Использование гидротермодинамической аналогии для пояснения смысла энтропии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536:53

И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

ГИДРОТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ ДЛЯ ПОЯСНЕНИЯ СМЫСЛА ЭНТРОПИИ

111 В.В. Рындин

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Ijpj Термодинамикалыц жуйенщ энтропиясьшыц жэне шартты

резервуарлардьщ жиынтыгьшыц негьздер ауданыныц арасындагы Щщ аналогиясы вткЫлгдi. Мунда шартты резевуарлардагы су квхмте тец, ал |:||| олардьщ нег1здер ауданы олардагы су денгешериш Kepi пропорционалды 111 болады.

Проводится аналогия между энтропией термодинамической системы и площадью оснований совокупности условных резервуаров, суммарный объём воды в которых равен объёму воды в исходном резервуаре, а площади оснований которых обратно пропорциональны уровням воды в них.

The analogy between an entropy of a thermodynamic system and area of the foundations of set of conditional reservoirs, the general water volumes in which is equal to volume of water in the initial reservoir, while the areas of the foundations of which inversely proportional to height of water in theirs, is conducted.

В работах [1, 2] гидротермодинамическая аналогия используется для пояснения смысла таких термодинамических величин, как теплота, работа, энергия и теплоёмкость. В данной работе эта аналогия используется для пояснения смысла энтропии - одной из самых трудно понимаемых величин.

В работе [2] проведена аналогия между теплоёмкостью и площадью поперечного сечения резервуара, заполненного водой. Аналогия Cv А основана на формальном сходстве дифференциальных уравнений, описывающих изменение внутренней энергии (ВЭ) термодинамической системы и изменения объёма воды в резервуаре:

dU = CYdT odV = АдН , где dU - изменение внутренней энергии системы; dV - изменение объёма воды в резервуаре; Cv - изохорная теплоёмкость системы; А - площадь

поперечного сечения резервуара; <1Т - изменение температуры системы; dН - изменение уровня воды в резервуаре.

Теплоёмкость используется не только для расчёта изменения ВЭ идеального газа, но и для расчёта теплоты в произвольном процессе. Поскольку в общем случае изменение температуры системы происходит как за счёт подвода тепла, так и за счёт совершения работы, то, чтобы рассчитать теплоту через полное изменение температуры dТ, приходится вводить для каждого процесса соответствующую теплоёмкость С

S<2 *■' Cvd7" = ¿YCvdJ = CYdr, (1)

где kY = &Q / dU = йТ' / dT - доля теплоты в полном изменении внутренней энергии идеального газа при протекании произвольного процесса.

Конкретизируя kY, мы конкретизируем процесс. В случае протекания изопроцессов X = p,v = const в качестве индекса Y используется индекс X и теплоёмкость обозначается Сх; в случае протекания политропного процесса используется индекс п (Сп).

В качестве аналога теплоёмкости произвольного процесса вводится новая величина «каплеёмкость» (созвучная термину «теплоёмкость»)

л = / dff = к^А = Ауш1, (2)

под которой понимается площадь поперечного сечения условного резервуара, изменение объёма воды в котором соответствует объёму воды, поступившей через открытую поверхность во время дождя в исходный резервуару в произвольном процессе его наполнения при одном и том же изменении уровней воды в этих резервуарах. В случае одного только каплеобмена (без подвода воды по трубам) каплеёмкость равна площади поперечного сечения исследуемого резервуара {\ = А), так как в этом случае доля капель в полном изменении объёма воды в резервуаре равна единице (¿Еап = 1).

В случае изотермического процесса (dJ = 0) формула (1) непригодна для расчёта теплоты через теплоёмкость. Для этого служит энтропия, которая, в отличие от теплоёмкости, позволяет рассчитать теплоту в любом процессе. Подобно тому, как в работе [2] аналогом теплоёмкости была введена каплеёмкость (2), введём в качестве аналога энтропии, созвучную ей величину - «каклепию», которая, в отличие от энтропии, не отягощена различными теориями, обосновывающими (доказывающими) её существование.

