CC BY
16
13. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.:
Физматгиз, 1959.
14. T h a u F. E. Observing the state of non-linear dynamic systems // Int. J. Control. - 1973. - № 17. - P. 471-479.
15. R a g h a v a n S., H e d r i c k J. K. Observer design for a class of nonlinear systems // Int. J. Control. - 1994. - V. 59. - № 2. - P. 515-528.
16. Rajamani R. Observers for Lipschitz nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1998. - V. 43. - № 3. - P. 397-401.
17. A r c a k M., Kokotovic P. V. Observer-based control of systems with slope-restricted nonlinearities // IEEE Trans. Autom. Contr. - 2001. - V. 46. - № 7. - P. 11461150.
18. S o n t a g E. D. Smooth stabilization implies coprime factorization // IEEE Trans. Automat. Contr. - 1989. - V. 34. - P. 435^43.
19. K h a l i l H. K. Nonlinear systems. - N. Y.: Prentice-Hall, 1996.
20. M a r i n o R., T o m e i P. Nonlinear Control Design: Geometric, Adaptive and Robust. - London: Prentice-Hall, 1995.
21. Крищенко А. П. Стабилизация программных движений нелинейных систем // Изв. АН СССР. Сер. Технич. кибернетика. - 1985. - № 6. - С. 103-112.
Статья поступила в редакцию 31.01.2003
Алексей Евгеньевич Голубев родился в 1978 г., окончил в 2002 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор трех научных работ в области стабилизации нелинейных динамических систем обратной связью по выходу.
A.Ye. Golubev (b. 1978) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2002. Post-graduate of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 3 publications in the field of output feedback control of nonlinear dynamical systems.
УДК 519.872
В. В. Чаплыгин
СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
SM/MSP/1/r1
Рассмотрена однолинейная система массового обслуживания с полумарковским входящим потоком, марковским процессом обслуживания и накопителем конечной или бесконечной емкости. Для этой системы с помощью метода построения вложенной цепи Маркова найдены стационарные распределения основных характеристик обслуживания.
Описание системы. Рассмотрим систему массового обслуживания SM/MSP/1/r (r < оо) с накопителем емкости r.
1Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №02-07-90147).
......^ —^ ) W
1 L
Опишем полумарковский процесс генерации заявок. Рассмотрим полумарковский процесс, функционирующий на конечном множестве состояний — фаз обслуживания {1, 2,..., ш}, ш < то, и управляемый стохастической матрицей переходных вероятностей (матрицей переходных вероятностей вложенной цепи Маркова) М = (Mij ),г, ] = 1 ,ш, с полумарковским ядром В (ж) = (В^ (ж)), г,] = 1, ш, где Mij — вероятность перехода с г-й фазы на ]-ю, а В^(ж), г,] = 1,ш, — условная функция распределения времени генерации заявки на г-й фазе при условии, что процесс генерации заявок перейдет с г-й фазы на ]-ю. Далее
т _
обозначим через Bi (ж) = ^ В^ (ж) безусловную функцию распреде-
3=0
ления времени пребывания процесса генерации заявок на г-й фазе, где Вз (ж) = Мз Вгз (ж).
Будем полагать, что матрица М неразложима и непериодична,
оо
Ьз = J tdBij(£) < то для любых г,] = 1, ш. Кроме того, для простоты
о _
изложения будем предполагать, что для любых г,] = 1,ш функция
распределения В^ (£) абсолютно непрерывна. Вектор стационарных вероятностей цепи Маркова с матрицей переходных вероятностей М будем обозначать через Па.
Марковский процесс обслуживания заявок определяется следующим образом. Имеется марковский процесс с непрерывным временем и конечным числом / состояний (фаз обслуживания). Тогда если в неко-торый момент в системе на обслуживании находится к, к > 1, заявок и фаза обслуживания г-я, г = 1,/, то за "малое" время А с вероятностью \зА + о(А) фаза изменится на ]-ю, ] = 1,/, и при этом заявка будет продолжать обслуживаться, а с вероятностью п^А + о(А) фаза изменится на ]-ю, ] = 1, /, но обслуживание заявки закончится, и она покинет систему. Матрицы из элементов А^ и п^ будем обозначать через Л и N; введем матрицу Л* = Л + N, причем матрицу Л* будем полагать неразложимой, а матрицу N — ненулевой. Будем считать также, что на свободном периоде фаза обслуживания не изменяется. Вектор стационарных вероятностей марковского процесса обслуживания заявок (т.е. марковского процесса с инфинитиземальной матрицей Л*) будем обозначать через 7г8. Тогда стационарная интенсивность ^ обслуживания заявок имеет вид ^ = (Пв
Заявки обслуживаются в порядке поступления (дисциплина Заявка, поступающая в систему, в которой уже находится г + 1 заявок (одна на приборе и г в накопителе), теряется.
