Применение модели с обобщенным обновлением к анализу характеристик систем активного управления очередями типа Random Early Detection (red) Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

21 декабря 2011 r. 16:37

"Инфокоммуникачионно-управленческие сети. Расчет и оптимизация систем связи"

Применение модели с обобщенным обновлением к анализу характеристик систем активного управления очередями типа Random Early Detection (RED)

Б работе для RED-подобных систем предложена модель расчета вероятностно-временных характеристик с помощью систем массового обслуживания с обобщенным обновлением. Модель построена на основе многолинейной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и накопителем конечной/бесконечной емкости. Получены аналитические выражения распределения числа пакетов в системе, вероятности передачи поступивших в систему пакетов, распределения времени пребывания пакетов в системе, среднего времени пребывания пакетов в системе. Проведен численный анализ полученных характеристик.

Зарядов И.С.,

старший преподаватель кафедры теории вероятностей и математической статистики РУДН, izaryadov@gmail.com

Королькова А.В.,

доцент кафедры систем телекоммуникаций РУДН, akorolkova@sci.pfo.edu.ru

Введение

В современных пакетных сетях передачи данных для регулирования интенсивности потока широко применяются механизмы активного управления очередью (Active Queue Management, AQM), которые позволяют задать определённую политику обслуживания разным типам потоков и могут применяться, например, в технологии дифференцированного обслуживания (Differentiated Service, DiffServ). А частности, к механизмам AQM относятся RED-подобные алгоритмы (Random Early Detection,

RED) (1, 2], которые позволяют регулировать интенсивность потока с помощью выборочного сброса пакетов до того, как очередь будет заполнена полностью. Если очередь маршрутизатора почти пустая, то все приходящие пакеты принимаются. По мере заполнения очереди начинает работать функция сброса пакетов. Это заставляет протоколы, подобные TCP (Transmission Control Protocol), снижать скорость передачи и предотвращает повторную синхронизацию параметров соединения.

Математические модели процесса передачи трафика, учитывающие в частности влияние процесса регулирования состояния потока на изменение его интенсивности, позволяют проанализировать поведение трафика во времени, оценить различные параметры качества функционирования сети, например, задержки передачи пакета по звену и др. Для построения и анализа таких моделей и их характеристик применяются разные подходы и методы [3-5]. В данной работе предложено использовать модель с обобщённым обновлением [6, 7] для нахождения вероятностно-временных характеристик RED-подобных систем.

84

"Инфокоммуникационно-улровленческие сети. Расчет и оптимизация систем связи"

Здесь вид р(у)% о £ ри))й\, зависит от выбранного алгоритма типа RED (см. работы [2, 3]), qiuui и q , qu < ц , - два пороговых значения накопителя.

Для вычисления q используется рекуррентная формула экспоненциально взвешенного скользящего среднего (Exponentially Weighted Moving-Average, EWMA):

</*♦ і =0"M’f >V* + 1- 2.

(2)

где 0< wq < I i - весовой коэффициент экспоненциально взвешенного скользящего среднего, определяемый согласно [8] по формуле w г, в которой

( - пропускная способность канала (пакетов в секунду).

В качестве математической модели для нахождения вероятностно-временных характеристик функционирования модуля типа RED предлагается рассмотреть систему массового обслуживания GJ \ М \ п | ас, состоящую из ( приборов, накопителя бесконечной ёмкости и с экспоненциальным обслуживанием, на которую от одного источника поступает рекуррентный поток заявок (ТСР-пакетов). Для накопителя заданы два пороговых значения (/тт и Чти. ' Ч < Чтх\ ' П0ПаДании заявок в накопитель в зависимости от уровня его заполнения принимается решение о сбросе заявок из системы.

Следует заметить, что возможно несколько вариантов принятия решения о сбросе пакета:

1. решение о маркировке пакета на сброс принимается одновременно с его передачей [1 ];

2. решение о маркировке пакета на сброс принимается в момент передачи предшествующего пакета.

В данной работе рассмотрен последний вариант принятия решения о сбросе пакета. Для нахождения вероятностно-временных характеристик модели использованы результаты работ [6, 7] по системам с обобщенным обновлением.

Вероятностные характеристики модели

Стационарное распределение числа заявок

в системе

Процесс, моделирующий предложенную нагрузку, определяется случайным процессом {\v(/)} * {\v(/>, I £ о} с

пространством СОСТОЯНИЙ W = {|....."maxi И начальнь,м

условием \v(0) = 1 для некоторого w £оо, где \у(/)

соответствует размеру TCP-окна в момент времени / > 0.

