Новый метод введения политропных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

621.1:621.43

НОВЫЙ МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПОЛИТРОПНЫХ ПРОЦЕССОВ

В.В. РЫНДИН

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова, КАЗАХСТАН

В термодинамику, по аналогии с теплоёмкостью, вводится новая физическая величина - «работоёмкость» как отношение работы процесса к изменению температуры. В качестве условия политропности процесса принимается постоянство работоёмкости для всего процесса — работы, совершаемой при изменении температуры на один градус. Даётся обобщение уравнения Майера на политропные процессы.

Ключевые слова: термодинамические процессы, политропный процесс, условие политропности процесса, работоёмкость, обобщённое уравнение Майера.

Введение

В учебниках по термодинамике уравнение политропного процесса

p un = const (1)

для реального газа вводится без вывода по аналогии с уравнением адиабатного процесса pvk = const получаемого из уравнения первого закона термодинамики (ПЗТ) для изоэнтропного процесса реального газа [1-3]. В работе [1] отмечается, что если показатель изоэнтропы (адиабаты) k является в общем случае величиной переменной, то уже само понятие политропного процесса основано на предположении о том, что показатель политропы n является постоянной величиной.

Введение политропных процессов было обусловлено необходимостью описания действительных газовых процессов сжатия и расширения, протекающих в двигателях внутреннего сгорания и компрессорах и занимающих промежуточное положение между изотермными и адиабатными процессами, т. е. процессов с показателем политропы 1 < n < к .

В случае идеального газа уравнение (1) выводится из уравнения ПЗТ. Рассмотрим такой вывод на примере работы [4] (некоторые буквенные обозначения нами изменены).

Если cn - удельная теплоёмкость политропного процесса, то Sq = cndT и уравнение ПЗТ преобразуется к виду

Sq = cndT = du + Sw = c^dT + pd и, (2)

или (cn - cv) dT = pd и .

Дифференцирование уравнения состояния идеального газа даёт выражение R dT = pd и + и dp. Из этого уравнения следует, что

dT = (pd и + и dp)/R . (3)

Поэтому

(cn - cv )(pd и + и dp)/R - pd и = 0,

или, после некоторых преобразований (с учётом уравнения Майера cp - cv = R ),

(cn - cp ) pd u + (cn - cu ) u dp =

Разделив оба члена полученного уравнения на выражение (cn - cv) p и и проинтегрировав

© В.В. Рындин Проблемы энергетики, 2013, № 5-6

[(cn — cp )/(cn — cu )]ln u+ ln p = const : получают уравнение политропы в виде

p u(Cn - Cp )/(Cn - ) = const,

или p un = const,

где n — показатель политропы, определяемый отношением

n = ^nZf-L. (4)

cn — cu

Как отмечается далее, уравнение (4) показывает, что политропным является такой термодинамический процесс изменения параметров состояния рабочего тела, в котором в течение всего процесса показатель политропы n остаётся постоянным.

Работа политропного процесса определяется путём сложного интегрирования, которое чаще всего опускается. Покажем один из способов такого интегрирования, опуская очевидные преобразования. Используя уравнение (1) в виде

p иn = p1 un = p2 = C, получим

2 2 i w = | pdи = C ju—n dи =--Cu—

-n +112 n—1 U |l =

1 .,n . -n +1 „ и. -n+1\

=--7 (p2u2 u2 — P1u1 U1 ) =

n—1

n—1 "

С n

p2

p1u1 — p2u2 1

1 , 2 = ~ AU n—1 n—1

1—

p1

(5)

Термодинамический процесс, чаще всего, определяется как последовательное изменение состояния системы в результате её взаимодействия с окружающей средой [4]. Такое определение процесса не является полным и его следует уточнить так: термодинамический процесс — это такой процесс, когда значения термодинамических величин или соотношений между этими величинами остаются неизменным на всём протяжении рассматриваемого процесса. В термодинамике можно выделить следующие методы конкретизации (задания) процессов:

1. Задание постоянства величин (параметров состояния), используемых для расчета изменения внутренней энергии (ВЭ), теплоты и работы, входящих в уравнение ПЗТ: X = p, и, T, s = const. Такой метод задания процессов приводит к введению в термодинамику так называемых изопроцессов: изобарного, изохорного, изотермного и изоэнтропного (адиабатного без трения). Данный метод конкретизации процессов применим как к идеальному, так и к реальному газу.

2. Задание постоянства для всего процесса доли теплоты, идущей на изменение ВЭ тела (задание коэффициента а распределения теплоты между изменением внутренней энергии и работой [3]):

а = du/bq = const. (6)

В случае идеального газа такое задание процесса означает задание постоянства как отношения теплоёмкостей, так и самих теплоёмкостей [1, 3]:

а = cD / cn = const.

