Новый критерий статической устойчивости электроэнергетической системы с математической моделью в форме алгебро-дифференциальных уравнений
Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н., доктора техн. наук
Описан новый итерационный критерий статической устойчивости ЭЭС, заданной в алгебродифференциальной форме. Критерий построен на основе итерационного алгоритма вычисления обобщенной матричной сигнум-функции. В качестве примера рассмотрена задача анализа статической устойчивости модели ОЭС Центра, заданной в форме Коши и в алгебро-дифференциальной форме.
Ключевые слова: линеаризация уравнений, математическая модель, матричная сигнум-функция, статическая устойчивость.
The new criterion to steady-state stability of the electroenergy system with mathematical model in the form algebra-differential equations
Misrihanov M.SH., doctor tehn. sciences, Ryabchenko V.N., doctor tehn. sciences
It Is described new iteration criterion to steady-state stability EES, given in algebra-differential form. The criterion is built on base iteration algorithm of the calculation generalised matrix sign-functions. As example is considered problem of the analysis to steady-state stability to models OES Centre, given in the form Koshi and in algebra-differential form.
Keywords: linearization of the equations, mathematical model, matrix sign-function, steady-state stability.
Введение. В электроэнергетических системах (ЭЭС) проблема анализа статической устойчивости нормальных и послеаварийных режимов занимает одно из центральных мест [1, 2]. В качестве основного объекта практических расчетов выступает линеаризация нелинейной алгебродифференциальной математической модели ЭЭС:
(1)
Ax-
_5g
dy
Ay ■
5g
5u
(4)
x=x o y=y o
u=u_
Au.
x = f (x, y, u); 0 = g(. y. u). где x є Rnx
(2)
- вектор переменных состояния;
где нижний индекс 0 обозначает установившийся режим ЭЭС; Дх, Ду, Ди - отклонения соответствующих векторов:
Дх = х - х0 = х' е ,
Au = u - uo = и є \
x' = -
dx
x=xo y=y o
u=un
5y
у е ШПу - вектор параметров; и е - вектор Ду = у - Уо = х"е
входных воздействий; ^•) и §(•) - нелинейные векторные функции; Ж - множество действительных чисел. Вид векторных функций ^•) и ё( •) определяется математическими моделями электрической сети и ее элементов (генераторов, трансформаторов, линий электропередачи, накопителей энергии и т. д.).
Стандартный подход к линеаризации (1),
(2) связан с процедурой разложения в ряд Тейлора нелинейной векторной функции в малой окрестности установившегося режима ЭЭС. В результате линеаризации получается следующая аппроксимация:
дх'
Линеаризация уравнений ЭЭС в точке установившегося (послеаварийного) режима дает алгебро-дифференциальные уравнения:
f
du
x=x o y=y o
u=un
9g x" +^i
dx x x° 5y у=у o Л x=xo X + du x=x o
(5)
(6)
f (. y. u) = f (xo. yo. uo)
x=x,
o
y=y o
u=u~
Ax-
f
5y
Ay + —
(3)
При формальной обратимости матрицы д%1 ду уравнения (5), (6) могут быть преобразованы к форме Коши (форме пространства состояний):
( / N-1 (
x=xo Au.
5f
dx
df I dg 5y l^y
1 dg ^ dx
5u
df | dg 5y l^y
1 ^ 5u
u. (7)
Если матрица д^ду вырождена, то уравнения (7) не существует. Однако даже в случае обратимости д^ду в практических расчетах на
і
первый план выступает проблема обусловленности этой матрицы.
Напомним, что число обратимости матрицы еопЬ( •) является отношением максимального
сингулярного числа сттах матрицы к ее минимальному сингулярному числу сттіп [3]. При
:(д§/ду)
cond (dg/dy) = -
>> 1
(8)
, (д^5у)
матрица 5^5у близка к вырожденности и математическая модель (7) становится чрезвычайно чувствительной («жесткой») по отношению к малым ошибкам вычислений и вариациям параметров.
Другими словами, математическая модель (7) в случае справедливости неравенства (8) или приближенного равенства
(5^ ду ) 0 (9)
является некорректной по А.Н. Тихонову [4].
Если не принимать дополнительных мер, то все вычисления (анализ статической устойчивости, анализ управляемости и наблюдаемости и др.) с использованием матриц
а£ Гдм) 1 дм ^ _.д£ Гд!) 1 (10)
дх ду ^ дуJ дх ’ ди ду ^ ду) ди
будут приводить к серьезным ошибкам. В качестве одной из таких мер можно рассматривать процедуру предобусловливания матрицы [5, 6]. Однако в общем случае данный метод наталкивается на ряд существенных трудностей [7]. Нестрого говоря, улучшение обусловленности матрицы д%/ду будет сопровождаться ухудшением обусловленности произведения матриц
дм! 1 д! {) 1 .дм.
