Математическое моделирование термодинамических процессов в пневматических элементах с воздушным демпфированием Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62-567.5:536-3

Е. В. КЛИМЕНТЬЕВ

B. С. КОРНЕЕВ

C. А. КОРНЕЕВ

Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск

Омский государственный технический университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ С ВОЗДУШНЫМ ДЕМПФИРОВАНИЕМ

На основе общих положений механики сплошной среды и ряда упрощающих допущений предложен инженерный метод расчета термодинамических параметров газа в пневмоэлементе с воздушным демпфированием для гашения колебаний в подвесках автотранспортных средств и системах амортизации стационарных объектов. Введено понятие структурного (внутреннего) параметра, характеризующего текущее состояние клапанного устройства. Теплообмен с окружающей средой описан по закону политропного процесса. Уточнены условия существования установившегося режима работы.

Ключевые слова: пневматический элемент, воздушное демпфирование, математическое моделирование, скачок энтропии.

Введение. Обзор литературных источников (см., например, [1—9]) показывает, что перспективным направлением развития систем амортизации стационарных объектов и передвижных самоходных установок для транспортировки крупногабаритных изделий является применение упругих и упругодемпфирующих пневматических элементов с воздушным демпфированием (пневмопружин и пневмоамортизаторов соответственно), не уступающих по своей эффективности традиционным упругим элементам (винтовым пружинам, листовым рессорам, торсионам и т.п.), работающим совместно с гидравлическими амортизаторами для демпфирования колебаний.

Типовая конструкция пневматического упру-годемпфирующего элемента (пневмоэлемента) состоит из крышки 1, резинокордной оболочки 2, плунжера 3, клапанного устройства 4 (рис. 1). Внутренняя полость плунжера 3 образует дополнительный объём V. Полость, заключённая между крышкой 1, резинокордной оболочкой 2 и плунжером 3, образует рабочий объём V. При движении корпуса 1 относительно плунжера 3 рабочий объём V изменяется за счёт перекатывания резинокордной оболочки 2 по боковым поверхностям корпуса 1 и плунжера 3, которые в общем случае могут быть криволинейными (на рис. 1 показан один из простейших вариантов). Клапанное устройство (клапан) 4, имеющее специальное (механическое или электромагнитное) управление, служит для сообщения (разобщения) рабочего и дополнительного объёмов в определённых положениях относительного движения корпуса 1 и плунжера 3. При включении клапана 4 газ практически без сопротивления пере-

текает из одного объёма в другой, благодаря чему происходит выравнивание давления и плотности газа, обеспечивающее эффект воздушного демпфирования.

Алгоритм управления клапаном 4 может быть организован по-разному. Зачастую реализуется алгоритм, когда клапан 4 включается в тех положениях, в которых направление относительного движения корпуса 1 и плунжера 3 меняется на противоположное [2, 3]. Через некоторый промежуток времени (малый по сравнению с периодом колебаний, но достаточный для выравнивания давления и плотности) клапан 4 выключается, разобщая рабочий и дополнительный объёмы. По второму алгоритму клапан 4 включается в начале хода сжатия и выключается в его конце

Рис. 1. Типовая схема упругодемпфирующего пневмоэлемента

V.

р

min

mm

V.

min

max

mm

mm

Рис. 2. Рабочие диаграммы упругодемпфирующего пневмоэлемента, соответствующие алгоритмам управления клапаном:

а — первому; б — второму; в — третьему

(или, другими словами, включается в конце хода отбоя и выключается в начале следующего хода отбоя) [1]. По третьему алгоритму клапан 4 включается при прохождении фиксированного (обычно среднего) положения корпуса 1 относительно плунжера 3 и выключается в момент смены направления относительного движения корпуса 1 и плунжера 3 на противоположное [8, 10]. Возможны и многие другие алгоритмы (механического, электромагнитного и т.п.) управления клапаном [9].

Рабочие p—V диаграммы, соответствующие указанным трём алгоритмам управления клапаном, представлены на рис. 2. При их построении режим работы пневмоэлемента полагался установившимся (при периодическом изменении рабочего объёма V между своими минимальным и максимальным значениями индикаторные диаграммы замкнутые), а время выравнивания давления после включения клапана — пренебрежимо малым.

Площадь петли гистерезиса (рис. 2) определяет количество энергии, диссипатируемой за один период колебаний. При установившемся режиме работы пневмоэлемента выделяющаяся теплота отводится в окружающую среду. Очевидно, что в случае адиабатической изоляции пневмоэлемен-та установившийся режим существовать не может. Поэтому когда ставится цель по разработке упруго-демпфирующих пневмоэлементов, не уступающих по эффективности демпфирования гидравлическим амортизаторам, тогда требуется достаточно полное теоретическое и экспериментальное исследование не только силового, но и теплового режима работы пневмоэлемента.

