CC BY
44
Зарядов И.С.1, Горбунова А.В.2
1 Российский университет дружбы народов, г. Москва, Россия, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей, izaryadov@gmail.com 2 Российский университет дружбы народов, г. Москва, Россия, кафедра прикладной информатики и теории вероятностей, avgorbunova@rambler.ru
Анализ характеристик системы массового обслуживания с двумя входящими потоками, относительным приоритетом и сбросом11
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Система массового обслуживания, относительный приоритет, различные интенсивности обслуживания, сброс заявок.
АННОТАЦИЯ
В статье рассматривается однолинейная система массового обслуживания, в которую поступают с различными интенсивностями два пуассоновских потока заявок, для которых имеется накопитель неограниченной емкости. Заявки одного потока имеют относительный приоритет по сравнению с заявками другого потока. Приоритетная заявка, находящаяся на приборе, может в момент окончания обслуживания либо покинуть систему, либо сбросить все заявки второго типа из накопителя. Длительности обслуживания заявок обоих типов имеют экспоненциальные распределения с различными параметрами. Построена система уравнений равновесия и получены аналитические выражения стационарного распределения числа заявок в системе каждого типа, вероятности сброса приоритетной заявкой поступившей в систему неприоритетной заявки, производящих функций, временных характеристик.
Введение
Исследованию приоритетных систем массового обслуживания посвящаются многочисленные научные статьи и монографии, что обусловлено наличием большого количества практических задач, описываемых данными системами. В частности, одними из основных инструментов аналитического моделирования цифровых сетей и их составляющих, развитие которых, следует отметить, не останавливается, а стремительно продолжается и по сегодняшний день, являются аппарат и
11 Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 14-07-00090-а.
методы теории массового обслуживания.
Построение математической модели, которая смогла бы адекватно отобразить реально существующую систему распределения информации, является очень важной, но в большинстве случаев не самой простой задачей. Таким образом, от правильности выбора модели зависит точность решения поставленных задач анализа.
В данной работе в качестве своего рода альтернативы системам с абсолютным приоритетом рассматривается система с комбинацией относительного приоритета и механизма сброса. В однолинейную систему массового обслуживания с накопителем неограниченной емкости поступают два независимых пуассоновских потока заявок с интенсивностями ^ 1 и ^2. Времена обслуживания заявок каждого из потоков имеют экспоненциальное распределение с параметрами для заявок первого потока (1-го типа) и для заявок второго потока (2-го типа).
Заявки 1-го типа имеют относительный приоритет по сравнению с заявками 2-го типа, т.е. при наличии в очереди заявок обоих потоков на обслуживание выбирается приоритетная заявка, а неприоритетная заявка может быть выбрана на обслуживание только в том случае, когда в очереди нет заявок 1-го типа. Заявки одного потока обслуживаются в порядке поступления.
Кроме того, приоритетная заявка, находящаяся на приборе, может в момент окончания обслуживания либо с вероятностью р покинуть систему, либо с вероятностью д сбросить все заявки второго типа из накопителя, р+Я=1.
Система уравнений равновесия
Пусть v1 ^) А = 1,2 —число заявок /-го типа, находящихся в системе в момент времени Ь, а п( ^) —тип заявки, которая обслуживается на приборе в момент времени Ь. Обозначим х ^) > t), V(t)А).
Случайный процесс {X(t),t>0}, описывающий поведение системы массового обслуживания во времени, является марковским с непрерывным временем и дискретным множеством состояний:
X=X ои X1, где Хо = {0},Х 1={(k,i,j)Л = 1,2А>0, j>0} .
Указанные состояния интерпретируются следующим образом: если в некоторый момент времени Ь, то в системе нет заявок, если X^)=(k,i,j), то в системе находится / заявок 1-го типа и у заявок 2-го типа, а прибор занят обслуживанием заявки к-го типа (k =1,2).
Обозначим через р 0 стационарную вероятность отсутствия заявок в системе, через р j> 0 —стационарную вероятность того, что в
системе находится / приоритетных заявок, у неприоритетных заявок и на приборе обслуживается приоритетная заявка, а через р 2,^0, j >\ — стационарная вероятность того, что в системе находится / приоритетных
заявок, ] неприоритетных заявок и на приборе обслуживается неприоритетная заявка.
