CC BY
18
^временные тexнoлoгии. Снстемный аналнз. Moдeлнpoвaннe № 4 (56) 2O17
УДK 62-567.5:536.7
С. A. Ko^рнеев 1, В. С. Kop^ee 1, В. А. Aдoнuн 2
DOI: 10.26731/1813-9108.2017.4(56).8-18
1 Омский государственный технический университет, г. Омск, Российская Федерация
2 Федеральный научно-производственный центр «Прогресс», г. Омск, Российская Федерация Дата поступления: 16 ноября 2017 г.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РАБОЧИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ (ВОЗДУШНЫХ ПРУЖИН) С УПРУГО ДЕФОРМИРУЕМОЙ РЕЗИНОКОРДНОЙ ОБОЛОЧКОЙ
Аннотация. Отмечены значительные отличия между изобарными силовыми характеристиками пневматических упругих элементов (воздушных пружин), получаемых экспериментально и рассчитываемых традиционным методом. Предложен уточнённый термодинамический метод построения рабочих (силовых и геометрических) характеристик, учитывающий упругую деформацию резинокордной оболочки под давлением. Отражено влияние температуры. Формализован общий алгоритм построения рабочих характеристик, проиллюстрированный на практическом примере. Аналитическое описание опытных данных предлагаемым методом удовлетворяет требованиям к достоверности результатов, что имеет важное прикладное значение при разработке систем виброзащиты и виброизоляции стационарных объектов и транспортных средств.
Проведённый термодинамический анализ показывает, что если не учитывать упругую деформацию резинокордной оболочки, то на геометрическую характеристику пневматического элемента будет влиять единственный параметр — координата пневматического элемента, определяющая расстояние между торцами резинокордной оболочки. При этом усилие пневматического элемента будет пропорционально избыточному давлению рабочего тела (воздуха).
При учёте влияния упругой деформации резинокордной оболочки геометрическая характеристика пневматического элемента будет зависеть не только от координаты пневматического элемента, но и от избыточного давления и от температуры. Вследствие этого зависимость силовой характеристики пневматического элемента от избыточного давления становится нелинейной. Данный результат, позволяющий получать более достоверные данные о рабочих характеристиках пневматических элементов, имеет важное прикладное значение, например, при проектировании систем виброзащиты и виброизоляции стационарных и передвижных объектов.
Ключевые слова: пневматический упругий элемент, воздушная пружина, резинокордная оболочка, рабочие характеристики, влияние упругой деформации, термодинамический метод, потенциал Гиббса.
S. A. Korneev 1, V. S. Korneev 1, V. A. Adonin 2
1 Omsk State Technical University, Omsk, the Russian Federation
2 Federal Research and Production Center "Progress", Omsk, the Russian Federation Received: November 16, 2017
THERMODYNAMIC METHOD OF CONSTRUCTION OF OPERATIONAL CHARACTERISTICS
OF PNEUMATIC ELEMENTS (AIR SPRINGS)
WITH ELASTIC DEFORMABLE RUBBER-CORD CASING
Abstract. Significant differences between the isobaric force characteristics of pneumatic elastic elements (air springs) obtained experimentally and calculated by the traditional method are noted in the article. The authors propose an extended thermodynamic method for constructing operational (force and geometric) characteristics, which takes into account the elastic deformation of a rubber-cord casing under pressure. The influence of temperature, together with a general algorithm for constructing performance characteristics is formalized, illustrated by a practical example, are shown in the paper. The analytical description of the experimental data by the proposed method satisfies the requirements for reliability of the results, which is of great practical importance in the development of •vibration protection and vibration isolation systems for stationary objects and vehicles.
The performed thermodynamic analysis shows that if we do not take into account the elastic deformation of the rubber-cord casing, then the geometric characteristic of the pneumatic element will be affected by a single parameter — the coordinate of the pneumatic element, which determines the distance between the ends of the rubber-cord casing. In this case, the force of the pneumatic element will be proportional to the excess pressure of the working fluid (air).
When considering the effect of elastic deformation of the rubber-cord casing, the geometric characteristic of a pneumatic element will depend not only on the coordinate of the pneumatic element, but also on the excess pressure and temperature. As a result, the dependence of the force characteristic of the pneumatic element on the excess pressure becomes nonlinear. This result, which makes it possible to obtain more reliable data on the operational characteristics of pneumatic elements, is of great practical importance, for example, in the design of vibration protection and vibration isolation systems for stationary and transportable objects.
Keywords: a pneumatic elastic element, an air spring, a rubber-cord casing, operational characteristics, influence of the elastic deformation, a thermodynamic method, Gibbs potential.
© С. А. Kopнeeв, В. С. Kopнeeв, В. А. Aдoнuн, 2017
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
Введение
Математическое моделирование широко используется в решении разнообразных задач теории вибрационной техники и технологии, динамики транспортных средств, виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Элементная база виброзащитных систем весьма широка и разнообразна. Например, при решении задачи разработки систем виброзащиты оператора транспортных средств применяются упругие элементы в виде металлических пружин и листовых рессор [1-3], пневматические упругие элементы с резинокорд-ными оболочками разного конструктивного исполнения [4-6], амортизаторы жидкостного и воздушного демпфирования [7-12]. Пневматические упругие элементы позволяют разрабатывать так называемые виброзащитные системы с квазинулевой жёсткостью, которые технически просто обеспечивают выполнение важного, но противоречи-
вого требования: малая жёсткость пневмоэлемента должна сочетаться с достаточно высокой несущей способностью [4-6]. При больших деформациях такие пневмоэлементы проявляют существенно нелинейные свойства. Поэтому при использовании традиционных и современных методов расчёта виброзащитных систем [13-15] требуется достаточно полное и точное описание рабочих характеристик пневматических упругих элементов.