В настоящее время при инженерном расчёте характеристик пневматических амортизаторов полагается, что газодинамические процессы между коммутациями рабочего и дополнительного объёмов можно считать изотермическими [2] или адиабатическими [3]. С другой стороны, газодинамические процессы в пневматических пружинах рассматриваются как политропные процессы, показатель n которых зависит от скорости протекания процесса. Согласно [4] если сжатие газа (воздуха) происходит достаточно медленно (квазистатическое приложение нагрузки), то процесс можно считать изотермическим и n = 1.

При динамическом приложении нагрузки, которое в действительности имеет место при колебаниях, показатель политропы возрастает. Максимальное его значение, соответствующее адиабатическому процессу, для двухатомных газов, в том числе для воздуха, может быть принято 1,4. При колебаниях средней интенсивности рекомен-

дуется экспериментальное значение показателя политропы 1,3 [5] или 1,25 [11].

В этой связи актуальной является задача построения и всестороннего анализа математической модели пневматических элементов с воздушным демпфированием, которая объединяет и обобщает в себе существующие инженерные методы расчёта, основанные на (явном или неявном) предположении, что теплообмен с окружающей средой подчиняется закону политропного процесса. Это позволит прояснить ряд вопросов, которые не ставились в [1-3; 7-9].

1. Общие положения механики сплошной среды. Любой инженерный метод расчёта пневматических элементов (пневмопружин и пневмоамортизаторов) базируется на принятии тех или иных упрощающих допущений. Прежде чем их явно сформулировать, обратимся к некоторым общим положениям механики сплошной среды [12-14].

Пусть V — некоторый индивидуальный объём среды постоянной массы т. Для него по закону изменения энергии (первому началу термодинамики)

dE = dQext + dAx ,

(1)

где (Е — приращение полной энергии за время dt; ((О™1 — элементарное количество теплоты, подведённой от внешних источников; ((Аех1 — работа внешних сил, приложенных к объёму V. Полная энергия Е складывается из кинетической энергии К и внутренней энергии и: Е = К+и. Следовательно,

dE = dK + d^.

(2)

По теореме об изменении кинетической энергии АК = АЛ"' + АЛ'"'. (3)

Работа внутренних сил определяется как

интеграл по объёму V:

dA"" = -dt J tr(TVv)dV,

(4)

где T — тензор напряжений, Vv — градиент скорости среды v, — след тензора А, ё1 V — элементарный объём среды.

Перенос массы описывается уравнением неразрывности

— + ptr(Vv) = 0 , dt

(5)

где р — плотность среды.

Вычтем из (1) уравнение (3) и примем во внимание (2). Придём к теореме об изменении внутренней энергии

dU = dQ- dA'"1.

(6)

— газовая постоянная; с^ ср — удельные (на единицу массы) изохорная и изобарная теплоёмкости газа. Из теоремы об изменении внутренней энергии (6) совместно с (8) вытекает первое начало равновесной термодинамики

Согласно современным взглядам, соотношения (1) — (6) справедливы для любых процессов в сплошных средах.

Примем предположение, что тензор напряжений Т ^ - р1, где р — давление, I — единичный тензор. Тогда с учётом (5) выражение (4) для работы внутренних сил запишется следующим образом:

dA"

= -f p dp d'Y.

Y р

(7)

dA'

_p d£f d Y = -p dP Y = pdY,

p Y p

dP

(8)

dQet = mcdT.

(9)

Здесь dQex

dQ"" = adA'" =apdY.

(10)

U = mcvT, pY = mRT , где по уравнению Майера

R = cp - c

(11)

(12)

dQeX = dU + pdY. (13)

Подставляя в (13) выражения (9), (11), получаем

dT _ R dY

T ~ c - с Y '

(14)

Точно так же, подставляя в (13) альтернативное выражение (10), находим

Если принять дополнительное предположение, по которому в каждый момент времени I распределение давления р и плотности р по объёму V является близким к равномерному, то тогда из (7) будем иметь

dT / aR dY — = (a-1)--—.

T с Y

(15)

Интегрирование дифференциального уравнения (14) или (15) совместно с термическим уравнением состояния (11) приводит к уравнению политропы

где dV — приращение объёма V за время dt. При выводе (8) было учтено, что по последнему предположению р = m/V и поэтому

.(m \ dY dY dp = dl — I = -m—- = -p-,

{Y J Y2 Y

ибо для индивидуального объёма среды m = const.

2. Понятие политропного процесса. Как уже отмечалось, при описании термодинамических процессов в газах, протекающих, например, в пнев-моэлементах и поршневых компрессорах, широко используется понятие политропного процесса, частным случаем которого являются изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процессы. В этой связи для дальнейшего изложения крайне важно уточнить основные положения, лежащие в основе понятия политропного процесса.