Именно соотношениями (6) чаще всего и определяется политропный процесс. Так, в учебнике [4, с. 112] отмечается, что "... при п = const и k = const политропному

процессу может быть дано и другое определение: политропным процессом считается такой термодинамический процесс изменения параметров состояния рабочего тела, при котором в течение всего процесса во внутреннюю энергию превращается одна и та же доля подведённой от горячего источника теплоты". Здесь же отмечается, что при k Ф const и n Ф const, т. е cv = f (T) условия политропности процесса (6) не выполняются. И тем не менее, в термодинамике рассматриваются политропные процессы, протекающие при переменных значениях теплоёмкостей. Следовательно, условие политропности (6) не является всеобщим.

Новый метод конкретизации процессов реальных газов основан на задании постоянства работ, совершаемых при изменении температуры рабочего тела на один градус. Отношение работы (удельной) изменения объёма к изменению температуры, по аналогии с теплоёмкостью, назовём работоёмкостью1 (удельной) изменения объёма, или хорической работоёмкостью (Дж/(кгК):

cw = c~w = Sw/dT = p d и /dT. (7)

Отношение работы изменения давления (в потоке она имеет смысл работы по

2ч

перемещению элемента среды как целого ) к изменению температуры назовём работоёмкостью изменения давления, или барической работоёмкостью (Дж/(кгК):

cw = Swp /dT = -и dp/dT. (8)

Исходя из понятия работоёмкости, условие постоянства работ изменения объёма и давления при изменении температуры на один градус при протекании политропных процессов можно сформулировать кратко как условие постоянства хорической и барической работоёмкостей:

cw = p d и /dT = const, cw =- и dp/dT = const. (9)

Отношение барической и хорической работоёмкостей также будет постоянной величиной. Обозначив это отношение символом n, получим

cw Swp - и dp n = — =-=-— = const. (10)

c Sw pdи

<-w f

Из соотношения (10) сразу следует известное дифференциальное уравнение политропного процесса:

d и dp „

n— + — = 0, и p

интегрирование которого приводит к интегралу (1). Следовательно, условия постоянства работоёмкостей (9) и их отношения (10) являются необходимыми и достаточными условиями политропности процессов реальных газов, описываемых уравнением (1).

Выражая работу изменения объёма как разность теплоты и изменения ВЭ из уравнения ПЗТ в виде (2), а работу изменения давления как разность теплоты и изменения энтальпии из уравнения ПЗТ в виде

Sq = dh + Swp = dh - и dp

1 Термин «работоёмкость» столь же условен, как и термин «теплоёмкость». Термин «теплоёмкость» (capacity for heat - ёмкость для тепла), как дань вещественной теории тепла, ввёл Д. Блэк (1728 - 1779).

2 Эту работу часто называют располагаемой или технической работой; критика этих и других терминов дана в работах [5, 6].

© Проблемы энергетики, 2013, № 5-6

и подставляя эти работы в (10), получим условие политропности процессов для реальных газов в таком виде:

cW Sq - dh

n = -= const. (11)

c

w

Sq - du

В случае идеального газа изменения энтальпии и внутренней энергии определяются выражениями dh = cpdT и du = c^dT , и соотношение политропности

(11) принимает вид (4)

cW Sq - dh cn- cp . n = —— = —--=-— = const. (12)

cw Sq - du cn - cv

Отношение разностей теплоёмкостей в (12) будет постоянным, если постоянны эти разности в числителе и в знаменателе (при этом все теплоёмкости могут зависеть от температуры cn (T), c^(T), cp (T), либо быть постоянными величинами). Поэтому

условие политропности процесса (12) можно разбить на два условия:

cn -cv = cw = const, (13)

cn - cp = cW = const. (14)

Таким образом, разности теплоёмкостей, стоящие в выражении (4), приобретают смысл работоёмкостей, численно равных работам изменения объёма и давления при изменении температуры на один градус.

По аналогии с уравнением Майера cp - cv = R = const в качестве константы в

(13) можно взять величину, пропорциональную удельной газовой постоянной R:

cn - c^ = yR = cw = const. (15)

Уравнение (15) можно назвать обобщённым уравнением Майера. Связь коэффициента y с показателем политропы n можно установить после расчёта хорической работоёмкости, которая определяется из уравнения (7) путём замены dT с помощью выражения (3) и с учётом (10):

cw = pd и /dT = R pd и /(pd и + и dp) = R/[1 + и dp/(pd и)] = -R/(n -1). (16) Сравнивая (15) и (16), получаем y=-1/(n -1) и обобщённое уравнение Майера (15) принимает такой вид:

R

cn - cu =--7 = cw . (17)

n-1

В случае изобарного процесса n = 0 и уравнение (17) переходит в уравнение Майера:

cp - cu = R = cw = cWp .

Следовательно, в случае изобарного процесса хорическая работоёмкость равна удельной газовой постоянной cWp = R или численно равна удельной работе изменения

объёма при изменении температуры на один градус.

В случае изохорного процесса cn = cи, n = ±<х> хорическая работоёмкость равна нулю cWv = 0, то есть работа изменения объёма здесь не совершается.