ду J дх ’ ^ дуJ ди ’
а значит, и матриц (10).
Альтернативой является использование в расчетах исходной линеаризованной модели (5), (6).
Введем следующие обозначения:
х =
f х^
x'
V J
n = Пх + Пу;
(11)
E =
f Ч 0 ^ є ЖПХП, A = dx df dy
0 0 ag ag
V J dx V dy
B =
f3f ^
du
5g
v5u,
(12)
где 1Пх - единичная матрица размера пх х пх .
Тогда модель (5), (6) можно переписать в
виде
Е х = Ах + Ви. (13)
В современной математической теории систем линейную модель (13) называют линейной
дескрипторной (linear descriptor system), линейной сингулярной (linear singular system), а также линейной алгебро-дифференциальной системой (linear algebraic differential system).
Сразу же заметим, что асимптотическая устойчивость линейной алгебро-дифференци-альной системы (13) практически никак не связана с асимптотической устойчивостью матрицы A . Точнее, только при E = In устойчивость этой системы определяется устойчивостью (гурвицево-стью) матрицы A . При обратимой матрице E для асимптотической устойчивости (13) необходима и достаточна гурвицевость матриц E~1A , AE— [5].
Рассматривая в контексте алгебро-диф-ференциальных систем задачу определения статической (асимптотической) устойчивости ЭЭС, заданной в форме (13), следует отметить, что она относится к обобщенным задачам на собственные значения пучка матриц [8]
XE-A, det E = 0. (14)
В общем случае при выполнении условия регулярности пучка (14) [8]
ЗХеС: det (XE - A) ф 0, (15)
система (13) имеет к конечных собственных значений Xfin и n - к собственных значений «на бесконечности» X” . При этом можно утверждать следующее: ЭЭС, заданная в алгебродифференциальной форме (13), является статически устойчивой тогда и только тогда, когда все конечные собственные значения Xfin обобщенного пучка матриц (14) лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости с, т.е.
VX
fin
: Re(xfin)< 0.
(16)
Набор методов анализа статической устойчивости ЭЭС, заданной в алгебродифференциальной форме (13), существенно мал. Он включает:
• спектральные методы (методы обобщенной проблемы собственных значений);
• итерационные методы (методы на основе различных итерационных процедур).
Далее вводится новый итерационный критерий статической устойчивости ЭЭС, заданной в алгебро-дифференциальной форме (13). Данный критерий построен на основе итерационного алгоритма вычисления обобщенной матричной сигнум-функции ЭЭС.
Матричная сигнум-функция (МСФ). Рассмотрим некоторую числовую матрицу W е ЖПхП и множество ее собственных значений
Л( W) = {х, е С| det (X,- 1П _ W) = 0’ / = Щ}. (17)
Пусть ни одно из собственных значений X, не лежит на мнимой оси. В этом случае справедлива следующая вещественная жорданова декомпозиция матрицы [8, 9]:
w = т
f J- 0 1
0 \ J+J
(18)
Утверждение 1. Если последователь-
где 3_ є Жтхт , 3+ є Ж(п т)х(п т) - жордановы блоки, представляющие соответственно устойчивое (КеX, < 0) и неустойчивое (КеX, > 0) подмножества собственных значений X, матрицы (18).
Введем определение [10].
Определение 1. Матричной сигнум-функцией (МСФ)1 матрицы W (18) называется выражение
sign(W) = T
- Im 0
0 In-m
(19)
Таким образом, согласно введенному определению, жорданов блок J_ из разложения (18) ассоциируется в формуле (19) с единичной матрицей -Im, т.е. со скалярной матрицей, на диагонали которой размещены числа «-1», а жорданов блок J+ - с обычной единичной матрицей In-m . Здесь m - число собственных значений матрицы W с ReX, < 0 .
Отметим, что МСФ sign(W) единственна для заданной матрицы W и не зависит от алгебраической и геометрической кратности ее собственных значений [8, 9].
Исследование МСФ связано с именами отечественных и зарубежных ученых: А.А. Абрамова, Биверса и Денмона, Робертса, Ф.А. Алиева, Б.А. Бордюга, В.Б. Ларина и др.
