, например, в

работах [3,4,7] предлагаются приближенные методы анализа СМО с ДС ПП, интенсивность которого представляет собой чисто разрывный (рус. термин) или скачкообразный (англ. термин) случайный процесс. Для анализа СМО с бесконечным накопителем обычно используется метод производящих функций [5]. В данной работе для СМО с конечным накопителем предлагается матричный метод анализа стационарных характеристик числа заявок.

Системы обслуживания называют марковскими, если на вход таких систем поступает пуассоновский поток заявок, а обслуживание распределено по экспоненциальному закону. В настоящей работе рассматриваются марковские СМО типа М /М/Ь/Л^ с экспоненциальным обслуживанием на каждом из Ь приборов и конечным накопителем емкости Л^.

На вход СМО поступает ДС ПП, интенсивность которого представляет собой скачкообразный процесс, принимающий значения на интервале [аУЬ] . Модель такой СМО может быть использована при проектировании и эксплуатации локальных вычислительных сетей. Процесс в

течение случайного интервала Т сохраняет постоянное значение, затем мгновенно изменяет свое значение на новое и опять в течение случайного интервала Т сохраняет постоянное значение и т. д. Случайная величина Т распределена по экспоненциальному закону с параметром а . Интенсивность /1(/) имеет в точках разрыва tQ справа условную плотность распределения

<р(х/у)=р{х<Л^0 + 0)<Х+Л/Л(*0 у}/сЬс-

Обозначим через нестационарную плотность процесса

/1(7): /^,х)=Р{х<Я^)<х+сЬс}/ск. Плотность /(/,*) удовлетворяет уравнению Колмогорова-Феллера [2]

-#к,х)+а&<р(х/у)/к,у)с1у=/;к,х). (1)

В настоящей работе приводится анализ характеристик рассматриваемой СМО в случае, когда условная плотность (р{х/ у} совпадает с

плотностью (¡х. Можно показать, что ста-

ционарное решение /(х) уравнения (1) совпадает с плотностью т.е. /(х)=^(х)[4]. В частности, в качестве стационарного решения (1) можно рассматривать финальную плотность /{х)=Итпри

Обозначим через число заявок в СМО в момент а через Р^ нестационарные характеристики числа заявок

Рк((,х)=Р{у^)=к,х<А(1)<х+ск}/с£с,

где 0<£<А\ ЛГ=Л^о+1 — максимальное число заявок в СМО. Обозначим через v число заявок в СМО в стационарном режиме, а через Р/с(х)=Р{у=к,х<Л<х+с/х}/ск соответствующие стационарные характеристики числа заявок. В частности, в качестве р^(х) можно рассматривать пределы р^{х)-Ит,х) при >оо, которые могут существовать при некоторых ограничениях на входные параметры (например, при выполнении условия отсутствия перегрузок в СМО: Ъ<р, которое, строго говоря, не является обязательным для СМО с конечным накопителем). Рассмотрим применение матричных методов анализа для расчета стационарных характеристик числа заявок в указанных системах обслуживания типа М / М / Ь/ Л^ в общем случае, а также на примере СМО с одним обслуживающим прибором.

СМО типа М/М /Ь/И0 Рассмотрим СМО с ДС ПП типа М /М/Ь/Предположим, что значения процесса Л (7) в точках разрыва справа не зависят от значений этого процесса в точках разрыва слева, т.е. <р(х/у)=ф(х). Введем

обозначения: х(х)=[р0(х), рМ(х)]Т, я-=[?0, дм]Т или

где Е - единичная матрица размерности Л^ хЛ^ ; А| =N+1, в -нулевой вектор размерности А^ ; Р(х) - матрица интенсивностей переходов (инфинитезимальная матрица) [9] размерности А^ х А^ для СМО М / М / Ь/ А^ с простейшим пуассоновским потоком с фиксированным параметром хе[а,б] и экспоненциальным обслуживанием интенсивности р на каждом из Ь приборов. С применением динамики Кол-могорова-Чепмена можно показать, что вектор стационарных характеристик /г(х) удовлетворяет матричному интегральному уравнению [4]

Р(х)ти{х)-аЕл;(х)+а(р{х)л=0. (2)

Уравнение (2) можно разрешить относительно я, однако удобнее это сделать используя неоднородное условие нормировки. А именно, из определения р^{х) следует равенство

N

/М= !/>*(*), (3)

к=О

которое мы назовем условием нормировки. Кроме того, (3) получается из формулы (2) суммированием компонент векторов в (2) в левой и

правой частях с учетом того, что интеграл от /(х) по равен 1.