Аналогом изотермического процесса (Г = const), теплота которого не может быть рассчитана через теплоёмкость, является процесс подвода

воды в резервуар при постоянном уровне воды в нём (Н - const), когда объём воды, поступившей в резервуар в виде капель, не может быть рассчитан через каплеёмкость (в этом случае площадь сечения условного резервуара, как и теплоёмкость изотермического процесса, равна бесконечности) и определяется как объём воды, вытекающей по трубам.

Рассчитать объём воды, поступающей через открытую поверхность резервуара в виде капель дождя, через высоту уровня Я можно, если организовать слив воды через верхний край резервуара по лотку в мерный сосуд с подвижной стенкой, перемещающейся по мере заполнения мерного сосуда при постоянной высоте уровня воды в нём Я (рисунок 1).

Измерив площадь поперечного сечения мерного (условного) сосуда &^4мер и высоту уровня воды в нём Я, можно рассчитать объём воды, поступившей в исследуемый резервуар во время дождя за малый промежуток времени, по формуле 5Укап = Я6Лмер.

В этом соотношении площадь поперечного сечения мерного резервуара ^меР никак не связана с площадью поперечного сечения А исследуемого резервуара, а конечный объём Укал может быть любым в зависимости от продолжительности дождя и его интенсивности, т. е. он также не связан с объёмом воды в резервуаре.

Установить связь между площадью поперечного сечения мерного резервуара Й4мер и геометрическими характеристиками исследуемого резервуара А и Я можно, если воду из него сливать (наливать) в мерные резервуары тонкими слоями толщиной dЯ в окрестности высоты уровня Я, чтобы процесс истечения можно было считать (принять) процессом квази (почти) постоянного уровня (Я & const). Процесс слива по лотку слоя дождевой воды толщиной АН на высоте Я в мерный резерву-

-Кагши

Подвижная стенка

НЪА„

А

Исследуемый резервуар

Й^мер

Мерный резервуар

Рис. 1

ар (той же высоты Н) можно представить как процесс только одного каплеоб-мена (без слива воды по трубам), что аналогично только одному теплообмену (без совершения работы) - изохорному процессу, протекающему в термодинамической системе. В этом случае каплеёмкость, как уже отмечалось, равна площади поперечного сечения резервуара (Л = Лкагглеоб = А ), а изменение объёма воды в резервуаре будет равно объёму капель: dVpe:¡ = 6Укап, что аналогично ¿1] - Ьдл, = Сус1Т.

Для каждой порции воды ¿У^ = &Укаг, = Л1гшл(1Я = АйН з вытекающей из исследуемого резервуара в окрестности уровня воды Я, можно подобрать мерный (условный) резервуар1, объём воды, в котором при высоте Я, будет равен объёму вытекшей (испарившейся, просочившейся) воды (рисунок 2), т. е.

8Умср = ЯМеР; - <*Уря = 5УКЯП = Л£аш1<1Я = АдН .

Откуда можно определить площадь поперечного сечения мерного резервуара

&4ер; = / II, = 6Уиер / И, = дУрю / В, = Аш<Ш! Н; = АШ / Я;. (3)

Как видим, в правой части выражения (3) стоят величины, относящиеся только к исследуемому резервуару, т.е. величина Мкер является функцией только геометрических параметров исследуемого резервуара. Поскольку величина является функцией параметров А и Я, то её молено рассматривать не только как элементарную величину (на что указывает символ 6), но и как изменение (которое принято обозначать знаком дифференциала <1) нового параметра резервуара (обозначим его символом Ч*):

№ = Н*р = Ися •

Величину Ф, служащую для расчёта объёма воды, поступившей (испарившейся) в процессе каплеобмена (дождя), назовём «каплепия». В соответствии с (3) дифференциал каплепии определяется как величина, обратно пропорциональная высоте уровня воды Н в резервуаре,

с№ = 6Укап / Я = Лкгшл(1Я / Я = АйН / Я = бУмср / Я = &4мир . (4) Конечное изменение каплепии резервуара можно найти, если из него слить воду тонкими слоями в мерные сосуды, характеризуемые высотами Я и площадями поперечного сечения йАмер.. от начального уровня Я

1 Заметим, что для такого условного резервуара площадь поперечного сечения подбирается через известные значения уровня воды Н и пордии вытекшей (поступившей) воды в отличие от условного резервуара, используемого для расчёта кашгеёмкости в работе [2], площадь поперечного сечения которого подбирается по заданным значениям изменения уровня воды АН и порции поступившей воды.

