CC BY
23
к
раткие сообщения
УДК 519.872
МЕТОД ВЛОЖЕННЫХ КООРДИНАТ
В.А. Жевнеров
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва
Представлен метод, разработанный для описания систем массового обслуживания с полумарковскими процессами функционирования и пригодный для всех видов систем, описываемых с помощью иных методов, а также для некоторых новых видов систем. Отмечено, что его применение, как правило, требует наименьших трудозатрат.
В настоящее время для описания систем массового обслуживания (СМО) с полумарковскими процессами наиболее часто применяются метод катастроф [1] и метод «красных и синих» [2].
Метод катастроф представляет собой скорее мнемоническое правило составления уравнений. Суть его заключается в трактовке преобразования Лапласа плотности распределения вероятностей (п. р. в.) длительности интервалов времени между элементами вложенной марковской цепи в виде взаимно независимых вероятностей перехода и применении для описания полученной таким образом стохастической сети обычных методов теории вероятностей.
Метод «красных и синих» применяется для описания СМО, на марковский или полумарковс-кий процесс функционирования которых налагаются дополнительные ограничения или факторы. Например, могут вводиться ограничения на длину очереди, время пребывания заявки в очереди или в системе. Для описания влияния таких факторов вводятся дополнительные переменные в виде вероятностей «подкрашивания» заявок в различные цвета. При этом число таких цветов, как правило, соответствует числу дополнительных учитываемых факторов. Уравнения связи составляются для некоторых созданных искусственным образом состояний, например, описывается вероятность пребывания в приборе, очереди или системе заявок только определенного цвета. Недостаток метода «красных и синих» заключается в отсутствии четкой методологии составления уравнений для учета факторов различного вида и их сочетаний. Здесь важное значение имеет опыт исследователя.
Традиционные методы теории массового обслуживания основаны на описании процесса функционирования СМО относительно «неподвижных» приборов обслуживания. Существо метода вложенных координат (МВК) заключается в описании процесса обслуживания произвольно выделенной заявки. Этот метод разработан для описания однофазовых СМО с пуассоновскими входящими потоками и полумарковскими процессами обслуживания. Для таких систем процесс поступления заявок является марковским, а марковская цепь образуется множеством Т = {ґ..}, і = 1, 2, ... моментов времени окончания или начала немарковских процессов обслуживания заявок в приборах. Каждой точке ґ. марковской цепи соответствует множество и = {и } возможных состояний СМО. При этом состояние системы описывается только подмножеством параметров, оказывавших влияние на процесс обслуживания выделенной заявки. Обычно состояние ип определяется количеством заявок п, находящихся в системе и влияющих на очередность обслуживания выделенной заявки.
Процесс обслуживания заявки условно разделяется на три этапа:
этап 1 — от момента поступления заявки в систему до наступления первого момента времени ґ1 є Т;
этап 2 соответствует процессу ожидания заявки в очереди на обслуживание с момента времени ґ. до момента ґ. є Т поступления заявки на прибор;
этап 3 — собственно обслуживание заявки в приборе.
to v__________^___________J *1 4._______________________J2^_________________________>
Этап 1 Этап 2
Рис. 1. Обобщенная структура графа, описывающего процесс обслуживания заявки в потоковом представлении
На вход системы в момент времени ґ0 (рис. 1) поступает заявка. Показатель качества обслуживания (критерий) f рассматривается в потоковом представлении [3]. Обычно для СМО в качестве критериев применяются: рс — вероятность обслуживания заявки, £*(?) — преобразование Лапласа
п. р. в. времени обслуживания, ґ и ґ2 — первый и второй моменты времени обслуживания.
Поступившей заявке соответствует значение критерия f = К моменту ґ. заявка будет находиться в одном из состояний системы в соответствии с операторами ^0/, определяющими значения
^ = ґ0>і [ X ] при переходе поступившей заявки в
СООБЩЕНИЯ
состояние и, где X — множество параметров, влияющих на процесс обслуживания выделенной заявки. В дальнейшем операторы, определяющие переходы из состояний иі в и^ и соответствующие значения f, обозначаются для марковской цепи
операторами Fij [ X ].
