Новый метод синтеза широкополосных согласующих устройств на ступенчато-нерегулярной линии передачи при произвольных иммитансах генератора и нагрузки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Теория сигналов

УДК 62-50:519.216

С. В. Таранин, Г. Н. Девятков

Новосибирский государственный технический университет

Новый метод синтеза широкополосных согласующих устройств

на ступенчато-нерегулярной линии передачи

при произвольных иммитансах генератора и нагрузки

В аналитическом виде получены ограничения, накладываемые на вычеты собственных функций четырехполюсника, которые в последующем позволяют достаточно просто реализовать устройства (например, согласующие или фильтрующие) на ступенчато-нерегулярной линии передачи (СНРЛП) в продольном (не шлейфном) ее включении между иммитансами генератора и нагрузки. На базе полученных результатов разработан метод синтеза широкополосных согласующих устройств (ШСУ) при произвольных иммитансах генератора и нагрузки. Приведен пример синтеза ШСУ.

Нерегулярная линия передачи, согласование

Актуальность синтеза широкополосных согласующих устройств (ШСУ) связана с одной из тенденций развития техники диапазона СВЧ - необходимостью расширения полосы рабочих частот устройств, что, в свою очередь, требует решения задач широкополосного согласования произвольных иммитансов и создания простых и эффективных методов синтеза согласующих устройств. Данной теме посвящено ограниченное количество работ. Методы синтеза можно разделить на две группы. К первой группе относятся аналитические методы (например, [1]), а к второй - методы, использующие численные процедуры оптимизации (например, [2], [3]). Ограниченность методов первой группы связана с их трудоемкостью, а также с частным характером получаемых решений. Методы второй группы позволяют решать задачу в общем виде (для произвольных типов нагрузок).

В рамках общей задачи синтеза ШСУ выделяется частная, но важная с точки зрения последующей технологической реализации ШСУ, подзадача, которая сводится к реализации ШСУ в виде нерегулярной линии передачи (НРЛП) в продольном (не шлейфном) ее включении между иммитансами генератора и нагрузки.

Помимо технологичности использование НРЛП в задаче синтеза ШСУ обосновано дополнительной степенью свободы (возможностью изменять волновое сопротивление (проводимость) линии передачи (ЛП) по ее длине), которая дает разработчику большую гибкость при синтезе такого рода устройств.

Существующие методы решения указанной подзадачи представлены в основном в

В [4] предложена математическая модель НРЛП в виде канонических матриц, описывающих работу четырехполюсника во временной области, используемая для определения профиля ЛП по заданному спектру ее собственных чисел. В работе [5] представлены методы, основанные на решении уравнения Рикатти относительно входного сопротивле-

[4] и [5].

© Таранин С. В., Девятков Г. Н., 2009

3

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 1======================================

ния ЛП и позволяющие решать многие практические задачи, но не обладающие гибкостью и универсальностью канонического представления четырехполюсника.

Исходя из изложенного представляет интерес разработка метода, позволяющего, основываясь на классической теории синтеза цепей и на представлении математической модели четырехполюсника в виде канонических матриц, синтезировать ШСУ в частотной области, которое можно будет достаточно просто реализовать на НРЛП в продольном ее включении между иммитансами генератора и нагрузки. При этом данный метод должен совмещать в себе точность аналитических и универсальность численных методов.

Метод решения задачи. Ограничимся утверждением, что согласующее устройство является пассивным реактивным четырехполюсником, реализуемым на распределенных элементах. Распределенный элементный базис ограничим регулярными и ступенчато-нерегулярными отрезками линии передачи. В качестве математической модели, описывающей работу согласующего четырехполюсника, используем его 2- (или У-)матричное представление, обозначенное далее как Ж-иммитансная матрица. Используем разложение его собственных параметров в сосредоточенном элементном базисе на элементарные дроби [6] с последующим переходом в распределенный элементный базис с применением реак-тансного преобразования Ричардса [7].

Ж-Матрицу можно представить следующим образом:

W =

w11 (S) w12 (S) W21 (S) W22 (S)

где

^ k0 (N) N Ik(i12_1) s wu ( s ) = kifn) s+k°--+ y f11 s ;

i=4 s S^21)

k0 (N) N 2k(il2-1) S

(S) = W21 (S) = k?/ N) S + ^ + У f212 S ;

S SS 2 - Sl

k0 (N) N 2k(il2-1) S

(S) = k,°2(N)S + + У 2:2K s .

