Математические модели расчета и анализа характеристик систем активного управления очередями с двумя входящими потоками и различными приоритетами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические модели расчета и анализа характеристик систем активного управления очередями с двумя входящими потоками и различными приоритетами

В работе рассматривается однолинейная система массового обслуживания с двумя пуассоновскими входящими потоками разной интенсивности - неприоритетным (тип 1) и приоритетным (тип 2), накопителем конечной емкости и двумя порогами, экспоненциальным обслуживанием пакетов каждого типа со своей интенсивностью. Реализован механизм порогового сброса пакетов, причем пакеты типа 2 реже сбрасываются, чем пакеты типа 1. Рассматриваются две дисциплины обслуживания -бесприоритетное обслуживание пакетов в порядке поступления и обслуживание с относительным приоритетом. Получены аналитические выражения стационарного распределения числа пакетов в системе, вероятности передачи поступивших в систему пакетов, среднего времени пребывания пакетов в системе. В рамках построенной модели в качестве примера рассмотрен случай, когда пакеты сбрасываются не в момент поступления в систему, а в момент окончания обслуживания (обобщенное обновление).

Данная работа является лишь началом исследования авторов по данной тематике, поэтому представлены лишь начальные результаты. В рамках дальнейших исследований планируется получить вероятностновременные характеристики, представить алгоритмы решения выведенных систем уравнений равновесия, а также найти временные характеристики для случая, коїла приоритет пакетов учитывается не только при сбросе, но и при их обслуживании.

Интерес также представляет рассмотрение данной тематики (построение математической модели систем, реализующих пороговые механизмы усечения/сброса входящего трафика) для задач с различными типами входящего трафика и отличным от экспоненциального временем обслуживания (один или несколько приборов), а также с учетом механизма гистерезиса.

Ключевые слова: система активного управления, пороговый механизм сброса, приоритетный трафик, приоритетное обслуживание.

Зарядов И.С.,

к.ф.-м.н., старший преподаватель кафедры теории вероятностей и математической статистики РУДН, [email protected], [email protected]

Королькова А.В.,

к.ф.-м.н., доцент кафедры систем телекоммуникаций РУДН, [email protected], [email protected]

Разумчик Р.В.,

к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИПИ РАН, [email protected]

Введение

В современных пакетных сетях передачи данных для регулирования интенсивности потока широко применяются механизмы активного управления очередью (Active Queue Management, AQM), которые позволяют задать определённую политику обслуживания разным типам потоков и могут применяться, например, в технологии дифференцированного обслуживания (Differentiated Service, DiffServ). В частности, к механизмам AQM относятся RED-подобные алгоритмы (Random Early Detection, RED) [1, 2], которые позволяют регулировать интенсивность потока с помощью выборочного сброса пакетов до того, как очередь будет заполнена полностью. Если очередь маршрутизатора почти пустая, то все приходящие пакеты принимаются. По мере заполнения очереди начинает работать функция сброса пакетов. Это заставляет протоколы, подобные TCP (Transmission Control Protocol), снижать скорость передачи и предотвращает повторную синхронизацию параметров соединения.

Математические модели процесса передачи трафика, учитывающие в частности влияние процесса регулирования состояния потока на изменение его интенсивности, позволяют проанализировать поведение трафика во времени, оценить различные параметры качества функционирования сети, например, задержки передачи пакета по звену и др. Для построения и анализа таких моделей и их характеристик применяются разные подходы и методы [3-5, 14-16]. Как правило рассматриваются либо модели с одним типом входящего трафика [8-9], либо с несколькими однотипными потоками трафика [10, 11]. В данной работе предлагаются модели с двумя видами входящего трафика различной приоритетности и различными механизмами сброса: сброс пакетов при их поступлении в систему, что характерно при описании R£D-пoдoбныx систем [1-4], сброс поступивших пакетов в момент окончания обслуживания (передачи далее), т.е. модели с обобщённым обновлением [6, 7] для нахождения вероятностновременных характеристик RED-noдoбныx систем.

1. Постановка задачи

Алгоритмы регулирования состояния потока обычно реализованы в виде модулей сетевого оборудования (например, маршрутизатора).

В математических моделях в качестве параметра управления, как правило, используется текущая длина очереди с{к, либо вероятностно взвешенная средняя длина очереди ¿¡к = ^ р с/ > гДе X - множество состояний

уе.У

системы, а Р = (рц - матрица переходных вероятностей между состояниями рассматриваемой системы.

