Математическая модель расчета и анализа характеристик систем с обобщенным обновлением и повторным обслуживанием Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Математическая модель расчета и анализа характеристик систем с обобщенным обновлением И повторным обслуживанием

Ключевые слова: обобщенное обновление, повторное облуживание, рекуррентный входящий поток, вероятностно-временные характеристики.

Рассматривается однолинейная система массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком пакетов, накопителем неограниченной емкости, экспоненциальным распределением времени обслуживания входящих пакетов на приборе. Вводится механизм обобщенного обновления с дообслуживанием, определяемый следующим образом — пакет, находящийся на приборе, в момент окончания обслуживания либо с некоторой вероятностью р (отличной от нуля) покидает систему, либо с дополнительной вероятностью q = 1 - р, остается в системе и сбрасывает из накопителя все ожидающие обслуживания пакеты. Для рассматриваемой системы массового обслуживания с обобщенным обновлением и повторным обслуживанием построена вложенная по моментам поступления пакетов цепь Маркова, для которой в явном виде записана матрица одношаговых переходных вероятностей и система уравнений равновесия. Решением системы уравнений равновесия является стационарное вероятностное распределение числа пакетов в системе (по вложенной цепи Маркова), представленное в явном аналитическом виде. Представлены аналитические выражения для расчета стационарной вероятности сброса поступивших в систему пакетов, стационарной вероятности обслуживания поступивших в систему пакетов. В явном виде представлены стационарная функция распределения времени обслуживания несброшенного пакета, стационарная функция распределения времени ожидания обслуживания для несброшенного пакета. Данная работа является продолжением исследований авторов в области систем с обобщенным обновлением, а также систем с потерей поступающих данных (к таким системам относятся, например, системы с отрицательными заявками, системы с ненадежными приборами). Интерес, с точки зрения авторов, представляет дальнейшее рассмотрение данной тематики с реализацией пороговых механизмов усечения/сброса входящего трафика (алгоритмы активного управления очередью) для задач с одним или несколькими типами входящего трафика (приоритетный и неприоритетный трафики), с отличным от экспоненциального временем обслуживания (например, рекуррентное обслуживание), а также с возможным учетом механизма гистерезиса.

Исследование провод илось в рамках научных проектов РФФИ 13-07-00223, 13-07-00665, 14-07-00090.

Зарядов И.С.,

к.ф.-м.н., доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики РУДН,

zaryadov_is@pfur.ru, izaryadov@sci.pfu.edu.ru Королькова А.В.,

кф.-м.н., доцент кафедры систем телекоммуникаций РУДН, akorolkova@sci.pfu.edu.ru, korolkova_av@pfur.ru

Милованова Т.А.,

кф.-м.н., старший преподаватель кафедры теории вероятностей и

математической статистики РУДН,

milovanova_la@pfur.ru

Щербанская А.А.,

магистр кафедры теории вероятностей и математической статистики РУДН, nurafore@mail.ru

1. Введение

Математические методы теории массового обслуживания позволяют создавать стохастические модели протоколов сетей передачи данных и обеспечивают возможность решения многочисленных задач по расчёту характеристик качества обслуживания и функционирования различных компонент сетей, включая оценку вероятностно-временных характеристик узлов коммутации и маршрутизации, анализ производительности сетей, управления потоками данных, расчёт потерь и загрузки цифровых линий связи при передаче данных, голоса и видеоинформации [1-9].

При построении математической модели будем использовать понятие обобщенного обновления с повторным обслуживанием [4], а также результаты работ [3], [5] и [7].

Структурно работа из 5 разделов и списка литературы. Первый раздел - это введение. Во втором разделе - постановка задачи и описание системы (какие вероятностно-временные характеристики хотим получить, определяется вложенная цепь Маркова). В 3 разделе строится матрица одношаговых переходных по вложенной цепи Маркова вероятностей, находится стационарное по вложенной цепи Маркова распределение вероятностей, вероятность обслуживания поступившей заявки. В четвертом разделе получены стационарные функции распределения времени обслуживания несброшенной заявки и времени ожидания обслуживания несброшенной заявки. Последний, пятый раздел - это заключение, в котором сформулировано несколько будущих задач исследования.