W12 (S ) = W21 (S ) = k2^ N)S + +У-

4 \i/2-1) k0/2-1) ■

W22 (s) = k22(N) S+k22—+ y- "

i=4 S S(il2-1)

Здесь S = j tg (9) - частотная переменная Ричардса, соответствующая регулярному отрезку линии передачи [7] длиной 9 = 9нш' ( 9н - значение электрической длины отрезка ли' / \ N) , N)

нии передачи, вычисленное на частоте нормировки шн; ш =ш/шн); kn , k21 ,

7ю(N) 70 (N) 70 (N) 70 (N) Ai/2-1) Ji/2-1) Ji/2-1) , „ (е)

k22 , k11 , k21 , k22 , k11 , k21 , k22 - вычеты функций wu (S),

W21(S), W22(S) относительно полюсов при S = j tg (тс/2) , S = j tg(0) , S(;y2-1) =

= j tg (9нШ(;у2-1)/шн) соответственно; N - количество элементарных отрезков (целое четное число, большее либо равное 2). 4

==================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 1

Необходимые и достаточные условия физической реализуемости Ж-матрицы имеют вид:

к

11

(N) > 0 . к°(N7^ю(N(N)

22

> 0; кГТ ^2

к

Л N)

21

4(N) > 0; к02(N) > 0; к0/N)к02(N)-Гк01(N)

22

11

22

21

к2-1}> 0- к^2-1}> 0- к^2А('У2-1}

А1 1 , ЛЛЛ , А1 1 ЛЛЛ

11

122

11

122

к

(V 2-1)

> 0;

> 0; 2

21

> 0,

„ 7 ) 1V \1\ I 1

причем вычеты К2\ , , к,

°(N) к0 (N) к(V2-1)

21

могут принимать как положительные, так и отри-

цательные значения.

Реализация Ж-матрицы в виде СНРЛП (в продольном ее включении между иммитан-

сами генератора и нагрузки) требует наложения определенных условий (ограничений)

„ ,и(N) ,0 (N) ,(/'/2-1) „

схемной реализуемости на переменные крq , крq , кр^ ', pq = 11, 21, 22.

Рассмотрим общий случай, когда СНРЛП состоит из двух элементарных отрезков одинаковой длины 9 с волновыми проводимостями и ^2, причем к ее входным и к выходным зажимам могут быть подключены разомкнутые и/или закороченные шлейфы с электрической длиной 9 . Y-Матрицу такой СНРЛП представим в виде

№ + к101 /S к1°2 S + к102 /S + S к22 S + к22 /S _ Тогда ограничения на переменные будут иметь следующий вид: к°1 = к; = -к ;

кПк22 -(к2°1 )2 > 0; 4 > к ; к22 > к , где к = ^/(^ + Y2 ) . При кЦк^-(к^Г = 0;

к°1 = к ; к®2 = к реализация СНРЛП не содержит шлейфов.

Аналогично, анализируя Y-матрицы СНРЛП, состоящих из четырех и шести элементарных отрезков, можно записать выражения для ограничений в общем виде:

Y =

к

0 (N) 21

< 0;

к

21

Л к 0 (N) 1) к21 Щ^/2-1) j & 1 - С2 1 2-1) _ (N+2)|

2 П 7 о 2 о2 л2-1) - 2-1) _ 2

j &

к

2°1( N )=(-1)( V 2) к?/N);

к

0 (N) 11

>-к

0 (Ю. к0 (N)

21

22

>-к

21

0 (N), 21 ;

(1)

2

2

k

(</2-1) _

k

0 (N) 21

ш

j

j &

(j! 2-1)

1 - S2 1 !</ 2-1).

(N+2)"

22

4k

(</ 2-1)

11

n

j

j &

22

S(j/2-1) - \i!2-1)

k<»(N), <»(N) > k22 k11 ^

(0) (0) (0)

k

0 ( N ) 21

П S(il 2-1);

(2)

Ki _ k22 _ k21 _ 0; S(o) -1; i, j _ 2, N.

T-r л - /0 (N) ,0 (N)

При наложении более жестких ограничении: Лц _-k21 ;

k 0 (N) _ k 0 (N) . k22 _ -k21 ;

k

ю( N )k <»( N ) 0 (N)

22

11

k

21

П Si

(I/ 2-1)

реализация СНРЛП не содержит шлеИфов.

Учет условий технологической реализуемости, т. е. в данном случае ограничений, накладываемых на наибольшее и на наименьшее значения волновых сопротивлений (проводи-мостей) элементарных отрезков СНРЛП, а также на их перепад, происходит при реализации функции м>ц (51) по теореме Ричардса [7], заключающейся в последовательном выделении единичного элемента (элементарного отрезка). Данная реализация встраивается в процедуру синтеза, где указанные ограничения учитываются с помощью штрафных функций [8].