Как правило, для каждого типоразмера пневматического элемента производитель приводит рабочие характеристики (силовые и геометрические), полученные опытным путём. В качестве примера на рис. 1 приведены изобарные характеристики пневматического упругого элемента с ре-зинокордной оболочкой рукавного типа, взятые из каталога всемирно известной американской фирмы Firestone [16, с. 98].
TPI9L-11 Tirestone
1IRSTR0KE
NOTE: All Assembly Order Numbers are for bead plate parts unless noted otherwise.
RECOMMENDED
AIRMOUNT DESIGN HEIGHT
Description Assembly Order No.
Style Blind nuts, 1/4 NPT W01-358-9155
1T19L-11 Blind nuts, 1/4 NPT, bumper W01-358-9156
Two Blind nuts, 3/4 NPT W01-358-9153
Ply Blind nuts, 3/4 NPT, bumper W01-358-9156
Button head steel bead ring, VIb bolts, nuts, washers W01-358-9162
NOTE: Bellows will not compress properly with less than .7 BAR internal pressure. NOTE: A bead plate part is shown. This part is also available with a bead ring. Bolts are not included. See pages 8-10 for explanation.
700j 620 MAX HT. 690
Height mm. See page 12 for instructions on how to use chart.
Bumper MIN. Contact HT. 205 216 mm
Dynamic Characteristics at 455 mm Design Height (Required for Airmount isolator design only)
Gauge Pressure (BAR) Load (KN) Spring Rate (kN/m) Natural Frequency Hz
3 16.22 76 1.08
4 21.90 96 1.04
5 27.77 117 1.02
6 34.04 140 1.01
7 39.63 160 1.00
Force Table (Use for Airstroke® actuator design)
Assembly Height Volume @ 7 BAR (cu cm) EFF Area @ 7 BAR (cm sq) kN Force
BAR BAR BAR @6 BAR BAR
580 29938 462 13.45 18.02 22.57 27.62 32.34
540 28011 525 15.32 20.56 25.83 31.49 36.72
500 25891 557 16.09 21.66 27.35 33.44 38.95
460 23607 566 16.22 21.90 27.77 34.03 39.62
420 21262 566 16.22 21.90 27.77 34.04 39.63
380 18895 566 16.22 21.90 27.77 34.04 39.63
340 16461 566 16.22 21.94 27.80 34.04 39.63
300 13995 575 16.79 22.58 28.40 34.58 40.25
Рис. 1. Пример графического представления рабочих характеристик пневматического элемента
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
Для описания несущей способности пневматического элемента и в нашей стране, и за рубежом используется соотношение [7-12, 17, 18]
V = (Р - Ра@ А # (1)
Здесь V - усилие; р - абсолютное давление; Patm - атмосферное давление; Ае - эффективная площадь. Соотношение (1) вводится по аналогии с упругим элементом в виде цилиндра с поршнем. Отличие состоит в том, что в общем случае эффективная площадь является переменной величиной, зависящей от высоты (координаты) х пневматического элемента. В научной литературе [7-12, 17, 18] эффективную площадь Ае связывают с объёмом V пневматического элемента дифференциальной зависимостью
Ае(х) = dv(x)/dx. (2)
Построим силовые характеристики по расчётным формулам (1), (2) и сопоставим их с экспериментальными силовыми характеристиками на рис. 1. С этой целью для оцифровки графической зависимости V(х), приведённой на рис. 1, использовалась программа GetData Graph Digitizer, имеющаяся в открытом доступе (http://getdata-graph-digitizer.com). Для последующей аппроксимации использовался полином четвёртой степени с привлечением средств пакета MathCAD [19].
Получаемые указанным образом результаты расчёта представлены на рис. 2. Они имеют большую погрешность. Обусловлено это тем, что формула (2) предполагает, что резинокордная оболочка является абсолютно гибкой, а её срединная поверхность - нерастяжимой [7, 8, 12]. Однако у большинства кордных капроновых тканей, используемых при изготовлении резинокордных оболочек пневматических элементов, относительное удлинение нитей корда при разрыве достигает 30 % [20, 21]. Поэтому важное прикладное значение приобретает учёт влияния упругих деформаций резинокордной оболочки на рабочие характеристики пневматических элементов.
Общие положения и уравнения
Чтобы избежать возможных разночтений, приведём сводку первичных уравнений классической термодинамики и некоторых положений рациональной механики сплошных сред [22-25], которые будут использоваться в дальнейшем изложении. Рассмотрение ограничим замкнутыми термодинамическими системами, в которых отсутствуют массообмен с окружающей средой и диффузионные процессы.
Рис. 2. Экспериментальные (сплошные линии) и расчётные (штриховые линии) силовые характеристики пневматического элемента для разных значений избыточного давления
По закону изменения энергии (первому началу термодинамики)
<ш = <меХ+аеех1, (з)
где Л4ех1 - элементарная работа внешних сил, приложенных к термодинамической системе;
dQext - элементарное количество теплоты, подводимой от внешних источников. Полная энергия Е термодинамической системы складывается из кинетической энергии К и внутренней энергии и:
Е = К + и . (4)
По теореме об изменении кинетической энергии
к = аеех1 + (5)
оо оо I
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
где аА1"1 - элементарная работа внутренних сил термодинамической системы. В механике сплошных сред аА1"1 определяется следующим образом:
А = -а|ц-(т-Уу)ГV .