2. Постановка задачи н описание системы

Рассматривается система массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком заявок (функция распределения времени между последовательными поступлениями заявок - А(х)), экспоненциальным распределением времени обслуживания с интенсивностью /л, накопителем бесконечной емкости. Введем механизм обобщенного обновления с повторным обслуживанием: в момент окончания обслуживания на приборе заявка либо с вероятностью р покидает систему, либо с дополнительной вероятностью <7 = 1 - р сбрасывает (“убивает”) из накопителя все находящиеся в нем заявки и становится на прибор (повторное обслуживание).

Поставленная задача — получить аналитические выражения для расчета таких основных характеристик данной системы как: стационарное распределение числа заявок, вероятности сброса или обслуживания произвольной заявки, стационарные распределения времен обслуживания, ожидания обслуживания несброшенного пакета.

Исследование будем проводить с помощью вложенной цепи Маркова (аналогично исследованию систем с обобщенным обновлением без дообслуживания [3-7]), образованной числом и(г„-0) заявок в системе в момент времени

(г -0), где Г„ - момент поступления /7-Й заявки в в систему.

Множество состояний вложенной по моментам поступления цепи Маркова имеет вид X = {0,1,2,...}- В следующем разделе будет построена матрица одношаговых переходных вероятностей вложенной цепи Маркова и получено стационарное распределение по данной цепи.

3. Вероятностные характеристики системы

3.1. Матрица одношаговых переходных вероятностен

Для построения матрицы одношаговых переходных вероятностей вложенной цепи Маркова сначала определим несколько вспомогательных величин:

- л(к), к > I - вероятность того, что в системе закончат обслуживание и покинут ее ровно к заявок (не оставаясь в системе), при условии, что в некоторый начальный момент в системе было не менее к заявок;

- л(к,1), к>\, I > 0 - вероятность того, что в системе закончат обслуживание и покинут ее ровно (к-1) заявок (не оставаясь в системе), к-я заявка будет обслужена 1 раз и покинет систему;

- я(к,1), к > I, / > 1 - вероятность того, что в системе закончат обслуживание и покинут ее ровно (к-1) заявок (не оставаясь в системе), к-я заявка в 1 раз остается в системе.

Для определенных выше вероятностей справедливы выражения:

7г(к) = рк, к> I, (1)

(2) (3)

Далее, определим преобразование Лапласа-Стилтьеса

во

(ПЛС) ¿ф.) _ |е "(¡¿(х) и «'*'(•) -*'я производная ПЛС «(5).

0

Затем:

- /> / (.V), £ > 0, / £ 0, х > 0 - условная вероятность того,

что за время х систему покинет ровно к заявок (обслужатся), причем к-я заявка оставалась в системе ровно / раз, на (/+1)-м обслуживании покинула систему, при условии, что в системе в начальный момент было не менее к заявок и новые заявки не поступали;

- ^*,/(*), *-1, / — 1, *>0 - условная вероятность того,

что за время х ровно т заявок обслужатся (1 < т < к), причем т-я заявка останется в системе в 1-й раз, при условии, что в системе в начальный момент было не менее к заявок и новые заявки не поступали.

Условные вероятности р (х), к > 0, / > 0, х > 0, и

Ри(х), к > 1, / > 1, .г > 0, определяются как:

тг(к,1) = р‘Ур, *>1,/>0 л(к,1) = р1У, к>\,1>\.

Р,(х) = *(*,/)(/ДГ) е щ, к*0, 1*0,х>0, и (к+1)1

Ъ.о (х) = ^ (*),*> О, дг > 0,

F00(X) = F0^x) = e-'a,x>0,

* (/*ГМ

',*>1, /£1, х>0.