Для 5М/М5Р/1/г далее получены стационарные распределения
числа заявок в системе по моментам изменения состояний вложенной цепи Маркова и по времени, а также стационарные распределения времени ожидания начала обслуживания и времени пребывания заявки в системе.
Система SM/MSP/1/r является обобщением системы G/MSP/1/r (r < то). В работе [1] система G/MSP/1/r исследована методом введения дополнительной переменной, и для конечного числа мест ожидания, т.е. для r < то, получено стационарное распределение длины очереди. В работе [2] для G/MSP/1/r с помощью построения вложенной цепи Маркова получены стационарные распределения числа заявок в системе по моментам изменения состояний вложенной цепи Маркова и по времени и времен ожидания начала обслуживания и пребывания заявки в системе.
Процедура вычисления экспоненциальных моментов подробно описана в работе [3] для системы MAP/G/1 /r, которая является двой-ственной к системе G/MSP/1/r [3, 4].
Конечный накопитель. Рассмотрим последовательные моменты тп, n > 0, поступления заявок в систему.
Пусть n(t) — фаза, на которой находится полумарковский процесс прихода заявок, £(t) — фаза обслуживания заявок в момент времени t, v (t) — число заявок в системе в этот момент. Определим случайные величины Пп = п(тп + 0), £п = £(тп + 0) и Vn = v(тп + 0), соответствующие фазе прихода, фазе обслуживания и числу заявок в системе непосредственно после момента поступления n-й заявки. Кроме того, положим Zп = (пп, £п, ^). Тогда последовательность (Сп, n > 0} образует однородную цепь Маркова, которую будем назы-вать вложенной цепью Маркова.
Очевидно, что
X = (i,j, k), i = 1,m, j = 1,l, k = 1,R,
где X — множество состояний вложенной цепи Маркова; индексы i, j и k соответствуют фазе прихода заявок, фазе обслуживания и числу заявок в системе непосредственно после момента поступления заявок.
Рассмотрим матрицу переходных вероятностей вложенной цепи Маркова {£п, n > 0}. Для этого определим следующие матрицы. Fk (ж) — матрица, элемент (Fk(x))j которой представляет собой условную вероятность того, что за время ж обслужится ровно k заявок и процесс обслуживания перейдет на j-ю фазу при условии, что в начальный момент в системе число заявок превышает k (вместе с заявками на
приборе), процесс обслуживания находится на %-й фазе и за время х не заканчивается обслуживание заявки на приборе. Ак — квадратная матрица размером т1 х т1, где элемент (Ак)^, % = 1(и — 1) + V, ] = 1(п — 1) + д, v,q = 1,1, и,п = 1, т, представляет собой вероятность того, что за время между поступлениями заявок обслужится ровно к заявок и процесс обслуживания перейдет на д-ю фазу при условии, что в начальный момент в системе число заявок превышает к и процесс обслуживания находится на v-й фазе, а процесс поступления заявок перешел с и-й фазы на п-ю. Е*(х) и А*к — матрицы, аналогичные матрицам Ек (х) и Ак, но соответствующие условию, что в начальный момент в системе было ровно к заявок.
Матрицы Ек(х) и Е*(х) определяются соотношениями
ад = еЛх,
X
Ек(х) = I Ек-г(у— у)в.у, к > 1,
0
X
ад = У Е- 1(у)И(1у, к > 1, 0
а матрицы Ак и Ак — соотношениями
сю
Ак = ! ¿В(х) ® Ек(х), к > 0, (1)
0
с
Ак = I ¿В(х) (8> Е*(х), к > 0, (2)
0
где ® — символ кронекерова произведения матриц.