Будем рассматривать систему в моменты rtt. п - Ц 2_____

непосредственно перед поступлением первого сегмента из /I -ой фуппы сегментов. Размер группы передаваемых сегментов \\ (г > соответствует предшествующему значению TCP-окна. Тогда последовательность (Л"и = w(rw). // £ ()} с начальным условием Л*0 = 1 на

пространстве состояний W является цепью Маркова для случайного процесса |\v(/)./^0|, вложенной по моментам непосредственно перед поступлением первого сегмента из // -ой группы сегментов.

Стационарные вероятности по ЦМ

р = 1нп /*{Л’ = /}. / є XV» задают вероятность того, что

непосредственно перед поступлением заявки в системе находится / заявок. Вероятности />,./€ \У, удовлетворяют системе уравнений равновесия (СУР) рт Р = рг с условием нормировки рГ1 = 1, где |»Г = (/>„./>,...../>„ у. Р-

матрица одношаговых переходных вероятностей вложенной цепи Маркова.

Введём следующие обозначения:

- А„ - вероятность того, что между последовательными поступлениями заявок в систему обслуживание ни на одном из С приборов не закончится;

“ - вероятность того, что между

последовательными поступлениями заявок в систему её покинет ровно к-1 заявок при условии, что в начальный момент времени ИХ было НЄ МвНвв ( + Л ,

- Ак /, к = 1.С — 1. / = О.А*, - вероятность того, что между

последовательными поступлениями заявок в систему её покинет ровно к-1 заявок при условии, что в начальный момент времени их было к ;

- Лс.1,(у), к= 0.1.2......../ = 0.С -1, - вероятность

того, что между последовательными поступлениями заявок в систему её покинет ровно (’ +А* -/ заявок при условии, что в начальный момент времени их было

С + А*;

- а(5) - преобразование Яапласа-Стилтьеса (ПЛС) функции распределения .-|(дг) интервалов времени между поступлениями заявок в систему, а{*'(•*) - л -я производная ПЛС а(х);

- Ц - интенсивность обслуживания;

- С[. - число сочетаний из к по /.

Введённые таким образом вероятности определяются следующими выражениями:

Д, = а(С^і). Акк =а[кц). к * 1.С-1:#‘ (3)

<< м)

пі

(-1) а' '(<>>.

piq)---Н)гь4в* *(Qi)+(l-/J<$))^—-H)' at *(Q/K (m— 1)! ni

Ійтйк-lq^ < </ £qm.

(Cm)"1

(-1) "‘o' ""(Qil k>qmHPl&rn£k-l.q>qmec

(4)

Atl =YiC'tC’l,_l(-\)la((j + l)fi\ к = І.Г -1. / = (!*;

(5)

«» "

(к + 1)Г

0 Zkiq^. 0<q< q^.

....(0lX

4am < к qmm . <^5 ч -

iCftV

іH

(-l)*a‘°(Q«). k>qmm.q>qmtt.

(6)

85

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

| а((г ♦ 1)р) £<-!>

■<*>(<?) =

Г-м0.,(С>|}

^«КггЬр-»'*

(«<(,♦/>„) ±{ о<(Г ^')/,>«| .к»и

♦—' І ^ аіа-Вм) £( 1) —-' ,1)М^ а' *(Ов|(1 /Н<?))-

^КгЬГс»

«<„./>„) £< ■> ((('-'//>/'> »"(0.)\

Дг > .. у > . I ■ О.*.

(7)

Стационарные вероятности определяются следующими выражениями:

-

£- X *—

г-0 * ■

А' = I + (і - /*</))( //) + «(( /у) -£,

<Т -; .

= I +<>*"’«>)-

■»*! /-о

^ ИГь2й*"<г-

- п«. Г

»

А', - I + (I- />«/>Х>а"’<0/)к,_>П«-< ”

]

(см)

. 2 <!<,(/ — и — 1.

• / тал / пин

Р, ., = А , П . • > = °- 9~ " '•

т=0

^п*-1 І

л •»_•/ ” Лч П _ | 05 і5 -9»._/

ли—О Г-0

(9)

= /»<■-, И *«_-ГІ&*" >20

нм-0 Ы)

(10)

С-1 ________ С-1

Р.= 11Р,А,.и*Рс-1-<- «-1.С-1. Ро-'Е.Р^І.О + Рс-Л-

(11)-(12)

где <, _ <*(( Iі >. л - решение уравнения

I в

Фи»*)

£ =аг(С//-С/4Г>, лежащее на интервале (0.1),

- «((» . т----------------------------------------------

* = —;г—• ' =

= X (ҐІ*,___]••*«ЙХ.-._-<)л.