По определению политропным называется квазистатический процесс с постоянным значением теплоёмкости [15—17]:

t=To i Y

p=p„

где с учётом уравнения Майера (12)

■ = а— k (а -1)

(16)

(17)

— показатель политропы; к = с / с — показатель

11 р V

адиабаты; р0, Vg, Т0 — давление, объём и абсолютная температура в некотором фиксированном состоянии газа, имеющем место при протекании по-литропного процесса.

И хотя полученные выражения (16) относятся к квазистатическим процессам в газах, они с успехом применяются в инженерной практике при описании динамических процессов в газах.

3. Упрощающие допущения. Сформулируем упрощающие допущения, принятия которых достаточно для проведения инженерного расчёта термодинамических параметров газа в пневматическом элементе с воздушным демпфированием.

1. Рабочее тело в пневмоэлементе является невязким, идеальным газом:

количество теплоты, подводимой к

T = - pi, pY = mRT , U = mcvT.

(18)

газу массы т от внешних источников, с — удельная (на единицу массы) теплоёмкость процесса, dT — приращение абсолютной температуры газа Т в ходе процесса. Альтернативным является определение, по которому количество подводимой теплоты dQe*f и совершаемая газом работа dJ4шf = pdV из (8) прямо пропорциональны друг другу с постоянным коэффициентом пропорциональности а [18]:

2. Клапанное устройство (клапан) является идеальным в том смысле, что при его включении процесс выравнивания давления и плотности происходит мгновенно и полностью. В моменты времени непосредственно перед включением и сразу после включения клапана кинетическая энергия газа пренебрежимо мала по сравнению с его внутренней энергией:

E = K + U = U.

(19)

Для идеальных (совершенных [19]) газов калориметрическое и термическое уравнения состояния имеют вид

3. В промежутках времени, когда клапан нормально включен или нормально выключен, распределение давления и плотности в рабочем и дополнительном объёмах равномерное, а теплообмен с окружающей средой подчиняется закону поли-тропного процесса:

dQвй = mcdT.

(20)

n-1

c — c

p

" =

cc

v

Допущения (18), (20) объединяют и обобщают в себе существующие инженерные методы расчёта пневматических элементов с воздушным демпфированием [2, 3] и без него [4, 5]. С термодинамических позиций [15-17, 20, 21] принятые допущения фактически означают, что быстропротекающий процесс выравнивания давлений и плотности, протекающий в рабочем и дополнительном объёмах сразу после включения клапана, является сугубо неравновесным, тогда как термодинамические процессы (в рабочем и дополнительном объёмах) во все остальные моменты времени носят обратимый характер, подчиняясь первому и второму началам термодинамики равновесных процессов:

Аи = А^ - рА V, = Ж ,

где 5 — энтропия газа. В равновесных условиях удельная (на единицу массы) энтропия газа в = 5 / т определяется формулой [15-17, 21]

5 = 5 + с„1п(7 X)-Д1п(р/р0),

(21)

5 = су1пТ - Лпр.

(22)

стоит в том, что после «коммутации» в понимании работ [2, 3] клапан всегда выключен (рабочий и дополнительный объёмы разобщены), тогда как после «переключения» клапан может оставаться как во включенном состоянии, так и в выключенном состоянии в зависимости от того, по какому алгоритму осуществляется управление клапанным устройством пневмоамортизатора (см. рис. 2).

4.1. Параметризация структуры пневмоаморти-затора. Чтобы описать в математической форме работу пневмоамортизатора, введём в рассмотрение структурный (внутренний) параметр %, характеризующий текущее состояние клапанного устройства пневмоамортизатора:

Х =

1, клапан включен (окрът), 0, клапан выключен (закрыт).

Изменение структуры пневмоамортизатора определяется величиной

где — удельная энтропия в стандартном состоянии газа при температуре Т0 и плотности р0, значения которых могут быть выбраны произвольно. Без ограничения общности можно принять в0 = сЫТ0 - Шпр0. Тогда формула (21) примет более простой вид

где

А%(' ) = %(' + 0)-х(' " 0),

%{' - 0) = 1Цх(' - е)], %{' + 0) = Нш|х(' + е)]

4. Математическое моделирование термодинамических процессов. Работа пневмоамортизатора сопровождается чередованием последовательных включений и выключений клапанного устройства (клапана), что изменяет характер протекания термодинамических процессов в рабочем и дополнительном объёме. Особо выделяются моменты включения (открытия) клапана, так как сразу после включения клапана протекает сугубо неравновесный процесс, в ходе которого происходит интенсивное, практически мгновенное (согласно принятым допущениям) смешение газов в рабочем и дополнительном объёмах, приводящее к полному выравниванию давлений и плотности газа. Во все остальные моменты времени газ в рабочем и дополнительном объёмах находится состояниях термодинамического равновесия, описываемых (согласно принятым допущениям) уравнениями политропы (16).

