Новый критерий статической устойчивости электроэнергетической системы с математической моделью в форме алгебро-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Новый критерий статической устойчивости электроэнергетической системы с математической моделью в форме алгебро-дифференциальных уравнений

Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н., доктора техн. наук

Описан новый итерационный критерий статической устойчивости ЭЭС, заданной в алгебродифференциальной форме. Критерий построен на основе итерационного алгоритма вычисления обобщенной матричной сигнум-функции. В качестве примера рассмотрена задача анализа статической устойчивости модели ОЭС Центра, заданной в форме Коши и в алгебро-дифференциальной форме.

Ключевые слова: линеаризация уравнений, математическая модель, матричная сигнум-функция, статическая устойчивость.

The new criterion to steady-state stability of the electroenergy system with mathematical model in the form algebra-differential equations

Misrihanov M.SH., doctor tehn. sciences, Ryabchenko V.N., doctor tehn. sciences

It Is described new iteration criterion to steady-state stability EES, given in algebra-differential form. The criterion is built on base iteration algorithm of the calculation generalised matrix sign-functions. As example is considered problem of the analysis to steady-state stability to models OES Centre, given in the form Koshi and in algebra-differential form.

Keywords: linearization of the equations, mathematical model, matrix sign-function, steady-state stability.

Введение. В электроэнергетических системах (ЭЭС) проблема анализа статической устойчивости нормальных и послеаварийных режимов занимает одно из центральных мест [1, 2]. В качестве основного объекта практических расчетов выступает линеаризация нелинейной алгебродифференциальной математической модели ЭЭС:

(1)

Ax-

_5g

dy

Ay ■

5g

5u

(4)

x=x o y=y o

u=u_

Au.

x = f (x, y, u); 0 = g(. y. u). где x є Rnx

(2)

- вектор переменных состояния;

где нижний индекс 0 обозначает установившийся режим ЭЭС; Дх, Ду, Ди - отклонения соответствующих векторов:

Дх = х - х0 = х' е ,

Au = u - uo = и є \

x' = -

dx

x=xo y=y o

u=un

5y

у е ШПу - вектор параметров; и е - вектор Ду = у - Уо = х"е

входных воздействий; ^•) и §(•) - нелинейные векторные функции; Ж - множество действительных чисел. Вид векторных функций ^•) и ё( •) определяется математическими моделями электрической сети и ее элементов (генераторов, трансформаторов, линий электропередачи, накопителей энергии и т. д.).

Стандартный подход к линеаризации (1),

(2) связан с процедурой разложения в ряд Тейлора нелинейной векторной функции в малой окрестности установившегося режима ЭЭС. В результате линеаризации получается следующая аппроксимация:

дх'

Линеаризация уравнений ЭЭС в точке установившегося (послеаварийного) режима дает алгебро-дифференциальные уравнения:

f

du

x=x o y=y o

u=un

9g x" +^i

dx x x° 5y у=у o Л x=xo X + du x=x o

(5)

(6)

f (. y. u) = f (xo. yo. uo)

x=x,

o

y=y o

u=u~

Ax-

f

5y

Ay + —

(3)

При формальной обратимости матрицы д%1 ду уравнения (5), (6) могут быть преобразованы к форме Коши (форме пространства состояний):

( / N-1 (

x=xo Au.

5f

dx

df I dg 5y l^y

1 dg ^ dx

5u

df | dg 5y l^y

1 ^ 5u

u. (7)

Если матрица д^ду вырождена, то уравнения (7) не существует. Однако даже в случае обратимости д^ду в практических расчетах на

і

первый план выступает проблема обусловленности этой матрицы.

Напомним, что число обратимости матрицы еопЬ( •) является отношением максимального

сингулярного числа сттах матрицы к ее минимальному сингулярному числу сттіп [3]. При

:(д§/ду)

cond (dg/dy) = -

>> 1

(8)

, (д^5у)

матрица 5^5у близка к вырожденности и математическая модель (7) становится чрезвычайно чувствительной («жесткой») по отношению к малым ошибкам вычислений и вариациям параметров.

Другими словами, математическая модель (7) в случае справедливости неравенства (8) или приближенного равенства

(5^ ду ) 0 (9)

является некорректной по А.Н. Тихонову [4].

