Новый подход к анализу поведения горного массива Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ученые записки Таврического национального университета имени В.И.Вернадского Серия «География». Том 22 (61). 2009 г. № 1. С 79-89

УДК 551.24:556.18:622.831

НОВЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ПОВЕДЕНИЯ ГОРНОГО МАССИВА

Приходько С. Ю.1, Таранец Р. М. 2, Матвиенко С.А.3

1Донецкий национальный технический университет, Украина, Донецк 2Институт прикладной математики и механики НАНУ, Украина, Донецк 3Государственное предприятие «КБ «Южное», Украина, Днепропетровск [email protected]

Предложена математическая модель, описывающая поведение горного массива при воздействии на него массовых сил. Найдены условия на параметры задачи при которых возможны геотектонические нарушения.

Ключевые слова: модель горного массива, флуктуации, релятивистские эффекты. ВВЕДЕНИЕ

В любой из геотектонических гипотез должны быть четко определены силы, участвующие в перемещениях или преобразованиях масс в земной коре, и источник энергии, поддерживающий эти силы в течении определенного периода времени [9]. Модели горного массива, рассматриваемые при прогнозировании газодинамических явлений, основаны на детерминистическом причинном описании. Однако такое описание не всегда является адекватным. Главная причина этого состоит в том, что в макроскопических системах существование многих степеней свободы часто приводит к возникновению флуктуаций. После возникновения макроскопической флуктуации система ведет себя в соответствии с определенными феноменологическими законами. Флуктуации, хотя и являются измеримыми величинами, должны оставаться малыми по сравнению с макроскопическими величинами. Малые флуктуации при наличии критической точки усиливаются, достигают макроскопического уровня и переводят систему в новое состояние, т.е. приводят к возникновению новой фазы в системе [10].

В работах [1-3] для описания качественного поведения амплитуды вертикального смещения локальной области земной поверхности использовалась модель колебания упругой тонкой пластины под действием внешних массовых сил. Учитывая относительную локальность области, в которой рассматривается модель, можно пренебречь вращением Земли. В качестве внешних сил V рассматривается

воздействие на земную поверхность комплекса экзогенных процессов и эрозионных волн [2], влияние долговременных тенденций изменения атмосферного давления, результаты гравитационного взаимодействия Земли с другими космическими

телами (например, Солнцем, Луной) и т.п. В качестве внутренних сил V

учитывается влияние вертикальных тектонических движений, возникающих как вследствие движения тектонических плит, так и в результате процессов физико-

химической дифференциации вещества в недрах Земли. Получено модельное уравнение, которое учитывает зависимость амплитуды вертикального смещения, а, следовательно напряжений на земной поверхности, от взаимодействия внешнего и внутреннего суммарных потенциалов [1-3]. В работе [1] была рассмотрена модель упругих деформаций земной коры, которая при условии сохранения объёма в нутационной системе координат (нутационная система координат - система отчёта, определенным образом связанная с инерциальной системой отчёта) для амплитуды вертикального смещения принимает следующий вид:

д2 И л д/

—— = —АИ + , (1)

дл2 р дИ

где И = И(/, х, у) - вертикальное смещение, зависящее от времени t и декартовых координат х, у; / = /(И) := Уе + Vi - сумма внешнего (Уе) и внутреннего (Vi) потенциалов, действующих на горный массив; ¡л - параметр Ламе (Па); р - плотность (кг/м3); Д = д2/дх2 +д2/ду2 - оператор Лапласа.

Основной целью данной работы является определение значений некоторого положительного параметра в, который определяет динамику взаимодействия внешних и внутренних сил в безразмерной математической модели (12), при которых в системе возможно нарушение энергетического баланса. Для этого необходимо выполнить:

4. переход к безразмерной форме в модели (1);

5. построение энергетической диаграммы для задачи (12)-(13);

6. анализ энергетической диаграммы.

2.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Сделаем нормировку в уравнении (1) [6,7]. Пусть

I = -, х = -, у = 1-, И = —, / = /, I = 1х = 1у, (2)

t0 1х 1у И0 Л

где t0- характерное время релаксации горного массива (с), I -характерный размер горного массива (м), И0 - характерная амплитуда инверсионного подъема (м), /0 -

характерное значение среднего суммарного потенциала определяющее геодинамику массива (м2/с2). Подставляя (2) в (1), мы получаем

4 ^м+^С (3)

дt2 12р И02 дИ

Теперь рассмотрим детально поведение суммарного потенциала /. В работе [11] (формула (1.17), стр. 22) была найдена теоретическая высота £ наблюдаемого прилива для эквипотенциальной поверхности (геоид), которая зависит от отношения между лунно-солнечным потенциалом Ж2 и ускорением силы тяжести g в некоторой точке поверхности, т.е.