Для нахождения вероятностно-временных характеристик рассматривается система массового обслуживания (СМО) м і м и /? , состоящая из одного

-V*: 1 1 1 Чшт'Чта

прибора, накопителя конечной ёмкости /? с двумя поро-

шю т шах 7

потоками пакетов

7 пип

поступающими пуассоновским интенсивности Л, (неприоритетный поток) и Я,

(приоритетный поток), пакет каждого типа имеет экспоненциальное распределение времени обслуживания с параметром //( (/ = 1.2). Возможно два

варианта сброса (маркировки) пакета:

1. сброс в момент поступления в зависимости от значений параметра управления [1-4, 8-9],

2. сброс одного или нескольких уже принятых пакетов из накопителя (алгоритм обобщенного обновления) [5-7, 8-9].

В данной работе представлены математические модели для обоих вариантов принятия решения о сбросе пакета.

2. Модель со сбросом пакетов в момент поступления 2. /. Описание системы

Рассмотрим сначала математическую модель системы, когда пакеты сбрасываются в момент поступления, и подробно опишем механизм сброса поступающих пакетов.

Пусть с\ - текущее число пакетов в системе, (у, -

число пакетов первого типа (неприоритетные), <у, — число приоритетных пакетов в системе. Очевидно, что Я1+Я2=Я-Если:

- О < с/ < цтт - все пакеты принимаются в систему.

- цтт +1 < </ < цпшх - приоритетные пакеты прини-

маются в систему, неприоритетные сбрасываются с вероятностью Я~ЧшЛ, •

Я тих Ят!п

- ^ <(/< К - пакет первого типа (неприоритетный)

сбрасывается с вероятностью 1, пакет второго типа сбрасывается, приоритетный пакет может быть сброшен

Я~Я„,ш

с вероятностью о, (я) =

К-Яп,

Р\ІЯ) = -

Рг(я) =

О,

Я~Ят

Я тах Я ті п

I,

О,

Я Я тах

*-Ят

Ятш+^Я^Ят Я тах < Я ~

^ — Я — Я тах4 я„т + \<я<я.

(1)

активного управления очередью с помощью аппарата и методов теории массового обслуживания.

2.2. Стационарное распределение числа заявок в системе

Поведение системы описывается двумерным марковским процессом < \у(/)} = <(\у,(/),\у, (/))/> 0}, гДе

и>(/) - число пакетов /-го типа (/ = 1,2) в момент времени I, со множеством состояний V/ =•)(/,./):/, V =0,/? + 1|. Обозначим через р{]

стационарную вероятность того, что в системе находится /пакетов 1-го (неприоритетного) типа и у пакетов 2-го (приоритетного) типа (0</’ + / < /? + 1). Тогда стационарные вероятности р. . (0 </+/</? +1),

с учетом (1), удовлетворяют следующей системе уравнений равновесия (СУР):

Ро.о(^1+Л) = ^|/?|.о+//2/?о.Р (2)

А.о (4 (1 - А 0’ “ 0)+^ + Д) = Л, (1 - АО- 2)) А-1.0 + (3)

+ +#>А.И І = ]’Яш ах+Ь

Р/,о(^ +//|) = Я,(1 — А('-2))А-,.о + Р:Ри’ і = Яша + 2-(4) р0 , (Л, (1 - А (У -1» + ^ + Рг) = К Р» .¡-\ +

+ Р\ Р\.і + РгРо.,*. У = 1 ,Яш* + Ї. РоМО-А(У-1))+Л) = Л(1 - А(У-2))Ро.у-1 +

(5)

(6)

(8)

В общем случае, вероятности (¿/) и /1, (<у) можно представить в виде

®-Я~Ятт’

+ Рі Ра.і+І > У Я тах + К'

Ро.Л+хРі ~ ^2 О ~ Р>2 — 0)Ро,Я* (У)

/>м(40“А0’+У-і))+Л2(і-А0’+У-і))+//| +р2) =

= Л,(1 - А 0’+у - 2)) А.І.У + Л(1 - АО’+У ■-'1)) А.,-1 + +^А+|.у+/^А,/*|. /+У = 1,*,

А.у(//1+//:) = ^(|-А(/ + У_2))А./-р /+У = Я + 1. (9)

Условие нормировки:

/м

ІА,/ = 1- (10>

|+у=О

Решение СУР (2)-(9) с условием нормировки (10) можно искать аналогично решению СУР в системах с гистерезисом [12, 13] или в дискретных системах [14-16].