Другими словами, если обозначить через t (о = 0, 1, 2, ...) моменты времени срабатывания клапана (моменты включения-выключения или, что то же самое, моменты открытия-закрытия), то следует выделить идеализированный мгновенно протекающий в момент времени t = tо термодинамический процесс при переключении клапана, который начинается, идёт и заканчивается в течение нулевого промежутка времени ^ , t +0], и термодинамический процесс между переключениями клапана, имеющий место во все остальные моменты времени.

Замечание. Чтобы избежать возможных недоразумений, следует отличать термин «переключение» от термина «коммутация», который используется в работах [2, 3] в понимании термина «включение клапана и мгновенное последующее выключение клапана». Итоговый результат «коммутации» такой же, как при «включении клапана»: полное выравнивание давлений и плотности газа в рабочем и дополнительном объёмах. Отличие со-

— левый и правый пределы функции для момента времени t. В моменты времени tо < К между переключениями клапана = 0, в мо-

мент времени t = t при включении клапана = 1 > 0, а при выключении = -1 < 0.

С течением времени рабочий объём пневмо-амортизатора меняется непрерывно. Поэтому левый и правый пределы функции V(t) в момент времени t = ^ равны друг другу: V(tо - 0) = V(tо + 0), т.е. сразу после переключения клапана рабочий объём пневмоамортизатора имеет такое же значение, как непосредственно перед переключением клапана. В дальнейшем будем использовать обозначение Vо = V(tо) для рабочего объёма пневмоамортизатора в момент времени t = tо.

4.2. Расчёт массы газа. Обозначим через т и тг массу газа в рабочем и дополнительном объёмах соответственно. По закону сохранения массы

т = т+т„,

(23)

где тх — суммарная масса газа в пневмоамортиза-торе (постоянная величина по причине отсутствия утечек газа). Для моментов времени tо < К между переключениями клапана, когда = 0,

можно записать

4 ) =

V (')+У

у ('), х = 1;

( Ах(') = 0 ) (24)

У + У

У, х = 0.

Верхнее выражение (24) соответствует случаю, когда клапан открыт (включен) и поэтому плотность газа в рабочем и дополнительном объёмах одинаковая. Нижнее выражение (24) отвечает случаю, когда клапан закрыт (выключен), поэтому масса газа в рабочем объёме такая же, как в момент времени ^сразу после (или непосредственно перед) последнего переключения клапана из состояния «включен» в состояние «выключен».

Введём обозначения

т- = т{'„ - °), т1= + 0)

Ъ

т

Ъ

для массы газа в рабочем объёме непосредственно перед переключением клапана и сразу после переключения клапана соответственно. При > 0 для момента времени I = t , когда происходит включение клапана, согласно формуле (24)

та = т(1а- 0)| =

|%=о у , + V

у а-1 ~ у *

у-,

т+ = т{га+ 0)|

т.

Е

у„ + V.

-к.

т- = т(г.- °)|г=1

-V.,

т+= т(г„ + 0) =-V.

. V. Аг=0 у + V

+ V

до значения

К+ V,

тТ

V + V

■V,. (Дх(0< 0)

Массу газа в дополнительном объёме газа V. можно определить по формуле

т„ = т - т,

вытекающей из (23) либо из формул тт

т.

Л' ) =

V (г)+V

V,, Х = 1,

(Дх(' ) = 0)

К, х = 0,

+ V " л '

+ V,

V,, т+ =

К + V

К + V

V,, (Дх(0< 0),

г (г )=

V + V.

V (г)+V,

-1П—1

[V )_ ,

, х = 1,

х = 0,

( лх(г )=0 ) (33)

а для газа в дополнительном объёме

(25)

При < 0 для момента времени t = t , когда

подаётся команда на выключение клапана, по формуле (24) находим

т:

к + V V (г)+V,

Х = 0.

х = 1,

( А%(г ) = 0 ) (34)

(26)

Как видим из (25), при переключении клапана из состояния «выключен» («закрыт») в состояние «включен» («открыт») происходит скачкообразное изменение массы газа в рабочем объёме от значения

Верхние выражения в (33), (34) соответствуют случаю, когда клапан открыт (включен), поэтому газ в рабочем и дополнительном объёмах деформируется как единое целое. Нижние выражения в (33), (34) отвечают случаю, когда клапан закрыт (выключен) и поэтому деформируется только масса газа в рабочем объёме. Здесь и далее используются обозначения

г = т (га- 0), т;= т (га + 0)

(35)

^-1, (Лх(0> 0) (27)

V. ( Ах(га)> 0 ) (28)

Согласно (26) при обратном переключении клапана из состояния «включен» («открыт») в состояние «выключен» («закрыт») изменения массы газа в рабочем объёме не происходит:

(29)

для температуры газа в рабочем объёме непосредственно перед переключением клапана и сразу после переключения клапана соответственно.

Замечание. Так как объём V. постоянен, то температура в дополнительной полости пневмоа-мортизатора при закрытом клапане также является постоянной величиной, равной Тп+ согласно (34). Иными словами, принятие допущения (20) эквивалентно допущению об адиабатической изоляции дополнительного объёма при закрытом клапане, если только удельная теплоёмкость процесса с принимает конечные значения (неизотермический процесс).