до конечного Яо и сложить все найденные площади поперечных сечений мерных сосудов (см. рисунок 2),

В случае постоянства площади поперечного сечения исследуемого резервуара А = const

= = Aj1^ d Я/ Я = Л1п(Я /Я0),

Тогда при устремлении Я0 к нулю (Н0 -»0) 1п(Я/Яц)-*оо и ДФ -» се, а значит и каплепия Ф от.. Можно задать конечное значение высоты уровня воды в резервуаре Я0 сколь угодно малым, но не равным нулю, гораздо меньшим высоты уровня воды, измеряемой на практике, например, Н= 1(Н м ~ Ю-3 мм, и принять при этом значении Я0 значение каплепии равным нулю (W0 = 0).

Тогда каплепия резервуара постоянного сечения будет иметь однозначное (конечное) значение, определяемое выражением

Ч^АЦЯ/ЯоЬ^И^. (5)

Из

выражения (5) можно найти функциональную зависимость высоты уровня Я в функции от каплепии

Н = НУА. (6)

Следовательно, в случае резервуара постоянного сечения (А = const) кривая, проходящая через середины вершин прямоугольников, обозначающих объёмы соответствующих мерных сосудов (в случае энтропии аналогами мерных сосудов будут условные термодинамические системы), является экспонентой в координатах V - Я.

В случае резервуара переменного сечения, площадь поперечного сечения которого при Но~*0 также стремится к нулю: Ао~^>0 (рисунок 3), значение каплепии будет конечным и определится выражением

W = fiAdH/H = 2Auspi. (7)

Сходимость интеграла в выражении (7) (конечность значения каплепии) можно показать, если взять любую геометрическую фигуру, площадь которой при Я—>0 также стремится к нулю, и вычислить для неё этот интеграл. Например, при линейной зависимости площади поперечного сечения исходного резервуара от его высоты (А - аН) значение каплепии будет конечным и равным площади поперечного сечения резервуара на высоте Я:

Ф = /0Н AdЯ/Я = jl;aIMII/II = аН = А,

Итак, в соответствии с выражениями (5) и (7) для любого резервуара

произвольной формы можно прямым путём, не прибегая к каким-либо дополнительным гипотезам и законам, ввести, наряду с геометрическими характеристиками резервуара Л и Н, новую величину - каплепию, позволяющую однозначно рассчитывать объём воды У.ап, поступившей в резервуар в процессе капле-обмена (дождя, испарения):

Кап

Эта формула аналогична расчёту теплоты через энтропию Q = J^T d S .

Аналогичными рассуждениями можно прийти к понятию энтропии для термодинамической системы, как это сделано в работе [3]. Теплоту изо-хорного процесса 6ßv (аналог 5FKan), подводимую к системе в узком интервале температур от Т до Т + dТ, можно представить, с одной стороны, в виде изменения ВЭ dUv исходной системы с постоянной теплоёмкостью Су (с переменной теплоёмкостью будет рассмотрено ниже) и при постоянном объёме, а с другой стороны, в виде внутренней энергии öi^vуел условной элементарной системы с теплоёмкостью öCv yöJ и температурой Т (рисунок 4)2;

&öv = CVÜT = dUv = bUv = 6Cv Т

r v * уел v уел

Откуда находим изохорную теплоёмкость SCVyci] условной элементарной системы

5CV = 8UyJT = dUv/T = ÖQv/T= CvdT IT. C8)

Поскольку в правой части выражения (8) стоят величины, относящиеся только к исследуемой термодинамической системе, то величина ÖC'vym является функцией параметров состояния системы (Су и Т) и, следовательно, её можно рассматривать не только как элементарную величину (на что указывает символ 6), но и как дифференциал новой величины - энтропии:

dSv^5CVyw=CvdTIT. (9)

Выражение (9) для дифференциала энтропии аналогично выражению (4) для дифференциала каплепии.

