Новые семейства стационарных распределений двухчастичной релятивистской системы уравнений Власова - Максвелла - Фоккера - Планка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2012. Т. 5, № 2. С. 18-30

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК 519.517

Новые семейства стационарных распределений двухчастичной релятивистской системы уравнений Власова-Максвелла-Фоккера-Планка

Э. И. Семенов

Институт динамики систем и теории управления СО РАН А. В. Синицын

Universidad Nacional de Colombia, Bogota, Colombia

Аннотация. Найдены новые семейства распределений и соответствующие им электромагнитные поля для двухчастичной релятивистской системы Власова - Максвелла - Фоккера - Планка в стационарном случае. Показано, что исследование исходной модели свелось к системе двух нелинейных эллиптических уравнений и двум линейным уравнениям в частных производных первого порядка.

Ключевые слова: релятивистская система Власова - Максвелла - Фоккера -Планка; стационарные решения.

Динамика двухчастичной релятивистской плазмы, состоящей из электронов и однозарядных ионов одного сорта, в стационарном случае описывается системой уравнений Власова - Фоккера - Планка (ВФП)

дополненной уравнениями Максвелла для самосогласованного электромагнитного поля

1. Введение

(1.2)

VxE = 0

(1.3)

(1.4)

УБ = 0.

(1.5)

Здесь (I = е,г) - индексы по сорту частиц (электроны и ионы, соответственно); символ (^) означает, что выражение с индексом I = е

, А . ^

принимает знак минус, а выражение с индексом I = г знак плюс; У =

- релятивистская скорость, записанная в предположении, что скорость света нормирована на единицу; /1 = ¡1 (г, V) : М6 ^ М+ А (0, +го) -функции распределения соответствующих сортов частиц, г А (х, у, г) €

М3, V А (ух,уу,уг) € М3 - состояние и скорость частиц; е — величина заряда частицы; т1 - массы электронов и ионов; —I - коэффициенты дрейфа; Т[ - коэффициенты диффузии, причем —[ > 0; Е(г) А

(Ех(г),Еу(г), Ех(г)), Б(г) а (Бх(г),Бу(г),Бг(г)) - вектор-функции самосогласованного электрического и магнитного поля, соответственно.

Ранее, в статье [1] было показано, что в случае одночастичной функции распределения f (г, V) = ехр{—а\у\2 + d ■ V + <^(г)}, разрешимость стационарной системы ВМФП свелась к разрешимости полулинейного эллиптического уравнения Лиувилля в двумерном координатном пространстве для функции <^(г). Для уравнения Лиувилля приведены явные аналитические решения и, как следствие, выписаны точные решения (стационарные распределения) исходного уравнения Власова -Фоккера - Планка с соответствующими электромагнитными полями, удовлетворяющими системе уравнений Максвелла. В работе [3] авторами было построено семейство стационарных распределений вида

f (г, V) А f (Р, О), где Р(г, V) = —аИ2 + р(г), О(г, V) = d ■ V + ф(г)

для одночастичной нерелятивистской системы ВМФП. Отметим, что близкие задачи для системы Власова-Максвелла, которая является частным случаем системы ВМФП, рассматривались в цикле работ Рудых -Сидорова - Синицына (см. главу 7 монографии [4] и имеющуюся там библиографию).

V

(1.6)

V1 + М2

20

Э. И. СЕМЕНОВ, А. В. СИНИЦЫН

2. Основные результаты

Будем отыскивать стационарные распределения для системы релятивистских уравнений ВФП (1.1) в виде

Л

¡¡(г, v) = ¡¡(РиЯг), (I = е, г),

(2.1)

где функции ¡¡(Р1,О{) являются дважды дифференцируемыми функциями своих аргументов Рг, Ог :

Р (г, V) = —а^ 1 + \V\2 + ^¡(г), О1(г, V) = d ■ V + ^(г). (2.2)

Здесь ^¡(г), ф1 (г) - пока произвольные скалярные функции, которые будут определены позднее, d € М3, ^\ =0 - свободный вектор, а1 € М+

- произвольные параметры.

Лемма 1. Если функции (2.1) являются решениями системы уравнений ВФП (1.1), то справедливы соотношения

(Т)

т1 дО1

Е ■ d = Т1^\'

дО2'

(2.3)

еа1.