V
Здесь Т - тензор напряжений; Уу - градиент скорости у; 1хА - след тензора А; ^, йУ -элементарные промежуток времени и объём среды, занимающей в момент времени t объём V .
Вычитая (5) из (3) и ссылаясь на (4), приходим к теореме об изменении внутренней энергии
(6)
dU = dßext - dAint. Уравнение (6) часто называют первым началом термодинамики, как и (3).
В случае равновесных (квазистатических) процессов кинетическая энергия К = 0 и, соответственно, К = 0. В данном случае уравнение (3) переходит в уравнение
dU = dAext + dßext, (7)
а уравнение (5) принимает вид
dAext + dAint = 0. (8)
При этом уравнение (6) сохраняет свой вид неизменным. Уравнение (8) является частной записью принципа виртуальных перемещений
8Aext + 8Aint = 0,
когда в качестве виртуальных перемещений берутся истинные перемещения.
По второму началу термодинамики для обратимых процессов
dßext = TdS,
(9)
где £ - энтропия термодинамической системы; Т - абсолютная температура, принимающая одинаковое значение во всех точках системы в соответствии с нулевым началом термодинамики.
Подставляя (9) в (6) и (7), получаем два эквивалентных (но не тождественных) варианта записи объединённого уравнения первого и второго начал равновесной термодинамики
аи = таз+а1, (ю)
d^ = TdS - dA11
(11)
пневматическим элементам с резинокордными оболочками других типов.
I Patm
Математическая модель
Чтобы обеспечить строгость и наглядность математических выкладок и физических соображений, при изложении материала будем ссылаться в качестве примера на пневматический элемент с резинокордной оболочкой рукавного типа (рис. 3), как на одну из возможных реализаций описываемого объекта исследования. Последнее никак не ограничивает общность конечных результатов, которые в равной степени применимы к
Рис. 3. Расчётная схема пневматического элемента с резинокордной оболочкой рукавного типа
Фланец и плунжер считаем абсолютно твёрдыми телами, а резинокордную оболочку - упруго деформируемым твёрдым телом. Пренебрегаем трением между оболочкой и фланцем с плунжером, полагая тем самым наложенные связи идеальными. Данные допущения и упрощения позволяют применить методы термодинамики обратимых процессов для анализа деформирования пневматического элемента в целом (в сборе) и каждой его составной части в отдельности.
Рассмотрим материальную (термодинамическую) систему, состоящую из фланца, плунжера и резинокордной оболочки (рис. 3). Для данной системы внешними являются силы атмосферного давления раШ и силы внутреннего давления рабочего тела (воздуха) р, если не принимать во внимание действие сил тяжести. Поэтому работа внешних сил будет равна
аАех1 = -рдх+рdv;п1 - раш dv6X1. (12)
У термодинамической системы объём V6X1, на границе которого действует атмосферное давление раШ, складывается из объёма V1п1, занимаемого рабочим телом (воздухом) под давлением р , объёма VRigit, занимаемого фланцем и плунжером, и объёма стенок резинокордной оболочки Vsh :
V ех1 = V т1 + V + V
Так как фланец и плунжер считаются абсолютно твёрдыми телами, а резинокордный композит практически несжимаем, приращения объемов во времени dVЛigit = 0, dVsh = 0 . Благодаря этому
можно записать равенство dУех1 = dVlnt и использовать упрощённое обозначение V = V1п1 для объ-
atm
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
ёма, занимаемого воздухом под давлением р (рис. 3). Тогда уравнение (12) принимает вид
=-№ + (р - раШ >1У . (13)
Подстановкой (13) в уравнение (10) получаем
¿и = тds -Рdх+(р - раш . (14)
Благодаря свойству аддитивности внутренняя энергия и (и энтропия С) рассматриваемой термодинамической системы складывается из внутренней энергии иШги, иск (и энтропии ,
) абсолютно твёрдых тел (фланца, плунжера) и резинокордной оболочки:
и = итгш + ис1, С = + . (15) Так как работа внутренних сил абсолютно твёрдых тел равна нулю, по уравнению (11) имеем
= . (16)
Совместно уравнения (14)-( 16) приводят к следующему соотношению:
¿изк = тасы - Рdх+(р - раш . (17) Применим к (17) преобразования Лежандра
тdssh = ¿(тс^)-с^т, (р - ра@ )у = ¿[(р - ра@ У ]-У&р.
В результате получим
= -Рdх - у&р - с^т, (18)
где
= из„ -ГС^-(р-рашУ (19)
термодинамический потенциал Гиббса резинокордной оболочки: Оск = Оск (х, р ,т). Следовательно, на основании (18)
Р = -
СО
дх
(
У=-
со
си
др
(о Л
дт
#(20)
¿У =
¿х-
р,т
др
, /р+(дУ„,
^х ,1 4 /х»р
¿т.
лишь от координаты х пневматического элемента. Вследствие этого силовая характеристика пневматического элемента определяется в рассматриваемом случае общеизвестными формулами (1), (2).
Оценка влияния температуры
Чтобы установить зависимость функций состояния (19), (20) от температуры, обратимся к изобарной теплоёмкости оболочки при постоянной координате х
С =
х, р
( л
(22)
Будем исходить из предположения, что в рабочем диапазоне температур и давлений теплоёмкость (22) является постоянной величиной. На основании (9), (22) можно записать
Ж.