Кратко рассмотрим некоторые из свойств МСФ, доказательства которых можно найти в [11].
Свойство 1. Если матрица W асимптотически устойчива (гурвицева), тогда sign(W) = -In. (20)
Свойство 2. Если все собственные значения матрицы W лежат в правой полуплоскости С, тогда
sign(W) = In. (21)
Свойство 3. Для любой матрицы T ^WT sign (Wt) = T ~1sign(W )T. (22)
Для вычисления МСФ используют различные алгоритмы [11]. В качестве базового рассмотрим итерационную процедуру Ньютона.
Пусть матрица X е Mnxn является решением квадратного уравнения (т.е. матричным квадратным корнем)
X2 = In. (23)
Применяя для решения (23) метод Ньютона, получим следующую итерационную процедуру (ИПН):
1 (k + X-1), k = 0,1,2,... (24)
Справедливо следующее утверждение [10].
Хо = X, X,+1 =
ность {X}" сходится, тогда
sign( X) = lim
k
(25)
Таким образом, согласно (25), предел ИПН (24) дает МСФ (19).
Известно, что итерационная процедура (24) сходится с квадратической скоростью [10].
Обобщенная матричная сигнум-функция (ОМСФ). Определение стандартной МСФ и практическая процедура для ее вычисления могут быть распространены на обобщенный пучок квадратных матриц ХЕ - А [11].
Введем еще одно определение [11].
Определение 2. Обобщенной матричной сигнум-функцией (ОМСФ) пучка матриц (14) называется выражение
sign (A, E) = Y
- E11 0
0 E22
X -
(26)
где матрицы E11, E22, X и Y определены следующим образом:
Aii
\
\
А"к тИа: * ■ Е=у тІЕіх (27)
V V
Для вычисления ОМСФ применяется следующая обобщенная итерационная процедура Ньютона (ОИПН):
Xо = A,
X,+1 =
Xk
■EX-^E).
(28)
При обратимой матрице E и некоторых других допущениях [11] итерации (28) сходятся к матрице
Esign (E-1a) = sign (AE-1) E.
ОИПН (28) является привлекательной для решения задачи на обобщенные собственные значения. Высокая производительность программного обеспечения для таких матричных вычислений является доступной в широком классе компьютерных технологий и, особенно, в параллельных компьютерах.
Существенным недостатком ОИПН (28) является требование обращения на каждом шагу итерации матрицы Xk .
Следующая процедура нахождения ОМСФ не использует в явном виде операцию обращения матриц:
Xо = A, Го = E,
Xk+1 =
(29)
lk+1
л/2
= л/2X,Y,.
і
Здесь (•- операция вычисления нуль-пространства прямоугольной транспонированной матрицы [12]; рк > 0 - коэффициент ускорения.
1 Matrix sign-function.
При обратимой матрице E справедливо утверждение [11].
Утверждение 2. Если последовательность матриц {X, Y}=0 сходится, тогда
sign(A, E)= lim XkY- = lim YkX-1. (30)
k ^w k ^w
Отметим, что, если в (29) положить Y0 = In и
n = |det Xk|
Pk |det Yk | ’ тогда
sign( A) = lim Xk.
k^w
Другими словами, ОИПН (29) дает возможность вычислить стандартную МСФ без явного использования операции обращения.
Процедура (29) получена путем модификации алгоритма, описанного в [13] и применяемого при нахождении численного решения обобщенных алгебраических уравнений Риккати.
Итерационный критерий устойчивости на основе МСФ. Понятие МСФ (19) и рассмотренная ИПН (24) [11] были положены в основу формирования практических критериев устойчивости ЭЭС. Речь идет о критериях типа критерия В.И. Зубова [14]. Напомним, что для проверки асимптотической устойчивости матрицы A по критерию Зубова необходимо найти преобразованную матрицу
F = In - 2 (In + A)-1, а затем проверить условие lim F' = 0,
' ^w
например, следующим (практическим) способом: IIFI >| F21| > - > ||f 'I |.
Здесь Ц Ц - какая-либо матричная норма.
На основании ИПН (24) в [11] предложен следующий итерационный критерий статической устойчивости ЭЭС, заданной в форме Коши x = Ax + Bu. (31)
Итерационный критерий устойчивости (ИКУ). ЭЭС статически устойчива тогда и только тогда, когда последовательность
{det(In - X) сходится к 2n. При этом для
статически устойчивой ЭЭС {det X}=0 = (-1)n .