+(п ошс-1.

Выражения (11)-(12) и условие нормировки

V/) = | позволяют найти вероятности р . / = 0.Г-1

1-0

Стационарное распределение числа заявок в очереди

Обозначим через а. /£0» вероятность того, что в момент поступления заявка застала в очереди / других заявок. Тогда |д)

9,=рс„. /*0. ,13)

Среднее число заявок, которое застаёт в системе (.V) или очереди (у) поступающая заявка, определяются, соответственно, выражениями

(14)

о £ і * Чшш - 2

Вероятность сброса поступающего пакета

Обозначим через /(/). / 2>(), - вероятность того, что поступающая в систему заявка, заставшая в ней / других заявок, будет сброшена первой обслужившейся на приборе заявкой. Вероятности у(/). />(), определяются следующим выражением:

[ °* оы*Яял.

у(/) = |/>(?К1-аг«>)). іі,м.<іїі/т. ,16*

[ 1 -аг<(». <></„,

Здесь (|-а((’/Л) - вероятность того, что до прихода следующей заявки хотя бы одна заявка закончит обслуживание на приборе.

Тогда вероятность сброса поступающей в систему заявки определятся следующим выражением:

р' '-1><'>Дч -/> .,(!-««>>)[ £ />«/)П >■’_ Н«_ .

V-*- -• -•

•ЇЇ'-ТГ**)

117)

Вероятность передачи поступающей в систему заявки соответственно определяется выражением:

(18)

Временные характеристики

Обозначим через ІГІІ"п'(х). ікО.укО. вероятность того, что в момент поступления заявки в систему в очереди находится / заявок, а на обслуживание до момента времени V. .V й 0. поступит у заявок. Соот-

86

"Инфокоммуниканионно-упровленческие сети. Расчет и оптимизация систем связи"

ветственно, ГГ/ГХ*). /І0. - вероятность того, ЧТО ДО момента времени .V. .г^О. поступившая в систему заявка, заставшая в очереди / других заявок, перейдёт на обслуживание. Обозначим через /20./20.

производную от Іґі"'п,(х). / £ О.у £ О. по .V. дг£0:

II (VI =

0<1**1шш- V*0-

+U” ■*< г).

г! ' /;

</». J

г, » « >)-‘(л - | ) t.

Переходя к ПЛС и применяя формулу полной вероятности, получим ПЛС времени пребывания обслуженной заявки в накопителе:

г^у

Y.p*r , Z П-«

Г-* 1-е г;-*

п«- Sn>.-(r^)' «..(ги.

+ Рг-

<1-/*</> + «(<>+л)) +

выше, чем ближе расположены друг к другу пороговые значения </ и а .

IПШ1 V 11№

Рис. 16. Распределение числа заявок в системе непосредственно перед поступлением новой заявки для случая ц = 5.

Я та — Ю. Л = 8.16. 32

Дифференцируя по .V и приравнивая .V к нулю, получим среднее время пребывания в накопителе обслуженной заявки:

/>'* Ч - (>'.! •-

+nv_

Jfi'e T TlT- Yg|<>«,'~ , а"'^

І ‘і- А У A cxi-i) (і-*) J

См

обслуживания,

РАФ =

- /W <'/ s

4 ^ f/uux

(19)

Численный анализ

Численный эксперимент реализован с помощью языка программирования для статистической обработки данных II.

Начальные предположения: А = /. / е!Г - интенсивность входящего пуассоновского потока, // = 33- интенсивность

о. «<</*■/...

функция сброса алгоритма RED [ 1J, </ =5,

= 10,20.32 - минимальное и максимальной пороговые значения соответственно, п = О |, = Я2 •

' Лиях ‘ *' ” ||мх * *"

На рис. 2 приведены графики распределения числа заявок в системе непосредственно перед поступлением новой заявки для случаев =5 • = |0'

Я = 8. 16. 32-

На рис. 3 приведены графики вероятности сброса р"°“' поступающего в систему покета для </„„„= 5, q =10,20.32- Вероятность сброса с ростом Я тем

2Э45«7««

Рис. 17. Вероятность сброса поступающего в систему пакета

</„„ =5, г/,„ =10.20.32

На рис. 4 представлены графики поведения среднего числа заявок О, которое застаёт в очереди поступающая заявка, в зависимости от выбора пороговых значений и роста Я . Значение О возрастает с ростом Я и тем больше, чем ближе расположены друг к другу пороговые значения и ц.