Если не принимать дополнительных мер, то все вычисления (анализ статической устойчивости, анализ управляемости и наблюдаемости и др.) с использованием матриц

а£ Гдм) 1 дм ^ _.д£ Гд!) 1 (10)

дх ду ^ дуJ дх ’ ди ду ^ ду) ди

будут приводить к серьезным ошибкам. В качестве одной из таких мер можно рассматривать процедуру предобусловливания матрицы [5, 6]. Однако в общем случае данный метод наталкивается на ряд существенных трудностей [7]. Нестрого говоря, улучшение обусловленности матрицы д%/ду будет сопровождаться ухудшением обусловленности произведения матриц

дм! 1 д! {) 1 .дм.

ду J дх ’ ^ дуJ ди ’

а значит, и матриц (10).

Альтернативой является использование в расчетах исходной линеаризованной модели (5), (6).

Введем следующие обозначения:

х =

f х^

x'

V J

n = Пх + Пу;

(11)

E =

f Ч 0 ^ є ЖПХП, A = dx df dy

0 0 ag ag

V J dx V dy

B =

f3f ^

du

5g

v5u,

(12)

где 1Пх - единичная матрица размера пх х пх .

Тогда модель (5), (6) можно переписать в

виде

Е х = Ах + Ви. (13)

В современной математической теории систем линейную модель (13) называют линейной

дескрипторной (linear descriptor system), линейной сингулярной (linear singular system), а также линейной алгебро-дифференциальной системой (linear algebraic differential system).

Сразу же заметим, что асимптотическая устойчивость линейной алгебро-дифференци-альной системы (13) практически никак не связана с асимптотической устойчивостью матрицы A . Точнее, только при E = In устойчивость этой системы определяется устойчивостью (гурвицево-стью) матрицы A . При обратимой матрице E для асимптотической устойчивости (13) необходима и достаточна гурвицевость матриц E~1A , AE— [5].

Рассматривая в контексте алгебро-диф-ференциальных систем задачу определения статической (асимптотической) устойчивости ЭЭС, заданной в форме (13), следует отметить, что она относится к обобщенным задачам на собственные значения пучка матриц [8]

XE-A, det E = 0. (14)

В общем случае при выполнении условия регулярности пучка (14) [8]

ЗХеС: det (XE - A) ф 0, (15)

система (13) имеет к конечных собственных значений Xfin и n - к собственных значений «на бесконечности» X” . При этом можно утверждать следующее: ЭЭС, заданная в алгебродифференциальной форме (13), является статически устойчивой тогда и только тогда, когда все конечные собственные значения Xfin обобщенного пучка матриц (14) лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости с, т.е.

VX

fin

: Re(xfin)< 0.

(16)

Набор методов анализа статической устойчивости ЭЭС, заданной в алгебродифференциальной форме (13), существенно мал. Он включает:

• спектральные методы (методы обобщенной проблемы собственных значений);

• итерационные методы (методы на основе различных итерационных процедур).

Далее вводится новый итерационный критерий статической устойчивости ЭЭС, заданной в алгебро-дифференциальной форме (13). Данный критерий построен на основе итерационного алгоритма вычисления обобщенной матричной сигнум-функции ЭЭС.

Матричная сигнум-функция (МСФ). Рассмотрим некоторую числовую матрицу W е ЖПхП и множество ее собственных значений

Л( W) = {х, е С| det (X,- 1П _ W) = 0’ / = Щ}. (17)

Пусть ни одно из собственных значений X, не лежит на мнимой оси. В этом случае справедлива следующая вещественная жорданова декомпозиция матрицы [8, 9]:

w = т

f J- 0 1

0 \ J+J

(18)

Утверждение 1. Если последователь-

где 3_ є Жтхт , 3+ є Ж(п т)х(п т) - жордановы блоки, представляющие соответственно устойчивое (КеX, < 0) и неустойчивое (КеX, > 0) подмножества собственных значений X, матрицы (18).

Введем определение [10].

Определение 1. Матричной сигнум-функцией (МСФ)1 матрицы W (18) называется выражение

sign(W) = T

- Im 0

0 In-m

(19)

Таким образом, согласно введенному определению, жорданов блок J_ из разложения (18) ассоциируется в формуле (19) с единичной матрицей -Im, т.е. со скалярной матрицей, на диагонали которой размещены числа «-1», а жорданов блок J+ - с обычной единичной матрицей In-m . Здесь m - число собственных значений матрицы W с ReX, < 0 .

Отметим, что МСФ sign(W) единственна для заданной матрицы W и не зависит от алгебраической и геометрической кратности ее собственных значений [8, 9].

Исследование МСФ связано с именами отечественных и зарубежных ученых: А.А. Абрамова, Биверса и Денмона, Робертса, Ф.А. Алиева, Б.А. Бордюга, В.Б. Ларина и др.