Обратно: ЭЭС статически неустойчива тогда и только тогда, когда последователь-
Вычислить d0 = det (In - X0). Шаг 2. Вычислить
ность {det(In - X)
k=0
сходится к нулю. При
= -1.
этом для неустойчивой ЭЭС {сЫ X}=0
Общее описание алгоритма ИКУ выглядит следующим образом.
Алгоритм ИКУ.
Шаг 0. Положить
Xi = - ( + X01), di = det (In - X0).
Шаг N. Вычислить
ХЫ = ^ ((-1 + ХЫ-1), = Се* (п - ХЫ-1) ■
Проверить характер изменения функции 6к, к = 0,1, ■■■, N . Если данная функция глобально убывающая, то ЭЭС неустойчива. Если функция ёк, к = 0,1, ■■■, N сходится к значению 2п, то ЭЭС статически устойчива.
Рассмотрим в качестве примера математическую модель объединенной энергосистемы (ОЭС) Центра, записанной в форме Коши (31) [15]. Данная модель описывает схему энергосистемы, представленную сетями 220-750 кВ. Она включает в себя несколько концентрированных энергосистем, соединенных относительно слабыми межсистемными связями. Схема содержит 286 узлов, 531 ветвей, 129 генераторов.
При составлении математической модели энергосистемы генераторы реальных станций моделировались динамическими звеньями 2-го порядка. В рассматриваемом режиме ОЭС Центра слаборазреженная матрица А имеет порядок п = 258 и является статически устойчивой, поскольку ее собственные значения локализованы в следующей области:
{-1,8750 ±у38,1208;- 0,2078 ±711,1112}- (32)
Результаты расчетов статической устойчивости модели ОЭС Центра с помощью алгоритма ИКУ на основе МСФ подтвердили факт ее устойчивости (значения логарифма по основанию 2 определителей 6, по шагам приведены в таблице).
В дальнейших исследования режим ОЭС Центра был изменен так, что у матрицы А появилась одна пара неустойчивых комплексносопряженных корней 0,0011 ±у6,4419 . Выяснилось, что уже при 20 итерациях определитель 620 становится близким к нулю, что свидетельствует о наличии неустойчивых мод колебаний.
Из ОИПН и формулировки утверждения 2 вытекает еще один критерий статической устойчивости на основе МСФ, в котором не используется в явном виде операция обращения матрицы.
Результаты расчетов
X0 =
f
dx
df Г dg
dy [dy
5g
dx
Номер шага log21 di)
0 859,7153
1 613,9249
2 378,1235
3 170,6907
4 66,8680
5 342,4869
6 219,1101
7 254,9146
Номер шага log21 di)
8 247,4103
9 258,7026
10 255,8663
11 258,1259
12 257,9994
13 258,0...
14 258,0...
Итерационный критерий устойчивости (ИКУ без обращения). ЭЭС статически устойчива тогда и только тогда, когда последовательность
к=0
сходится к нулю, где
Рк - УЛ
(33)
- произвольная
матричная норма.
Эквивалентно: ЭЭС статически неустойчива тогда и только тогда, когда последо-
вательность
*к - Ук
к=0
сходится к ненуле-
вому числу.
Действительно, для статически устойчивой ЭЭС МСФ равна (см. (20)) э1дп( А) = - 1п ■ (34)
Из сопоставления (30) и (34) следует к ^: Ук = Хк (35)
или, иначе,
к : Хк - Ук = 0. (36)
Таким образом, для статически устойчивой ЭЭС существует последовательность
к ^: \\Хк - Гк|| = 0, (37)
что и требовалось доказать.
Полученные результаты по анализу устойчивости модели ЭЭС в форме Коши распространяются на модель ЭЭС, заданную в алгебродифференциальной форме (13).
Итерационный критерий устойчивости на основе ОМСФ. Сформулируем на основании алгоритма (29) итерационный критерий устойчивости ЭЭС, заданной в алгебродифференциальной форме (13).
Обобщенный итерационный критерий устойчивости (ОИКУ). ЭЭС, заданная в алгебродифференциальной форме (13), является статически устойчивой тогда и только тогда, когда последовательность
Хк - УЛ
к=0
сходится к нулю, где
Хк - УЛ
(38)
- произвольная
матричная норма.
Обратно: ЭЭС, заданная в алгебродифференциальной форме (13), является неустойчивой тогда и только тогда, когда последовательность (38) сходится к ненулевому числу.
Доказательство ОИКУ основано на справедливости формулировки утверждения 2 (см. (30)) и рассуждениях, аналогичных (34)-(37).