Рассмотрим снова вложенную цепь Маркова процесса обслуживания. Из состояния с % заявками, % = 1,Я, вложенная цепь Маркова может перейти только в одно из состояний с ] заявками, ] = = 1, шт(% + 1, Я). При этом переход из состояния с % заявками, % = 1,г, в состояние с ] заявками, ] = 2,% + 1, осуществляется тогда, когда за время между поступлениями заявок обслужатся ровно % — ] + 1 заявок, а в состояние с одной заявкой — когда обслужатся все % находящихся в системе заявок. Аналогично определяются переходы из состояния с Я заявками, за исключением перехода в состояние также с Я заявками, ко -торый происходит не только тогда, когда будет обслужена одна заявка,
но и когда не будет обслужено ни одной заявки, и новая поступающая в систему заявка будет потеряна.
Таким образом, матрица Р переходных вероятностей вложенной цепи Маркова, представленная в блочной форме Р = (Ркп), к, п = 1,Я, имеет следующий вид:
Mi Ao 0 • 0 0
A2 Ai Ao • • 0 0
A3 a2 Ai • • 0 0
A* Ar-1 Ar-2 • • Ax Ao
\AR Ar Ar-i • .. A2 Ai + Ao/
Можно показать, что вложенная цепь Маркова является неприводимой и непериодической. Обозначим через p*k, i = 1 , d, d = mZ, k = 1 , R, где i = Z(n — 1) + j, j = 1 , Z, n = 1 , m, стационарную по вложенной цепи Маркова вероятность того, что в системе имеется k заявок, фаза, на которой находится процесс поступления заявок, n-я и фаза обслуживания j-я, и положим Pk = (pik, • • • ,Pdk)т, ~* = (Pi* т5, • • • ,~дг)т. Тогда для * справедлива система уравнений равновесия (СУР)
тт
P = ~ P, (3)
или, в координатной форме,
R
тт
Pi = Pm (4)
m=i
R
= Е ~ттAm-k+1, k = 2^, (5)
m=k-1
PRт = p* тАо + pR^(Ao + Ai) (6)
с условием нормировки
P*. = 1; (7)
здесь символ " • " означает суммирование по всем значениям соответствующего дискретного аргумента.
СУР (3) имеет единственное, с условием нормировки, решение, которое можно получить методом, приведенным в рабое [2].
Зная стационарное распределение вложенной цепи Маркова, нетрудно определить другие стационарные характеристики обслуживания в рассматриваемой системе.
Вычислим сначала векторы р- = (р—,...,р-к)т, к = 1,Я, где р—, % = 1(п — 1) + j, ] = 1,1, п = 1, т, — стационарная вероятность того, что при поступлении заявки в системе будет к других заявок, марковский процесс обслуживания будет на j-й фазе, а процесс поступления заявок — на п-й фазе. Заметим, что при поступлении заявки в системе будет к, к = 0,г — 1, других заявок, если в систему поступит к + 1 заявок. Учитывая, что в момент поступления заявки фаза обслуживания не изменяется, имеем
Рк~ = рк*+1, к = 0,г — 1
Нетрудно видеть, что
я
Р-т = т Аз-к, к = Г,Я.
3=к
В частности, стационарная вероятность п потери заявки определяется формулой
тт
п = ТРя 1= ТРя Ао1,
—*
где ~1 — вектор-столбец из единиц.
Для нахождения стационарных вероятностей состояний по времени введем матрицы Тк и Тк, элементы которых (Тк)^ и (Тк)^, i,j = 1, 1, % = 1(п — 1) + д, д =1,1, п = 1,т, j = 1(и — 1) + V, V = 1,1, и = 1,т, представляют собой среднее время между соседними моментами поступления заявок в систему БМ/МБР/1/г (с накопителем емкости г) в состоянии (и, V, М — к) при условии, что после поступления первой заявки в системе оказалось М заявок и фаза обслуживания была д-я, и процесс поступления заявок находился на п-й фазе, М = г + 1. При этом в первом случае предполагается, что М > к, а во втором — что М = к. Матрицы Тк и Тк определяются соотношениями
сю
Тк = !(! — В(Х)) в Л
о
с
т: = I (I — В(х)) в г:(х)1х.
о
Введем вектор р, компоненты которого представляют собой (с учетом фаз генерации заявок и обслуживания) средние значения времени между соседними моментами изменения состояний вложенной цепи Маркова (между поступлениями заявок). Тогда
рР = Ь в 1,
где Ь — вектор с координатами Ь = / I dBi (£).
0
Среднее время Т между соседними моментами изменения состояний вложенной цепи Маркова в стационарном режиме функционирования системы определяется формулой
я я
Т = Е = Е Ркт( Ь ® 1» )■ (8)
к=0 к=0
Рассмотрим соотношение
Т = (Па)тМ^ Ь^ 1т.