Конечное изменение энтропии системы в изохорном процессе можно получить, если просуммировать (проинтегрировать) выражение (9) в интервале значений температуры от Г0, (здесь штрих, чтобы не путать с Г0 = 273,15 К) до Т:

г s О г Н Т 00 00

ASV - 5 v - Sff = J -f- - jcv - 2 (ö£/ycjj/Г)| - 2 5С*

Та' 1 Tff 1 1-1 i-1

2 Рисунок 4 аналогичен рисунку 2.

ёУрез = АдН = ЙУмер = ЬА^.Н, = Н&Р

н\

Рис.2

Рис.3

т

Ту

55X55

Ж

Д5У . =5,

вс^-ю

Рис.4

В случае постоянства теплоёмкости системы (Cv = const) конечное изменение энтропии

ASV=5V -Sff = CvIn(T / Т0.)

В этом случае (при Cv = const) при устремлении Т0, к нулю aSv = Cvln(T / 0) = оо s а значит, и энтропия S - 5Г/ 4- дSv будет стремиться к бесконечности, т.е. при Т0, —>0 S оо . Следовательно, при постоянной теплоёмкости (точнее при ненулевом значении теплоёмкости при нулевой температуре) энтропия не имеет определённого конечного значения. Однако значение энтропии можно сделать конечным и однозначным, если во всех расчётах принять одно и то же минимальное значение 7\. неравное нулю, при котором можно принять S , = 0. В качестве значения такой температуры можно принять 7\ = Ю~100 К, что значительно меньше минимального значения температуры, получаемого на практике ~ 10"8 К [4].

Тогда энтропия идеального газа с постоянной теплоёмкостью при температуре Т будет иметь конечное значение, определяемое выражением

5v=Cvln(77^,);j (10)

где То, = 10"'ш К - температура, при которой условно принимается значение энтропии So. равным нулю, т.е. при Т, = Ю""100 К 5 = 0.

Откуда можно определить функциональную зависимость температуры Т от энтропии

r = r0,eSv/Cv (И)

Следовательно, в случае постоянной теплоёмкости системы (Cv = const) кривая, проходящая через середины вершин прямоугольников, обозначающих внутренние энергии соответствующих условных систем, является экспонентой в координатах S - Т. Формулы (10) и (11) аналогичны соответственно формулам (5) и (6).

В случае вещества с переменной теплоёмкостью Cv = f(T), стремящейся к нулю при Т-*0 (рисунок 5), значение энтропии будет конечным и определится выражением

2' 80 т dJ 00 00

5v= / J С— -JCS^/D^JSC^. {12)

г0'-ок 1 г0.-ок 1 i-i га

Здесь индекс v показывает, что значение энтропии S вычисляется через теплоту Qv нзохорного процесса. Выражение (12) справедливо как для идеального газа с переменной теплоёмкостью, так и для любого реального вещества, для которого возможен изохорный процесс от 0 К до Т. В

связи с тем, что большинство процессов протекает при постоянном давлении (в том числе и фазовые переходы), то абсолютное значение энтропии с учётом фазовых переходов вычисляют для различных веществ через теплоту изобарного процесса (энтальпию) [3].

В соответствии с рисунком, 3 каплепия имеет смысл площади (это основной вывод), но не исследуемого резервуара, для которого она рассчитывается, а совокупности мерных (условных) резервуаров, площади сечений которых обратно пропорциональны их высотам, изменяющихся скачками на АН в интервале от 0 до Я, а их объёмы при соответствующей высоте Я равны изменениям объёма воды в резервуаре при изменении уровня воды в нём на АН вблизи соответствующей высоты Я. Или короче, каплепия равна площади оснований совокупности условных резервуаров, суммарный объём воды в которых равен объёму воды в исходном резервуаре, а площади оснований которых обратно пропорциональны уровням воды в них.