Чтобы найти значения (35), рассмотрим сначала случай, когда в момент времени t = t происходит включение клапана: > 0 (рис. 3).

Непосредственно перед включением клапана ^ = ta — 0) газ в рабочей полости занимает объём Va и имеет массу то-, определяемую выражением

(27):

(36)

(30)

т~ = —— К,;

а V ч + V

его температура Та- на основании (33) равна

-1П-1

V-!

т~= т(г - 0)1 = г+.

о \ о '1^=0 о-1

(37)

Соответственно, газ в дополнительном объёме при t = t — 0 имеет массу

■V., (ДхЮ>0) (31)

(32)

получаемым аналогично формулам (24), (27) — (29).

4.3. Расчёт температуры газа. Перейдём к определению абсолютной температуры газа Т и Т. в рабочем и дополнительном объёмах соответственно. Для моментов времени tп < К между переключениями клапана, когда Дх(0 = 0, температура газа подчиняется уравнению политропы (16), по которому для газа в рабочем объёме

Рис. 3. К определению температуры газа сразу после включения клапана

п—1

+

т.

+

т

ту

п-1

т

т

т

£

+

т

ст

+

т

т

£

£

т

£

+

т.„ = т - т„

(38) в развёрнутом виде записывается так:

а его температура Т , согласно (34), равна

Т> Т ('„ + 0^,=0 = ТТ^ Т ('п- 0Ь .

т-,=Т,{'а- °!о=т;_1,

(39)

Но в силу верхней формулы (33)

Сразу после включения клапана ^ = tо + 0) газ в рабочей полости занимает тот же объём V . Температура газа в рабочем и дополнительном объёмах одинаковая, её значение То+ является искомой величиной.

По ранее принятому допущению процесс смешения газов происходит мгновенно после открытия клапана. Вследствие этого работа внешних сил АеХ и количество теплоты О"^, подводимой от внешних источников, принимают нулевые значения:

т ('„- 0)^=т;_1

Поэтому

у+V

У.-1 + V

. (Лх(0< 0)

(42)

В совместной записи формулы (41), (42) принимают вид

Л- = | ал6" = 0, о* = | = 0.

На основании закона изменения полной энергии (1)

где

АЕ = О* + Л6*

АЕ = |АЕ = Е' + 0)-Е' -0)

т+

1 а-1

У_

У_

+1

Дх(0> 0;

(43)

Ах(0< 0.

4.4. Расчёт давления газа. Давление газа в рабочем и дополнительном объёмах проще всего определяется непосредственно из уравнения состояния Менделеева-Клапейрона (18):

— приращение полной энергии газа в рабочем и дополнительном объёмах. Таким образом, при включении клапана полная энергия газа остаётся неизменной:

Е{'«+ 0) = Е{'„- 0).

По предположению (19) кинетическая энергия газа пренебрежимо мала по сравнению с его внутренней энергией: Е = К+и = и. Поэтому

и ('„+ 0) = и ('„- 0).

(40)

тс Т = тс Т„ + с Т п

Ъ V а а V а *а V *а

р(Л_ т(')ЯТ(') р _ т,(')ЯТ,(')

рк'_ У(') ' р_ У "

(44)

Однако в научной литературе, посвящённой расчёту пневмоамортизаторов, температуру газа исключают из рассмотрения. Поэтому для полноты общей картины приведём соответствующие преобразованные уравнения.

Подставим (24), (33) в первое уравнение (44). После несложных преобразований будем иметь для газа в рабочем объёме

Подставляя в (40) калориметрическое уравнение (18) и принимая во внимание используемые обозначения (рис. 3), получаем

Р(') =

Здесь

р:

у+У

у (0+У

х = 1;

У

[у (')]

( А%(') = 0 ) (45)

Х = 0.

Т+_ о т ~ | ст Т ~

р+ =

т к Т+

а

У + У

(46)

Отсюда с учётом соотношений (36)-(39) окончательно находим

т:=к А

У„-1

У- + У

У-1

У

+Н. (дх(0> 0).(41)

V, V ,.

о' о-1

— давление газа в рабочем объёме сразу после переключения клапана. Расчётная формула для величины ро+, не содержащая упоминания о температуре То+, получается подстановкой в (46) выражения (41):

р:=р^

У-1

У-1 + У

У-1

У

-1

+И

Как видно из (41), температура газа после включения клапана То+ определяется температурой газа после предшествующего выключения клапана Т + и соответствующими значениями рабочего объёма

Другой случай, когда Д%(^ < 0 (в момент времени t = tо клапан выключается), более простой: для величин (35) имеет место равенство То- = То+, которое

Аналогичным образом выводятся расчётные формулы для давления газа в дополнительном объёме. Подставив (30), (34) во второе уравнение (44), будем иметь

"У + У ,

' (Дх(') = 0)

V (') + У р+, х = 0.