Ж

£ = — . (4)

g

В нашем случае £ = к и Уе = Ж2. Таким образом, из (4) для нашей ситуации мы находим что

V

к = . (5)

g

- V

Проводя нормировку (5), с помощью (2) и Ve = ——, где V0e - значение среднего

Уе

внешнего потенциала, получаем:

к = ^е . (6)

к0 g

Принимая во внимание тот факт, что ускорение вариации силы тяжести g в большей мере зависит от изменений внешнего потенциала, нежели от других факторов, т.е. g является функций от Ve, предположим следующую связь между ними:

g = go V; (а > 0), (7)

где g0 - среднее значение ускорения силы тяжести, а а - безразмерный

положительный параметр характеризующий качественное поведение ускорения силы тяжести в горном массиве. Таким образом, наше предположение (7) говорит о том, что с увеличением воздействия внешнего потенциала ускорения силы тяжести также растет, а скорость роста зависит от значения параметра а > 0, который, вообще говоря, может зависеть от многих факторов. Далее, из соотношения (6) и предположения (7) находим качественную зависимость к от Ve:

- V

к =l^vl-а,

к0 go е

откуда выводим, что

V =

1

{к^~а 1 V V0e ;

к1-а. (8)

Из соотношения (8) следует, что параметр а должен быть меньше 1, т.е.

0 < а < 1. В случае а > 1 с увеличением Уе вертикальное смещение не возрастало

бы (отсутствовало бы возрастание вертикального смещения), что противоречит эмпирическим данным по измерению вариации силы тяжести [11].

Далее, предположим, что поведение соответствующего внутреннего потенциала V, пропорционально изменению ускорения силы тяжести:

V = - а^, (9)

т.е. рост силы тяжести вызывает возрастание внутреннего потенциала, где а5 -

значение среднего расстояния от центра геоида до наблюдаемой поверхности горного массива (м). Отметим, что предположение (9) означает, что горный массив

- V.

ведет себя подобно тонкой пленке. Учитывая соотношение (7) и V, где V0i -

значение среднего внутреннего потенциала, мы находим из (9), что

а

V = - = -. V

у л.

аБёо

Vо,

V а =-

аз8о

(

К

К Ео

Л

Vо.

1-а

К

1-а

(1о)

о, V ое У

Таким образом, в силу наших предположений (7) и (9), принимая во внимание (8), (Ю) и полагая /о = V0e = Уо,, уравнение (3) приводится к нелинейному уравнению колебаний пластины вида:

(

д 2К

^ьи + 4 /о 12р

К

1

1 -а

Ко Ео

/о

V •'о

К 1-а а аЕ 1 -а /о

(

Ко Ео

Л

/о

К

1 -а

V -/о у

(11)

Введём следующие обозначения:

со =

1V

с1 =■

Г2 /

(

К Е ^

"обо

С2 =

^ оаа8ёо ^

Ко2(1 -а) V /о

К Е ^

"обо

,в=

а

о у

1-

Ко(1 -а) V /о у

С учетом наших обозначений, опуская знак черты, уравнение (11) запишется в следующем безразмерном виде:

д2К ........- (12)

2 = соЬК + схЪр - с2Кв-1.

д

В дальнейшем, не нарушая общности, мы будем рассматривать уравнение (12) в некоторой фиксированной области О с границей дО и полагать со = 1. Вместе с (12) рассмотрим следующие граничное и начальные условия:

К дО= К =о = К (*), К и = К (X) , (13)

где Ко (х) - некоторая начальная геометрия горного массива, а К (х) - его начальная скорость изменения.

а

а

а

Замечание. Если с1 = 0, с2 > 0 и в > 1, то глобально (по времени)

ограниченное решение задачи (12)-(13) существует и единственно (см. [4]). Отметим, что уравнение такого вида возникает в релятивистской квантовой механике (см., например, [5]). Если с1 > 0 и в> 1, то глобально (по времени) ограниченное решение задачи (12)-(13) не существует, но может существовать решение вплоть до некоторого момента времени Т *, который зависит от начальной энергии горного массива.