Аналогичным образом, в соответствии с рисунком 5 энтропия имеет смысл теплоёмкости, но не исследуемой системы, для которой она рассчитывается, а теплоёмкости (изохорной или изобарной) совокупности условных систем, энергия (внутренняя или энтальпия) которых равна энергии исходной системы, а теплоёмкости которых обратно пропорциональны их температурам, изменяющихся скачками на дТ в интервале от от 0 до Т.

Итак, энтропия является чисто расчётной величиной (непосредственно измерить энтропию невозможно), которую можно интерпретировать как расчётную теплоёмкость совокупности условных систем, вводимых для представления порций тепла (теплоты) в виде внутренних

<35 = 6С,

V;

О

5 = 26Сч.

энергий или энтальпий этих условных систем, взятых при средних температурах подвода соответствующих порций тепла.

Для резервуара постоянного сечения (А = const) можно сказать и так: воду резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, можно заморозить в виде глыбы льда, верхняя поверхность которой спрофилирована по экспоненте Н =H0ev,A в интервале высот от #0 до Я (где Нь может быть сколь угодно малой величиной, но не равной нулю). Площадь основания Аояюв такой специально изготовленной глыбы льда и будет каплепией W (аналога энтропии) воды, находящейся внутри резервуара в форме параллелепипеда высотой Я и площадью основания А (рисунок 6).

Следовательно, каплепия Ч>, наряду с площадью поперечного сечения резервуара А, также является геометрической характеристикой этого резервуара, так как однозначно определяется через его параметры А и Я; т. е. для любого резервуара, зная зависимость А = f(H), определённую опытным или расчётным путём, можно найти каплепию Y= = /о' Ad Я/Я, а через неё можно находить как объём воды в резервуаре, так и объём воды, поступающей в резервуар в виде капель дождя (в процессе каплеобмена). Как видим, для введения каплепии не требуется никаких дополнительных законов и предположений, кроме соотношения (7), в котором должна быть известна зависимость А = f(H).

Аналогичным образом, в случае идеального газа постоянной теплоёмкости (Cv= const, Ср= const), его внутреннюю энергию (U = СТ) и энтальпию (Я = СТ) можно представить в виде прямоугольных параллелепипедов с основаниями, равными соответственно Cv и С , и высотой, равной температуре системы Т. Если эти параллелепипеды перестроить в соответствии с рисунком 6 в криволинейные фигуры, верхняя

А

поверхность которых спрофилирована по экспоненте Т = 7"0,с 5у /С'' или Т =*Т0.е>3р1Ср в интервале высот от Г0, до Т (где Т(у может быть сколь угодно малой величиной, но не равной нулю), то площади оснований этих криволинейных фигур будут изображать соответственно энтропии Sv и 5 .

Поскольку энтропия является аналогом каплепии, то и для её введения также не требуется никаких дополнительных законов (например, первой части второго начала термодинамики о существовании энтропии), кроме уравнения связи энтропии с теплотой и температурой

/

т-ок

Т

или, в случае отсутствия фазовых переходов и полиморфных превращений, соотношения (12), в котором должна быть известна зависимость теплоёмкости от температуры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рындин В.В. Использование гидротермодинамической аналогии для пояснения смысла теплоты, работы, энергии П Энергетика (Изв. высш. учеб. заведений). -1991,-№8,-С. 78-82.

2. Рындин В.В. Использование гвдротермодинамической аналогии для пояснения смысла теплоёмкости //Наука и техника Казахстана- 2004.-№ 1- С. ^2.- '1 %

3. Рындин В. В. Новый метод введения энтропии // Учёные записки Павлодарского государственного университета. - 1998. - № 4. - С. 29-35.

4. ЭткинсП. Порядок и беспорядок в природе//Пер. санга. /Предисл. Ю.Г. Рудого. -М: Мир, 1987.-224с.: ил.