п-1

У + У

п-1

У-1 + У

п-1

1

У- + У

а

'='„-0

т; =

п-1

Ум + У

Т+

1 а-1

У + У

'='„ +0

'='о -0

п

или

тп

тп

п-1

п-1

1

Расчётные зависимости для давления газа в рабочем объёме (44) или (45) позволяют определять усилие, создаваемое пневмоамортизатором:

Р = (Л - Л™ К.

Здесь ратм — атмосферное давление, Fэ — эффективная площадь пневмоамортизатора [4, 5].

4.5. Расчёт энтропии газа. Изменение энтропии газа характеризует степень необратимости процесса диссипации механической энергии в теплоту. Поэтому расчёт энтропии газа занимает важное место при анализе эффективности работы пневмо-амортизатора.

Энтропия массы газа т, занимающей объём V, определяется выражением 5 = тв, где в — удельная энтропия газа (22). Отсюда на основании (24), (33) и (30), (34) получаются следующие выражения для энтропии газа в рабочем и дополнительном объёмах:

Наибольший интерес представляет производство энтропии за счёт внутренних источников в ходе необратимого процесса смешения газов, протекающего после включения клапана. Данное производство энтропии равно скачку суммарной энтропии газа в пневмоамортизаторе:

Д?Е = Sz(ta + 0L -Sz(ta-0l 0.

(51)

На основании (50) для скачка энтропии (51) получается выражение

с.ln|T!) + Rlni V + К

V„_, + К

V_+кк -1)-RH Vi

> 0,

которое с учётом (41) можно переписать в эквивалентном виде

S =

V (t)

V (t)+V х = 1;

cl lnT„++(n - l)li

V +V

V(t ) + V

-Rln

V (t)+V

cl lnT„++(n - l)li

R ln

Vl

Lv (t )J

V

+ ln

Lv (t )J

X = 0;

ASe = mA cvlni

V-1

V.-1 + К

Vl±

V

-1

+n+

V- + vJ V- + V,

c(n -1)-R]ln|

(47)

l> 0.

Замечание. С помощью формул (50), (42) нетрудно убедиться, что при выключении клапана скачка суммарной энтропии не наблюдается:

S =

mV,

V (t) + К

X = 1,

cl lnT„++(n - 1)ln

V,+ К v (t)+К

-Rln

V (t) + К

cvlnr; - Rlnl

AST

sAt.+ 0L - SÄK- 0K =

+ ^{cvl^T^r I- cv(n -l)ln

V-1 + V,

Va+ К

Va+ V, X = 0.

Энтропия газа в пневмоамортизаторе равна сумме энтропии газа в рабочем и дополнительном объёмах:

SE(t ) = S(t) + S,(t). Подстановкой (47), (48) в (49) находим

5. Условие существования установившегося режима работы. Рассмотрим детально вопрос, при каком значении коэффициента политропы

(48) осуществим установившийся режим работы пнев-моамортизатора, в ходе которого от цикла к циклу повторяется одна и та же индикаторная диаграмма (рис. 2). По теореме об изменении внутренней энергии (6) для замкнутой (по массе) термодинамической системы в любом круговом процессе теплота, подведённая от внешних источников, равна ра-

(49) боте внутренних сил:

| dQext = | dAint.

(52)

S,(t ) =

lnr;+cv (n - 1)ln

VCT + V, V (t)+К

- Rlnl

V (t)+К

x = 1;

cvlnTn+ - Rlnl

V +V

V

Va+ V,

[cv (n -1)- R]ln

_Vl V (t )J

x = 0.

По определению политропного процесса теплота от внешних источников связана с работой внутренних сил соотношением (10), по которому

(50)

¿в"" =аёЛ'"' = apdV. На основании (52), (53) имеем

а§ Мп' Мп' .

(а- 1)АШ = 0,

(53)

(54)

+

^Sz = m

n-1

_

X

mjv

v„ + V

m

ь

V„+ V

+

0

mzV*

m

L

va + V

с

v

m

i

m

i

+

m

или

i

+

где А'п: — работа внутренних сил, равная площади индикаторной диаграммы (рис. 2). При Аш: Ф 0 равенство (54) выполняется только в том случае, когда а = 1 или, с учётом (17), когда п = 1. Другой случай выполнения равенства (54), когда А'п: = 0 и коэффициент а произволен, отвечает работе пневмо-амортизатора как пневмопружины.

Выводы. Построена математическая модель пневмоамортизатора, работа которого сопровождается чередованием последовательных включений и выключений клапанного устройства (клапана), изменяющих характер протекания термодинамических процессов в рабочем и дополнительном объёме.