Таким образом, совокупность уравнений в (2), (3) — избыточная система уравнений, так что добавляя к (2) уравнение (3) можно удалить из (2) любое из уравнений для компонент векторов. Заменим, например, первое уравнение для компонент в (2) уравнением (3). Представим полученную совокупность уравнений в матричной форме. Обозначим через Т

0, 0] , через £}(х) матрицу, которая получается из мат-

рицы Р{х)-аЕ заменой первой строки строкой из единиц. Тогда искомое уравнение в матричной форме будет иметь вид

Q{x)л(x)+a(p{x)л=a(p{x)qQE0 +/(х)Е0. (4)

Уравнение (4) есть матричное интегральное уравнение типа Фред-гольма с вырожденным ядром относительно л{х). Применяя стандартный аппарат решения уравнений подобного типа, разрешим это уравнение относительно л. Предположим, что матрица ()(х) обратима и обозначим через <2 обратную матрицу. Перенося все неизвестные в

(4) в левую часть, умножая левую и правую части на интегри-

руя по получим

л + а\Ьа(р{х)0'Х {х)<}х-л-а\Ь(р(х)0~Х (х)Е0Ох-д0 =

(5)

где интеграл от матрицы (вектора) понимается в обычном смысле как матрица (вектор) интегралов компонент. Преобразуем векторное

уравнение (5). Введем матрицу Е размерности А^хА^ из нулей и единицей в 1-й строке и 1-м столбце. Тогда из (5) следует линейное векторное уравнение, или система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), относительно компонент вектора л

¡V • л = (6)

где

IV = \Ъа<р(х\Я+О0-1 (:*)-о04 ,

Е=\Ьа/(х)О-\х)Е0ск.

Матрица 1У получена с учетом того, что 0, (х)^^ = (?~\х)Ё?г и

л - \д<р(х)Ес1х-л. Таким образом, расчет вектора стационарных вероятностей числа заявок в СМО с ДС ПП типа М / М / Ь/ А0 сводится к решению СЛАУ

(6). Условия существования стационарного режима, очевидно, будут следующие: 1) обратимость матриц ()(х), \/хе[а,Ь] и ;

2) неотрицательность вектора характеристик Я"(х), который выражается через к из (4) следующим образом

K{x)=a<p(x)q0Q4 (x)Eq +f(x)Q~l (x)Eq -acp(x)Q-1 {x)n . Отметим, что для ряда рассматриваемых СМО матрица Q(x) имеет диагональный вид, что облегчает нахождение обратной матрицы

Q * (х) в аналитическом виде. Рассмотрим такие обращения на примере СМО типа М /М /1 / Nq с постоянной интенсивностью обслуживания.

СМО типа М /М /1 / Nq с постоянной

интенсивностью обслуживания

Рассмотрим СМО указанного типа с одним прибором и экспоненциальным обслуживанием с параметром JU. Стационарные характеристики числа заявок Pfc(x) удовлетворяют конечной системе разностно-интегральных уравнений [4]

-(х+<*)Ро(х)+№! (7)

*Pk-l(x)-( (8)

\<k<N~l,

xpN_x (9)

где N = Nq +1 - максимальное число заявок в СМО. Заметим, что (3) вытекает из (7)-(9), Действительно, суммируя уравнения в (7)-(9), получим, что сумма Pfcix) удовлетворяет такому же уравнению, что и

/(х), откуда, с учетом того, что интегралы от /(х) и от суммы р^{х)

равны единице, получим (3). Таким образом, система уравнений (3), (7)-(9) является избыточной, поэтому, добавляя к системе (7)-(9) условие нормировки (3), можно удалить любое уравнение из системы (7)-(9). Удалим, например, уравнение (7). Рассмотрим теперь систему уравнений (3), (8), (9), которую можно представить в матричной форме (4), откуда указанным выше способом получим СЛАУ (6) относительно к, где

"11 1 ... 1 1 " -(x+/i+a) р ... О О

х -{х+р+а) О О

О 0 ... -(х+//+а) р

О 0 ... х

бМ=

Обратная матрица Для СМО с постоянной

интенсивностью обслуживания

Найдем <2 ^ (х) для рассмотренной выше СМО из условия левой обратной матрицы

0~\х)0(х)=Е. (10)

Обозначим через О]1 (х)^ ^(х), Я^(х) -

.¡-ю строку матрицы через Е^ - ^ю строку матрицы

)) 0<jtk<N. С учетом введенных обозначений матричное

уравнение (10) сведется к совокупности следующих систем линейных уравнений

(11)

Заметим, что СЛАУ (11) для удобства можно переписать в виде

Q<j<N. (12)

Обозначим для краткости г^ ек~е]к ^ фиксирован-

ных значениях х и у . Относительно г£ имеем из (12) СЛАУ

хг\=е0~г0> (13> +хг2=е^-г0, (14)

МГк-1~(х+М+аУк +хгк+1=ек~г0• 2<*<ЛГ-1, (15)

/^Аг-1 =ем -г0 (16)

СЛАУ (13)-(16) представляет собой разностное уравнение (15) с граничными условиями (13), (14), (16). Неизвестная константа г0 для

удобства перенесена в правую часть. Общее решение разностного уравнения (15) имеет вид