Сх,р = т
^к
дт
х , р
или с учётом последнего выражения (20)
(с 2О > , ст2 ,
V У х, р
С
х, р
т
(23)
1п
( т Л V т0 у
Интегрируя (23), получим
О] = к (х, р)- Бр<1т=к (х, р)- с
V ух, р т0
где т0 - некоторая фиксированная температура (например, комнатная); к(х, р) - постоянная интегрирования, независящая от температуры. Повторное интегрирование приводит к результату
= -Сх, р
1п
т
\
ут,р V ^ ут,х
Замечание. Сравнение уравнения (17) с уравнением (11) приводит к следующему выражению для работы внутренних сил резинокордной оболочки:
= Рdх-(р - раш )dУ . Если резинокордная оболочка является абсолютно гибкой, а её срединная поверхность - нерастяжимой, то тогда ¿4!?= = 0 и поэтому
¿У =-Р-¿х . (21)
р - ра@
С другой стороны, по второму соотношению (20) объём У = У(х, р,т) и поэтому
'5У ] , (5У Л 5х
т
¿т+(т - т0 )к (х, р)+к (х, р)
или после упрощения с использованием таблиц интегралов [26]
Оск (х, р ,т ) = к (х, р )+(т - т )к (х, р )-
- С,
т 1п
( т ] т
Vт0 у
-(т - т)
(24)
Формула (24) определяет термодинамический потенциал Гиббса оболочки с точностью до двух функций от координаты х и давления р. Явный
вид зависимостей к(х, р), к(х, р) можно определить, например, решив соответствующую краевую задачу теории оболочек. При экспериментальном исследовании можно воспользоваться разложениями в обобщённый ряд:
Однако при наличии равенства (21) получается, что объём абсолютно гибкой оболочки с нерастяжимой срединной поверхностью зависит
оо оо I
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
_ Г
k(х' P) = S S (х(p\
r=0 s=0 Nr N,
(25)
к (х' р ) = X X ! (х (р)-
Г=0 А=0
Здесь аГА, аГА - коэффициенты ряда (константы); ф Г (х), у А (р) - базисные функции, в качестве
которых можно взять, например, степенные функции
ф г (х)=(х - х*)г , У а (р)=(р - ра@ )а ,
(26)
V = -
ÔG
Sh
Ôp
# fv (х > PТ ) •
(27)
/ х T
Затем привлекается уравнение состояния рабочего тела пневматического элемента
р = \р (V Т), (28)
которое подставляется в (27):
V = /V (х,/р (V ,Т),Т). (29)
Решением (29) относительно V находится явная зависимость
V = фу (х, т), (30)
которая представляет собой геометрическую характеристику пневматического элемента.
3. Силовая характеристика пневматического элемента находится в аналогичной последовательности. Определяется обобщенная сила оболочки как функция независимых переменных х, р , Т :
Р = -
ÔG
ÔX
Sh 1 # fp (х, p,T) •
PT
(31)
где х» - значение координаты х в некотором произвольно выбранном фиксированном положении оболочки, относительно которого ведётся отсчёт взаимного смещения торцов оболочки. Возможен и иной выбор базисных функций, чем (26).
Общий алгоритм построения рабочих
характеристик пневматического элемента
Подведём предварительный итог и сформулируем общий алгоритм построения рабочих (геометрической и силовой) характеристик пневматического элемента с резинокордной оболочкой любой конструкции.
1. Исходным является выражение (24) для термодинамического потенциала Гиббса
(х, р,Т) резинокордной оболочки. Функции
У(х, р), к (х, р ) описываются обобщёнными рядами (25).
2. Геометрическая характеристика пневмо-элемента находится в следующей последовательности. Сначала определяется объём оболочки как функция независимых переменных х, р , Т :
Затем подстановкой (30) в уравнение состояния (28) определяется величина давления в рабочей среде пневматического элемента как функция координаты х и температуры Т :
р = \р ф (х, Т), Т )# ф р (х, Т). (32)
Последующей подстановкой (32) в (31) получается искомое выражение
р = \р (х, фр (х, Т), Т)# фр (х, Т), (33)
которое описывает силовую характеристику пневматического элемента.
Выражения (30), (33) раскрывают структуру сложной зависимости рабочего объёма V и усилия Р пневматического элемента от координаты х и температуры Т .
Пример практического применения
Оценим характер поправок, которые вносит учёт упругой деформации резинокордной оболочки. В первом приближении допустимо считать, что объём оболочки (27) линейно зависит от давления. Последнее влечёт квадратичную зависимость потенциала (24) от давления:
Gsh =-1
[a0 (х) + a) (х)(р - Patm ) + a2 (х)(Р - Patm )2 (Т - T0 )[a0 (х) + ai (x)(P - Patm ) + a2 (x)(P - Patm )'
- Сх,P [Т 1п(Т/Т )-(Т - т )],
(34)
где аГ (х), аГ (х) - некоторые функции от координаты х ( г =0, 1, 2). Отсюда согласно (27), (31)
V#¡V(х,р,Т) = V"(х,т)+К"(х,Т)(р-раш), (35)
Р # \р(х,р,Т) = Р.(х,Т^^^ (р -раш)+
0х
10К.(х,Т)( - )2
~ - \P Patm )
2 0х
(36)
где
V" (х ,Т ) = a) (х)+a) (х)(Т - Т, ),
К" (х ,Т ) = 2[a2 (х)+a 2 (х)(Т - Т0 )] (37)
Р"(х ,Т )=е0(х)+a 0 (х )(Т - Т ).