Для оценки степени согласования произвольных иммитансов генератора и нагрузки используется рабочий коэффициент преобразования мощности, который определяется как отношение средней мощности, поступающей в нагрузку, к максимально достижимой средней мощности генератора [1]:

G (-s 2)_ t (s) t*( s),

где s _ jo ;

t ( s )_

2^Re [ wr (s)] Re [ wK (s)] w21 (S)

- рабочиИ коэффициент

[wr (s) + w11 (S)] [wK (s) + w22 (S)] - w21 (S)

преобразования; wr (s), wK (s) - иммитансы генератора и нагрузки соответственно; * -знак комплексного сопряжения.

Так как задача синтеза достаточно сложна, ее целесообразно решать на ЭВМ с помощью процедур оптимизации. Математическая формулировка задачи оптимизации с использованием минимаксного критерия записывается следующим образом:

min G(ш,x) ^max, (3)

шеЕш

где ш - частота; x - вектор искомых параметров; Еш - множество рабочих частот, используемых в процессе синтеза.

Задача (3) относится к классу нелинейных многоэкстремальных многопараметрических задач. Ее решение разбивается на два этапа. На первом этапе методом статистических испытаний по наилучшей пробе определяется вектор начальных значений искомых

2

2

Ег

Рис. 1

параметров, а на втором - используется прямой метод поиска (метод Нелдера-Мида) [8]. Накладываемые на задачу ограничения учитываются с помощью штрафных функций.

Проблема выбора структуры функций собственных параметров синтезируемого четырехполюсника и нужных ограничений, которая возникает на начальном этапе синтеза, может быть решена при использовании подхода, предложенного в [9]. Он основан на использовании частотных зависимостей собственных параметров идеального согласующего четырехполюсника. Знание этих зависимостей дает возможность обоснованно выбрать структуру функций и ограничения для реального согласующего четырехполюсника.

В качестве примера, иллюстрирующего работу метода, синтезируем цепь, согласующую иммитансы источника сигнала иг (рис. 1, а) и нагрузки ин (рис. 1, б) в полосе

частот ш^... ш^ = 0...1 [3].

Модуль коэффициента отражения синтезируемой цепи независимо от числа элементов составит на нулевой частоте величину |Г| = 0.275, что соответствует коэффициенту преобразования мощности G = 0.924. Примем эту величину за уровень, который необходимо обеспечить в заданной полосе частот.

Решим задачу синтеза согласующего четырехполюсника с использованием У-мат-ричного представления.

Исходя из заданных условий, определим структуру функций собственных параметров согласующего четырехполюсника, используя подход [9] с учетом ограничений (1), (2). Тогда наиболее простая структура функций при N = 2 будет иметь вид

Л1 (5 ) = ¿Г 2) 5 + к{\( 2)Д;

У22 (5) = ¿2Г2(2)5+4(2)А;|> (4)

У 21 (5 ) = ¿2Г1( 2) 5 + ¿201( 2)А.

Для получения реализации СНРЛП, не содержащей шлейфов, наложим более жест-

,0 ,0 ,0 ,0 ,Г,Г /,0\2

кие ограничения: кц = -«2Ъ ¿22 = "¿21; ¿22^11 = I¿21! .

Реализованная по (4) согласующая цепь может быть представлена СНРЛП в продольном исполнении с двумя элементарными отрезками. С учетом наложенных ограничений запишем (4) в следующем виде:

ип (5 ) = $ 2) 5 + ¿101( 2)Д ;

и22 (5) =

К

0 (2) 11

(2)

'¿Ц 2)^ + ¿Ц 2)/ 5;

иы (5 ) = ¿101( 2) 5 - ¿101( 2)Д.

(5)

{

2

Рис. 2

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 1======================================

Далее, подставив (5) в (3) и учтя дополнительно условия технологической реа-

1

лизуемости, после оптимизации и реализации получим структуру согласующей цепи (рис. 2: Y1 = 3.2499 ; Y2 = 0.7843 ; 0 = 0.5497

при ^2) = 2.6181, 2) = 0.6318).

Частотная зависимость коэффициента преобразования мощности для этой цепи представлена на рис. 3, кривая 1 (достигнутое минимальное значение ООтт = 0.88 ).

Поскольку достигнутый результат не ' удовлетворяет поставленной задаче (От^п < G), перейдем к более сложной структуре функций собственных параметров согласующего четырехполюсника при N = 4

О

0.93 -

0.90

0.87

0.2

0.4 0.6 Рис. 3

0.8

1.0

0(4) 0 (4)

и, наложив более жесткие ограничения: Чц =^21 ,

\0 (4) k21

/0 (4) _ ,0 (4) k22 = _Л:21 ,

4)

, получим реализацию СНРЛП в продольном исполнении с четырьмя элементарными отрезками, не содержащую шлейфов (рис. 4: Yl = 2.4525; = 0.7912; Y3 = 5.0456; Y4 = 0.5798; 0 = 0.525).