Общее описание алгоритма ОИКУ выглядит следующего образом.
Алгоритм ОИКУ.
Шаг 0. Положить
X =
^ 1
дх ду V = Е = Г ч 0'
, У0 = Е = 0 0
дх V дУ , V У
Вычислить п0 = ||Х0 - У0||. Задать р0 > 0. Вычислить
У0
= ( ! *0),
Р0?0У)),
V =>/2XУ,,
п1 = | |Х1 - Уі||.
Шаг 2. Задать р1 > 0. Вычислить
Г- Х1 11
= ( і X),
*2 =-/^(р-1У1*1
РУ^),
1
>/2'
У2 = л/2X1У1,
П2 =| |*1 - У\\.
Шаг N. Задать ры > 0. Вычислить
Г- у 1
у N
N -1
N-1
XN = -72 (рА1-1
XN-1*N-1 + pN-Л-1^М-1)
л/2'
Уы =Ш?1,
пЫ =||ХЫ - Уы||■
Проверить характер изменения функции пк, к = 0,1, ■■■, N. Если данная функция глобально убывает до нуля, то ЭЭС статически устойчива. Если функция пк, к = 0,1, ■■■, N сходится к ненулевому значению, то ЭЭС неустойчива.
Вернемся к математической модели ОЭС Центра, но записанной не в форме Коши (31), а в алгебро-дифференциальной форме (14), где
Е =
Г і 1258 01
0 \ 0 /
„544x544 а = - т>544x544
дf'
дх ду
дх V дУ 7
(39)
В результате применения ОИКУ к модели (39) при рк = 1 получается график, приведенный на рисунке. Как видно, уже при 15 итерациях итерации сходятся к нулю, что свидетельствует о статической устойчивости рассматриваемой модели ОЭС Центра.
iteration steps
График изменения lg(хк - Ук^.) по шагам ОИКУ для статически устойчивой модели ОЭС Центра
4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1977.
5. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. -М.: Мир, 1999.
6. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений / Под ред. Д.К. Фаддеева. - М.: Наука, 1984.
7. Баландин М.Ю., Шурина М.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000.
8. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.: Наука, 1984.
9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988.
10. Kenney C., Laub A.J. The matrix sign function // IEEE Trans. Autom. Contr. - 1995. - 40 (8). - P. 1330-1348.
11. Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Матричная сигнум-функция в задачах анализа и синтеза линейных систем // Автоматика и Телемеханика. - 2008. - № 2. -С. 26-51.
12. Bernstein D.S. Matrix mathematics. Princeton Univ. Press, 2005.
13. Benner P., Byers R. An arithmetic for matrix pencil: Theory and new algorithms // Tech. Report, Univ. of Kansas, 2003.
14. Зубов В.И. Устойчивость движения. - М.: Высш. шк., 1984.
15. Тузлукова Е.В. Развитие методов анализа динамических свойств энергосистем на основе решения частичной проблемы собственных значений: Дис... канд. техн. наук / МЭИ. - М., 2004.
Рябченко Владимир Николаевич,
МЭС Центра - филиал ОАО «ФСК ЕЭС»,
референт генерального директора, доктор технических наук, профессор, телефон (495) 963-47-17, e-mail: mmsh@mes-centra.ru
Заключение
Анализ статической устойчивости на основе линеаризованных уравнений ЭЭС является важной и актуальной задачей. Исходными уравнениями ЭЭС являются уравнения генераторов и электрической сети, имеющие алгебро-дифференциальный вид. В процессе преобразования этих уравнений в форме Коши возникают неизбежные вычислительные ошибки, которые при плохой обусловленности матриц преобразования имеют решающее значение. Предложенные новый итерационный критерий устойчивости (ОИКУ) и алгоритм, построенный на основе матричной сигнум-функции, позволяют производить анализ статической устойчивости ЭЭС в исходной линеаризованной ал-гебро-дифференциальной форме. Алгоритм для модели ЭЭС с матрицами размера 544x544 дает высокую скорость сходимости.
Список литературы
1. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. - М.: Высш. шк., 1970.
2. Строев В.А. Статическая устойчивость электроэнергетических систем (системный подход): Дис... д-ра техн. наук. - М.: МЭИ, 1987.
3. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. - М.: Мир, 2001.
Мисриханов Мисрихан Шапиевич,
МЭС Центра - филиал ОАО «ФСК ЕЭС», генеральный директор, доктор технических наук, профессор, телефон (495) 963-47-17, e-mail: mmsh@mes-centra.ru