Здесь и далее штрихом обозначается производная по координате х.
Физический смысл функций Vt,(х,Т), К»(х,Т), Р"(х,Т) вполне очевиден. Функции ), Р,(х,Т) определяют объём и усилие обо-
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
лочки при нулевом избыточном давлении, когда р = ра@. Функция К"(х,т) характеризует приращение объёма оболочки (при данной координате х и температуре т), когда абсолютное давление р внутри резинокордной оболочки превышает
атмосферное давление ра@.
Сравнивая (35), (36) с выражениями (1), (2), приходим к выводу, что в случае абсолютно гибкой оболочки с нерастяжимой срединной поверхностью К.(х,т)= 0, Р"(х,т)= 0, 5У»(х,тУ5т = 0. Другими словами, из шести материальных функций аг (х), аг (х) (г =0, 1, 2) отличной от нуля в (34) является лишь функция ах (х), поскольку термодинамический потенциал Гиббса Оск и энтропия сск оболочки определены с точностью до произвольной аддитивной постоянной.
Положим далее, что рабочее тело (воздух) в оболочке является идеальным газом массой т . Тогда
—, (38)
У
Р # \р(v ,Т ) = -
где Я - газовая постоянная. Подставив (38) в (35), придём к соотношению
У = У"(х ,т)+К.(х ,т )(тУт - У,
которое представляет собой квадратное уравнение У2 - (у - К"ра@У - К"@ят = 0. (39)
Из двух корней уравнения (39) физический смысл имеет корень
У #Фу (х, т)= У"(х,т)-К"(х,т^ +
V"(x ,Т )-,Т )ра
-К.(х,Т)mRT . (40)
Аналитическое описание опытных данных
Применим соотношения (35)-(37) к математическому описанию экспериментальных данных, приведённых на рис. 1 и отвечающих случаю, когда Т = Т0 . В изотермических условиях
V"(x,T) = а(х), К"(х,Т) = 2а2(х), V^^) = а@(х), v = а1(х) + Та2 (х)(р - Patm ), (41)
v = а0 (х) + а; (х)(р - Pam ) + а2 (х)(Р - Ра@ )2 . (42)
Очевидно, для определения численных значений трёх коэффициентов а@(х), а{(х), а'2 (х) в соотношении (42) при любом фиксированном х достаточно трёх опытных изобарных силовых характеристик на рис. 1. Однако учитывая статистический характер экспериментальных данных, лучше одновременно использовать максимально возможное число экспериментальных кривых, а результат получать методом наименьших квадратов. В рассматриваемом случае (рис. 1) на интервале 205 мм < х <596 мм использовались все восемь силовых изобарных характеристик, а на интервале 596 мм < х < 688 мм - шесть силовых изобарных характеристик.
При оцифровке графических зависимостей V^,р), приведённых на рис. 1, использовалась программа GetData Graph Digitizer с последующим применением метода регрессии отрезками полиномов по программе из пакета MathCAD [19]. Полученные результаты представлены на рис. 4 в виде пунктирных линий с указанием (для наглядности) разреженного числа первичных точек, рассчитанных вышеуказанным образом. Там же на рис. 4 сплошными линиями показаны результаты аппроксимации соответствующих зависимостей полиномами 16-й степени:
г=16
*;(х)=£ С1Гхг ( = 0,1,2).
(43)
Анализируя выражение (40), приходим к выводу, что для данного пневматического элемента объём У(х,т) не является универсальной функцией температуры т и координаты х, так как он зависит от массы т газа, содержащегося в оболочке. Данный факт крайне важно иметь в виду при расчёте подвесок транспортных средств, в которых при работе пневматических элементов применяется подкачка воздуха для поддержания на неизменном уровне положения статического равновесия после погрузки и разгрузки.
Значения коэффициентов С г, приведённые в табл. 1, соответствуют системе единиц СИ, а именно: по формуле (42) значение силы Р получается в Ньютонах, если давление р задаётся в Паскалях, а высота х в (43) - в метрах.
При проверке по формулам (42), (43) совпадение расчётных и экспериментальных силовых характеристик пневматического элемента является вполне удовлетворительным (рис. 5), что указывает на достаточность приближения (34).
Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4
2.0 1.5 1.0
0.5 0
-0.5 -1.0
\а'0 (х), кН а
J
800 600 400 200 0
а[(х ), см2 б
\
"Ч
Л \
\
а2 (х) 4 , см в
1
200 300 400 500 600 X ,мм 0200 300 400 500 600 X ,мм "200 300 400 500 600 X ,мм
Рис. 4. Первичные данные (пунктирная линия с точками) и аппроксимированные полиномом данные (сплошная линия) для расчётных зависимостей коэффициентов а'0 (а), а[ (/), а/ (в) в соотношении (42)
200
300
400
500
600 _, мм
700
Рис. 5. Расчётные силовые характеристики пневматического элемента с резинокордной оболочкой рукавного типа (сплошные линии) по определяющему соотношению (42) и выборочные экспериментальные данные (точки) для разных значений избыточного давления
иркутским государственный университет путей сообщения
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
Таблица 1
г С,г Сю С2г
0 -1,03-108 1,13-103 -1, 71-103
1 3, 72-109 -4 , 07-104 6 ,16-102
2 -6 , 06-1010 6 , 62-105 -1, 00
3 5, 90-1011 -6 , 43-106 9,74
4 -3,811012 4 , 14-107 -62,73
5 1, 71-1013 -1,86-108 2 ,81 -102
6 -5,46-1013 5, 89-108 -8, 93-102
7 1, 22-1014 -1,31-109 1, 99-103
8 -1,80-1014 1, 92-109 -2 , 92-103
9 1, 43-1014 -1, 51-109 2 , 29-103
10 1,82-1013 -2 , 11 -108 3, 20-102
11 -1, 59-1014 1, 69-109 -2 , 56-103
12 9 ,82-1013 -1, 02-109 1, 55-103
13 1, 03-1014 -1,10-109 1, 67-103
14 -1, 99-1014 2, 09-109 -3,16-103
15 1, 24-1014 -1, 29-109 1, 95-103
16 -2 ,88-1013 2, 97-108 -4 , 50-102
В данном случае совпадение расчётной (46) и экспериментальной геометрических характеристик пневматического элемента является вполне удовлетворительным (рис. 6).