Достигнутое значение (Отт = 0.922 (см. рис. 3, кривая 2) с приемлемой погрешностью соответствует поставленному требованию.

Для сравнения на рис. 3, кривая 3 дана зависимость, соответствующая согласующей цепи, представленной на рис. 5 (Ь^ = 0.44; L2 = 0.93 ; С = 2.64) [3]. Достигнутое значение

О • = 0 924 итт ■

Обсуждение результатов. Из анализа зависимостей 2 и 3, представленных на рис. 3, и соответствующих им согласующих цепей следует, что использование СНРЛП в продольном включении в качестве согласующей цепи не уступает по достигнутому уровню О схеме Т-образного согласователя (рис. 5), хотя и получено за счет некоторого увеличения сложности цепи (количество элементов цепи на рис. 4 на один больше по сравнению с цепью на рис. 5). В рассмотренном случае это усложнение является дополнительной степенью свободы, которая компенсирует ограничения продольной реализуемости СНРЛП (1) (2), накладываемые на решаемую задачу. В результате за счет указанного усложнения цепи получена удобная реализация ШСУ на СНРЛП, что является особенно актуальным в

Рис. 4

2

Рис. 5

диапазоне СВЧ, где трудности проектирования значительно возрастают.

В случаях, когда требования на согласование не слишком "жесткие", достаточно будет использовать цепь, приведенную на рис. 2. Хотя достигнутое значение G для данной цепи несколько меньше требуемого G = 0.924 (см. рис. 3, кривую 1), однако СНРЛП, на которой реализована согласующая цепь, состоит всего из двух элементарных отрезков, что в некоторых случаях может быть оправданно.

Предложенный метод позволяет в рамках классической теории синтеза цепей получить удобную схемную реализацию ШСУ в виде СНРЛП в ее продольном включении между иммитансами генератора и нагрузки. Необходимо заметить, что данный метод позволяет расширить класс синтезируемых цепей за счет возможности введения дополнительных частотных переменных [10] и за счет совместного использования сосредоточенных и распределенных элементов [11], что дает разработчику мощный инструмент и большую гибкость при синтезе ШСУ.

Библиографический список

1. Вай Кайчэнь. Теория и проектирование широкополосных согласующих устройств. М.: Связь, 1978. 288 с.

2. Yarman B. S., Fettweis A. Computer-aided double matching via parametric representation of Brune function // IEEE Trans. on circuits and systems. 1990. Vol. CS-37, № 2. P. 212-222.

3. Девятков Г. Н. Метод синтеза согласующего четырехполюсника при произвольных иммитансах генератора и нагрузки и произвольном типе элементов структуры // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1980. Т. 23, № 5. С. 21-25.

4. Синтез устройств СВЧ на неоднородных линиях / В. В. Козловский, В. И. Сошников, В. А. Бычков-ский и др. Киев: Тэхника, 1991. 160 с.

5. Фельдштейн А. Л., Явич Л. Р. Синтез четырехполюсников и восьмиполюсников на СВЧ. 2-е изд. М.: Связь, 1971. 388 с.

6. Гиллемин Е. А. Синтез пассивных цепей. М.: Связь, 1970. 720 с.

7. Richards P. I. Resistor - transmission - line circuits // Proc. IRE. 1948. Vol. 36. P. 217-220.

8. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.

9. Девятков Г. Н. Рабочие и собственные параметры реактивного согласующего четырехполюсника // Докл. СО АН ВШ. 2000. № 2. С. 48-52.

10. Таранин С. В., Девятков Г. Н. Обобщенное частотное преобразование для цепей на ступенчато-нерегулярных отрезках линии передачи // Мат-лы седьмой междунар. конф. АПЭП-2008: Новосибирск, 2426 сент. 2008 г. В 7 т. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. Т. 4. С. 70-73.

11. Таранин С. В., Девятков Г. Н. Метод синтеза широкополосных согласующих устройств при произвольных иммитансах генератора и нагрузки // Науч. вест. НГТУ. Новосибирск, 2007. № 2. C. 101-106.

S. V. Taranin, G. N. Devyatkov Novosibirsk state technical university

A new synthesis method of broadband matching devices on stepped nonuniform sections of transmission line for arbitrary loads

The constraints of network realization of two-port network is presented. It enables to realize matching andfiltering devices on stepped nonuniform sections of transmission line more simple. Also, the synthesis method of broadband matching devices for arbitrary loads are presented. The synthesized broadband matching device on stepped nonuniform sections of transmission line are presented.

Nonuniform transmission line, loads matching Статья поступила в редакцию 27 января 2009 г.