В математической модели отражено, что в моменты времени сразу после включения (открытия) клапана протекает сугубо неравновесный процесс, в ходе которого происходит интенсивное, практически мгновенное смешение газов в рабочем и дополнительном объёмах, приводящее к полному выравниванию давлений и плотности газа. Во все остальные моменты времени газ в рабочем и дополнительном объёмах находится состояниях термодинамического равновесия, описываемых уравнениями политропного процесса.

Данные и другие положения, лежащие в основе разработанной инженерной методики расчёта пневмоамортизаторов с воздушным демпфированием, зафиксированы в строго сформулированных допущениях.

Введено понятие структурного (внутреннего) параметра, характеризующего текущее состояние клапанного устройства пневмоамортизатора. Благодаря этому полная система термодинамических соотношений разработанного расчётного метода позволяет единым образом описывать работу пнев-моамортизатора по любым возможным алгоритмам (механического или электромагнитного) управления клапаном.

К сожалению, из-за ограничений на объём в настоящей статье не приведены результаты численных расчётов работы пневмоамортизатора применительно к двум наиболее распространённым тестовым задачам с жёстким и мягким режимами нагружения соответственно: 1) исследование работы пневмоамортизатора при гармоническом законе изменения рабочего объёма, 2) исследование динамики одномассовой системы амортизации с пневмоамортизатором при кинематическом возбуждении колебаний. Это предполагается сделать в ближайших публикациях авторов.

Доказано, что в рамках математической модели, базирующейся на понятии политропного процесса, установившийся режим работы пневмоамортиза-тора осуществим только для изотермического процесса (п = 1), который неявно предполагает наличие идеальных условий теплообмена между газом в пневмоамортизаторе и окружающей средой. Если п Ф 1, то тогда при периодическом изменении рабочего объёма давление газа будет непрерывно повышаться от цикла к циклу с соответствующим ростом температуры.

В этой связи приобретает важное прикладное значение построение математической модели пневмоамортизаторов и пневмопружин с учётом реально протекающих физических процессов теплообмена с окружающей средой, который позволит получить более достоверные данные об их механических и термодинамических характеристиках.

Библиографический список

1. Акопян, Р. А. Пневматическое подрессоривание автотранспортных средств (вопросы теории и практики). В 2 ч. Ч. 1 / Р. А. Акопян. - Львов : Выща школа, 1979. - 218 с.

2. Калашников, Б. А. Системы амортизации объектов с дискретной коммутацией упругих элементов / Б. А. Калашников. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2008. - 344 с.

3. Хамитов, Р. Н. Системы амортизации крупногабаритных объектов с активными упругими и демпфирующими элементами / Р. Н. Хамитов, Г. С. Аверьянов. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. - 124 с.

4. Певзнер, Я. М. Пневматические и гидропневматические подвески / Я. М. Певзнер, А. М. Горелик. - М. : ГНТИМЛ, 1963. - 319 с.

5. Равкин, Г. О. Пневматическая подвеска автомобиля / Г. О. Равкин. - М. : ГНТИМЛ, 1962. - 288 с.

6. Трибельский, И. А. Расчётно-экспериментальные методы проектирования сложных резинокордных конструкций / И. А. Трибельский, В. В. Шалай, А. В. Зубарев [и др.]. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. - 240 с.

7. Фитилёв, Б. Н. К расчету характеристик пневмо-элемента с воздушным демпфированием / Б. Н. Фитилёв, В. А. Комочков, А. В. Поздеев // Прогресс транспортных средств и систем : материалы Междунар. науч.-практ. конф. В 2 ч. Ч. 2. - Волгоград, 2009. - С. 40-47.

8. Дьяков, А. С. Повышение демпфирующих свойств подвесок АТС путем изменения структуры и характеристик ре-зинокордных пневматических рессор : автореф. дис ... канд. техн. наук / А. С. Дьяков. - Волгоград, 2009. - 16 с.

9. Поздеев, А. В. Повышение виброзащитных свойств двухполостных пневматических рессор на основе синтеза оптимальных алгоритмов коммутации полостей : автореф. дис . канд. техн. наук / А. В. Поздеев. - Волгоград, 2012. - 16 с.

10. Пат. 2340468 РФ, МПК В 60 С 11/, Б 16 Б 5/00. Пневматическая подвеска / В. В. Новиков, Б. Н. Фитилев, А. С. Дьяков ; заявитель и патентообладатель ВолгГТУ. - № 2007117885/11 ; заявл. 14.05.2007 ; опубл. 10.12.2008, Бюл. № 34. - 6 с.

11. Проектирование полноприводных колесных машин. В 3 т. Т. 3 / Б. А. Афанасьев, Б. Н. Белоусов, Л. Ф. Жеглов [и др.] ; под ред. А. А. Полунгяна. - М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. - 432 с.

12. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. - М. : Изд-во МГУ, 1978. - 287 с.

13. Седов, Л. И. Механика сплошной среды. В 2 т. Т. 1 / Л. И. Седов. - М. : Наука, 1973. - 536 с.

14. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. - М. : Мир, 1975. - 592 с.

15. Алексеев, Г. Н. Общая теплотехника / Г. Н. Алексеев. -М. : Высш. шк., 1980. - 552 с.

16. Вукалович, М. П. Термодинамика / М. П. Вукалович, И. И. Новиков. - М. : Машиностроение, 1972. - 672 с.

17. Техническая термодинамика / В. И. Кругов [и др.] ; под ред. В. И. Крутова. - М. : Высш. шк., 1991. - 384 с.

18. Пластинин, П. И. Поршневые компрессоры. В 2 т. Т. 1. Теория и расчёт / П. И. Пластинин. - М. : КолосС, 2006. - 456 с.

19. Абрамович, Г. Н. Прикладная газовая динамика / Г. Н. Абрамович. - М. : Наука, 1976. - 888 с.

20. Корнеев, С. А. Понятия и основы локально-неравновесной термодинамики сплошной среды / С. А. Корнеев. -Омск : Изд-во ОмГТУ, 2009. - 284 с.

21. Кубо, Р. Термодинамика / Р. Кубо. - М. : Мир, 1970. -304 с.

КЛИМЕНТЬЕВ Евгений Владимирович, главный конструктор комплекса № 3 отдела № 2 Научно-производственного предприятия «Прогресс»; аспирант кафедры сопротивления материалов Омского государственного технического университета (ОмГТУ).

КОРНЕЕВ Владимир Сергеевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры основ теории механики и автоматического управления ОмГТУ.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафед-

рой сопротивления материалов ОмГТУ.

Адрес для переписки: korneyev@omgtu.ru, когеа_

home@mail.ru

Статья поступила в редакцию 25.08.2015 г. © Е. В. Климентьев, В. С. Корнеев, С. А. Корнеев

УДК 62-567.5:536-3

Е. В. КЛИМЕНТЬЕВ

B. С. КОРНЕЕВ

C. А. КОРНЕЕВ

Научно-производственное предприятие «Прогресс», г. Омск

Омский государственный технический университет

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАБОТЫ ПНЕВМАТИЧЕСКОГО АМОРТИЗАТОРА ПРИ СТАНДАРТНОМ РЕЖИМЕ НАГРУЖЕНИЯ И РАЗНЫХ АЛГОРИТМАХ УПРАВЛЕНИЯ

На примере численного решения двух тестовых задач проиллюстрирован разработанный авторами инженерный метод расчета термодинамических параметров газа в пневмоэлементе с воздушным демпфированием при разных алгоритмах управления клапанным устройством. Особое внимание уделено вопросу существования установившегося режима работы пневмоамортиза-тора и уровню достигаемых температур и давлений газа. Ключевые слова: пневматический элемент, воздушное демпфирование, установившийся режим, показатель политропы.

Введение. В настоящее время большое внимание уделяется разработке конструкций и методов расчёта пневмоамортизаторов (пневматических упругодемпфирующих элементов), в которых для гашения колебаний используется воздушное демпфирование, происходящее за счёт выравнивания давления и плотности при смешении газов (воздуха), находящихся в рабочем и дополнительном объёмах пневмоэлемента, при срабатывании специальных клапанных устройств в определённых положениях амортизируемого объекта [1-7].

Алгоритм управления клапанным устройством (клапаном) может быть организован по-разному. Наиболее часто реализуется алгоритм, приводящий к четырёхугольной петле гистерезиса (рис. 1а), когда клапан включается в тех положениях, в которых направление относительного движения корпуса и плунжера пневмоамортизатора меняется на противоположное [2, 3]. Через некоторый промежуток времени (малый по сравнению с периодом колебаний, но достаточный для выравнивания давления и плотности) клапан выключается, разобщая рабочий и дополнительный объёмы. По другому алгоритму, приводящему к треугольной петле гистерезиса (рис. 1б), клапан включается в начале хода

сжатия и выключается в его конце [1]. По третьему алгоритму, приводящему к петле гистерезиса в форме «бабочки» (рис. 1в), клапан включается при прохождении фиксированного (обычно среднего) положения корпуса относительно плунжера и выключается в момент смены направления их относительного движения на противоположное [5, 6]. Возможны и многие другие алгоритмы (механического, электромагнитного и т.п.) управления клапаном [7].

При построении рабочих p—V диаграмм, представленных на рис. 1, режим работы пневмоаморти-затора в [1—7] полагается установившимся (при периодическом изменении рабочего объёма V между своими минимальным и максимальным значениями индикаторные диаграммы замкнутые), а время выравнивания давления после включения клапана — пренебрежимо малым. При этом изменение абсолютного давления газа p описывается уравнением политропы pVn=const, где V — объём газа.

Как известно [8, 9], показатель политропы n существенно зависит от скорости протекания процесса. Если сжатие газа происходит достаточно медленно (квазистатическое приложение нагрузки), процесс можно считать изотермическим и n = 1.