Многолинейная экспоненциальная система массового обслуживания с отрицательными заявками и дополнительной очередью для вытесненных заявок* Текст научной статьи по специальности «Математика»

21 декабря 2011 г. 16:45

"Инфокоммуниканионно-улровленческие сети. Расчет и оптимизация систем связи"

Многолинейная экспоненциальная система массового обслуживания с отрицательными заявками и

*

дополнительной очередью для вытесненных заявок

Рассматривается многолинейная система с пуассоновскими потоками обычных и отрицательных заявок. Обычные заявки поступают в накопитель неограниченной емкости. Отрицательная заявка при поступлении перемещает одну заявку из накопителя в другой накопитель для вытесненных заявок неограниченной емкости, а сама покидает систему. Если накопитель пуст, отрицательная заявка покидает систему, не оказывая на нее никакого воздействия. Заявки из бункера обслуживаются с относительным приоритетом. Длительности обслуживания всех заявок имеют экспоненциальное распределение с одним и тем же параметром. Получены соотношения, позволяющие вычислять стационарные распределения очередей в накопителе и бункере.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-07-12032).

Разумчик Р.В.,

ассистент кафедры теории вероятностей и математической статистики Российского университета дружбы народов, [email protected]

1.Введение

В последние почти двадцать лет значительно внимание уделялось изучению систем и сетей с отрицательными заявками. Классическая отрицательная заявка, впервые введенная Е. Геленбе [1], при поступлении «убивает» (разрушает) одну или несколько обычных заявок, ожидающих в очереди (если очередь не пуста), после чего мгновенно покидает систему вместе с «убитыми» заявками. Активные исследования подобных систем во многом мотивированы их практической ценностью, поскольку с помощью них можно исследовать различные инфотелекоммуникационные системы обработки и передачи данных. С помощью систем массового обслуживания (СМО) с отрицательными заявками, которые не убивают, а перемещают одну или несколько заявок из одной очереди в другую, тем самым откладывая процесс обслуживания, можно исследовать и моделировать некоторые дополнительные аспекты инфотелекоммуникаоннных систем и сетей для целей повышения качества предоставляемых на их основе услуг. Например, процесс функционирование вируса, механизм полисинга (policing) в маршрутизаторах. Кроме того, с помощью подобных СМО могут моделироваться случаи отката транзакций в распределенных базах данных, а также процессы распределенных вычислений, в которых необходима синхронизация выполненных заданий.

Данная работа является развитием работы [2], в которой исследовалась аналогичная система, только в случае одного обслуживающего прибора.

2. Описание системы

Рассмотрим СМО с 1 < // < ас обслуживающими приборами, в которую поступает пуассоновский поток заявок интенсивности Я. Заявки этого потока в дальнейшем будем называть положительными. Для положительных заявок имеется накопитель положительных

заявок (далее просто накопитель) неограниченной емкости.

Помимо положительных заявок, в систему поступает пуассоновский поток отрицательных заявок интенсивности

/. . Отрицательная заявка, поступающая в систему, вытесняет одну (положительную) заявку из накопителя и перемещает ее в накопитель для вытесненных заявок (далее - бункер), который также имеет неограниченную емкость. Если в момент поступления отрицательной заявки в накопителе нет положительных заявок, а все приборы заняты, то отрицательная заявка, не прерывая обслуживания заявок на приборе, покидает систему, не оказывая на нее никакого воздействия. То же самое происходит и в случае, когда в момент поступления отрицательной заявки накопитель и обслуживающие приборы пусты.

Выбор заявок на обслуживание производится следующим образом. После окончания обслуживания очередной заявки на прибор становится заявка из накопителя. Если же накопитель пуст, на прибор поступает заявка из бункера. Обслуживание заявок не прерывается новыми как положительными, так и отрицательными заявками.

Длительности обслуживания заявок как из накопителя, так и из бункера имеют экспоненциальное распределение с одним и тем же параметром ц .

Заметим, что стационарное распределение вероятностей состояний рассматриваемой СМО не зависит от дисциплины выбора на обслуживание заявок из накопителя и бункера, если дисциплина относится к классу консервативных дисциплин без прерывания обслуживания.