Стационарное распределение существует и удовлетворяет следующей системе уравнений равновесия:
ю
(Х1 + Х2) р0 = р Ц1 Р1,1,0 + Ц2Р2,0,1 + Ч Ц1 X Рц,/
/=0
ю
(Х 1 + Х 2+Ц1) Р 1,1,0= Х1 Р 0+ Р Ц Р 1,2,0+ Ч Ц X Р 1,2,/+Ц2 Р 2,1,1
2
/ =0
ю
(Х 1+Х 2+Ц1) Р и ,0=Х1 Р1, г-1,0 + Р Ц1 Р1, г + 1,0 + Ч Ц X Р1, г+1, / + Ц2 Р 2, г ,1 ,г >2
/ =0
(Х 1 + Х 2+Ц 1) Р 1,1, _/=Х2 Р 1,1,.,-1 + Р Ц1 Р 1,2, у +Ц2 Р 2,1, У + 1 >
(Х 1+Х 2+Ц1) Р1, г,/ = Х1 Р 1,-1, + Х2 Р 1,г,/-1 + Р Ц1 Рц + 1,/ + Ц2 Ръ, / + ^ *> 2 / >1
(Х 1+Х 2+Ц2 ) Р2,0,1 = Х 2 Р 0 + Р Ц1 Р 1,1,1+Ц 2 Р 2,0,2 ,
(Х1 + Х 2+Ц 2 ) Р2,г ,1 = Х 1 Р2,1-1,1
(Х 1 + Х 2+Ц 1) Р 2,0,/=Х 2 Р2,0,/-1 + Р Ц1 Рц,/ + Ц2 Р 2,0,/+1 ,/> 2 (Х 1+Х 2+Ц1) Р 2,1,/ = Х 1Р 2,1-1, / + Х 2 Р2,1, /-1/ >2 .
Кроме того, к этим уравнениям добавляется условие нормировки:
ю ю ю ю
Р 0+Х X Ри,+ХХ Р 2,„ =!.
1=1 /=0 г =0 / = 1
Производящая функция
Введем следующие производящие функции:
ю ю
В1 ( 21, 2 2)=Х X Р1, г,/21 2 2 ,
г = 1 /=0
ю ю
В1(21,22)= ^^ ^^ Р1,г,/21 22 .
г = 1 / = 0
Сначала получим выражение для В2(21,22). Для этого умножим последние четыре уравнения системы уравнений равновесия на и г2 и просуммируем по всем возможным i и].
Р Ц1 , Ц 2 ^ ,
Х 2 2 2 Р0 +-X Р 1,1,/21 2 2 +-X Рг,0,/2 2 Р Ц1 Р1,1,0-Ц2 Р 2,0,1
В ( ) =_21 / = 0_22 ,= 1_ .
21/2 X1 (1-2 1) +Х2 (1-22) + Ц2
Далее для нахождения В1 (21,2 2) умножим первые четыре уравнения системы уравнений равновесия на 2\ и 22 и просуммируем по всем возможным i и]. В итоге имеем:
В1(21, 2 2) =
ОТ ОТ ОТ
21 22 " Р#122 X Р1,1,/21+ Ч#122В1(21,1) " Ч#122 X Р1,1,/21 +#2 ^М2^ 22) - #2 21 X Р2А/22 = _/=0_/=0_/=1_
22 ((Л + Л2 + #1 )21 " Л2' " $22122 - Р#1 ) Производящая функция Р (21,22)=Р0+В 1( 21,22)+ В2 (21,22) определяется следующим выражением:
р ( )=Ц1 22(1-21) В1 (21, 22) + Ц221 (1 - 22 )В2(21, 22)
Р (21/2)= 21 22(Х1 (1-21) +Х2(1 22)) .
Далее введем обозначения:
Ч1,п = Е М
г + '=«
Ч 2,п = Е Р 2,1.',П>1
г+] = п
где вероятность ч 1,« означает, что в нашей системе находится п заявок безотносительно к их типу, причем на приборе обслуживается приоритетная заявка, а вероятность Ч2,« означает, что в системе находится также п заявок, но на приборе обслуживается неприоритетная заявка.