На рис. 5 представлены графики поведения среднего времени (О "" пребывания в накопителе обслуженной заявки в зависимости от выбора пороговых значений и роста Я . Аналогично графикам поведения р,1ои ' и О значение в)"'"1 сростом Я тем выше, чем ближе расположены друг к другу пороговые значения и

2 ^ * •V.к

Рис. 1 8. Поведения среднего числа заявок, которое застаёт в очереди поступающая заявка, при ц1Яи — 5, </Я1Х = 10.20.32

87

ч. .-8.

». .-1ч,.. ->2

Рис. 19. Поведение среднего времени пребывания в накопителе обслуженной заявки при у =5/ </ =10.20.32

Таким образом, результаты численного анализа соответствуют выводам, сделанным в работе [9], о выборе пороговых значений для классического алгоритма RED: рекомендуется значение второго порога устанавливать в три или более раза больше первого.

Заключение

Для расчета вероятностно-временных характеристик RED-подобных систем применена модель с обобщенным обновлением на основе многолинейной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и накопителем конечной/бесконечной ёмкости. Получены аналитические выражения распределения числа пакетов в системе (8)—(12), среднего числа заявок, которые застаёт поступающая заявка в системе (14) и в накопителе (15), вероятности передачи поступивших в систему пакетов (18), распределения времени пребывания переданного далее пакета в очереди (в терминах преобразований Лапласа-Стилтьеса) и среднего времени пребывания пакетов в очереди (19).

Литература

1. Floyd S., Jacobson V., Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidonce // IEEE/ACM Transactions on Networking, No 1 (4), Aug. 1993. - Pp. 397-41 3.

2. Королькова A.B.; Кулябов ДС., Черноиванов, А.И. К вопросу о классификации алгоритмов RED// Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». -

2009. - ПЯЗ. - С. 34-46.

3. Королькова А.В. Математическая модель процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока. Дисс. к.ф.-м.н.: М. РУДН, 2010.- 115 с.

4. Королькова А.В., Кулябов Д.С. Математическая

модель динамики поведения параметров систем типа RED// Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика.

Физика». - 2010. - N2(1). - С. 54-64.

5. Korolkova A.V., Zaryadov I.S. The Mathematical Model of the Traffic Transfer Process with a Rate Adjustable by RED// IEEE/ International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), Moscow, October 18-20, 2010.

6. Зарядов И.С. Расчёт показателей качества

функционирования систем передачи и обработки данных с помощью обобщённого обновления. Дисс. к.ф.-м.н.: М. РУДН,

2010.- 160с.

7. Zaryadov I.S., Pechinkin A.V. Stationary time

characteristics of the Gl | M | n | system with some variants of the generalized renovation discipline Automation and Remote Control. - 2009. - Vol. 70, No 12. - Pp. 2085-2097.

8. Floyd S., Gummadi R., Shenker S. Adaptive RED: An

Algorithm for Increasing the Robustness of RED's Active Queue Management, 2001.- http://www.icir.org/floyd/

papers/ adaptiveRed.pdf.

9. Floyd S. RED: D iscussions of Setting Parameters. — 1997. — http://www.aciri.org/floyd/REDparameters.txt.

THE APPLICATION OF MODEL WITH GENERAL RENOVATION TO THE ANALYSIS OF CHARACTERISTICS OF ACTIVE QUEUE MANAGEMENT WITH RANDOM EARLY DETECTION (RED)

Zaryadov Ivan S., Peoples' Friendship University of Russia, Probability theory and mathematical statistics department,

Senior lecturer, izaryadov@gmail.com

Korolkova Anna V., Peoples' Friendship University of Russia, telecommunications system department, Senior lecturer,

akorolkova@sci.pfu. edu. ru

In the article for RED-like systems the model for calculation of the probability and time characteristics with the help of queuing systems with a general renovation is introduced. The model is based on the multiserver queuing system with the recurrent input flow and the queue of finite / infinite capacity. Steady-state probability distributions of packets in the system over imbedded Markov chain as well as some probabilistic and time characteristics are obtained. A numerical analysis of the obtained characteristics is given.

Key words: RED algorithm, queuing theory with generalized renovation, queue with thresholds, probabilistic and time characteristics, Markov chain, recurrent input flow.

88