3. Система уравнений равновесия

Обозначим через с{/) число заявок, находящихся в накопителе и на обслуживающих приборах в момент

129

времени /, а через //(/) - число заявок в бункере в момент времени I. Положим ХЦ) = (е(1).гЦ1))-Случайный процесс ¡,V(/). í >0| является марковским процессом с непрерывным временем и дискретным (счетным) множеством состояний. Множество состояний процесса Í.V(/). Г20\ имеет вид

z = z„Uz,-

где х» - К'.О). Ойіоі). z, ш{{к + п.т),кі0.тSO}-Состояние 0.0) при 0£/<п процесса {X(t). t¿0¡ означает, что занято / приборов, а в накопителе и бункере ничего нет. Состояние (А*+//.//г) при к >0 и т > 0 означает, что в момент времени t все // приборов заняты, в накопителе находится к заявок, а в бункере ожидают П1 заявок, вытесненных из накопителя.

Обозначим через /> - стационарную вероятность состояния (/,0) при 0 £/</1, а через ркт -стационарную вероятность состояния (к + п.ш). Стационарное распределение процесса J.V(/). /£0| существует и удовлетворяет следующей системе уравнений равновесия (СУР):

0 = -Ар0 + * | ss()* П)

0*-(Я+///)/>, +//>,., + (/ + 1)дем. I^/^w-2. (2)

0*-(Я+ (//-!)М^Рм-і+^Рп-г+,ІМРт> іжп-1. (3)

о=-(Я+»/')/>« + +'Wii.+»*,• (4I

0--(Л+п/і+Л)рк„ +Лрц_ц, +nfPim»‘ *2 1. »1=0.

(5)

О = -</. + /і//) + Лр, „ , + яде „ + п(ф„ І. <■=<>. і» 21.

W

® = ”(Л + л/і+ Л)ры + Я/>^.ЧчЧ + nfpt+j» к к І. т'к І.

(7)

с условием нормировки

ІЛ+ІІА.-1 <8>

4. Стационарное распределение общего числа заявок в системе

Пусть [р**"1, ¿£0} - стационарное распределение общего числа заявок в системе, включая заявки, находящиеся в накопителе, на приборах и в бункере, т.е.

ЯГ'-А- 0^#^/1-1» X /,Ьг. /*„

При 0£/ £ /; -1. из уравнений (1 )-(4) имеем

0--4>ГЧя»Г'< (9)

о = -(Я+^)рГ1 + Я/>,71 + (< +1 )/¥>"';■'. 1 < / < /I -1

(10)

При / = и из уравнения (4), а при />» суммируя соответствующим образом уравнения (5)-(7), после несложных выкладок получаем

0 = -(Я + + Лр'^ + прр'“?. Ип- (11)

Уравнения (9)-( 11) представляют собой СУР для системы \//.\//п/оо с пуассоновским потоком интенсивности Л и экспоненциальным временем

обслуживания с параметром ц без учета

отрицательных заявок. Следовательно, стационарное распределение общего числа заявок в исходной СМО с отрицательными заявками совпадает со стационарным распределением числа заявок в обычной СМО \//\//п/оо, т.е. является геометрическим:

р, =

//!//'

где /> = Я//і, а Яо***" нормировки (8), т.е.

Л =

У—

¡\

І £ /Í.

= р определяется из условия

(12)

/1 (/!-/>) (/1-1)!

Физический смысл полученного результата очевиден, поскольку с точки зрения общего числа заявок в системе рассматриваемая СМО ничем не отличается от СМО М/М1п/со. Из (12) следует, что вероятность р() строго положительна только при выполнении неравенства р<и. Проверка условий Карлина и Мак-Грегора показывает необходимость и достаточность этого неравенства для существования стационарного режима функционирования СМО.

5. Совместное стационарное распределение Целью данного раздела является нахождения совместного стационарного распределения числа заявок в накопителе и на приборе, и числа заявок в бункере. Однако вместо того, чтобы решать СУР (1 )-(8), используя традиционные методы (аппарат производящих функций и др.), поступим по-другому. Покажем с помощью специального метода, основанного на отбрасывании отдельных временных интервалов, можно свести задачу исследования рассматриваемой СМО к задаче решения более простой СМО.