-^77 ( — (т)—Е I + ТйТ

дР^\ т1 ) дО1

—¡

дО1

дР дОг)

— Л — аТ дЛ = 0

дРг

Тд2Л —дЦ =0

а Т щ ——щ = 0

Уфг + (т)—Б х d тг

д2Л \

d,

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Доказательство. Пусть функции ¡¡(Рг,О) удовлетворяют системе ВФП. Подставляя их в уравнения (1.1), получим два равенства для индексов (I = е, г)

1

дЛ

уг+тр дР

1 дЛ

т

дх

дР

Ух^~ + Уу—~ + Ух

у ду

дР

дг

д/1 + ^\2 д°1

(т) е дЛ

(Т)

дОг дОг дОг

Ух^~ + Уу^- + ух-------

дх

тг дР е дЛ

дР

дух

ду дР

Уу

Ех~----------+ Еу о--------+ Ег ——

ду.

тг дОг

Е д°г . Е д°г . Е

Ех о + Еу гл + Ег

дУх

дУу

дг дРг

дУг_

дОг

дУг

.

.

.

.

(т)

т л/1 + I V I 2 дРг дРг

(ууВх - уг Ву) ——+

(угВх ухВг) 0 + (ухВу ууВх) 0

дуу ду,

(т)

д/г

тл/1 + |VI2 дЯг

(ууВг - уг Ву) ду—+

дЯг

(угВх — ухВг) дуу-----+ (ухВу — ууВх)

дРг

дуу др )ух дЯг ду

дЯг

дуг

+

(2.7)

Аг д/г

УГ+Тр дРг

др

дух

у^~—■ + уу^-------+ уг

ду

Аг д/г

д/Г+М2 дЯг

дЯг . дЯг .

у^—------+ уу—-----+ уг

ду

дуу

Тг

дРг2

Тг

ху 2

др 'у дЯг

дуг

2

др

дуг

+ Аг /г

(ру+ (аду+(т

дух дуу дуг

+

3 + 2|т|2 (1 + I V I '2)3/2

+

+

д/

дРг

д2Рг д2Рг д2Рг дух + ду“2 + ду2х

+

Т д/ 1 дЯ2

дЯг

дух

+

дЯг

дуу

+

дЯг

дуг

+

т,

д/

дЯг

д2Яг + дЯ + д2 Яг дух ду"2 ду22

+

2Тг

д 2/г дРгдЯг

дРг дЯг + др дО_ + дЯг

дух дух дуу дуу

дуг

Так как функции Рг, Яг, (I = е,г), определяются формулами (2.2), то имеем

дРг = дщ_ др = дщ, др = дщ_

дх дx ’ дy ду } дх дх ’

дРг

аг ух

дРг

агуу

дРг

аг уг

дух л/1 + I V 12 дуу л/1 + | V |2’ дуг л/1 + | V |2 ’

д2Рг (1 + | V |2) - у2х д2Рг (1 + | V |2) - у2

= -аг^——ючч/о > ^ 2 = -аг-

дух2

(1 + М2)3/2 ’ ду2

(1 + |v|2)3/2

д2Рг (1 + ^|2) - у

д2 = -аг

(1 + |V|2)3/2 ’

1

1

2

2

2

дЯг _ дфг_ дЯ _ дфг_ дЯг дх дХ ду ду

дЯг

дЯг

дух дуа

д2Яг д2Яг

_ ¿у,

дг

дЯг

дУг

дфг дг ’

— ¿г

дуХ

ду2

у

д2Яг

ду“2.

0.

С учетом этих соотношений равенства (2.7), преобразуются к виду

1

V1 + м2

т

—Уфг • V +

дР ф + дЯг

тгл/1 + | VI2 аг М2

Уфг • V

д/г

+ (т)-

аг—Е • V -

. г дРг дЯг

тг дЯг (В х а) • V

е а-

1 + М2 V • а

V1 + М2

\ д—г + Т

—Лг^7Т + агТг

—

дР?)

+

\г

г дРг

д— 2 Т_д—_\ + дЯг гг дРфЯі)

Тг|а|

+ 3 + 21V |2

дЯ\ (1 + |v|2 )

(Лг —г — агТг—)

В силу нашего предположения два последних равенства должны обращаться в тождества. А это возможно, только, в том случае, когда коэффициенты при следующих множителях:

V

3 + 21V |2

V

у/1 + М2’ (1 + м2)3/2’ 1 + М2’

зависящих от аргумента вектор-скорости V и свободном члене равны

нулю, т. е.