2.3. Маргинальные распределения

Зная

стационарное

распределение

Ри

(0</ + у</? + 1) числа заявок обоих типов в системе, можно вычислить следующие маргинальные распределения:

- распределение числа заявок вне зависимости от типа л. (/ = 0,/? + 1)

^ Рк4-к> / —0,/? + 1,

В качестве контрольного параметра с/ взята текущая длина очереди q как это принято в абсолютном большинстве отечественных и зарубежных работ, в которых строятся математические модели алгоритмов

- распределение числа неприоритетных заявок в системе р‘п (/ = 0,/? + 1)

РІи=^Рі.і' /=о,л + і,

- распределение числа приоритетных заявок в системе р)2) (/ = О,К +1)

я+1 _______

¿2,=Ха,, / = 0,Я + 1.

*=0

2.4. Вероятность сброса поступающего пакета

Вероятности потери поступающих пакетов первого и второго типов соответственно вычисляются по формулам:

/-о

/?+1

Л, + Л,

Л, + Я,

гч —(serv) _(.?erv) ^

Вероятности 7Г| и 712 того, что поступающий

передан далее, вычисляются как я,.(“п') = 1 —

I

Л-,

А>.о + Хл./АО'+У-1)

А:

//, +S I I //, +S

(02(х) = -

Ро.о +

(П)

(12)

Аналогично вероятности потери /Г*/<"1 стационарная функция распределения времени пребывания в накопителе пакета произвольного типа определяется как

\ ИЛипг\х) I ^ 1*'Ыгу)

■fV2(xn)(x).

Вероятность потери пакета вне зависимости от его типа можно определяется как

( /ои)

■ Л -У .

в систему пакет соответствующего типа будет принят и ередан далее,

2.5. Временные характеристики

Рассмотрим два варианта обслуживания пакетов. Сначала будем считать, что поступающие в систему пакеты обслуживаются в порядке поступления (дисциплина FCFS - First Come First Served).

Обозначим через fVt (х) и fV2(x) стационарные

функции распределения времени ожидания начала обслуживания неприоритетного и приоритетного пакетов соответственно. Через СО] (л) и £У,(л) обозначим преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарных функций распределения Щ (х) и Ж,(дг): «4.« / V / V>

Поясним формулы (16)-( 17). Пусть поступающий пакет первого вида принят в систему и застает при поступлении в системе / неприоритетных пакетов, время обслуживания которых имеет распределение Эрланга с параметрами / и //,, а также j приоритетных пакетов, время обслуживания которых также подчиняется распределению Эрланга, но с параметрами у и /А . В силу независимость обслуживания пакетов и

применяя формулу полной вероятности, получим искомые выражения. Стоит отметить, что если интенсивности обслуживания приоритетных и неприоритетных пакетов совпадают, то получим эрлапговское распределение времени ожидания начата обслуживания пакетов.

Л, + Л, Л, + А,

Пусть теперь пакеты второго типа имеют приоритет при обслуживании над пакетами первого типа -неприоритетные пакеты обслуживаются (передаются) только при отсутствии приоритетных пакетов. Очевидно, что стационарное распределение р. . (о<1+]<1{+\) числа пакетов в системе, маргинальные распределения /У11 и (/ = 0,Я + 1), а также стационарные вероят-

ности сброса поступающих в систему пакетов останутся без изменения. Изменится только стационарное распределение времени ожидания начала обслуживания пакетов первого и второг о типов.

Для пакетов второго типа получим

ЩМ = | р'02' + £//:'р2(/-1 )Н,(//,,х) |

Вычисление распределения времени ожидания начала обслуживания пакетами неприоритетного типа будет рассмотрено в дальнейших работах.

2.6. Средние числовые характеристики

В данном подразделе представлены формулы для основных средних числовых показателей функционирования системы - средние числа пакетов в системе (накопителе), средние времена ожидания начала обслуживания.

^ = N. *2=£/р«2),

£ = £(/-0=Х(/-1)А(|>, & = 2>-1 )р?\

' ipuPiO+j-l)

i+Jm I R

±+-L

Их

и>, =

(дс'п) л2 i+j=\

Y.p>.jp^i+

y-i)i—+—] (ft toj

Здесь ЛГ и (У, - среднее число пакетов /-го типа (/ = 1,2) в системе (накопителе), и>(. - среднее время ожидания начала обслуживания для пакетов /-го типа (/ = 1,2), N и - среднее число произвольных пакетов в системе (накопи теле).

3. Модель со сбросом пакетов в момент окончания обслуживания (обобщенное обновление)

В этом разделе сделан краткий обзор модели расчета вероятностно-временных характеристик алгоритмов активного управления очередью с помощью модели со сбросом пакетов в момент окончания обслуживания. Будет представлена только система уравнений равновесия. Вывод аналитических выражений для расчета характеристик будет осуществлен авторами в дальнейших работах.