40
30
20
10
V , лит]
200
300
400
500
600 X, мм
Для построения геометрических характеристик пневматического элемента надо проинтегрировать зависимости (43), например , от х» = 205 мм до текущего значения х:
X
а к (х) = а, (х.)+/а,'(х)1х (к = 0,1,2). (44)
X"
Постоянную интегрирования а0 (х») в (44) можно принять равной нулю , так как потенциал Гиббса (34) определён с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Оставшиеся постоянные интегрирования а1(х»), а2 (х») можно найти с помощью определяющего соотношения (41):
к1х=х» = 01(х*)+ 2а/ (х»)(р - Ра@). (45)
Для этого достаточно располагать двумя значениями объёма V при х = х» для двух разных значений абсолютного давления р . Имеющиеся экспериментальные данные (рис. 1) содержат, к сожалению, только одно значение объёма (45) при избыточном давлении 7 бар. Это позволяет построить единственную геометрическую характеристику, соответствующую избыточному давлению 7 бар, так как согласно (41) , (44)
V = [а1(х*)+ 2а2ЫР -Ра@)] +
х х
+ |а;(х)1х + 2(р -раш)|а2(х)1х . (46)
Рис. 6. Расчётная геометрическая характеристика пневматического элемента с резинокордной оболочкой рукавного типа (сплошная линия) и выборочные экспериментальные данные (точки) для избыточного давления 7 бар
Заключение
Проведённый термодинамический анализ показывает, что если не учитывать упругую деформацию резинокордной оболочки, то на геометрическую характеристику пневматического элемента будет влиять единственный параметр - координата пневматического элемента, определяющая расстояние между торцами резинокордной оболочки. При этом усилие пневматического элемента будет пропорционально избыточному давлению рабочего тела (воздуха).
При учёте влияния упругой деформации резинокордной оболочки геометрическая характеристика пневматического элемента будет зависеть не только от координаты пневматического элемента, но и от избыточного давления и от температуры. Вследствие этого зависимость силовой характеристики пневматического элемента от избыточного давления становится нелинейной. Данный результат, позволяющий получать более достоверные данные о рабочих характеристиках пневматических элементов , имеет важное прикладное значение , например, при проектировании систем виброзащиты и виброизоляции стационарных и передвижных объектов.
[Щ] Механика (S L
A4 «0 Modern technologies. System analysis. Modeling, 2017, Vol 56, no.4 r
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ахмадеева A.A., Гозбенко В.Е., Каргапольцев С.К. Вертикальные колебания экипажа с упруго-подвешенным грузом // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 1 (33). С. 42-46.
2. Гозбенко В.Е., Ахмадеева A.A. Вертикальные колебания экипажа с учетом неровностей пути // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. N° 3 (39). С. 56-59.
3. Гозбенко В.Е., Каргапольцев С.К., Ахмадеева A.A. Динамические свойства железнодорожного вагона // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2015. № 4 (48). С. 24-29.
4. Пилипенко В.В., Пилипенко О.В., Запольский Л.Г. Пневматические системы виброзащиты с квазинулевой жёсткостью // Техническая механика. 2008. № 2. С. 17-25.
5. Пилипенко М.В. Разработка математической модели пневматической виброзащитной системы сиденья водителя транспортного средства// Техническая механика. 2009. № 1. С. 56-70.
6. Хоменко A.n., Логунов A.Q Пневматические элементы в задачах виброзащиты транспортных средств // Решетневские чтения. 2009. №13. Т. 1. С. 230-231.
7. Равкин Г. О. Пневматическая подвеска автомобиля. М.: ГНТИМЛ, 1962.288 с.
8. Певзнер Я. М., Горелик A.М. Пневматические и гидропневматические подвески. М. : ГНТИМЛ, 1963. 319 с.
9. Ararm Р. A. Пневматическое подрессоривание автотранспортных средств (вопросы теории и практики). Львов : Выща школа, 1979. Ч. 1.218 с.
10. Калашников Б. A. Системы амортизации объектов с дискретной коммутацией упругих элементов. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. 344 с.
11. Хамитов Р.Н., Aверьянов Г.С. Системы амортизации крупногабаритных объектов с активными упругими и демпфирующими элементами. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2010. 124 с.
12. Корнеев СА., Корнеев В.С., Зубарев AB., Климентьев Е.В. Основы технической теории пневматических амортизаторов. Омск : Изд-во ОмГТУ, 2016. 148 с.
13. Иориш Ю.И. Виброметрия. М.: ГНТИМЛ, 1963. 772 с.
14. Хоменко ATL, Елисеев С.В., Большаков Р.С., Нгуен Д.Х. Возможности развития метода преобразования структурных схем в задачах динамики виброзащитных систем (часть I)//Вестник ВСГУТУ. 2016. № 3. С. 5-12.