1: Т |а|

>д—

дЯ2

— (Т)

т дЯ

Еа — о,

V

1еаг1

,__________ : -^г- [Уфі — (т) — Е +^-

л/1 + | V |2 дРг V тг ) дЯг

Уфг + (т)— В х а —

т

А'/ - 2агТгдРЯ) А = 0,

дЯ дР дЯ

3 + 2М2 \ ^ Т д/г 0

(1 + |V12)3/2 : Аг/г - агТг др =0,

|v|2 X д/г , а Тд2/г = 0

1+1^2 ' дР, + агТгдр2 - 0

Отсюда немедленно следуют формулы (2.3) - (2.6) для однозарядных электронов и ионов, соответственно. Что и требовалось доказать. □

2

Интегрируя уравнения (2.5), (2.6), которые являются линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), находим

fi(Р, Qi) = Fi(Qi) exp ^0^TiPl) ^ (l = e,i)' (2.8)

Здесь Fi (Qi) - пока произвольные функции. Подставляя функции (2.8) в соотношения (2.3), (2.4), получим

TiIdlF - ф)m~(E ■ d) F =0, (2.9)

mi

^Fi (vw - (T)eae) + F{(V& + (ф) —B x d + Xid) =0. (2.10) aiT V mi ) \ mi )

Здесь штрихи означают производные со соответствующим аргументам. Лемма 2. Если имеют место формулы

Vw - (ф) — E = 0, V^i + (ф) — B x d + Xid = 0, (I = e, i) (2.11)

m m

то соотношения (2.10) будут справедливыми при любых Fi (Qi).

Доказательство. Справедливость данного утверждения очевидна. Действительно, если выполнены формулы (2.11), то соотношения (2.10) обратятся в тождества при любых функциях Fi (Qi). □

Легко видеть, что линейные ОДУ (2.9) в зависимости от значений скалярного произведения E ■ d обладают различными типами решений. Здесь возможны два случая: E ■ d = 0 и E ■ d = const = 0. В данной работе мы рассмотрим, только, случай, когда электрическое поле E ортогонально постоянному вектору d.

Итак, пусть выполнено условие

E ■ d = 0. (2.12)

Интегрируя уравнения (2.9), получим Fi (Qi) = Си Qi + C2i. При этом (2.8) запишется как fi(P,Qi) = (СиQi + C2i)exp ^0^^} , где Си =

0, C2i — произвольные постоянные. Без ограничения общности, положим Сц = 1, C2i = 0. С учетом формул (2.2) окончательно получим, что функции распределения для релятивистских уравнений ВФП (1.1) имеют следующий вид

fi (rv) =(d ■ v+yi (r))ex^- T V1 +|v|2 + aXTiWi(r)). (2.13)

Из соотношений (2.11) следует, что неизвестные функции ф\(г), фх(г) связаны с электромагнитными полями Е(г), В(г) равенствами

р а

Уфе = -—Е, (2.14)

т,

е

Уфе = B х d — Aed, (2.15)

те

ра ■

Уфг = — E, (2.16)

т

Уфг = —— B х d — Aid. (2.17)

mi

Формулы (2.14), (2.16) приводят к цепочке равенств

E = — т Уфе = т Уфг- (2.18)

рае —аг

Отсюда следует, что неизвестные векторы Уфе, Уфг являются линейно зависимыми. Следовательно скалярные функции фе(г), фг(г) будем отыскивать в следующем виде

фе(r) = ф(г) + С1е, фг(г) = Аегф(г) + cii, (2.19)

ai те „

где Aei =----------; сц — произвольные постоянные, С учетом равенств

mi ае

(2.19) формула для электрического поля E(r) примет окончательно вид

т

E(r) = —т Уф(г). (2.20)

рае

Домножая соотношения (2.15), (2.17) векторно справа на вектор d, и учитывая условие B • d = 0, получим

тт B = —-^2Уфе х d = —^Уфi х d, (2.21)

p|d|2 p|d|2

Отсюда следует, что неизвестные векторы Уфе, Уфi также являются линейно зависимыми, поэтому скалярные функции фе(г), фi(r) будем отыскивать в виде

фе(r) = ф(г) + С2е, Фi(r) = meiф(r) + C2i, (2.22)

где c2i — произвольные постоянные, а параметр тei определяется формулой

__ те /0 „„ч

mei . (2.23)

т.i

Отсюда, поскольку ше, шг - соответственно массы электронов и ионов, имеем шег < 0. Окончательно, с учетом равенств (2.21), формула для магнитного поля В (г) примет вид

ш

В(г) = -рфУф(г) X а. (2.24)

Замечание 1. В силу постоянства вектора а векторное произведение Уф X а представимо в виде V X (фа). Следовательно вместо формулы (2.24) можно использовать следующее эквивалентное выражение для магнитного поля

ш

В(г) = -р^У Х (ф(г)а).

Здесь величина — ф(г)а играет роль векторного потенциала маг-

р|а|2

нитного поля.