—* —* —* _
Действительно, (Па)т = р* тЬ, где Ь = 1т ® 1» и Ь = М(Ь^) 1т. Перемно-
—*
жая матрицу Ь и вектор Ь, получаем
ЬЬ = Ь ® 1,
откуда немедленно приходим к формуле (8).
Заметим также, что загрузку системы р можно представить в виде
1
р = ТУ
Используя результаты теории полумарковских процессов, получаем для векторов рк, к = 0,Я, стационарных вероятностей состояний по времени формулы
1 Я
р0 = Т 5-У Рт Т?га '
т=1
я
1
_
= Т
Рк = ^Е РтТт-к, к =
т=к
Введем обозначение
Чк = рТ^, к = 0,Я,
где Q = 1т ® I ■
Получим соотношение между векторами дк и которое будем использовать в дальнейшем. Для этого заметим, что матричные функции Рк (ж) удовлетворяют дифференциальному уравнению
^0(ж) = Рк(ж)Л + и(к)Рк-1(ж)^, к > 0;
отсюда с учетом формул (1), (2) можно получить
АоЯ = —((1т—В(х))вГо(х))Я
+ ((1т — В(х))в(Ро(х)Л))д1х =
о
о
= (1а + То(1т в Л))Я, 1 = т1, где 1т — единичная матрица размера т,
АкЯ=—((1т — В(х)) в Рк(х))Я
+ / ((1т — В(х))в
о
о
в(Рк(х)Л + Гк(х)И))Я1х = (Тк(1т в Л) + Тк-г(1т в N))Я, к > 1
Ак Я = — | (1т — В(х)) в Гк (у ^ I Я
+ / ((1т — В(х))
о
о
в (Гк-^))Я1х = (Тк-!(1т в N))Я, к > 1.
Суммируя СУР по к от 1 до Я и подставляя вместо Ак и Ак их выражения из формул (1), (2), после простых преобразований получим
я я я
тЯ = Е Р* тЯ + Т5>кт(1т в Л * )Я. к=1 к=1 к = 1
Из этого сооношения имеем
я
^Р*(1т в Л* )Я = 0т. к=1
Следовательно,
я
У^ Ррк = СП3, к=1
где с — нормировочная постоянная, которая может быть записана в виде
с = 1 — ро.
Здесь через рк = р ,к, к = 0, Я, обозначена стационарная по времени вероятность наличия в системе к заявок.
Рассмотрим некоторые характеристики времени пребывания заявки в системе. Для этого обозначим через Ук (х), к > 1, матрицу, элементом (Ук(х))^ которой является вероятность того, что за время х будет
с
ОО г-
с
ОО г-
X
оо
обслужено не менее к заявок и в момент окончания обслуживания к-й заявки процесс обслуживания перейдет на ]-ю фазу при условии, что в начальный момент фаза обслуживания была г-я и в системе находилось не менее к заявок, а через Фк (в) обозначим преобразование Лапласа-Стилтьеса матрицы V-(ж). Обозначим также через /(в), к > 0, преобразование Лапласа-Стилтьеса матрицы (в), которая введена ранее.
Поскольку вероятность того, что обслуживание группы из т заявок, т < к, окончится на временном интервале [ж, ж + ^ж) при условии, что до этого момента уже обслужено к — т заявок, определяется формулой Рк-тоАт^ж, и поскольку за время ж может быть обслужено от 1 до к — 1 заявок, имеем
ф^в) = [ е-вхеЛх^ж = (в/ — Л)-1^,
фк (в) = фк (в), к > 2.
Отсюда нетрудно получить преобразования Лапласа-Стилтьеса и ^(в) стационарных распределений Ш(ж) и V(ж) — времени ожидания начала обслуживания и времени пребывания в системе произвольной заявки, принятой к обслуживанию:
1 г
Цв) = -- УУ-т(/т <8> Фк (в)) 1,
1 — П ^—'
к=0
1 ^
^(в) —- ^Р-т(/т ® Фк+1 (в)) 1.