Просуммируем последовательно для каждого п=г + '=1, да соответствующие уравнения системы уравнений равновесия и c учетом первого уравнения этой системы последовательной подстановкой придем к новой системе:
да
(х1+Х2)Р0=РЦ 1 Ч1,1 + Ц2Ч2,1 + ЧЦ 1Е Р 1,1,,'« = 0
' = 0 « + 1 да
(Х 1 + Х 2)( Ч1,п + Чг,п)= Р Ц Ч1,« +1 + Ц2 Ч2, п+1 +Ч МЕЕ Ри.Г Е Р1, г,
г=1 '=0 г + '=1
, п>1 .
Затем, просуммировав все уравнения полученной системы, с учетом условия нормировки будем иметь следующее выражение для стационарной вероятности отсутствия заявок в системе:
Р Ц1 + (Ц2 -Р Ц ) Р2,■ , ■ + ЧЦ Р1,1 ,.-(Х1 + Х2 ) Р 0=-.
Р Ц1
Теперь просуммируем четыре последних уравнения системы уравнений равновесия по всем возможным ' = 1, да, что в итоге приведет к следующей системе:
Х1 Р2,0, ■ = Ц1 Р 1,1, ■ -Х1 Р 0 ,г = 0 (Х 1 + Ц 1) Р 2, ¡, ■ = Х 1 Р2, г-1, ■ ,г . Из этой системы следует, что
х, 12
=(_^ ]
+ Ц2 I
Р 2, г, ■ = Р20, ■
= Х1 + Ц2 Ц-1Р 1,1, ■ -Х1Р0 Р 2, ■, ■ = ц 2 ■ Х1 .
Подставив полученное в выражение для Р 0, будем иметь соотношение:
Ц1 [(Ц2-Р Ц1)(х 1+Ц2)х 1 ЧЦ2] ц2( Р Ц1-Х1 -х2)
Р =--1--
0 X1 [ Р Ц1 Ц 2 + (Ц2-Р Ц х)(Хх + Ц2)] Р Ц1 Ц 2 + (Ц2-Р Ц1)(Х1 + Ц2) "
Для того чтобы получить искомые стационарные вероятности в явном виде, остается выразить вероятность Р и, ■ .
п
Вероятность сброса, поступающего пакета
Обозначим через П1 вероятность сброса заявки 2-го типа первой же приоритетной заявкой, обслужившейся на приборе. Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:
п1=ч ЕЕ р чр 1, ,..
1=1 ] =0
Вероятность того, что неприоритетный пакет будет все-таки обслужен, вычисляется по следующей формуле:
да да да да
^ - Ро + Е Е Р • Р1,У,] + Е Е Р • Р 2, г,] .
1=1 ] =0 г = 0 ] =1
Т.е. заявка 2-го типа с вероятностью Р 0 застанет систему свободной и сразу начнет обслуживаться, а с вероятностью Р1 {к,г,])(к =1,2) застанет в системе i приоритетных и у неприоритетных заявок. Таким образом, она сможет обслужиться только в том случае, если каждая из i находящихся в системе приоритетных заявок в момент окончания своего обслуживания просто покинет систему, а произойдет это событие с вероятностью р .
Следовательно, вероятность сброса пакета 2-го типа равна л = 1-л(ЖЛ7) , т.е. с учетом условия нормировки имеем:
да да да да
П °еП,)= Ро + Е Е Р • Р 1,г, ] + Е Е Р • Р 2, г,] .
г = 1 ] =0 г = 0 ] =1
Временные характеристики
Обозначим через W1 (х) и W2 (х) стационарные функции распределения времени ожидания начала обслуживания для заявок 1-го и 2-го типа, соответственно, а через » (5) и »2 (5) преобразования Лапласа-Стилтьеса для W1 (х) и W2 (х).
Сначала запишем выражение для » (5). С вероятностью Р0 поступающая заявка 1-го типа застанет систему свободной и сразу же начнет обслуживаться. С вероятностью р1;, поступающая приоритетная заявка застает в системе i приоритетных заявок и у неприоритетных заявок, причем на приборе находится приоритетная заявка. Аналогично, с вероятностью Р2,г,] поступающая приоритетная заявка застает в системе i приоритетных заявок и у неприоритетных заявок, но только с той разницей, что на приборе будет находиться уже неприоритетная заявка.