15. Хоменко ATL, Елисеев С.В., Большаков Р.С., Нгуен Д.Х. Возможности развития метода преобразования структурных схем в задачах динамики виброзащитных систем (часть II) // Вестник ВСГУТУ. 2016. № 4 (61). С. 53-63.
16. Airstroke actuators, Airmount isolators. Engineering Manual & Design Guide (Firestone Industrial Products Company). URL: http://www.airlinehyd.com/apollo/firestone/w01metric.pdf [Accessed 20.09.2017].
17. Gavriloski V., Jovanova J. Dynamic behaviour of an air spring element // Machines & industrial design engineering. 2010. № 4-5. P. 24-27.
18. Presthus M. Derivation of Air Spring Model Parameters for Train Simulation // Master Thesis: Lulea University of Technology, 2002. 74 p.
19. Кирьянов Д.В. Самоучитель MathCAD. СПб. : БХВ-Петербург, 2002. 544 с.
20. ГОСТ 24221-94. Ткань кордная капроновая. Технические условия. Введ. 1996-07-01. М. : ИПК Издательство стандартов, 1996. 6 с.
21. Корнеев СА., Соколовский З.Н., Русских Г.С., Корнеев В.С., Трибельский М.И. Учёт влияния растяжимости нитей корда на расчётные параметры резинокордных оболочек// Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 3 (35). С. 69-76.
22. Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир, 1970. 304 с.
23. Truesdell C. Rational Thermodynamics. New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo : Springer-Verlag, 1984. 555 p.
24. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
25. Корнеев СА. Понятия и основы локально-неравновесной термодинамики сплошной среды. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009.284 с.
26. ДвайтГ.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977.224 с.
REFERENCES
1. Akhmadeeva A.A., Gozbenko V.E., Kargapol'tsev S.K. Vertikal'nye kolebaniya ekipazha s uprugo-podveshennym gruzom [Vertical oscillations of the crew with an elastically suspended cargo]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2012, No. 1 (33), pp. 42-46.
2. Gozbenko V.E., Akhmadeeva A.A. Vertikal'nye kolebaniya ekipazha s uchetom nerovnostei puti [Vertical oscillations of the crew taking into account the unevenness of the track]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2013, No. 3 (39), pp. 56-59.
3. Gozbenko V.E., Kargapol'tsev S.K., Akhmadeeva A.A. Dinamicheskie svoistva zheleznodorozhnogo vagona [Dynamic properties of the railway car]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2015, No. 4 (48), pp. 24-29.
4. Pilipenko V.V., Pilipenko O.V., Zapol'skii L.G. Pnevmaticheskie sistemy vibrozashchity s kvazinulevoi zhestkost'yu [Pneumatic systems of vibration protection with quasi-zero stiffness]. Tekhnicheskaya mekhanika [Technical mechanics], 2008, No. 2, pp. 17-25.
5. Pilipenko M.V. Razrabotka matematicheskoi modeli pnevmaticheskoi vibrozashchitnoi sistemy siden'ya voditelya transportnogo sredstva [Development of a mathematical model of a pneumatic vibroprotective system of a driver's seat of a vehicle]. Tekhnicheskaya mekhanika [Technical mechanics], 2009, No. 1, pp. 56-70.
6. Khomenko A.P., Logunov A.S. Pnevmaticheskie elementy v zadachakh vibrozashchity transportnykh sredstv [Pneumatic elements in the tasks of vibration protection of vehicles]. Reshetnevskie chteniya [], 2009. No. 13, Vol. 1, pp. 230-231.
7. Ravkin G. O. Pnevmaticheskaya podveska avtomobilya [Pneumatic suspension of the car]. Moscow: GNTIML Publ., 1962,288 p.
8. Pevzner Ya. M., Gorelik A.M. Pnevmaticheskie i gidropnevmaticheskie podveski [Pneumatic and hydropneumatic suspension]. Moscow: GNTIML Publ, 1963, 319 p.
9. Akopyan R. A. Pnevmaticheskoe podressorivanie avtotransportnykh sredstv (voprosy teorii i praktiki) [Pneumatic suspension of vehicles (theory and practice issues)]. L'vov: Vyshcha shkola Publ., 1979, Part 1, 218 p.
10. Kalashnikov B. A. Sistemy amortizatsii ob"ektov s diskretnoi kommutatsiei uprugikh elementov [Systems of depreciation of objects with discrete commutation of elastic elements]. Omsk: OmSTUPubl., 2008, 344 p.
иркутским государственный университет путей сообщения
Современные технологии. Системный анализ. Моделирование № 4 (56) 2017
11. Khamitov R.N., Aver'yanov G.S. Sistemy amortizatsii krupnogabaritnykh ob"ektov s aktivnymi uprugimi i dempfiruyushchimi elementami [Systems of amortization of large-sized objects with active elastic and damping elements]. Omsk: OmSTUPubl, 2010 , 124 P.
12. Korneev S.A., Korneev V.S., Zubarev A.V., Kliment'ev E.V. Osnovy tekhnicheskoi teorii pnevmaticheskikh amortizatorov [Fundamentals of the technical theory of pneumatic shock absorbers]. Omsk: OmSTUPubl., 2016, 148 p.