Кратко рассмотрим некоторые из свойств МСФ, доказательства которых можно найти в [11].

Свойство 1. Если матрица W асимптотически устойчива (гурвицева), тогда sign(W) = -In. (20)

Свойство 2. Если все собственные значения матрицы W лежат в правой полуплоскости С, тогда

sign(W) = In. (21)

Свойство 3. Для любой матрицы T ^WT sign (Wt) = T ~1sign(W )T. (22)

Для вычисления МСФ используют различные алгоритмы [11]. В качестве базового рассмотрим итерационную процедуру Ньютона.

Пусть матрица X е Mnxn является решением квадратного уравнения (т.е. матричным квадратным корнем)

X2 = In. (23)

Применяя для решения (23) метод Ньютона, получим следующую итерационную процедуру (ИПН):

1 (k + X-1), k = 0,1,2,... (24)

Справедливо следующее утверждение [10].

Хо = X, X,+1 =

ность {X}" сходится, тогда

sign( X) = lim

k

(25)

Таким образом, согласно (25), предел ИПН (24) дает МСФ (19).

Известно, что итерационная процедура (24) сходится с квадратической скоростью [10].

Обобщенная матричная сигнум-функция (ОМСФ). Определение стандартной МСФ и практическая процедура для ее вычисления могут быть распространены на обобщенный пучок квадратных матриц ХЕ - А [11].

Введем еще одно определение [11].

Определение 2. Обобщенной матричной сигнум-функцией (ОМСФ) пучка матриц (14) называется выражение

sign (A, E) = Y

- E11 0

0 E22

X -

(26)

где матрицы E11, E22, X и Y определены следующим образом:

Aii

\

\

А"к тИа: * ■ Е=у тІЕіх (27)

V V

Для вычисления ОМСФ применяется следующая обобщенная итерационная процедура Ньютона (ОИПН):

Xо = A,

X,+1 =

Xk

■EX-^E).

(28)

При обратимой матрице E и некоторых других допущениях [11] итерации (28) сходятся к матрице

Esign (E-1a) = sign (AE-1) E.

ОИПН (28) является привлекательной для решения задачи на обобщенные собственные значения. Высокая производительность программного обеспечения для таких матричных вычислений является доступной в широком классе компьютерных технологий и, особенно, в параллельных компьютерах.

Существенным недостатком ОИПН (28) является требование обращения на каждом шагу итерации матрицы Xk .

Следующая процедура нахождения ОМСФ не использует в явном виде операцию обращения матриц:

Xо = A, Го = E,

Xk+1 =

(29)

lk+1

л/2

= л/2X,Y,.

і

Здесь (•- операция вычисления нуль-пространства прямоугольной транспонированной матрицы [12]; рк > 0 - коэффициент ускорения.

1 Matrix sign-function.

При обратимой матрице E справедливо утверждение [11].

Утверждение 2. Если последовательность матриц {X, Y}=0 сходится, тогда

sign(A, E)= lim XkY- = lim YkX-1. (30)

k ^w k ^w

Отметим, что, если в (29) положить Y0 = In и

n = |det Xk|

Pk |det Yk | ’ тогда

sign( A) = lim Xk.

k^w

Другими словами, ОИПН (29) дает возможность вычислить стандартную МСФ без явного использования операции обращения.

Процедура (29) получена путем модификации алгоритма, описанного в [13] и применяемого при нахождении численного решения обобщенных алгебраических уравнений Риккати.

Итерационный критерий устойчивости на основе МСФ. Понятие МСФ (19) и рассмотренная ИПН (24) [11] были положены в основу формирования практических критериев устойчивости ЭЭС. Речь идет о критериях типа критерия В.И. Зубова [14]. Напомним, что для проверки асимптотической устойчивости матрицы A по критерию Зубова необходимо найти преобразованную матрицу

F = In - 2 (In + A)-1, а затем проверить условие lim F' = 0,

' ^w

например, следующим (практическим) способом: IIFI >| F21| > - > ||f 'I |.

Здесь Ц Ц - какая-либо матричная норма.

На основании ИПН (24) в [11] предложен следующий итерационный критерий статической устойчивости ЭЭС, заданной в форме Коши x = Ax + Bu. (31)

Итерационный критерий устойчивости (ИКУ). ЭЭС статически устойчива тогда и только тогда, когда последовательность

{det(In - X) сходится к 2n. При этом для

статически устойчивой ЭЭС {det X}=0 = (-1)n .