^^-'-^Щ^^-ГоУСг^+Вг2к , (17) 5=0

где (х), г2{х) - корни характеристического уравнения

г\

хг -{х+11+а)2+ц=0 для разностного уравнения (15), причем А,ВуС,Э,г^ -

неизвестные постоянные. Константы А,В находятся в результате подстановки г^ из (17) в (15) и приведения подобных при е^-^о и

ек-\~~г0> пРичем можно показать, что остальные слагаемые равны нулю. В результате получим

А=21х 1{*\~г2) 1,В=-г2х 1(г1~г2) У

Константы С,[),г^ находятся из граничных уравнений (13), (14), (16). Подставляя г£ из (17) в (13), (14), относительно С ий получим СЛАУ

[Сг 1 +£>г9=0, \ 1 2 (18) \ С+£>=0.

Определитель СЛАУ (18) равен ¿1 (х)—^(х) и отличен от нуля. Действительно, легко показать, что выполняется:

22(х)>1 . Следовательно 0 . Из граничного уравнения (16) нахо-

дим г^

где

5=0

(19)

. А^-1/ 5=0

Таким образом, получили необходимое и достаточное условие обратимости матрицы 0.{х). отличие от нуля вj{x), заданных в (19),

Vхе[а,Ь], 0<j<N.

Численный анализ стационарных характеристик СМО

Приведем примеры численных расчетов стационарных вероятностей л=[¿/0, , £/дд ПРИ следующих значениях входных параметров СМО: а=1, 6=3. В качестве плотности распределения процесса А(/)в точках разрыва справа рассматривается плотность равномерного распределения (р{х)-\/{р-а). Дополнительные значения входных параметров: N ¡л = 2, N-N(^+1=3. Обозначим через

*=[?<)■ ^Г ~~ вект0Р стационарных вероятностей числа

заявок в СМО, вычисленный методом подстановок. Применение метода подстановок, в данном случае для решения системы разностно-интегральных уравнений (7)-(9), делалось следующим образом. Из (7), (8) разрешались относительно /?о(х) функции ¿=1,2,3, затем

р^{х) подставлялись в условие нормировки (3) и относительно /?о(х)

получено неоднородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром, решение которого найдено в аналитическом виде. Заметим, что метод подстановок практически не применим для значений N>3, так как количество слагаемых в выражениях для р^^х) пропорционально 3*, т.е. растет в геометрической прогрессии.

Сравним близость полученных векторов вероятностей я и я в П П

пространствах векторов Я и , п=N+1. Для этого введем вектор невязки е=к-к=\е^•••, £\у ]''. Обозначим норму элемента через норму элемента £ е Я1^ через Ця^.где

( N

£ £к и=о .

Щ2 ~тах

Ы

Через еобозначим относительные погрешности невязки, где

4 = И/ ' 1И171 -Ю096. /=1 для Яп, /=2 для .

В таблице приведены вероятности и сумма вероятностей

^Я/с и сРеДнее число заявок Му при указанных значениях аир.

Таблица

Вероятностные характеристики и погрешности их вычисления

а = 2, //=6 Як Як Погрешности

Ве- 0.6869 0.6706 ¡¿4=0.0317

ро- 0.2148 0.2181

ятно- 0.0712 0.0745 е\ =4.38%

сти 0.0244 0.0511

ъяк 0.9974 1.0144 ¡4=0.0268

МУ 0.4317 0.5206 4=3.9%

Заметим, что для рассматриваемой СМО точность вычисления ин-

_з

тегралов равна 10 . Анализ результатов при различных значениях входных параметров позволяет сделать вывод, что матричный метод дает результаты, совпадающие с результатами метода подстановок, практически с заданной точностью.

Литература

1. Вычислительные сети коммутации процессов // Тез.докл. V Всесоюз. конф. Рига, 1987.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Физматгиз, 1961.

3. Головко Н.И., Коротаев И. А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и вычислительная техника. 1989. №2. С.36-39.

4. Головко Н.И., Коротаев И.А. Системы массового обслуживания со случайно изменяющейся интенсивностью входящего потока // Автоматика и вычислительная техника. 1990. №7. С.80-86.

5. Головко H.H., Коротаев И.А. Расчет характеристик нестационарных систем массового обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1991. №2. С. 97102.

6. Головко Н.И., Филинова H.A. Матричный анализ систем массового обслуживания со скачкообразной интенсивностью входного потока // Всерос. науч.-техн. конференция: Сборник докладов. Владивосток: Изд-во ТОВВМУ, 1998. Том II. С.47-48.

7. Горцев A.M., Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1978.

8. Дудин А.Н. Об обслуживающей системе с переменным режимом работы // Автоматика и вычислительная техника. 1985. №2. С.27-29.

9. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение,

1979.

10. Филинова H.A. Стационарное распределение числа заявок в системах обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // 2-я Дальневосточная конф. студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тез. докл. Владивосток: Дальнаука, 1998. С.31.