(4)

(5)

(6)

(7)

„=1 (/и + / — 1)!

- Ак/,к> 1, /£ 1 - условная вероятность того, что между последовательными моментами поступления заявок в системе ровно /;; заявок обслужатся (1 ^ т < к), причем т-я заявка останется в системе в /-й раз, при условии, что в системе в начальный момент было не менее к заявок;

- Ак /, к > 0, / > 0 - условная вероятность того, что между последовательными моментами поступления заявок систему покинет ровно к заявок (обслужатся), причем к-я заявка оставалась в системе ровно / раз, на (/+1)-м обслуживании покинула систему, при условии, что в системе в начальный момент было не менее к заявок и новые заявки не поступали.

Используя формулы (4)-(7) можно получить определенные выше вероятности:

¿и = |>„ (*)<«(*) = п(к,1)і/і—аа+/,(//), к > 1, / > 1,

* («+/)!

Л.о = А к >1,

(*)!

00 т / у

А; = рЬ(лШ.г) = Х^'"’/)—^7 П|

„ ы (от+/-1)!

00

А к = ^ л*./’

/-І

сю

Л = |/г0(.у)^(лг) = аг(//).

а

Цт+І-1)

(8) (9)

(Ю)

04*>1,/>1,

(П) (12)

(13)

Вероятность А\ - вероятность того, что между последовательными моментами поступления заявок систему покинет ровно к заявок, при условии, что в начальный момент в системе было не менее к заявок и новые не поступили.

Вероятность Ак ~ вероятность того, что между последовательными моментами поступления заявок систему покинет ровно ¿-I заявка, к-я заявка останется в системе, при условии, что в начальный момент в системе было не менее к заявок и новые не поступили. Вероятности (8)-( 13) являются элементами матрицы одношаговых переходных вероятностей вложенной цепи Маркова:

Р =

ч л+Д 0 0 . . 0 0 0 \

А, +А2 Л 0 . . 0 0 0

1 А2 + А, А, Л . 0 0 0

4 А} + А4 а2 А, . . 0 0 0

а] А,.і + А, 4> А/-з • • А, Л 0

А'м А, + Ам 4-. А/-2 • ■ а2 А, Аи

■С. Ам + Аи 2 А1 А,, ■ ■ А, а2 А,

\ ‘ V

3.2. Решение системы уравнений равновесия -стационарное распределение числа заявок в системе

Обозначим через рк. к > 0, стационарную вероятность

того, что в системе непосредственно перед поступлением заявки находились к заявок.

Система уравнений для стационарных вероятностей Р'к,к> 0:

Ро і.

<

Р\ = £/>/’(4+Д+і)>

/=0

Pk = £а.чА’к>1-/=0

Условие нормировки:

00

i = Za-

(14)

(15)

(16)

(17)

При £ > 1 стационарные вероятности р., к > 0, представимы в геометрической форме [10]

А = АгИ. к*\. (18)

Константа § есть единственное решение уравнения g = a(p-gpp) <19)

(которое легко выводится, если (18) подставить в (16) и воспользоваться формулами (1), (2), (8) и (9)), лежащее на интервале (0; 1).

Подставляя (18) в (14), получим выражение для стационарной вероятности р1 :

_ .. Ч~8Р Ц~ раКц-Щ)+ ра(р)

/ I — г 0 * *

Р ра(р -/*/)- <?а(// - рр) -(р- чЫр) Используя условие нормировки (17), (18) и (19), получим вероятность р~ :

\-8 (21)

Ро =-

I-g+

ч-gp

q - ра(р - щ)+ра(р)

р ра(р- рс/)-да(р- р/})-(р-д)а(р)

3.3. Вероятности обслуживания или потери

произвольной заявки

Определим вероятность того, что поступающая в систему заявка попадет на прибор, т.е. не будет сброшена. Обозначим эту вероятность через р(кп,). Противоположную вероятность

— вероятность потери заявки, будем обозначать через рат,). Очевидно, что р= | - р{кп).