Состояние и_ соответствует выходу необслу-женной заявки из системы (отказ в обслуживании), и0 — выходу обслуженной заявки, и{ — поступлению заявки в обслуживающий прибор, ип — пребыванию в системе n заявок, включая рассматриваемую.
Результатом описания служит определение значений критериев f для суммарного выходящего потока.
Структура операторов Fij и F0i определяется видом описываемого критерия f и особенностями построения СМО — дисциплинами очереди, законами обслуживания, системами приоритетов и т. д. Примеры составления операторов для потоковых систем показаны в работе [4].В отличие от метода «красных и синих» особенности построения СМО учитываются наиболее естественным образом, и для этого не требуется введение дополнительных искусственных переменных в виде «подкрашивания» потока заявок. Если операторы Fj для марковской цепи не зависят от номера n состояния ип, граф на рис. 1 для этапа 2 обслуживания можно представить в более компактном виде, приведенном на рис. 2, т. е. размерность графа в этом случае будет уменьшена на единицу.
Для описания выходящего потока f 0 и остальных потоков, циркулирующих в графах, достаточно применения прямых и обратных уравнений Колмогорова—Чэпмена [5].
В общем случае для описания критериев g *(s) и
tn необходимо определить сначала вероятности п/
Рис. 2. Граф, описывающий процесс обслуживания заявки на этапе 2
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
пребывания СМО в состояниях и. на элементах марковской цепи. Для этого следует построить соответствующий граф, определить операторы ¥■■ и
У
составить систему уравнений относительно п.. Отметим, что такие уравнения составляются в соответствии с традиционным подходом [6], т. е. с привязкой к «неподвижным» приборам обслуживания.
Таким образом, в МВК используются основные известные методы и подходы к описанию СМО:
— часть уравнений состояния формируется с привязкой к «неподвижным» приборам обслуживания;
— применяется аппарат описания марковских и полумарковских процессов прямыми и обратными уравнениями Колмогорова — Чэпмена;
— особенности вида СМО учитываются на этапе построения потоковой модели в виде графа и описания операторов (аналог — введение дополнительных переменных в методе «красных и синих»);
— метод катастроф применятся для описании наиболее распространенных критериев в виде преобразования Лапласа; кроме этого, в методе вложенных координат дополнительно применяется потоковое представление критериев, а процесс обслуживания описывается в виде потоковой модели
относительно произвольно выделенной заявки с использованием метода операторных уравнений.
Особенность потоковых моделей описания процесса функционирования СМО состоит в наличии жесткой корреляции между п. р. в. времени перехода системы в различные состояния и значениями вероятностей таких переходов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. — М.: Мир, 1979.
2. Климов Г. Стохастические системы обслуживания. — М.: Наука, 1970.
3. Жевнеров В.А. Потоковые системы. Моделирование и оптимизация. — М.: Наука, 2002.
4. Жевнеров В.А. Применение балансных уравнений в задачах описания стохастических сетей / Проблемы управления. — 2004. — № 2. — С. 63—65.
5. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. — М.: Сов. радио, 1971.
6. Тютюнник М.Б. Использование информационного графа при распараллеливании вычислений для системы конфлюэнтных продукций / Информатика и системы управления. — 2006. — № 1. — С. 26—32.
® (495) 334-89-70, e-mail: jewn@mail.ru
Статья представлена к публикации членом редколлегии
С.А. Редкозубовым. □
Не заІЇцуьіїе подписаться!
Подписку на журнал «Проблемы управления» можно оформить с любого месяца в любом почтовом отделении (подписные индексы 81708 и 80508 в каталоге Роспечати или 38006 в объединенном каталоге «Пресса России»), а также через редакцию. Отдельные номера редакция высылает по первому же требованию.
Подписка через редакцию — выгодное предложение для Вас! Подписаться через редакцию можно с любого месяца, здесь можно приобрести любой номер журнала за прошедшие годы. Позвоните в редакцию по тел. (495) 334-92-00 или обратитесь по электронной почте pu@ipu.ru — и подписка будет оформлена. Почтовые расходы по пересылке журнала редакция берет на себя.
Оформить подписку можно через группу компаний «Урал-Пресс» (см. http://www.ural-press.ru/) и агентство "Коммерсант — Курьер" (см. www.komcur.ru), которые проводят подписку на наш журнал во многих городах России.