Таким образом, время ожидания начала обслуживания поступившей заявки будет складываться из времени обслуживания i приоритетных заявок и у неприоритетных заявок, следовательно, время ожидания начала обслуживания заявки 1-го типа будет иметь следующее преобразование Лапласа-Стилтьеса:
да Е Р 1,г,]
»1(5)=р 0+Е
] =0 1 + 5
г=1 М<2+5
Время ожидания начала обслуживания неприоритетной заявки (при условии, что за это время заявка не будет сброшена) с вероятностями Р1, г,] и Р2,1,] будет складываться из времени обслуживания i приоритетных и у неприоритетных заявок, а с вероятностью Р0 поступающая заявка застанет систему свободной и сразу же начнет обслуживаться:
»1(
1-я
Р '45 (Ц+; ) (¡^ I;) (Ц+1)
1
Заключение
В данной работе представлена математическая модель системы с двумя типами входящего потока, относительным приоритетом и механизмом сброса.
В дальнейшем планируется построить решение выведенной системы уравнений равновесия в явном виде, а также получить в явном виде основные вероятностные характеристики системы, т.е. среднее и дисперсию общего числа заявок каждого типа в системе и в накопителе.
Вообще говоря, в моделях сетей передачи данных важную роль играют потери заявок, значение и применимость которых, стоит отметить, актуальны и для различных стадий процессов планирования и управления движением материальных, информационных и финансовых ресурсов.
Потери могут происходить по различным причинам и оказывать серьезное влияние на значимые показатели функционирования систем. Причины потерь могут иметь как внутренний, так и внешний характер. В частности, если говорить о телекоммуникационных системах, то это могут быть: поломка прибора, сброс заявок для оптимизации работы системы, поступление в систему заявок особого вида (отрицательные заявки, поток катастроф), нетерпеливость клиентов и другие. Также нельзя не упомянуть о влиянии на систему колебания задержки (разброс максимального и минимального времени прохождения заявки относительно среднего значения).
Анализ вышеупомянутых параметров требует построения адекватных аналитических моделей. Так, например, в моделях с обобщенным обновлением задержке соответствует среднее стационарное время пребывания заявки в системе, а колебанию задержки - среднее квадратичное отклонение стационарного времени пребывания заявки в системе.
В свете сказанного представляет интерес построение и анализ математических моделей на основе рассмотренной, но уже со следующими изменениями:
• с другим типом входящего трафика;
• отличным от экспоненциального временем обслуживания;
• несколькими приборами;
• введение механизма гистерезиса;
• построение математических моделей в дискретном времени.
Также планируется проанализировать модель с описанными характеристиками, но уже без относительного приоритета, и вычислить для нее вероятность потери поступившего пакета, среднее число
сброшенных пакетов и среднее время пребывания такого пакета в системе.
Литература
1. Korolkova A.V., Zaryadov I.S. The Mathematical Model of the Traffic Transfer Process with a Rate Adjustable by RED // IEEE / International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Moscow, October 18-20, 2010.
2. Зарядов И.С. Расчёт показателей качества функционирования систем передачи и обработки данных с помощью обобщённого обновления. Дисс. к.ф.-м.н.: М. РУДН, 2010.— 160 с.
3. Zaryadov I.S., Pechinkin A.V. Stationary time characteristics of the GI|M|n|œ system with some variants of the generalized renovation discipline // Automation and Remote Control.—2009.— Vol. 70, No 12.—Pp. 2085-2097.
4. Зарядов И.С., Королькова А.В. Модель расчетапоказателей RED-подобных алгоритмов с помощью систем с групповым входящим потоком // International Workshop "DISTRIBUTED COMPUTER AND COMMUNICATION NETWORKS (DCCN-2011)", R&D Company "Information and Networking Technologies" — 2011. — С. 65-72.
5. Зарядов И.С., Королькова А.В. Применение модели с обобщенным обновлением к анализу характеристик систем активного управления очередями типа Random Early Detection (RED) // T-Comm—Телекоммуникации и транспорт. — 2011. — С. 84-88.
6. I.S. Zaryadov. Queueing Systems with General Renovation. ICUMT 2009 and Workshops Proceedings, 2010, p. 1-4.