Так как мы потребовали выполнения условия (2.12), то скалярная функция ф(г) должна удовлетворять условию ортогональности

Уф • а = 0. (2.25)

Из (2.15) с учетом первой формулы (2.22) следует, что скалярная функция ф(г) удовлетворяет соотношению

Уф • а = —Хе1а12. (2.26)

С другой стороны, из (2.17) с учетом второй формулы (2.22), получим

Уф • а = ——|а|2.

Шег

Поскольку параметр шег < 0 определяется выражением (2.23) из последних двух формул следует, что коэффициенты дрейфа \е, Хг свя-

Хг

заны соотношением шег = — < 0. В дальнейшем, для определенности,

Хе

будем использовать условие на функцию ф(г) вида (2.26).

Лемма 3. Если электромагнитные поля Е(г), В(г) вида (2.20), (2.24) удовлетворяют системе уравнений Максвелла (1.2)-(1.5) и выполнено условие (2.26), то скалярные функции ф(г), ф(г) удовлетворяют системе эллиптический уравнений

Аф(г) = — 4Пр ае I (/¿(г, V) — /е(г, V)) й\, (2.27)

ше Ум3

4пр2 [ (а • V)

Аф(г) = — / • (/i(г, ч) — /e(г, ч)) йч. (2.28)

ше д/1 + |ч|2

Доказательство. Подставим электрическое поле Е(г), определяемое формулой (2.20), в уравнения Максвелла (1.2), (1.3). В силу равенства У-(УхЕ) = 0, справедливого для любой вектор-функции Е(г), уравнение (1.3) выполняется тождественно, а из уравнения (1.2) вытекает

т С

-т-Дф = 4пе (¡г(г, V) - /в(г, V)) ¿V.

еае Ук3

еае

Отсюда, умножая это соотношение на-----------, получим уравнение (2.27).

те

д2 д2 д2

Здесь Д- = ■ — оператор Лапласа в пространстве

дх2 ду2 дг2

переменных (х,у,г). Теперь, вектор-функцию магнитного поля В (г) вида (2.24) подставим в уравнение Максвелла (1.5). Имеем

т

- # V■(VФ х а) = °.

С учетом свойств оператора V получим цепочку равенств

V ■ (vф х а) = а ■ (V х vф) - vф ^х а = а ■ (V х vф) = °.

Заметим, что последнее равенство в этой цепочке имеет место в силу формулы V х хуф = 0, справедливой для любой скалярной функции ф(г). Таким образом уравнение (1.5) для данного магнитного поля выполняется тождественно. Из уравнения (1.4) получим

т С

-^2 Vх (Vф х а) = 4пе V (¡¿(г, V) - ¡е(г, у)) йу. (2.29)

е|а|2

Распишем левую часть равенства (2.29)

V х (Vф х а) = (а ■V) vф - адф + vф а) - V ■ V) а.

Два последних слагаемых в этом соотношении в силу постоянства вектора а равны нулю, поэтому формула (2.29) преобразуется к виду

т С

-~Ш2 ((а ■V) Vф - адф) = 4пе V (¡г(г, V) - ¡е(г, V)) йу.

е1а12 7«з

Умножим обе части этого равенства скалярно на постоянный вектор а, |а| = 0, получим

т т С

-~те2а ■ V (vф ■ а) + ^Дф = 4пе (V ■ а) (¡¿(г, V) - ¡е(г, V)) ¿V.

е|а|2 е 7«з

Так как скалярное произведение Vф ■ а по условию (2.26) есть постоянная, то V (уф ■ а) = 0 и следовательно имеем

т С

тДф = 4пе (V ■ а) (¡¿(г, V) - ¡е(г, V)) ¿V.

е 7к3

Отсюда, с учетом формулы для релятивистской скорости (1.6), оконча-

С учетом формул (2.19), (2.22) функции распределения (2.13) перепишутся в следующем виде

Здесь, без потери общности, мы положили С21 = 0, (I = в,г). Так как функции распределения определены, то осталось подставить их в правые части уравнений (2.27), (2.28) и вычислить соответствующие интегралы. Проделаем это. Подставив функции распределения (2.30),

(2.31) в правые части равенств (2.27), (2.28), можно убедиться, что все сводится к вычислению следующих четырех тройных интегралов:

где для удобства введен параметр 7 = , который является

положительным, в силу соотношений между коэффициентами дрейфа и диффузии, т. е. ^ > 0. Переходя во всех интегралах к сферическим координатам, после интегрирования получим

тельно получим уравнение (2.28). Лемма доказана.