1 — П ^—'
=0
Дифференцируя эти формулы в точке в = 0, получаем для среднего времени т ожидания начала обслуживания и среднего времени V пребывания в системе произвольной заявки, принятой к обслуживанию, для стационарного режима функционирования системы выражения
-1 г
т = .-£Р-т(/т ® Фк(0)) 1 =
1П
к=1
= т—; XхР-' (/- ® (XX(—>'л-1) ) 1 =
т—1 г
= —г^Е Е Р-т(/™® ((—Л-1^)'Л-1))!,
-- £ р-т(1т ® Ф'к+1(0))1 =
1 — П —'
к=0
= 7-7Xх(1- ® (¿(-л-1 Ю>лА)- =
к=0 \ \j=0 ) ) .. г г
= - т^ Е Е р-т (I- ® ((-л_1^ )j л-1))
j=0 к=
Для численных расчетов воспользуемся формулой
1
^к(х) 1 = 1 Ег(х)т, к > 1
г=0
из которой получаем следующие выражения для Ш(х) и V(х):
Ш(х) = 1 -
V (х) = 1 -
т-П¿( ¿р-')
i=0 \ к=г+1 /
1-П ± Xт)
г=0 =г
(I- ® Ъ(х)) 1,
(I- ® Ъ(х)) 1.
Бесконечный накопитель. Обратимся теперь к системе с бесконечным накопителем (г = ж).
Можно показать, что для системы с бесконечным накопителем необходимым и достаточным условием существования стационарного режима является стандартное условие р < 1, где р — загрузка системы.
Рассмотрим, как и в случае конечного накопителя, вложенную цепь Маркова, множество состояний которой
X = (%, 2, к), % = 1,т, у = 1,1, к > 1,
в данном случае является счетным.
Рассмотрим, как и ранее, векторыр**т, к > 1, ир* = (р*т,р*т,.. Имеем
(А\ А0 0 0 ..Д
А2 А1 А0 0
Р =
А3 А2 А1 А0 А4 Аз А2 А1
т
Приведем также развернутую запись СУР:
го
т т
р1 = 2^! Ат, т=1
го
рг = Е РттАт-к+1, к > 2.
т=к-1
Введем векторы рк, к > 0, стационарных вероятностей состояний по времени. Для рк справедливы формулы
го
т 1 т Ро = т
т=1
1 го
ркт = т Е , к >1
Также имеет место соотношение
го
Е^к = (1 — Ро)П®, к=1
причем р = (1 — р0), где р — загрузка системы. Найдем искать решение СУР в виде
р* т = РГ^-1, к > 1, (9)
где С — решение уравнения,
го
С = ^ Ак = А(С). (10)
к=0
Лемма. Уравнение (10) при р < 1 имеет единственное решение в классе матриц, все собственные значения которых по модулю меньше единицы. Это решение является матрицей, все элементы которой положительны, и итерационная процедура = А(С(п-1)) при п ^то сходится к нему, если в качестве начальной итерации С(0) выбрать любую матрицу с собственными значениями, по модулю меньшими единицы.
Доказательство этой леммы приведено в работе [5]. При численных расчетах в качестве С(0) удобно выбрать нулевую матрицу для монотонной сходимости последовательности к С.
При любом р* последовательность векторов рк*, задаваемых формулой (9), где С — решение уравнения (10), удовлетворяет всем уравнениям (4)-(6), и, кроме того, поскольку все собственные значения матрицы С по модулю меньше единицы, имеем
го / 1 \
Б Б |р.к I
к=1 \¿=1 )
к ¡1 < то. (11)
Оставшийся неизвестным вектор р* получим из первого уравнения СУР. 1
Перед этим подставим в уравнение (10) выражения для Ак из формул (1), (2). Получаем
С = /(( + и(/т ® Л)+ Си(/т ® N), (12)
где
го
укг
и = ^ СкТк.
к=0
—*
Умножая обе части равенства (12) на 1, имеем
(/( — С) 1= (/( — С)и(/т ® N) 1.
Поскольку матрица /т — С невырожденная, то последнее равенство эквивалентно равенству
и(/т ® N) 1 = 1,
которое, в свою очередь, в силу неотрицательности элементов матрицы UN означает, что матрица и(/т ® N) является стохастической. Уравнение
рТ = Р1 ти(/т ® N)
имеет единственное, с условием нормировки, решение. Условие нормировки легко приводится к виду
рТ(/( — С)-11=1.
Для вектора рк-, к > 0, стационарных вероятностей того, что в момент поступления заявки в системе содержится к других заявок, получим
Рк = Рк = Р* С .