13. Iorish Yu.I. Vibrometriya [Vibrometry]. Moscow: GNTIML Publ., 1963, 772 p.
14. Khomenko A.P., Eliseev S.V., Bol'shakov R.S., Nguyen D. H. Vozmozhnosti razvitiya metoda preobrazovaniya strukturnykh skhem v zadachakh dinamiki vibrozashchitnykh sistem (chast' I) [Possibilities of developing a method for transforming structural circuits in problems of the dynamics of vibration protection systems]. Vestnik VSGUTU [ESSUTM Bulletin], 2016 , No. 3, pp. 5-12.
15. Khomenko A.P., Eliseev S.V., Bol'shakov R.S., Nguyen D. H. Vozmozhnosti razvitiya metoda preobrazovaniya strukturnykh skhem v zadachakh dinamiki vibrozashchitnykh sistem (chast' II) [Possibilities for the development of the method for transforming structural circuits in problems of the dynamics of vibration protection systems (Part II)]. Vestnik VSGUTU [ESSUTM Bulletin], 2016 , No. 4 (61), pp. 53-63.
16. Airstroke actuators, Airmount isolators. Engineering Manual & Design Guide (Firestone Industrial Products Company). URL: http://www.airlinehyd.com/apollo/firestone/w01metric.pdf [Accessed 20.09.2017].
17. Gavriloski V., Jovanova J. Dynamic behaviour of an air spring element. Machines & industrial design engineering. 2010 , No. 4-5, pp. 24-27.
18. Presthus M. Derivation of Air Spring Model Parameters for Train Simulation. Master Thesis: Lulea University of Technology, 2002,74 p.
19. Kir'yanov D.V. Samouchitel' MathCAD [MathCAD Self-study book]. St. Petersburg: BKhV-Peterburg Publ., 2002, 544 p.
20. GOST 24221-94. Tkan' kordnaya kapronovaya. Tekhnicheskie usloviya. Vved. 1996-07-01 [The cord kapron cloth. Standard specification. Introduction 1996-07-01]. Moscow: IPK Izdatel'stvo standartov Publ., 1996, 6 p.
21. Korneev S.A., Sokolovskii Z.N., Russkikh G.S., Korneev V.S., Tribel'skii M.I. Uchet vliyaniya rastyazhimosti nitei korda na raschetnye parametry rezinokordnykh obolochek [Taking into account the influence of cord threads extensibility on the calculated parameters of rubber-cord casings]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2012 , No. 3 (35), p. 69-76.
22. Kubo R. Termodinamika [Thermodynamics]. Moscow: Mir Publ., 1970, 304 p.
23. Truesdell C. Rational Thermodynamics. New York-Berlin-Heidelberg-Tokyo: Springer-Verlag, 1984, 555 p.
24. Truesdell C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. Academic Press , 1977, 304 p. (Russ. ed.: Trusdell, K. Pervo-nachal'nyi kurs ratsional'noi mekhaniki sploshnykh sred. Moscow: Mir Publ., 1975, 592 p.).
25. Korneev S.A. Ponyatiya i osnovy lokal'no-neravnovesnoi termodinamiki sploshnoi sredy [Concepts and foundations of locally nonequilibrium thermodynamics of a continuous medium]. Omsk: OmSTU Publ., 2009, 284 p.
26. Dwight H.B. Tables of Integrals and Other Mathematical Data. The Macmillan Company, 1961, 336 p. (Russ. ed.: Dvait G.B. Tablitsy integralov i drugie matematicheskie formuly. Moscow: Nauka Publ., 1977, 224 p.)
Информация об авторах
Корнеев Сергей Александрович - д. т. н., профессор , профессор кафедры «Основы теории механики и автоматического управления», Омский государственный технический университет, г. Омск, e-mail: korneyev@omgtu.ru
Корнеев Владимир Сергеевич - к. т. н., доцент кафедры «Основы теории механики и автоматического управления»,, Омский государственный технический университет, г. Омск e-mail: Korneyev-Vladimir@yandex.ru
Адонин Виталий Андреевич - заместитель главного конструктора, Федеральный научно-производственный центр «Прогресс», г. Омск, e-mail: labl20@progress-omsk.ru
Authors
Sergey Aleksandrovich Korneev - Doctor of Technical Science , Professor, the Subdepartment of Fundamentals of Theory of Mechanics and Automatic Control , Omsk State Technical University , Omsk, e-mail: korneyev@omgtu.ru
Vladimir Sergeevich Korneev - Ph.D. in Engineering Science , Associate Professor, the Subdepartment of Theory of Mechanics and Automatic Control, Omsk State Technical University, Omsk, email: Korneyev-Vladimir@yandex.ru
Vitaly Andreevich Adonin - Deputy Chief Structural Engineer , Federal Research and Production Center "Progress", Omsk, e-mail: labl20@progress-omsk.ru
Для цитирования
Корнеев С. А. Термодинамический метод построения рабочих характеристик пневматических элементов (воздушных пружин) с упруго деформируемой резинокордной оболочкой / С. А. Корнеев, В. С. Корнеев, В. А. Адонин // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2017. — Т. 56, № 4. — С. 8-18. — Б01: 10.26731/1813-9108.2017.4(56).8-18.
For citation
Korneev S.A., Korneev V.S., Adonin V.A. Termodinamicheskii metod postroeniya rabochikh kharakteristik pnevmaticheskikh ele-mentov (vozdushnykh pruzhin) s uprugo deformiruemoi rezi-nokordnoi obolochkoi [Thermodynamic method of construction of operational characteristics of pneumatic elements (air springs) with elastic deformable rubber-cord casing]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2017. Vol. 56, No. 4, pp. 8-18, DOI: 10.26731/1813-9108.2017.4(56).8-16.