Поступающая в систему заявка попадет на прибор, если все находящиеся перед нею в системе заявки будут обслужены и каждая из них покинет систему с вероятностью р, т.е. не будет сброса заявок из накопителя. Поэтому:

рІШ"=Ір;рк-

Используя (18), приводим выражение выше к виду:

Р("")-Л+А Р

(22)

gP

Обозначим через 1У£У(х) стационарную функцию распределения времени пребывания на приборе заявки, а через г,/«"1 (.у) — преобразование Лапласа-Стилтьеса (ПЛС) этой

функции.

Тогда

war<*>=і «****(*)•

(23)

где В'к(х) - А-кратная свертка функции распределения (однократного) обслуживания заявки на приборе й(х) = 1-е ,а при х>0, В °(х) = В(х) ■ Вероятность ^‘соответствует случаю, когда заявка к раз оставалась на повторное обслуживание, после (£+1 )-го обслуживания покидает систему.

Переходя к ПЛС формулы (23), получим

®Г’(5) = 1р<7*^+,(*)=7£^т-Т?0 I -ЧР(5)

Здесь /?($) - ПЛС функции распределения (однократного) обслуживания заявки на приборе В(х) = 1 — е '“ ■ Подставляя М

ПЛС

№ = -

окончательно получаем, что

p + s

<rw=

РР

(24)

КТ(х) =

■г

5+рр

Обращая полученное ПЛС (24), выводим стационарную функцию распределения времени пребывания на приборе заявки

•-"■.*>0. (25)

х < 0

Таким образом, время обслуживания (пребывания на приборе) несброшеиной заявки имеет экспоненциальное распределение с параметром рр.

4.2. Распределение времени ожидания обслуживания

Будем рассматривать только несброшенную заявку.

Обозначим (х) стационарную функцию распреде-

ления времени ожидания обслуживания несброшеиной заявки.

Очевидно, что произвольная заявка не будет сброшена только в том случае, когда все находящиеся перед ней в системе заявки обслужатся и покинут систему (каждая - с вероятностью р). Поэтому \У!,ПЛх) представима в виде:

рЖГ\*)-р

(26)

где величины ри, р{ и g определяются выражениями (21), (20) и (19), соответственно.

4. Временные характеристики

4.L Распределение времени обслуживания.

Будем считать, что поступающие в систему пакеты обслуживаются в порядке поступления (дисциплина FCFS — First Come First Served).

Здесь р1жп) - вероятность того, что поступившая в систему заявка не будет сброшена (см. (22)), а р~ - стационарная

по вложенной цепи Маркова вероятность того, что поступающая в систему заявка застанет в ней к других заявок (см. (18)), ^'“"’(х) — вероятность того, что поступившая в

систему и заставшая в ней к других заявок заявка будет ожидать начала обслуживания время, меньшее х. 11ри к= 0 заявка сразу переходит на обслуживание.

Функция 1Ук "’г" (х) имеет вид:

№’'’т,(х) = ркВ',к,)(х), к> 1.

Перейдем к ПЛС:

| / об \

1 І ^ . - 1 (27)

со

(mtv)

п(*").

Р Ч*=і

<"'(*) = />*/?*(*)•

(28)

Подставляя (28) в (27) и используя представление (18) для вероятностей рк (при к > 0), получаем:

С \

(serv)

ож.обс.1

1

Л sen')

(.vcrv)

. РР\ fiQ-gp)

0 I-g/э s + p(\-gp)

(29)

Обращая ПЛС (29), окончательно имеем

¿г [р;*-**-'-«"-'

(лг) — \

(ur.mx.i' /

5. Заключение

(1-ЯР)

о.

,x>0, дг<0.