Обратно: ЭЭС статически неустойчива тогда и только тогда, когда последователь-

Вычислить d0 = det (In - X0). Шаг 2. Вычислить

ность {det(In - X)

k=0

сходится к нулю. При

= -1.

этом для неустойчивой ЭЭС {сЫ X}=0

Общее описание алгоритма ИКУ выглядит следующим образом.

Алгоритм ИКУ.

Шаг 0. Положить

Xi = - ( + X01), di = det (In - X0).

Шаг N. Вычислить

ХЫ = ^ ((-1 + ХЫ-1), = Се* (п - ХЫ-1) ■

Проверить характер изменения функции 6к, к = 0,1, ■■■, N . Если данная функция глобально убывающая, то ЭЭС неустойчива. Если функция ёк, к = 0,1, ■■■, N сходится к значению 2п, то ЭЭС статически устойчива.

Рассмотрим в качестве примера математическую модель объединенной энергосистемы (ОЭС) Центра, записанной в форме Коши (31) [15]. Данная модель описывает схему энергосистемы, представленную сетями 220-750 кВ. Она включает в себя несколько концентрированных энергосистем, соединенных относительно слабыми межсистемными связями. Схема содержит 286 узлов, 531 ветвей, 129 генераторов.

При составлении математической модели энергосистемы генераторы реальных станций моделировались динамическими звеньями 2-го порядка. В рассматриваемом режиме ОЭС Центра слаборазреженная матрица А имеет порядок п = 258 и является статически устойчивой, поскольку ее собственные значения локализованы в следующей области:

{-1,8750 ±у38,1208;- 0,2078 ±711,1112}- (32)

Результаты расчетов статической устойчивости модели ОЭС Центра с помощью алгоритма ИКУ на основе МСФ подтвердили факт ее устойчивости (значения логарифма по основанию 2 определителей 6, по шагам приведены в таблице).

В дальнейших исследования режим ОЭС Центра был изменен так, что у матрицы А появилась одна пара неустойчивых комплексносопряженных корней 0,0011 ±у6,4419 . Выяснилось, что уже при 20 итерациях определитель 620 становится близким к нулю, что свидетельствует о наличии неустойчивых мод колебаний.

Из ОИПН и формулировки утверждения 2 вытекает еще один критерий статической устойчивости на основе МСФ, в котором не используется в явном виде операция обращения матрицы.

Результаты расчетов

X0 =

f

dx

df Г dg

dy [dy

5g

dx

Номер шага log21 di)

0 859,7153

1 613,9249

2 378,1235

3 170,6907

4 66,8680

5 342,4869

6 219,1101

7 254,9146

Номер шага log21 di)

8 247,4103

9 258,7026

10 255,8663

11 258,1259

12 257,9994

13 258,0...

14 258,0...

Итерационный критерий устойчивости (ИКУ без обращения). ЭЭС статически устойчива тогда и только тогда, когда последовательность

к=0

сходится к нулю, где

Рк - УЛ

(33)

- произвольная

матричная норма.

Эквивалентно: ЭЭС статически неустойчива тогда и только тогда, когда последо-

вательность

*к - Ук

к=0

сходится к ненуле-

вому числу.

Действительно, для статически устойчивой ЭЭС МСФ равна (см. (20)) э1дп( А) = - 1п ■ (34)

Из сопоставления (30) и (34) следует к ^: Ук = Хк (35)

или, иначе,

к : Хк - Ук = 0. (36)

Таким образом, для статически устойчивой ЭЭС существует последовательность

к ^: \\Хк - Гк|| = 0, (37)

что и требовалось доказать.

Полученные результаты по анализу устойчивости модели ЭЭС в форме Коши распространяются на модель ЭЭС, заданную в алгебродифференциальной форме (13).

Итерационный критерий устойчивости на основе ОМСФ. Сформулируем на основании алгоритма (29) итерационный критерий устойчивости ЭЭС, заданной в алгебродифференциальной форме (13).

Обобщенный итерационный критерий устойчивости (ОИКУ). ЭЭС, заданная в алгебродифференциальной форме (13), является статически устойчивой тогда и только тогда, когда последовательность

Хк - УЛ

к=0

сходится к нулю, где

Хк - УЛ

(38)

- произвольная

матричная норма.

Обратно: ЭЭС, заданная в алгебродифференциальной форме (13), является неустойчивой тогда и только тогда, когда последовательность (38) сходится к ненулевому числу.

Доказательство ОИКУ основано на справедливости формулировки утверждения 2 (см. (30)) и рассуждениях, аналогичных (34)-(37).