В случае адиабатного процесса cn = 0, n = к хорическая работоёмкость равна изохорной теплоёмкости, взятой с противоположным знаком: cw = -c^, то есть

работоёмкость адиабатного процесса является отрицательной величиной.

В случае изотермного процесса п = 1 и работоёмкость, как и теплоёмкость, равна бесконечности.

Для барической работоёмкости уравнение, аналогичное (17), можно получить путём совместного решения уравнений (10) и (17):

Введение понятия работоёмкости, как отношения работ к изменению температуры (7) и (8), позволяет без сложного интегрирования выражений для работ pd и (5) и и dp получить интегральные выражения для этих работ в виде произведений соответствующих работоёмкостей на изменение температуры рабочего тела в политропном процессе:

* =Г2 pd и = с„ т - 31) = *- т - т2) = М(1 - ад = ^[1 - ], (18)

-11 п -1 п -1 п -1

=_Г2иdр = 4(Т2 - Т1) = (Т -Т2) = —л Л71(1 - Т2/Т1) = —л Р№[1 - (Р2/Р1)(п-1)/п]

п-1 п-1 п-1

(19)

В случае адиабатного процесса, протекающего при постоянном значении показателя адиабаты к, в этих выражениях п следует заменить на к.

Выводы

1. Используемое в термодинамике условие политропности процесса в виде постоянства отношения изменения ВЭ к теплоте процесса (6) в случае идеального газа приводит к требованию постоянства теплоёмкостей и их отношения; в то же время в термодинамике рассматриваются процессы и при переменных значениях теплоёмкостей. Следовательно, условие политропности процесса (6) не является общим.

2. В качестве нового условия политропности процесса вводится требование постоянства отношения работ изменения объёма и давления к изменению температуры на всём протяжении процесса (9) и, как следствие, к постоянству отношений этих работ (10); последнее соотношение приводит к уравнению политропы (1), справедливому и для реальных газов.

3. По аналогии с теплоёмкостью, определяемой как отношение теплоты к изменению температуры с = Sq/dT, для сокращения словосочетаний «отношение работы изменения объёма к изменению температуры» и «отношение работы изменения давления к изменению температуры» вводятся схожие обозначения и термины:

с^ = р d и /dT - «хорическая работоёмкость», с^Р = -и dp/dT - «барическая

работоёмкость». Это позволяет сформулировать условие политропности в виде постоянства хорической и барической работоёмкостей (9).

4. Требование постоянства работоёмкостей в случае идеального газа приводит, согласно ПЗТ, к постоянству разностей теплоёмкостей (но не самих теплоёмкостей)

(13) и (14).

5. Постоянство разности политропной и изохорной теплоёмкостей можно рассматривать в качестве обобщённого уравнения Майера (15) и (17).

6. Введение понятия работоёмкости позволяет, с одной стороны, рассчитывать работы, как и теплоту q = сп (Т2 - Т^), по изменению температуры газа ^ = с№ (Т2 - Т[)

и wp = cW (T2 - T) (что само по себе имеет познавательное значение), а с другой

стороны, получать формулы для расчёта работ, не прибегая непосредственно к интегрированию дифференциальных соотношений для этих работ (18), (19).

Summary

In thermodynamics, by analogy to a heat capacity, the new physical magnitude — "work capacity" as the ratio of work of process to change of temperature is entered. As a condition of polytropic process the constancy of work capacity for all process — the work made at change of temperature on one degree — is accepted. Generalization of the equation of Mayer on polytropic processes is given.

Key words: thermodynamic processes, polytropic process, a condition of polytropic process, work capacity, Mayer's generalized equation.

Литература

1. Кириллин В. А., Сычев В. В., Шейндлин А. Е. Техническая термодинамика: Учеб. для маш. спец. вузов. Изд. 2-е. М.: Энергия, 1974. 448 с.

2. Теплотехника: Учеб. для вузов / В.Н. Луканин, М.Г. Шатров, Г.М. Камфер и др.; Под ред. В.Н. Луканина. М.: Высш. шк., 2000. 671 с.

3. Мазур Л.С. Техническая термодинамика и теплотехника: Учебник. М.: ГЭОТАР-МЕД, 2003.

352 с.

4. Техническая термодинамика: Учеб. для машиностроит. спец. вузов /В.И. Крутов и др.3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1991. 384 с.

5. Рындин В. В. Понятие располагаемой работы в термодинамике // Энергетика (Изв. высш. учеб. заведений). 1991. № 4. С. 84-89.

6. Рындин В. В. Понятие работы - и dp в термодинамике // Энергетика (Изв. высш. учеб. заведений). 1991. № 10. С. 64-68.

Поступила в редакцию 27 августа 2012 г.

Рындин Владимир Витальевич — канд. техн. наук, профессор кафедры «Механика и нефтегазовое дело» Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова (ПГУ). Тел.: (7182) 453331. E-mail: publish@psu.kz.