Построена математическая модель системы рекуррентным входящим потоком заявок, накопителем бесконечной емкости, экспоненциальным обслуживанием, обновлением с повторным обслуживанием. Получены основные вероятностно-временные характеристики - стационарное распределение числа заявок (по вложенной цепи Маркова, вероятности сброса или обслуживания заявки, стационарные распределения времен обслуживания и ожидания обслуживания несброшеиной заявки).

В рамках дальнейших исследований будет рассмотрен случай, когда заявка в момент окончания обслуживания на приборе с некоторой вероятностью сбрасывает не все заявки из накопителя, а некоторое число.

Также в дальнейшем будут получены временные характеристики для сброшенной заявки.

Кроме того, интерес представляет рассмотрение данной тематики (построение математической модели систем, реализующих пороговые механизмы усечения/сброса входящего трафика) для следующих задач:

- различные типы входящего трафика (на примере работы [11]);

- отличное от экспоненциального время обслуживания и/или несколько приборов;

- введение механизма гистерезиса [12-15];

- введение бункера для выбитых заявок с различными вариантами дисциплин обслуживания (на примере работ [16-17])

- построение математических моделей в дискретном времени (на примере работ [18-20]).

Исследование выполнено при финансовой поддержке

РФФИ в рамках научных проектов 13-07-00223,

13-07-00665, 14-07-00090.

Литература

1. Floyd S.. Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance// IEEE/ACM Transactions on Networking, No 1(4), Aug. 1993. - pp. 397-413.

2. Королькова A.B. Математическая модель процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока. Дисс. ...к.ф.-м.н.: М. РУДН, 2010. - 115 с.

3. Korolkova A. V. Zaryadov I.S. The Mathematical Model of the Traffic Transfer Process with a Rate Adjustable by RED // IEEE / International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Moscow, October 18-20, 2010.

4. Зарядов И.С. Расчёт показателей качества функционирования

систем передачи и обработки данных с помощью обобщённого обновления. Дисс. ...к.ф.-м.н.: М. РУДН, 2010. - 160 с.

5. Zaryadov I.S., Pechinkin A.V. Stationary time characteristics of the GI|M |n|oo system with some variants of the generalized renovation discipline // Automation and Remote Control, 2009. - Vol. 70, No 12. -pp. 2085-2097.

6. Зарядов И.С.. Королькова А.В. Модель расчета показателей RED-подобных алгоритмов с помощью систем с групповым входящим потоком // International Workshop "DISTRIBUTED COMPUTER AND COMMUNICATION NETWORKS (DCCN-2011)", R&D Company "Information and Networking Technologies", 2011. - C.65-72.

7. Зарядов И.С.. Королькова А.В. Применение модели с обобщенным обновлением к анализу характеристик систем активного управления очередями типа Random Early Detection (RED) // T-Conim: Телекоммуникации и транспорт, 2011. - С.84-88.

8. Adamu. A.. Gaidamaka. К. Samuylov. A. Discrete Markov chain model for analyzing probability measures of P2P streaming network // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 6869 LNCS, pp. 428-439

9. Gaidamaka. K, Samuylov. A. Analytical modeling of playback continuity in P2P streaming network with latest first download strategy // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 8121 LNCS . pp. 363-370.

10. Kleinrock L. Queueing systems. - Brisbane, Toronto: John Wiley & Sons, 1975.

И. Зарядов И.С.. Королькова А.В.. Разумчик P.B. Математические модели расчета и анализа характеристик систем активного управления очередями с двумя входящими потоками и различными приоритетами // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, 2012. — С.107-111.

12. Abaev. P.O.. Gaidamaka. Y.V.. Pechinkin. A.V. Raiumchik. R.V., Sliorgin. S.Ya. Simulation of overload control in SIP server networks // Proceedings - 26th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2012.

13. Abaev. P.. Pechinkin. A.. Razumchik. R. On analytical model for optimal SIP server hop-by-hop overload control // International Congress on Ultra Modem Telecommunications and Control Systems and Workshops, art. no. 6459680, pp. 286-291.