3.1. Описание модели

Описываемая модель остается без изменения -однолинейная СМО \ | 11 ^ •

Сброс пакетов из накопителя происходит в момент окончания облуживання пакета на приборе непосредственно перед его уходом из системы в зависимости от соотношения текущей длины очереди </ и пороговых значений:

- О < ц < цтт - пакеты не сбрасываются.

- ц +1 < ц < ц — пакеты первого типа

сбрасываются с вероятностью />,(</,) = пакеты

Я тих

второго (приоритетного) типа не сбрасываются.

- с/т1 < д < /? - пакет первого типа

(неприоритетный) сбрасывается с вероятностью 1, сбрасывается один приоритетный пакет с вероятностью, равной единице.

Здесь £/, - число пакетов неприоритетного типа, а

С]-, - число приоритетных пакетов в накопителе.

Обобщая, вероятность сброса пакетов первого типа можно представить как

О, 0 <й<ЧтЫ,

Я\

Я_</тах

А(<7.) =

Ятах

1,

. Я„ип + ^ Я ^ Ятах’ Ятах <Я<Я.

Рч 1.0 (^1 ^2 ) Р\ Pl.ll "*■ М2 РоЛ М\

X А(/_1)Р/. о

\!=Чмп+1

+//:

X МОРи

1=4*.* I

Р/.о(А + Я + //, ) — \Pj_x о +//,Р(+|.о М2Р1Л ’ 1 — Ятт 1

А.0(Л + Л + А) = 4Д-|*» *=Ятт+1.^,

Ри+\.оМ\ ~ Ар¡1.о»

Ро,у(4 + Я +//,) = Я,/\у_, + //, А.у +

X Р|(/-1)А.о

.'=«„„+2-у

+/Л

X а (0 а..

'ч/=<г«»+|_У

А^+М + Я, + //, ) - АРо.Чяа + М\ ^ Р\ А.<,т> + 2 "

/=1

+М2Ро.Чт^2 + М2 X Р'.Чп~*2’

1=I

/Я+1-/ Л

А>.у (■4 + Л + Аг) = Л А>.у-. + /А А>.у+1 + Я X А.

V /=• /

/Я-/

+/А

Х^ЛУ+1 Г У “ ^тах +

V /=1

3.2. Стационарное распределение числа заявок в системе

Снова обозначим через р. ( стационарную вероятность тога, что в системе находится / пакетов 1 -го (неприоритетного) типа и у пакетов 2-го (приоритетного) типа (0 </+/</? +1). Тогда стационарные вероятности Р1 . (0</+у </? + !) удовлетворяют следующей системе уравнений равновесия (СУР):

Ром+хМг АРо.к’

Р,.у(А+Аг+М] +//:) = ЯА-1.у +Я>А.у-| +//|А+1.у +

+^А.у+и * + У = 1»9ш(л» /*0,у*0,

А.у(4 + Я + //, + /л) = Л,А-1.у + Я, А.у-и ^+J = Чm¡'+ЪR> ‘ * О, У * О,

А.М+А2) = 4А-1.У+Я/ + У = /? + 1, /*0, У*С

Условие нормировки:

я+1

X Ау=1-

/+у=о

Заключение

Данная работа является лишь началом исследования авторов по данной тематике, поэтому в некоторых разделах сформулированы лишь начальные результаты.

Построена математическая модель системы с двумя типами входящего трафика, порогами в накопителе и механизмом сброса. Рассмотрено две дисциплины обслуживания. Получены основные вероятностно-временные характеристики.

В рамках дальнейших исследований будут получены заявленные в данной работе вероятностно-временные характеристики - вывод алгоритмов решения СУР (2)-(10) и СУР (20)-(31), поиск временных характеристик для случая, когда приоритет пакетов учитывается не только при сбросе, но и при обслуживании.

Кроме того, интерес представляет рассмотрение данной тематики (построение математической модели систем, реализующих пороговые механизмы усечения/сброса входящего трафика) для следующих задач:

- различные типы входящего трафика (не только пуассо-новский поток, но и потоки общего рекуррентного типа);

- отличное от экспоненциального время обслуживания и/или несколько приборов;

- введение механизма г истерезиса;

- построение математических моделей в дискретном времени (на примере работ [14-16]).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант ЛЬ 11-07-00112, 12-07-00ЮН).

Литература

1. Floyd S., Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance // IEEE/ACM Transactions on Networking, No 1(4), Aug. 1993. - P. 397-413.

2. Королькова A.B.; Кулябов Д.С., Чернонванов А.И. К вопросу о классификации алгоритмов RED// Вестник РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика”. - 2009. -№3. -С.34-46.

3. Королькова А.В. Математическая модель процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока. Дисс. ...к.ф.-м.н.: М. РУДН, 2010,- 115с.