Рассмотрим СМО, которая отличается от рассматриваемой лишь тем, что в ней есть только один обслуживающий прибор и интенсивность обслуживания заявки как из накопителя, так и из бункера равна пц ■ Обозначим через и/) число заявок, находящихся в накопителе и на обслуживающем приборе в момент времени !, а через у/(/) - число заявок в бункере в момент времени /. Положим }'(/) = (И/). У'(О) • Случайный процесс |)'(/). /£0| является марковским процессом с непрерывным временем и дискретным (счетным) множеством состояний. Множество состояний процесса ¡}'(/). /£()| имеет вид С - \ik.m). т *0. к £«(///)}, где //(«/) - функция Хевисайда. Состояние (к.т) означает, что в момент / в накопителе и на приборе находятся к заявок, а в бункере ожидают /// заявок, вытесненных из накопителя.

Обозначим через Я"0 - стационарную вероятность состояния (0.0), о через 7Скт - стационарную вероятность состояния (£ + 1./?/), А*£(>. Стационарное распределение процесса |]'(/). /£()| существует и удовлетворяет следующей СУР:

130

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

0 =-Ліг„+нр>г00. і = 0. (13)

О = -(/. + /і/; )*■,„ + /.¡г,, + іірхІ0 + н/іх,ч. (14)

0 = -(А+и/л-Л)*'м *"Мями' *21. пі — 0,

(15)

0 = -(Л + іі[і)х„ш + Яд,|^, + п/1хы +н/,л'0л[.1. А' = 0. ш>1.

_ _ (16)

0 ■ -< А + і//і + Л )ты + Л ,, и + Ят^, Аг £ 1, /м £ 1.

(17)

с условием нормировки

*.+22>--і- 1181

Дг-Он-О

Далее, для простоты, будем называеть данную СМО однолинейной, а СМО, исследованию которой посвящена статья, - многолинейной.

Теперь, установим связь между однолинейной и многолинейной СМО. Просуммировав уравнения (1)-(3) по І з 0.и -1, получим

о =-Д^, +/»/$>« (,9>

Заметим, что уравнения (19),(4)-(7) в точности совпадают с уравнениями (13)-(17). Следовательно стационарные распределения \р„_^ры,. А\///£0| и \ху,.хы. к //; £0{ совпадают с точностью до некоторой постоянной. Действительно, предположим, что в начальный момент времени в многолинейной системе находится (п -1) заявка, а в однолинейной системе заявок нет. В дольнейшейшем, в соответствии с описанием в них поступают одинаковые потоки заявок. Очевидно, что в силу пуассонов сти входящих потоков, одинакового распределения (и одинаковой интенсивности) времен обслуживания, функционирование обеих систем до момента, когда в многолинейной системе число заявок не станет меньше (м-1) будет совершенно идентичным.

Таким образом, если отбросить для многолинейной системы все те интервалы времени, когда число заявок в системе меньше (//-1), и оставшиеся куски процесса Д'(/) «склеить», то получившийся процесс будет идентичен по своим вероятностным свойствам процессу / (/). А это означает, согласно [3] (см. следствие из леммы 1, стр. 385), что стационарные распределения \ртХ,ркм. к. т £ 0} и {*,).¿г*,,. А‘.///>0| совпадают с точностью до некоторой постоянной, заявисящей только от И, т.е.

Р*-\=с(п)х0% (20)

ры - с(/і) жы. к. т £0 • (21)

Постоянная с(п) определяется из условия нормировки (8). Выражая из уравнений (1)-(2) вероятности р . 0 й і £ /; - 2 через рн ( получим

-<"-!)! 1 _ , (22)

Р, = -

Я р'

Теперь, учитывая, что согласно [2] *•„ =1 -р/п. находим выражение для с(п), используя условие нормировки (8):

- (23)

йя)»-

1

-1)! 1 Л

Итак, зная совместное стационарное распределение числа заявок в однолинейной системе, формулы для расчета которого получены в [2], с помощью (20)—(23) рассчитывается совместное стационарное распределение числа заявок в многолинейной системе.

6. Маргинальные распределения

Результаты для стационарных маргинальных распределений числа заявок в накопителе и бункере, полученные в [2] для однолинейно системы, можно использовать для получения маргинальных распределений в многолинейной системе.

Обозначим через {рк,. к £ 0} - стационарное маргинальное распределение числа заявок в накопителе многолинейной системы, т.е.