Общее описание алгоритма ОИКУ выглядит следующего образом.

Алгоритм ОИКУ.

Шаг 0. Положить

X =

^ 1

дх ду V = Е = Г ч 0'

, У0 = Е = 0 0

дх V дУ , V У

Вычислить п0 = ||Х0 - У0||. Задать р0 > 0. Вычислить

У0

= ( ! *0),

Р0?0У)),

V =>/2XУ,,

п1 = | |Х1 - Уі||.

Шаг 2. Задать р1 > 0. Вычислить

Г- Х1 11

= ( і X),

*2 =-/^(р-1У1*1

РУ^),

1

>/2'

У2 = л/2X1У1,

П2 =| |*1 - У\\.

Шаг N. Задать ры > 0. Вычислить

Г- у 1

у N

N -1

N-1

XN = -72 (рА1-1

XN-1*N-1 + pN-Л-1^М-1)

л/2'

Уы =Ш?1,

пЫ =||ХЫ - Уы||■

Проверить характер изменения функции пк, к = 0,1, ■■■, N. Если данная функция глобально убывает до нуля, то ЭЭС статически устойчива. Если функция пк, к = 0,1, ■■■, N сходится к ненулевому значению, то ЭЭС неустойчива.

Вернемся к математической модели ОЭС Центра, но записанной не в форме Коши (31), а в алгебро-дифференциальной форме (14), где

Е =

Г і 1258 01

0 \ 0 /

„544x544 а = - т>544x544

дf'

дх ду

дх V дУ 7

(39)

В результате применения ОИКУ к модели (39) при рк = 1 получается график, приведенный на рисунке. Как видно, уже при 15 итерациях итерации сходятся к нулю, что свидетельствует о статической устойчивости рассматриваемой модели ОЭС Центра.

iteration steps

График изменения lg(хк - Ук^.) по шагам ОИКУ для статически устойчивой модели ОЭС Центра

4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1977.

5. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. -М.: Мир, 1999.

6. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений / Под ред. Д.К. Фаддеева. - М.: Наука, 1984.

7. Баландин М.Ю., Шурина М.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000.

8. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука, 1984.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988.

10. Kenney C., Laub A.J. The matrix sign function // IEEE Trans. Autom. Contr. - 1995. - 40 (8). - P. 1330-1348.

11. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Матричная сигнум-функция в задачах анализа и синтеза линейных систем // Автоматика и Телемеханика. - 2008. - № 2. -С. 26-51.

12. Bernstein D.S. Matrix mathematics. Princeton Univ. Press, 2005.

13. Benner P., Byers R. An arithmetic for matrix pencil: Theory and new algorithms // Tech. Report, Univ. of Kansas, 2003.

14. Зубов В.И. Устойчивость движения. - М.: Высш. шк., 1984.

15. Тузлукова Е.В. Развитие методов анализа динамических свойств энергосистем на основе решения частичной проблемы собственных значений: Дис... канд. техн. наук / МЭИ. - М., 2004.

Рябченко Владимир Николаевич,

МЭС Центра - филиал ОАО «ФСК ЕЭС»,

референт генерального директора, доктор технических наук, профессор, телефон (495) 963-47-17, e-mail: [email protected]

Заключение

Анализ статической устойчивости на основе линеаризованных уравнений ЭЭС является важной и актуальной задачей. Исходными уравнениями ЭЭС являются уравнения генераторов и электрической сети, имеющие алгебро-дифференциальный вид. В процессе преобразования этих уравнений в форме Коши возникают неизбежные вычислительные ошибки, которые при плохой обусловленности матриц преобразования имеют решающее значение. Предложенные новый итерационный критерий устойчивости (ОИКУ) и алгоритм, построенный на основе матричной сигнум-функции, позволяют производить анализ статической устойчивости ЭЭС в исходной линеаризованной ал-гебро-дифференциальной форме. Алгоритм для модели ЭЭС с матрицами размера 544x544 дает высокую скорость сходимости.

Список литературы

1. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. - М.: Высш. шк., 1970.

2. Строев В.А. Статическая устойчивость электроэнергетических систем (системный подход): Дис... д-ра техн. наук. - М.: МЭИ, 1987.

3. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. - М.: Мир, 2001.

Мисриханов Мисрихан Шапиевич,

МЭС Центра - филиал ОАО «ФСК ЕЭС», генеральный директор, доктор технических наук, профессор, телефон (495) 963-47-17, e-mail: [email protected]