4. Королькова А.В., Кулябов Д.С. Математическая модель динамики поведения параметров систем типа RED // Вестник РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика”, - 2010.-№2( I ). - С.54-64.

5. Korolkova A.V., Zaryadov l.S. The Mathematical Model of the Traffic Transfer Process with a Rate Adjustable by RED // IEEE / International Congress on Ultra Modem Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Moscow, October 18-20, 2010.

6. Зарядов И.С. Расчёт показателей качества функционирования систем передачи и обработки данных с помощью обобщённого обновления. Дисс. ...к.ф.-м.н.: М.: РУДН, 2010. -160 с.

7. Zaryadov I.S., Pechinkin A.V. Stationary time characteristics of the G1|M |n|oo system with some variants of the generalized renovation discipline II Automation and Remote Control. - 2009. - Vol.70, №12. - P.2085-2097.

8. Зарядов И.С., Королькова А.В. Модель расчета показателей RED-подобных алгоритмов с помощью систем с групповым входящим потоком // International Workshop "DISTRIBUTED COMPUTER AND COMMUNICATION NETWORKS (DCCN-2011)", R&D Company "Information and Networking Technologies" - 2011. - C.65-72.

9. Зарядов И.С., Королькова А.В. Применение модели с обобщенным обновлением к анализу характеристик систем активного управления очередями типа Random Early Detection (RED) // Т-Comm - Телекоммуникации и транспорт. - 2011. -С.84-88.

10. Yung-Chung Wang, Chwan-Lu Tseng, Ren-Guey Chu, Fu-Hsiang Tsai. Per-stream loss behavior of £MAP/M/I/K queuing system with a random early detection mechanism. // Information Sciences. - V. 179, No.22. - 2009. - P.3893-3907.

11. Lan Wang, Geyong Min, Irfan Aw a. Stochastic Modeling and Analysis of an Active Congestion Control Protocol under Differentiated Burst Traffic // Journal of Interconnection Networks. -V.8, No.4 - 2007 - P.369-385.

12. Абаев П.О. Алгоритм расчета стационарных вероятностей СМО с гистерезисным управлением и прогулками прибора // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2011. - №3. - С.58-62.

13. Абаев П.О., Гайдамака Ю.В., Самуилов К.Е. Гистерезисное управление сигнальной нагрузкой в сети SIP-серверов // Вестник РУДН. Серия "Математика. Информатика. Физика”. - 2011. - №4. - С.55-73.

14. Печинкин А.В., Разумчнк Р.В. Система массового обслуживания с отрицательными заявками и бункером для вытесненных заявок в дискретном времени // Автоматика и телемеханика. - 2009. -№12. - С. 109-120.

15. Разумчик Р.В. Система массового обслуживания с отрицательными заявками, бункером для вытесненных заявок и различными интенсивностями обслуживания // Информатика и ее применения. - 2011. - Т.5. №3. - С.41-45.

16. Pechinkin A., Ra/umchik R. Waiting Characteristics of Queueing System GEO/GEO/l/oo with Negative Claims and a Bunker for Superseded Claims in Discrete Time // 2010 International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, ICUMT 2010 Moscow. - 2010. — P. 1051-1055.

Mathematical models of active queue management systems analysis based on queueing system with two types of traffic and different priorities

Zaryadov I.S., PhD, assistant professor, probability theory and mathematical statistics department, PFUR, [email protected], [email protected], Korolkova A.V., PhD, associate professor, telecommunication systems department, PFUR, [email protected], [email protected],

Razumchik R.V., PhD, senior research fellow, IPI RAS, [email protected].

Abstract: The one-server queueing system with two input Poisson flaws wth different intensities and priorities (non-priority traffic and a priority one), finite buffer with two thresholds, exponential service time is considered. The thresholds drop mechanism is introduced. The first type packets are dropped more often than the packets of second type. Also two types of service disciplines are introduced: packets are served in order of arrival (non-priority case) and packets are served wth different priorities. Analytical expressions for packets stationary distribution, service probabilities, mean waiting times are obtained. Also the case when the packets are dropped at the moment of the end of service instead of the moment of arrival (general renovation) is discussed.

This article starts authors' investigations in this field, so only some results are presented. But in future articles all time-probabilistic characteristics will be obtained, algorithms for equilibrium equations system will be presented, time characteristics in case of priority service will be get.

Also some systems wth different types of input flow and service different from exponential one as well as systems wth hysteresis mechanism are of interest in constructing mathematical models of system wth thresholds.

Keywords: active queue management system, thresholds drop mechanism, priority traffic, priority service.