Далее, исследуем поведение градиента решения задачи (12)-(13) в зависимости от упругой энергии системы:

Eelast (h(t )):= 2 jf h2 + |Vh|2 + ^ h^

dx,

J

2^ V в

которая не учитывает влияние внешних сил. Отдельно рассмотрим два случая: 0 < в — 1 и в > 1- Умножим уравнение (12) на к( и проинтегрируем его по области О . В результате получим:

21 к +1ук|2 + в в Ь = СI в — |+ кв) (14)

Если 0 <в — 1, то из (14), используя теорему вложения Соболева

0

Ж (О) е П (О) (у > 0) (см. [8]), а именно, оценку

ии—с0| 1укп2 о' (15)

где С0 - некоторая положительная постоянная, мы устанавливаем:

dt

откуда находим, что

^-Аш(h(t)) < dlEelast(h(t)), dl = ci (l + C2/),

Eelast (h(t)) < edtEelatt (h(0)). (16)

elast^ V '' elast

Следовательно, градиент смещения ведёт себя следующим образом:

J|Vh|2 dx < 2edltEdast(h(0))

в любой момент времени t > 0 .

Если в > 1, то из (14), с учетом неравенства (15), получаем:

^(h(t)) < d2Efjast(h(t)), d2 = 2ввCi (l + Co2e), откуда находим следующую оценку:

Eelast (h(t)) <-(h(0))-—, (17)

(1-W-1) E& (h(0))t ) 1

которая остается справедливой вплоть до некоторого момента времени

* 1

T =—,-r-a-i-, (18)

d2 (в- 1)Eet(h(0))

а при t ^ T* она разрушается. Таким образом, (17) дает нам оценку сверху для поведения градиента смещения, т.е.

j|Vh|2 dx <-2Ееш(h(0))-- для всех 0 < t < T*.

(1 - d2(ft-1) Ев-, (h(0))t )d

Причем, при t ^ T горный массив может претерпевать существенные тектонические нарушения.

Как следствие вышеизложенных рассуждений можно заключить, что для упругой энергии Eelast (h(t)), которая не учитывает влияние внешних сил, закон сохранения энергии нарушается.

3. ПОСТРОЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ДИАГРАММЫ

В этом разделе мы будем рассматривать полную энергию открытой системы: E(h(t)) := 2 h? + |Vh|2 вh2 + вhДdx,

которая в отличие от Eelast (h(t)) сохраняет энергетический баланс. Умножим уравнение (12) на ht и проинтегрируем его по области Q . В результате получим:

1d j( +|vh|2 )dx = в—j hp+ldx - в d J hedx, 2 dt в +1 dt в dt

откуда находим, что

1 d гГ, 2 imi2 2c , в 2c2 , д^, „ d

2 dt

LVl ? 11U

h2 +|Vh|2 -д2^ h2 + в h2

dx = 0 o — E (h(t)) = 0. dt

Таким образом, после интегрирования по времени, мы получаем закон сохранения полной энергия системы, т. е.

E (h(t)) = E (h(0)), (19)

где, с учетом (13),

E (h(0)) = 2 jfh2(x) + |Vh0(x)|2 --2+1 h0e+\x) + в ho (x) V (20)

Из теории бинарных систем, хорошо известно, что знак начальной энергии системы существенно влияет на ее поведение, например, если начальная энергия отрицательна, то это приводит к фазовому переходу. Применительно к нашей ситуации, это означает следующее: если Е(^(0)) < 0, то в системе, при определенных значениях параметров, возможен быстрый рост градиента амплитуды инверсионного подъема.

Как было показано в предыдущем разделе, случай 0 < в < 1 и в > 1 существенно отличаются. Для 0 < в < 1 была показана ограниченность градиента смещения на любом фиксированном временном интервале, а для в > 1 была установлена ограниченность этого градиента только до некоторого момента времени Т (см. (18)). Ниже, мы расширим результаты предыдущего анализа, принимая во внимание закон сохранения полной энергии системы (19), и проведем более детальную классификацию возможного поведения градиента смещения.

Итак, из (19), применяя (15), мы находим, что

2 + \Щ2) = ¡(-в- кв+ - в И Сх + Е (А(0)) <

<

в +1 в

, св+1 , - ■ в+1

1 -т*

|Ив+С + Е(к(0)) < в-((¿|2 dx) 2 + Е(ВД).