*-і * ■»

/’« = £/>,+£ л,-*=°- /'*. = £л- *2і.

ш-0 иг-0

Тогда, учитывая вид стационарного маргинального распределения числа заявок в накопителе, полученный в [2], для многолинейной системы находим

X

рц

Ро. =\-С(П) — . (/ = -

П ПЦ + /

</*. *21.

А. шс(п)-

п

Отсюда немедленно следует, дисперсия р числа заявок і формулами

к = 0.

■по среднее накопителе

|24)

А/— и задаются

-«О»)-

РЧ

+

/1(1-9) “ ІНІ-Ч)'-

Используя формулу Литтла, получаем выражение

а

О) = с{п)---------

пр( 1 -

для среднего времени СО пребывания заявки в накопителе до ее ухода либо в бункер, либо на прибор.

Используя алгоритм нахождения стационарного маргинального распределения числа заявок в бункере, предложенный в [2] для однолинейной системы, можно, учитывая (20)—(23), найти маргинальное стационарное распределение числа заявок в бункере для многолинейной системы. Однако этот путь опирается на трудоемкие выкладки, которые здесь не приводим. Формулы для среднего Д/^ и дисперсии [)кгт числа

заявок в бункере имеют вид:

Р:Р

ЯФ)

=с(н)

••ПН

і-£

р = —■

П/1

-НЇЇ-М

7. Сравнение аналитических результатов с результатами имитационного моделирования

В этом разделе результаты имитационного моделирования, проведенного с помощью программных средств СРББ [4], сравниваются с результатами расчетов, полученных разработанными аналитическими методами.

131

В приводимых ниже примерах сравниваются результаты расчетов следующих характеристик:

— загрузки системы р = ЛКпц);

— среднего числа заявок в накопителе \1 ;

— среднеквадратичного отклонения числа

заявок в накопителе ;

среднего числа заявок в бункере .\/Ыш;

— среднеквадратичного отклонения числа заявок в бункере ^¡)Ыв1

— среднего времени пребывания заявки в накопителе СО;

Во всех рассмотренных ниже примерах интенсивность Ц обслуживания заявки на приборе

принималась равной 10, количество приборов /I принималось равным 3.

В табл. 1-3 приводятся результаты расчетов при интенсивности Л = 7 и интенсивности Л соответственно равной 7.17.27- В табл. 4-6 и табл. 7-9 приводятся результаты расчетов при интенсивности Л = 17 и Л-11 соответственно и тех же, что и в табл. 1-3, значениях интенсивности Л .

Приведенные примеры показывают, что результаты имитационного моделирования практически полностью совпадают с результатами расчетов, выполненных на основе разработанных аналитических методов.

Таблица 1

Сравнение результатов при Д = 7. Л =7

Характеристики р у] СО

Численные результаты 0,233 0,008 0,112 0,002 0,057 0,001

Результаты моделирования 0.233 0,009 0,112 0,003 0,059 0,001

Сравнение результатов при Л = 7. Л = 17

Характеристики Р лДи со

Численные результаты 0.233 0,006 0,093 0,004 0,081 0,0009

Результаты моделирования 0,233 0,007 0,095 0,005 0,081 0,001

Сравнение результатов при Л — 1.Л =27

Характеристики Р Мн* со

Численные результаты 0,233 0,005 0,081 0,006 0,094 0,0007

Результаты моделирования 0,233 0,005 0,083 0,006 0,096 0,001

Сравнение результатов при /. = 17. Л-1

Характеристики Р мЬт со

Численные результаты 0,566 0,266 0,804 0,143 0,582 0,015

Результаты моделирования 0,566 0,267 0,809 0,143 0,587 0,016

Сравнение результатов при II V»! II •^1

Характеристики Р Мьип со

Численные результаты 0,566 0,177 0,589 0,232 0,819 0,010

Результаты моделирования 0,566 0,177 0,589 0,234 0,829 0,010

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Таблица 5

Сравнение результатов при Л - 17. Я =27

Таблица 6

Характеристики р дг СО

Численные результаты 0,566 0,133 0,478 0,276 0,920 0,007

Результаты моделирования 0,566 0,133 0,479 0,276 0,922 0,008

132