14. Abaev. P.. Pechinkin, A., Razumchik. R. Analysis of queueing system with constant service time for SIP server hop-by-hop overload control // Communications in Computer and Information Science 356 CCIS, pp. 1-10.

15. Абаев П.О.. Гайдамака Ю.В.. Самуилов K.E. Гистерезисное управление сигнальной нагрузкой в сети SIP-серверов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика», 2011. - № 4. — С.55-73.

16. Pechinkin. A.V.. Razumchik. R.V. The stationary distribution of the waiting time in a queueing system with negative customers and a bunker for superseded customers in the case of the LAST-LIFO-LIFO discipline // Journal of Communications Technology and Electronics 57 (12). pp. 1331-1339.

17. Pechinkin. A.V.. Razumchik. R.V. A method for calculating stationary queue distribution in a queuing system with flows of ordinary and negative claims and a bunker for superseded claims // Journal of Communications Technology and Electronics 57 (8), pp. 882-891.

18. Печинкин А.В.. Разумчик P.B. Система массового обслуживания с отрицательными заявками и бункером для вытесненных заявок в дискретном времени // Автоматика и телемеханика, 2009. -N»12. — С. 109-120.

19. Разумчик Р.В. Система массового обслуживания с отрицательными заявками, бункером для вытесненных заявок и различными интенсивностями обслуживания // Информатика и ее применения, 2011. - Т.5. № 3. -С.41-45.

20. Pechinkin A.. Razumchik R. Waiting Characteristics of Queueing System GEO/GEO/1/oo with Negative Claims and a Bunker for Superseded Claims in Discrete Time // 2010 International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, ICUMT 2010 Moscow, 2010. - pp. 1051 -1055.

The mathematical model of time-probability characteristics analysis of systems with general renovation and reservice

Zaryadov I.S., PhD, associate professor, probability theory and mathematical statistics department, PFUR, zaiyadov_is@pfur.ru, izaryadov@sci.pfu.edu.ru Korolkova A.V., PhD, associate professor, telecommunication systems department, PFUR, akorolkova@sci.pfu.edu.ru, korolkova_av@pfur.ru Milovanova T.A., PhD, assistant professor, probability theory and mathematical statistics department, PFUR, milovanova_ta@pfur.ru Scherbanskaya A.A., Graduate student of probability theory and mathematical statistics department, PFUR, nurafore@mail.ru

Abstract

In the submitted paper the one-server queuing system with general input flow, infinite buffer and exponential service time distribution is considered. Also the mechanism of general renovation with reservice (repeated service) is introduced. According to this mechanism a packet under service at the moment of the end of its service with some nonnegative probability q may drop all other packets from a buffer or with complementary probability p = 1- q just will leave the system and other packets will stay at the system. The investigation of suggested queuing system is based on the method of embedded by arrival Markov chain. For the embedded Markov chain the one step transition probability matrix and the system of steady-state equations are derived. The analytical expression for the packets number stationary distribution (by embedded Markov chain) is obtained. Also the formula of steady-state probability of a packet being served and the formula of steady-state probability of a packet being dropped are presented. Apart from the above in the article the analytical expressions for stationary waiting time distribution and stationary service time distribution of nondropped packet are obtained. This article continues authors' investigations in field of queuing systems with general renovation and queuing systems with losses (for example, systems with negative customers or systems with unreliable servers). In future authors plan to research some other systems with service time different from exponential one as well as systems with thresholds or systems with hysteresis mechanism. The reported study was supported by the Russian Foundation for Basic Research RFBR, research projects No. 13-07-00223, 13-07-00665, 14-07-00090.

Keywords: general renovation, reservice, general input flow, time-probability characteristics.

References

1. Floyd S., Jacobson V, Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance / IEEE/ACM Transactions on Networking, No 1(4), Aug. 1993. pp. 397-413.

2. Korolkova A.V. Mathematical model of traffic with adjustable by RED-type algorithm dynamic flow intensity. PhD Thesis. Moscow, 2010. 115 p.