□

¡е(г, V) = (а • V + ^(г)) х

(2.30)

/г(г, V) = (а • V + Шег'ф(г)) X

(2.31)

V1 + М2

К3

где

1 + О'

рО) = Ко (7) + -^-КО),

1 — 7 72 _ 27 + 2

9(7) =------ Ко(^) + ^^ К1(7). (2.32)

у у2

Здесь Ко (7), К1(7) - модифицированные функции Бесселя второго рода нулевого и первого порядков, соответственно. При вычислении интегралов мы воспользовались следующими формулами [2]:

(■<х £П+1е-^г дп ,^е~

сМ = (-1)пт-П К1 (ч), ^- ей = К0{ч).

Л у[¥—Г д!п Л л/г2—Г

Таким образом, с учетом вычисленных интегралов, система уравнений (2.27), (2.28) окончательно запишется в следующем виде:

і ты — ф(г) — ф(г)|

Дф(г) = —Ыф(г) і ШеіШів ае — шееае I , (2.33)

у- у

м\НІ2 I тл—ф(г) — ф(г)

А^(Г) = 1 вгЄ ае — °ееае I , (2.34)

16^2 е2ае _\і (чіОїЛ

где М =-----------, тI = — , 5х = ехш --- , шх = р(^х)5х, Ох = д(^х)5х.

те Тх \ ах )

Подводя итоги убедимся, что справедливо

Утверждение 1. Пусть функции распределения (2.30), (2.31) и электромагнитные поля Е(г), В(г), определяемые формулами (2.20), (2.24), являются решениями релятивистской системы уравнений ВМ-ФП (1.1)-(1.5), кроме того, массы частиц и коэффициенты дрейфа связаны равенством

тег = - — = Л, (2.35)

е

и выполнены соотношения (2.25), (2.26), тогда скалярные функции ф(г), ф(г) удовлетворяют системе нелинейных эллиптических уравнений (2.33), (2.34).

Доказательство. Подставим функции (2.30), (2.31) в уравнения ВФП (1.1). После несложных вычислений и упрощающих преобразований из уравнений для электронов и ионов, соответственно, получим

а~а +,,2 (уф •а+ле1а12)=0, (2.3б)

ае й\2у/1 + М2

те \ ( Уф • V Лг , п Уф • а \

mei +---- , , = +-[V • а + тегф}^^== +

тг ) V л/1 + М2 аеТг д/1 + \ VI2 I

т-Уф • а-----------V •а (—Уф • а + Ле\а\Л =о. (2.37)

тгае \а\2л/1 + М2 V —г )

Так как по условию скалярные функции ф(г), ф(г) удовлетворяют соотношениям (2.25), (2.26), а параметры связаны формулой (2.35), то равенства (2.36), (2.37) выполняются тождественно. В силу леммы 3, подставив электромагнитные поля Е(г), В(г) определяемые формулами (2.20), (2.24) в уравнения Максвелла (1.2)—(1.5), придем к системе

(2.27), (2.28). Наконец, вычислив интегралы в правых частях (2.27),

(2.28) от функций распределения (2.30), (2.31), мы окончательно получим систему нелинейных эллиптический уравнений (2.33), (2.34). Что и требовалось доказать.

□

Список литературы

1. Семенов Э. И. Об одном семействе стационарных распределений системы уравнений Власова - Максвелла - Фоккера - Планка / Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2011. - Т. 4, № 3. - С. 124-131.

2. Прудников А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М. : Наука, 1981. - 631 с.

3. Semenov E. I. New stationary distributions of the Vlasov -Maxwell - Fokker -Planck’s system / E. I. Semenov, A. V. Sinitsyn // Physics Letters A. - 2010. -Vol. 374. - P. 4222-4225.

4. Lyapunov - Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidirov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. - Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 p.

E. I. Semenov, A. V. Sinitsyn

New family of stationary distributions of the two-particle rel-ativistic equations of Vlasov — Maxwell — Fokker — Planck

Abstract. We find new family distributions and the corresponding electromagnetic fields for the two-particle relativistic system of Vlasov - Maxwell - Fokker - Planck in the stationary case. In this study the original model has been reduced to a system of two nonlinear elliptic equations and two linear partial differential equations of first order.

Семенов Эдуард Иванович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова 134, тел.: (3952)453099 ([email protected])

Синицын Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, Universidad Nacional de Colombia, Bogota, Colombia ([email protected])

Edward Semenov, Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, 664033, Irkutsk, Lermontov st. 134, Phone: (3952)453099 ([email protected])

Alexander Sinitsyn, Universidad Nacional de Colombia, Bogota, Colombia ([email protected])