Отсюда, мы получаем следующее неравенство для градиента:

( в +1 ■ 'в-Г

сСв+1

в+1

V

2сС0в+

1^0

--((¿|2 сх) 2 |||Уй|2сХ < Е(А(0)). (21)

В начале, проанализируем оценку (21) для случая 0 < в < 1 • В зависимости от

значений начальной энергии возможны пять различных ситуаций:

2

* (1 -в)( с С+'р

1) если Е(А(0)) < Е =--—1)-< 0, то неравенство (21) не

выполняется, а следовательно не существует универсальной (независящей от времени) оценки градиента решения;

2) если Е(й(0)) = Е , то градиент решения в точности равен

2

||УА|2 Сх = (с1С0в+1)1-в в любой момент времени I > 0;

3) если Е < Е(й(0)) < 0, то градиент решения имеет двухстороннюю оценку при любом t > 0, а именно,

а1 < 2Сх < а2,

где постоянные 0 < а1 < а2 <

( 2сСв+1 V

в +1

зависят от значения начальной

энергии Е(И(0));

4) если Е(И(0)) = 0, то имеет место оценка градиента решения сверху

||УИ|2 йх

<

( 2еСГ ^ в +1

1-е

при любом I > 0;

5) если Е(И(0)) > 0, то градиент решения ограничен сверху 2йх < а3,

при любом I > 0, и постоянная а3 >

( 2сСв+1 ^ 1

1-е

зависит от Е(И(0)) .

Таким образом, в случае 0 < в < 1 и Е(И(0)) > Е*, мы получим, что градиент

всегда ограничен сверху, а в силу теоремы вложения Соболева Ж (О) ^ С (о) (см. [8]), и амплитуда тоже, т.е.

| И |< С <<х>.

Теперь проанализируем оценку (21) в случае в > 1. В зависимости от значений начальной энергии возможны три ситуации:

1) если Е(И(0)) > 0, то градиент решения в любой момент времени t > 0 не имеет универсальной оценки сверху;

2) если Е(И(0)) = 0, то градиент решения ограничен снизу

||УИ|2 йх

(

в +1

2

2с ср+1

при любом t > 0;

3) если Е(И(0)) < 0, то градиент решения имеет оценку снизу 2йх > а4

2

( 1 У-1

при любом t > 0, где постоянная а4 >

2С Св+1 1^0

зависит от Е(И(0)) .

Итак, в случае в > 1 и Е(И(0)) < 0, мы получим, что градиент всегда ограничен снизу, т.е. ||УИ|2 йх > С > 0.

Осталось рассмотреть случай, когда в = 1. Из оценки (21) мы получим, что х\Щ2 йх < Е(И(0)) , 1 С С в+1

I

где X = —

2 в +1

. Отсюда, в свою очередь, мы устанавливаем, что

2

2

1) если х> 0 и E(h(0)) < 0, то J|Vh|2 dx не имеет универсальной верхней оценки;

2) если х> 0 и E(h(0)) = 0, то J|Vh|2 dx = 0, откуда следует, что

h=cons,

3) если X > 0 и E(h(0)) > 0, то j|Vh|2 dx < —^iC^E(h(0));

p + 1 2C1C0

4) если x < 0 и E(h(0)) < 0, то j|Vh|2 dx > - 2 \ _ E(h(0)) ;

2C1C0 P 1

5) если x < 0 и E(h(0)) > 0, то J|Vh|2 dx не имеет универсальной верхней оценки.

Представим, полученные в разделах 2 и 3, результаты в виде сводной таблицы: _Таблица 1.

E (h(0)) J|Vh|2 dx

0 <р< 1

E(h(0)) < E* < 0 Квалифицированная оценка сверху на любом фиксированном временном интервале

E (h(0)) = E* 2 =(^гр

E* < E(h(0)) < 0 Универсальная двухсторонняя оценка сверху и снизу

E(h(0)) > 0 Универсальная оценка сверху

P> 1

E(h(0)) > 0 Квалифицированная оценка сверху локальная по времени

E(h(0)) < 0 Универсальная оценка снизу и оценка сверху локальная по времени

P = 1

X > 0, E(h(0)) < 0 Квалифицированная оценка сверху на любом фиксированном временном интервале

X > 0, E(h(0)) = 0 = 0

X > 0, E(h(0)) > 0 Универсальная оценка сверху

X < 0 , E(h(0)) < 0 Универсальная оценка снизу и квалифицированная оценка сверху на любом фиксированном временном интервале

X < 0 , E(h(0)) > 0 Квалифицированная оценка сверху на любом фиксированном временном интервале

ВЫВОДЫ

Рассмотренную математическую модель горного массива можно считать универсальной. При задании соответствующих геометрических параметров и краевых условий, эту данную модель можно использовать при исследованиях динамики горных массивов в любой области земного шара.