3. Korolkova A.V., Zaryadov I.S. The Mathematical Model of the Traffic Transfer Process with a Rate Adjustable by RED / IEEE / International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Moscow, October 18-20, 2010.

4. Zaryadov I.S. Computation of quality performance parameters for telecommunication and data processing systems using general renovation. PhD Thesis. Moscow, 2010. 160 p.

5. Zaryadov I.S, Pechinkin AV. Stationary time characteristics of the GI|M |n| system with some variants of the generalized renovation discipline / Automation and Remote Control, 2009. Vol. 70, No 12. pp. 2085-2097.

6. Zaryadov I.S, Korolkova AV. Model of RED-like algorithms characteristics calculation using systems with batch input How / International Workshop "DISTRIBUTED COMPUTER AND COMMUNICATION NETWORKS (DCCN-2011)", R&D Company "Information and Networking Technologies", 2011. pp. 65-72.

7. Zaryadov I.S, Korolkova AV. Application of Model with General Renovation to the Analysis of Characterictics of Active Queue Management with Random Early Detection (RED) / T-Comm: Telecommunications and Transport, 2011. pp. 84-88.

8. Adamu A, Gaidamaka Y, Samuylov A Discrete Markov chain model for analyzng probability measures of P2P streaming network / Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 6869 LNCS , pp. 428-439.

9. Gaidamaka Y, Samuylov A Analytical modeling of playback continuity in P2P streaming network with latest first download strategy / Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 8121 LNCS , pp. 363-370.

10. Kleinrock L. Queueing systems. Brisbane, Toronto: John Wiley & Sons,1975.

11. Zaryadov I.S, Korolkova AV. Razumchik R.V Mathematical Models of Active Queue Management Systems Analysis Based on Queueing System with Two Types of Traffic and Different Priorities / T-Comm: Telecommunications and Transport, 2012. pp. 107-111.

12. Abaev P.O., Gaidamaka YV, Pechinkin AV, Razumchik R.V,Shorgin S.Ya. Simulation of overload control in SIP server networks / Proceedings - 26th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS, 2012.

13. Abaev, P, Pechinkin, A, Razumchik, R. On analytical model for optimal SIP server hop-by-hop overload control / International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshop, 2012. pp. 286-291.

14. Abaev, P, Pechinkin, A, Razumchik, R. Analysis of queueing system with constant service time lor SIP server hop-by-hop overload control / Communications in Computer and Information Science 356 CCIS, 2013. pp. 1-10.

15. Abaev P.O., Gaidamaka YV, Samuylov K.E. Hysteretic Overload Control in a SIP Signaling Network / Bulletin of Peoples' Friendship University of Russia. Series "Mathematics. Information Sciences. Physics", 2011. No 4. pp. 55-73.

16. Pechinkin AV, Razumchik R.V The stationary distribution of the waiting time in a queueing system with negative customers and a bunker for superseded customers in the case of the LAST-LIFO-LIFO discipline / Journal of Communications Technology and Electronics, 2012. 57 (12). pp. 1331-1339.

17. Pechinkin A.V, Razumchik R.VA method for calculating stationary queue distribution in a queuing system with flows of ordinary and negative claims and a bunker for superseded claims / Journal of Communications Technology and Electronics, 2012. 57 (8). pp. 882-891.

18. Pechinkin AV, Razumchik R.V A queueing system with negative claims and a bunker for superseded claims in discrete time / Automation and Remote Control, 2009. No 12. pp. 109-120.

19. Razumchik R.V A queueing system with negative claims and a bunker for superseded claims and different service rates / Informatics and Applications, 2011. Vol. 5. No 3. pp. 41-45.

20. Pechinkin A, Razumchik R. Waiting Characteristics of Queueing System GEO/GEO/1/? with Negative Claims and a Bunker for Superseded Claims in Discrete Time / 2010 International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, ICUMT 2010 Moscow, 2010. pp. 1051-1055.