Для вектора рк, к > 0, стационарных вероятностей по времени получим
- ^
Р0 = О Т-,
-=1
11
Рк = Р*тО--1 т—-к = - р*тОк-1и, к > 1,
— ' ^ 1 -—к —
-=к
где среднее время Т между моментами изменения состояний цепи Маркова вычисляется по формуле
ж ж
— = Е р**т~ = Е р**т( ~ ). =0 =0
Для преобразований Лапласа-Стилтьеса ш (в) и <р(в) стационарных распределений Ш(х) и V(х) — времени ожидания начала обслуживания и времени пребывания в системе произвольной заявки — получим
ж
т
ш(в) = ^2Р**тОк(I- ® Фк(в)) 1,
=0
Ж
= Р*ток(I- ® Фк+1 (в)) 1. =0
Для среднего времени т ожидания начала обслуживания и среднего времени V пребывания в системе произвольной заявки, принятой к обслуживанию, для стационарного режима функционирования системы получим
ж / ж \
т = -Р*'Е Е Оk){I- ® (-Л—1М)'Л—^1 = j=0 \к=' + 1 /
ж
= -Р*тО(и - О'' (I- ® (-л—1му л-1) 1,
j=0
жж
V = -Р*т Е Е О Л^- ® (-л—1N У л—1) 1 = j=0 \к=' )
= -р*т(Ь - О)—1^ о' (I- ® (-л—^ул—1) 1. j=0
Функции распределения Ш(ж) и V(ж) для системы с бесконечным накопителем можно представить в виде
Ш (ж) = 1 - РГ > , С*) (1т ® (ж)) 1 =
СЮ / ГО \
ЕЕ«*
¿=0 \*=, + 1 /
С
1 - тОД - О)-1 ^ « (1т ® (ж)) 1, (13)
, =0
СС
ЕЕс
¿=0 \*=, /
V(ж) = 1 - т у у С* (1т ® (ж)) 1 =
т ^ ± ]\
1 - Р7т(/^ - С)-1^ « (1т <8> (ж)) 1. (14)
,=0
Положим
С
Я(ж) = ^ Сг(/т <8> ВД) (15)
г=0
и обозначим через а модуль минимального диагонального элемента матрицы Л.
Положим Q = /^ - (/т ^ Л)/а. Найдем матричную функцию Я (ж) в виде
с / \ г
Я(ж)= е-"^ ^Яг. (16)
^—' г!
г=0
С помощью преобразований, аналогичных приведенным в работе [2], получаем следующее рекуррентное соотношение:
Я0 = /* (17)
1 1
Яг = Qг + У -ОЯ, (/т ® N— =
а
¿=0
+ Iх аСЯ, (/т ® N, Q+
+ 1 ОЯг-1(/т <8> N)= Яг-lQ + 1 ОЯг-1(/т <8> N), г > 1. (18) аа
Таким образом, из формул (13)-(14) следует, что функции распределения W (x) и V(x) можно вычислить по формулам
W(x) = 1 - plTG(Id - G)~lR(x) 1,
V(x) = 1 - рГ(1й - G)-1R(x)
где матричная функция R(x) определяется из соотношений (16)-(18).
Отметим, что расчет функций распределения W (x) и V(x) предложенным способом реализован программно для полумарковского входящего потока заявок с экспоненциальным, гиперэрланговским и детерминированным распределениями времени между поступлениями заявок и марковским процессом обслуживания (или с процессом обслуживания фазового типа как частным случаем марковского процесса).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бочаров П. П. Стационарное распределение конечной очереди с рекуррентным потоком и марковским обслуживанием // Автоматика и телемеханика.
— 1996. — №9. — C. 66-78.
2. Бочаров П. П., Д'Апиче Ч., Печинкин А. В., Салерно С. Система массового обслуживания G/MSP/1/r // Автоматика и телемеханика. - 2003. -№2.-C. 127-143.
3. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. - М.: Изд-во РУДН, 1995. - 529 с.
4. Бочаров П. П. Анализ системы массового обслуживания MAP/G/1 /г конечной емкости // Вестник РУДН. Сер. Прикладная математика и информатика.
- 1995.- №1.- С. 52-67.
5. N e u t s M. F. Matrix-geometric solutions in stochastic models. An algorithmic approach. - Baltimore and London: The Jonhs Hopkins Univ. Press, 1981.
Статья поступила в редакцию 29.05.2003
Василий Васильевич Чаплыгин родился в 1978 г., окончил в 2001 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Аспирант кафедры "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
V.V. Chaplygin (b. 1978) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2001. Post-graduate of "Higher Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University.