Хорошо известно, что тензор деформаций H и тензор напряжений P линейно связаны друг с другом законом Гука:

P = Лв1 + 2ßH

где Ли ß параметры Ламе, д - изменение объема, J - единичная матрица. В ситуации когда объем не изменяется ( д = 0 ), мы получим более простую связь между H и P, а именно, P = 2 ßH . Таким образом, определяя поведение градиента вертикального смещения (который связан с тензором деформаций H ) мы тем самым определяем поведение соответствующих напряжений в горном массиве. Найденная зависимость между значением начальной энергии системы и поведением градиента вертикального смещения (см. Таблица 1), а как следствие и самого вертикального смещения, позволяет получать информацию о поведении напряжений внутри горного массива.

Список литературы

1. Таранец Р. M., Привалов В. А., Приходько С. Ю. Новый подход к оценке влияния внешних и внутренних сил на поведение горного массива" // Проблеми екологи. - Донецьк : ДонНТУ, 2007, № 12, С. 4б-50.

2. Таранец Р. M., Привалов В. А., Приходько С. Ю. Об одном из аспектов нелинейной геодинамики: влияние массовых сил на тектоническое поведение земной поверхности на примере Донецкого бассейна / Наукови пращ Донецького национального техничного ушверситету. Серш: "Прничо-геолопчна". Випуск №б (125). - Донецьк, ДВНЗ "ДонНТУ", 2007. - С. 205-210.

3. Приходько С. Ю., Таранец Р. M. Исследование влияния внешних и внутренних сил на поведение горного массива // Mатериалы 11-й международной конференции "Геоинформационные технологии в управлении территориальным развитием", Ялта. - 200S.

4. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. M. : M^. 1972. - С. 5SS

5. Segal I.E. The global Cauchy Problem for a relativistic scalar field with power interaction // Bull. Soc. Math. France, V. 91 (19б3), Р. 129-135.

6. Кутателадзе С. С. Анализ подобия и физические модели. - Новосибирск: Наука, 19S6. - С. 295

7. Гухман А. А. Введение в теорию подобия. M. , Высшая школа. - 1973. - С. 29б S. Mазья В.Г. Пространства Соболева. Л. ,19S5. - С. 415

9. Тяпкин К.Ф. Физика Земли: Учебник. - К. : Вища шк., 1998. - С. 312

10. Приходько С.Ю., Панов Б. С. Новый подход к описанию геодинамической модели горного массива // Доповщ i поввдомлення 4-1 Мйжнародно! науково! конференци 21-25 квггня 2005 р. у м. Донецьку. - С. 139-141.

11. Мельхиор П. Земные приливы. М. , Мир. - 1968. - С. 482

Приходько С. Ю., Таранець Р. М., MaTBieHKO С.А. Новий тдхвд до аналiзу поводження прського масиву // Вченi записки Тавршського нацiонального ушверситету iменi В.1. Вернадського. Сер1я: Географiя. - 2009. - Т.22 (61). - №1 - С. 79-89.

Запропоновано математичну модель, що описуе поводження прського масиву при впливi на нього масових сил. Знайдено умови на параметри завдання при яких можливi геотектонические порушення. Ключовi слова: модель прського масиву,флуктуаци,релятивютсью ефекти.

Prihodko S. J., Taranets R.M., Matvienko S.A. The new approach to the analysis of behaviour of the hills // Scientific Notes of Taurida V. Vernadsky National University. - Series: Geography. - 2009. - Vol. 22 (61). - №1 - P. 79-89.

The mathematical model describing behaviour of a hills at influence on it of mass forces is offered. Conditions on parameters of a problem are found at which geotectonic infringements are possible. Key words: model of a hills, fluctuation, relativistic effects.

Поступила в редакцию 22.04.2009 г.